Содержание
Введение 3
Глава I. Основные дифференциальные неравенства 8
§1. Неравенство Гронуолла 8
§ 2. Максимальные и минимальные решения 9
§ 3. Правые производные 11
§ 4. Дифференциальные неравенства 12
§ 5. Дифференциальные неравенства для решений линейных систем. 17
Глава II. Оценка сверху решения линейного дифференциального уравнения со спектральным параметром 20
Глава III. Теорема об оценке для решений линейных систем с параметром 25
Список использованной литературы 29
Введение
Настоящая работа посвящена об оценке решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром.
Цель работы:
Рассмотреть теоремы о дифференциальных неравенствах с доказательствами.
2. Оценить сверху решения линейного дифференциального уравнения со спектральным параметром.
3. Применить теоремы о дифференциальных неравенствах для оценки решений линейных систем с параметром.
Сформулируем важнейшую теорему о дифференциальных неравенствах, которая часто используется в теории дифференциальных уравнений.
Теорема 1. Пусть U(t,u) непрерывна в открытом (t,u) - множестве E и u=u^0 (t) - максимальное решение задачи Коши
u^'=U(t,u) , u(t_0 )=u_0. (1)
Пусть функция v(t) непрерывна на [t_0,t_0+a], удовлетворяет условиям v(t_0 ) ? u_0, (t,v(t)) ? E и имеет в точках t_0?t?t_0+a правую производную D_R v(t), такую, что
D_R v(t)?U(t,v(t)). (2)
Тогда на общем интервале существования функций u^0 (t) и v(t) выполняется неравенство
v(t)?u^0 (t). (3)
С помощью теоремы 1 самостоятельно доказаны следующие теоремы:
Теорема 2. Пусть f(t,y) непрерывна в полосе S:a?t?b, y любое, и пусть f^k (t,y^1,…,y^d) является неубывающей относительно каждой из компонент y^i, i?k, вектора y. Предположим, что задача Коши y^' = f(t,y), y(a) = y_0 имеет при некотором фиксированном y_0 единственное решение y = y(t), определенное на [a,b]. Пусть, далее, непрерывная на [a,b] вектор – функция z(t)=(z^1 (t),…, z^d (t)) такова, что каждая ее компонента z^k (t), k=1,…, d, имеет правую производную и z^k (a) ? y_0^k, D_R z^k (t) ? f^k (t,z(t)) для a ?t ?b [или z^k (a)?y_0^k и D_R z^k (t) ? f^k (t,z(t)) для a?t?b]. Тогда z^k (t)?y^k (t) [или z^k (t) ? y^k (t)] для a?t?b. (Условия, наложенные на z, выполнены, если g(t,y) непрерывна на S, функция z(t) является решением системы z^' = g(t,y) и z^k (a) ?y_0^k, g^k (t,y)?f^k (t,y) на S [или z^k (a)?y_0^k, g^k (t,y)?f^k (t,y) на S].)
Теорема 3. Если в теореме 2 любая задача Коши для системы y^' = f(t,y) имеет единственное решение, f^k (t,y) возрастает относительно y^i, i?k, k=1,…,d, и z^j (a)0, |a_k (x)|?h^(n-k) (|x|) (k=0,…,n-1), (7)
где h(r) (r>0)- непрерывная, монотонно возрастающая функция.
Тогда имеет место оценка
|(d^k y(x,?))/(dx^k )|?c_1 b(?) e^(c_2?(|x|+1)?(h(|x|)+?(n&|?|))) , (8)
где c_1>0, c_2>0- некоторые постоянные, k=0,…,n-1, ? ? ?, -? < x <+?.
Наконец, доказано теорема об оценке для решений линейных систем с параметром.
Теорема 8. Пусть имеется система уравнений
Y^'=A(x,?) Y, (9)
где Y=(?(y_1 (x,?)@?@y_n (x,?) )), A=(a_ij (x,?))_n^n, a_ij (x,?)- непрерывные функции от x(x?R) и ?(????C).
Обозначим
b_ij (r,p)=max??(|x|?r@|?|??)??|a_ij (x,?)|? (i,j=1,…,n)
B(r,?)=(b_ij (r,?))_n^n.
Пусть
det?(?E-B(r,?))=?^n+?_(k=0)^(n-1)??B_k (r,?) ?^k ?=0 (10)
-характеристическое уравнение матрицы B(r,?) и
S(r,?)=max?(0?k?n-1)??|B_k (r,?)|^(1/(n-k)) . (11)?
Тогда для фундаментальной матрицы Ф(x,?) решений системы (9), удовлетворяющей условию
Ф(x,?)=E (12)
(Е – единичная матрица)
имеет место оценка
|Ф(x,?)|?[c_1 S(|x|,|?|)+b(|x|,|?|)]^(n-1)?exp?{c_2?|x|?S(|x|,|?|)}?I, (13)
I-матрица, все элементы которой равны единице, а матричное неравенства (13) понимается поэлементно.
Глава I. Основные дифференциальные неравенства
«Интегрирование» различных дифференциальных неравенств – наиболее важный технический прием, используемый в теории дифференциальных уравнений.
§1. Неравенство Гронуолла
Один из наиболее простых и полезных результатов, включающих в себя интегральное неравенство, состоит в следующем.
Теорема 1.1. Пусть u(t), v(t) – неотрицательные функции, непрерывные на [a, b]; C?0 – некоторая постоянная; кроме того
v(t)?C+?_a^t??v(s)?u(s) ds,? a?t?b. (1.1)
Тогда
v(t)?C?e^(?_a^t?u(s) ds) , a?t?b. (2.1)
В частности, если C=0, то v(t)?0.
Доказательство. Случай 1: C>0. Пусть V(t) обозначает правую часть неравенства (1.1)
V(t)=C+?_a^t??v(s) u(s)? ds, a?t?b.
Так как v(t)?V(t), V(t)?C>0, a?t?b, то
V^' (t)=u(t)?v(t)?u(t)?V(t).
Так как V>0, то поделив последнее неравенство на V(t), получим
V^'/V?u. (3.1)
Интегрируя (3.1) по [a,t], получаем:
?_a^t?(V^' (s))/V(s) ds??_a^t?u(s) ds,
откуда следует
ln?V(t)-ln?V(a)??_a^t?u(s) ds,
или
V(t)/C?e^(?_a^t?u(s) ds).
Откуда следует, что
V(t)?C?e^(?_a^t?u(s) ds).
Так как v(t)?V(t), то v(t)?C?e^(?_a^t?u(s) ds) и неравенство (2.1) доказано.
Случай 2: C=0. Если неравенство (1.1) выполняется при C=0, то случай 1 влечет за собой справедливость неравенства (2.1) при любом C>0. Устремляя в (2.1) С к нулю, получаем v(t)?0.
§ 2. Максимальные и минимальные решения
Пусть U(t,u)- некоторая непрерывная функция на плоском (t,u) - множестве Е. Под максимальным решением u=u^0 (t) задачи Коши
u^'=U(t,u), u(t_0 )=u_0 (4.1)
мы понимаем такое ее решение на максимальном интервале существования, что если u(t)- любое решение задачи (4.1), то имеет место неравенство
u(t)?u^0 (t) (5.1)
для всех t, принадлежащих их общему интервалу существования. Минимальное решение определяется аналогично.
Сформулируем лемму.
Лемма 1.2. Пусть U(t,u) непрерывна в прямоугольнике R: t_0? t ? t_0+ a, |y-y_0 |?b; пусть |U(t,u)|?M и ?=min??(a,b/M)?. Тогда задача Коши (4.1) имеет на отрезке [t_0,t_0+?] решение u=u^0 (t), обладающее тем свойством, что любое решение u=u(t) задачи u^'=U(t,u), u(t_0)?u_0 удовлетворяет на отрезке [t_0,t_0+?] неравенству (5.1).
Доказательство леммы 1.2. Пусть 0u_n (t_1 ). Поэтому в полуинтервале [t_0,t_1) существует наибольшее значение t=t_2, где u(t_2 )=u_n (t_2 ), так что u(t_2 )= u_n (t_2 ), но u(t)>u_n (t) на отрезке(t_2,t_1 ].
С другой стороны,
u_n^' (t_2 )=V(t_2,u_n (t_2 ))+1/n=V(t_2,u(t_2 ))+1/n=u_n^' (t_2 )+1/n,
то есть, u_n^' (t_2 )>u^' (t_2 ), откуда следует, что u_n (t)>u(t) при t>t_2 и близких к t_2.
Это противоречие и доказывает неравенство (8.1). Так как ?^' < ? произвольно, лемма полностью доказана.
Из этой леммы и теоремы о продолжении решения вытекает теорема существования максимального и минимального решений:
Теорема 1.2. Пусть U(t,u) непрерывна на некотором открытом множестве Е и (t_0,u_0 )?E. Тогда задача Коши (4.1) имеет максимальное и минимальное решения, определенные на максимальном интервале существования.
§ 3. Правые производные
Сформулируем следующие две леммы.
Лемма 1.3. Пусть u(t)?C^1 [a,b]. Тогда |u(t)| имеет для a ? t < b правую производную D_R |u(t)|, где
D_R |u(t)|=lim??h^(-1) (|u(t+h)|-|u(t)|)?, h?0+, (9.1)
причем
{?(D_R |u(t)|=u^' (t) sgn u(t), если u(t)?0,@D_R |u(t)|=|u^' (t)|, если u(t)=0. )?
В частности, |(D_R |u(t)|)|=|u^' (t)|.
Утверждение, касающееся D_R |u(t)|, очевидно, если u(t)?0. В случае, когда u(t)=0, вытекает из соотношения u(t+h)=h(u^' (t)+0(1)), h ? 0, при том, что |u(t+h)|=h(|u^' (t)|+o(1)) при h?0+.
Лемма 2.3. Пусть y=y(t)?C^1 [a,b]. Тогда |y(t)| = max?(|y^1 (t)|,…,|y^d (t)|) имеет правую производную D_R |y(t)| и |(D_R |y(t)|)|?|y^' (t)| для a?t0 справедливо соотношение |y(t+h)|=?max?_k |y^k (t+h)|, так что, считая k в (10.1) равным ?max?_k, мы получим
|y(t+h)|=|y(t)|+h(?max?_k D_R |y^k (t)|+o(1)), h?0+.
Значит, D_R |y(t)| существует и равняется ?max?_k D_R |y^k (t)|. Кроме того, |(D_R |y^k (t)|)|=|y^(k^' ) (t)|?|y^' (t)|. Лемма 2.3 доказана.
§ 4. Дифференциальные неравенства
Сначала сформулируем важнейшую теорему об интегрировании некоторого дифференциального неравенства, которая часто используется в теории дифференциальных уравнений.
Теорема 1.4. Пусть U(t,u) непрерывна в открытом (t,u) - множестве E и u=u^0 (t) - максимальное решение задачи Коши (4.1). Пусть функция v(t) непрерывна на [t_0,t_0+a], удовлетворяет условиям v(t_0 ) ? u_0, (t,v(t)) ? E и имеет в точках t_0?t?t_0+a правую производную D_R v(t), такую, что
D_R v(t)?U(t,v(t)). (11.1)
Тогда на общем интервале существования функций u^0 (t) и v(t) выполняется неравенство
v(t)?u^0 (t). (12.1)
Замечание. Если неравенство (11.1) заменено противоположным и v(t_0 )?u_0, то утверждение (12.1) должно быть заменено неравенством v(t) ? u_0 (t), где u=u_0 (t) является минимальным решением задачи Коши (4.1).
Доказательство теоремы 1.4. Достаточно показать, что v(t) ? u^0 (t) справедливо на [t_0,t_0+?] для некоторого ?>0. Действительно, если u^0 (t) и v(t) определены на [t_0,t_0+?], то в случае существования такого ?>0 множество тех значений t, для которых верно v(t)?u^0 (t), не может иметь верхний границы, отличной от ?.
Пусть n>0 достаточно велико, и пусть ?>0 выбрана независимо от n таким, что задача
u^'=U(t,u)+1/n , u(t_0 )=u_0, (13.1)
имеет решение u=u_n (t) на отрезке [t_0,t_0+?]. Нам достаточно проверить, что v(t) ? u_n (t) на [t_0,t_0 + ?].
Предположим, что v(t)>u_n (t) в некоторых точках отрезка [t_0,t_0 + ?]. Тогда найдется такое t_1?(t_0,t_0+?), что
v(t_1 )>u_n (t_1 ). (14.1)
Тогда в полуинтервале [t_0,t_1) найдется такое t=t_2, где v(t_2 )=u_n (t_2 ), но
v(t)>u_n (t) (t_2t_2 запишем два очевидные равенства:
u_n (t)-u_n (t_2 )=u_n^' (t_2 )(t-t_2 )+o(t-t_2 ),
v(t)-v(t_2 )=D_R v(t_2 )(t-t_2 )+o(t-t_2 ).
Из первого равенства вычтем второе и получим с учетом (14.1) неравенство:
u_n (t)-v(t)=[u_n^' (t_2 )-D_R v(t_2 )](t-t_2 )+o(t-t_2 )?
?[U(t_2,u_n (t_2 ))+1/n-U(t_2,v(t_2 ))](t-t_2 )+o(t-t_2 )=
=1/n (t-t_2 )+o(t-t_2 )>0,
при t>t_2 и достаточно близких к t_2, что противоречит (15.1).
Итак v(t)?u_n (t) при t?[t_0,t_0+?]. Известно по теореме [1, 15 с.], что существует подпоследовательность u_(n_k ) (t):
lim?(k??)??u_(n_k ) (t)?=u^0 (t),
поэтому переходя к пределу в неравенстве v(t)?u_(n_k ) (t) получим (12.1), что и требовалось.
Следствие 1.4. Пусть U(t,u) и u^0 (t) определены, как в теореме 1.4. Пусть функция V(t,u) непрерывна на Е и удовлетворяет условию
V(t,u)?U(t,u). (17.1)
Пусть v=v(t) является решением задачи Коши
v^'=V(t,v), v(t_0 )=v_0 (?u_0), (18.1)
на некотором отрезке [t_0,t_0+a]. Тогда неравенство (12.1) справедливо справа от точки t=t_0 на любом общем интервале существования функций v(t) и u^0 (t).
Следствие 2.4 Пусть функции U(t,u)?0 и u^0 (t) определены, как в теореме 1.4, а u=u_0 (t)- минимальное решение задачи Коши
u^'=-U(t,u), u(t_0 )=u_0 (?0). (19.1)
Пусть y=y(t)- некоторая вектор – функция класса C^1, определенная на отрезке [t_0,t_0+?] и такая, что u^0?|y(t_0 )|?u_0, (t,|y(t)|)?E и
|y^' (t)|?U(t, |y(t)| ), t_0?t?t_0+?. (20.1)
Тогда на любом общем интервале существования u_0 (t) и y(t) [u^0 (t) и y(t)] справедливо первое (второе) из двух неравенств
u_0 (t)?|y(t)|?u^0 (t). (21.1)
Теорема 2.4. Пусть f(t,y) непрерывна в полосе S:a?t?b, y любое, и пусть f^k (t,y^1,…,y^d) является неубывающей относительно каждой из компонент y^i, i?k, вектора y. Предположим, что задача Коши y^' = f(t,y), y(a)=y_0 имеет при некотором фиксированном y_0 единственное решение y = y(t), определенное на [a,b]. Пусть, далее, непрерывная на [a,b] вектор – функция z(t)=(z^1 (t),…, z^d (t)) такова, что каждая ее компонента z^k (t), k=1,…, d, имеет правую производную и z^k (a)?y_0^k, D_R z^k (t) ? f^k (t,z(t)) для a?t?b [или z^k (a)?y_0^k и D_R z^k (t) ? f^k (t,z(t)) для a?t?b]. Тогда z^k (t)?y^k (t) [или z^k (t) ? y^k (t)] для a?t?b. (Условия, наложенные на z, выполнены, если g(t,y) непрерывна на S, функция z(t) является решением системы z^' = g(t,y) и z^k (a) ?y_0^k, g^k (t,y)?f^k (t,y) на S [или z^k (a)?y_0^k, g^k (t,y)?f^k (t,y) на S].)
Достаточно показать, что z^k (t)?y^k (t) справедливо на [t_0,t_0+?] для некоторого ?>0.
Пусть n>0 достаточно велико, и пусть ?>0 выбрано независимо от n таким, что задача Коши
?y^k?^'=f^k (t,y)+1/n , y(t_0 )=y_0 , (k=1,…, d)
имеет решение y=y_n (t) на [t_0,t_0+?]. Нам достаточно проверить, что z^k (t)?y_n^k (t) на [t_0,t_0+?].
Предположим противное, пусть существует точка t=t_1, t_0 < t_1 < t_0+ ?, такая, что y^k (t_1 )>y_n^k (t_1 ).
Поэтому в полуинтервале [t_0,t_1 ) существует наибольшее значение t=t_2, где z^k (t_2 )=y_n^k (t_2) так что z^k (t)>y_n^k (t) на (? t?_2,t_1]. Но тогда
D_R z^k (t_2 )?f_^k (t_2,z(t_2 ))0. Полученное противоречие доказывает неравенство z^k (t)?y_n^k (t) при t?[t_0,t_0+?]. Далее переходим к пределу при n?? и доказываем теорему.
Теорема 3.4. Если в теореме 2.4. любая задача Коши для системы y^'= f(t,y) имеет единственное решение, f^k (t,y) возрастает относительно y^i, i?k, k=1,…,d, и z^j (a)y^k (t) при t>t_0. Но тогда с одной стороны:
y ?^(k^' ) (t_0 )=f^k (t_0,y ?(t_0 )) 0 хотя бы в одной точке из [a,b], то f(b>f(a). Теперь докажем теорему 4.4.
Пусть f^h (t,y) не убывает (возрастает), относительно y^h. Тогда
D_R z^h (t)?f^h (t,z(t))?f^h (t,y(t))=y^(h^' ) (t),
то есть функция y^h-z^h, непрерывная на отрезке a?t?b имеет правую производную и она неотрицательна (положительна), тогда эта функция не убывает (возрастает) на этом отрезке.
§ 5. Дифференциальные неравенства для решений линейных систем.
Теорема 1.5. Пусть y(x), z(x)- решения задач Коши, соответственно:
y^'=A(x)?y, y(x_0 )=y^0,
z^'=B(x)?z, z(x_0 )=z^0,
где A(x) и B(x)- квадратные матрицы A(x)=?(a_ij (x))?_n^n, B(x)=?(b_ij (x))?_n^n, причём
b_ij (x)?0, |a_ij (x)|?b_ij (x), |y_j^0 |?z_j^0, z_j^0?0
а z(x)- решение с положительными координатами. Тогда при x?x_0:
|y_j (x)|?z_j (x). (22.1)
Доказательство. Пусть z^? (x)- решение задачи Коши
z^'=B(x)?z+?, z(x_0 )=z^0, ? ?=(?(?@?@?(?@?))).
Предположим, что найдутся такие j и x^* (x>x^*), что|y_j (x^* )|=z_j^? (x^*) и
|y_j (x^* )|>z_j^? (x) (23.1)
при x>x^* и достаточно близких к x^*.
Из условий теоремы имеем
y_j^' (x^* )=?_(k=1)^n??a_jk (x^*)?y_k (x^*)???_(k=1)^n??|a_jk (x^*)|?|y_k (x^*)| ??
??_(k=1)^n??b_jk (x^* )?z_k^? (x^* ) ?0 неравенство (22.1) имеет место в силу предыдущей теоремы. Пусть x<0. Обозначим y ?(x)=y(-x).
Имеем:
y ?^' (x)=-y^' (-x)=-A(-x) y(-x)=-A(-x) y ?(x),
Откуда следует, что y ?^' (x) удовлетворяет системе
y ?^' (x)=A ?(x)?y ?(x),
где A ?(x)=-A(-x). Очевидно, что элементы матрицы A ?(x) удовлетворяют неравенству
|(a_ij ) ? |?b_ij (|x|)
и тогда по предыдущей теореме
|(y_j ) ?(x)|?z_j (x).
Получаем неравенство (22.1) для x<0, что и требовалось.
Глава II. Оценка сверху решения линейного дифференциального уравнения со спектральным параметром
В этой главе оценим решение дифференциального уравнения
?_(k=0)^n??a_k (x)(? d?^k y)/(dx^k )?=? y (1.2)
с начальными условиями:
(d^k y(0,?))/(dx^k )=y_k^0 (?), (k=0,…,n-1) (2.2)
? ? ? , ?- некоторое подмножество комплексной плоскости (|?|- достаточно велик).
Теорема. Пусть y(x, ?)- решение уравнения (1.2) с начальными условиями (2.2). a_k (x) (k=0,…,n)- непрерывные комплекснозначные функции, причём
|y_k^0 (?)|?b(?) (? ? ? , k=0,… ,n-1) (3.2)
|a_n (x)|?c>0, |a_k (x)|?h^(n-k) (|x|) (k=0,…,n-1), (4.2)
где h(r) (r>0)- непрерывная, монотонно возрастающая функция.
Тогда имеет место оценка
|(d^k y(x,?))/(dx^k )|?c_1 b(?) e^(c_2?(|x|+1)?(h(|x|)+?(n&|?|))) , (5.2)
где c_1>0, c_2>0- некоторые постоянные, k=0,…,n-1, ? ? ?, -? < x <+?.
Доказательство. Пусть y(x, ?)- решение уравнение (1.2) с начальными условиями (2.2). Разделим обе части уравнения (1.2) на a_n (x), и получим:
(a_0 (x))/(a_n (x)) y +(a_1 (x))/(a_n (x)) y^''+…+(a_(n-1) (x))/(a_n (x) ) y^((n-1) )+y^((n) )=?/(a_n (x)) y. (6.2)
Обычным образом сведём уравнение (6.2) к системе, полагая
y_1=y, y_2=y^',…, y_n=y^((n-1)).
После этих обозначений получим
{?(y_1^'=y_2,@?(y_2^'=y_3,@?(…@?(y_(n-1)^'=y_n,@y_n^'=(?/a_n -a_0/a_n ) y_1+(-a_1/a_n ) y_2+…+(a_(n-1)/a_n )y_n ))))? (7.2)
Очевидно, что линейная система (7.2) имеет матрицу
A=(?(0&1&?(0&?& ?(0& 0))@0&0&?(1&? &?(0& 0))@?(?@0@?/a_n -a_0/a_n )&?(?@0@-a_1/a_n )&?(?(?@0@-a_2/a_n )&?(?@?@?)&?(?(?@0@-a_(n-2)/a_n )&?(?@1@-a_(n-1)/a_n ))))).
Из условий (4.2) и монотонного возрастания функции h(r) следует, что матрица A(x, ?) имеет при |x|?d мажорирующую матрицу вида
B(d,?)=(?(0&1&?(0& ?& ?(0& 0))@0&0&?(1& ? &?(0& 0))@?(?@0@(h^n (d))/c+(|?|)/c)&?(?@0@(h^(n-1) (d))/c)&?(?(?@0@(h^(n-2) (d))/c)&?(?@?@?)&?(?(?@0@(h^2 (d))/c)&?(?@1@(h(d))/c))))).
По матрице B(d,?) построим более грубую мажорирующую для A(x, ?) матрицу с более простой структурой. При этом воспользуемся очевидным неравенством: h^n (d)+|?|?(h(d)+?(n&|?| ))^n. Кроме того, обозначим p = h(d)+?(n&|?|), поэтому новая мажорирующая матрица имеет вид:
B ?(p)=(?(0&1&?(0& ?& ?(0& 0))@0&0& ?(1&? &?(0& 0))@?(?@0@p^n/c)&?(?@0@p^(n-1)/c)&?(?(?@0@p^(n-2)/c)&?(?@?@?)&?(?(?@0@p^2/c)&?(?@1@p/c)))))
Вычислим характеристический многочлен ?(q) матрицы B ?(p):
?(q)=|?(-q&1&?(0&…& ?(0& 0))@0&-q&?(1 &…&?(0 &0))@?(…@0@p^n/c)&?(…@0@p^(n-1)/c)&?(?(…@0@p^(n-2)/c)&?(…@…@…)&?(?(…@-q@p^2/c)&?(…@1@p/c-q))))|.
Для этого разложим определитель ?(q) по последней строке и после несложных преобразований получим
?(q)=(-1)^(n+1)?p^n/c?|?(1&0&?(…&?(0&0))@-q&1&?(…&0&0)@?(…@0)&?(…@0)&?(?(…&…&…)@?(…&-q&1)))| +(-1)^(n+2)?p^(n-1)/c
?|?(-q&0&?(…&?(0&0))@0&1&?(…&0&0)@?(…@?(0@0))&?(…@?(0@0))&?(?(…&…&…)@?(…&?(1@-q)&?(0@1))))|+…+(-1)^(2n-1)?p^2/c?|?(-q&1&?(…&?(0&0))@0&-q&?(…&0&0)@?(…@?(0@0))&?(…@?(0@0))&?(?(…&…&…)@?(…&?(-q@0)&?(0@1))))|
+(-1)^2n?(p/c-q)?|?(-q&1&?(…&?(0&0))@0&-q&?(…&0&0)@?(…@?(0@0))&?(…@?(0@0))&?(?(…&…&…)@?(…&?(-q@0)&?(1@-q))))|=
=(-1)^(n+1)?p^n/c?1+(-1)^(n+2)?p^(n-1)/c?(-q)+…
…+(-1)^(2n-1)?p^2/c?(-q)^(n-2)+(-1)^2n?(p/c-q)?(-q)^(n-1) =
= (-1)^2n?(-q)^(n-1)?(-q)+(-1)^2n?p/c?(-q)^(n-1) +
+ (-1)^(2n-1)?p^2/c?(-q)^(n-2)+…+(-1)^(n+2)?p^(n-1)/c (-q)+(-1)^(n+1)?p^n/c?1 =
= (-1)^3n?q^n+(-1)^(3n-1)?p/c?q^(n-1)+(-1)^(3n-3)?p^2/c?q^(n-2) +
+ …+(-1)^(n+3)?p^(n-1)/c?q+(-1)^(n+1)?p^n/c?1= q^n-p/c?q^(n-1)-p^2/c?q^(n-2) –
- …-p^(n-1)/c?q-p^n/c.
Итак, имеем
?_q=q^n-p/c?q^(n-1)-p^2/c?q^(n-2)-…-p^(n-1)/c?q-p^n/c (8.2)
Покажем, что многочлен (8.2) имеет положительный корень, то есть матрица B ?(p) имеет положительное собственное число.
Для этого положим в уравнении ?(q)=0, q=p?q_0 , в результате чего придём к уравнению
q_0^n-1/c (q_0^(n-1)+…+q_0+1)=0. (9.2)
Так как c>0, то из вида (9.2) следует, что это уравнение имеет положительный корень ?, что означает, что матрица B ?(p) имеет положительное собственное число ??p. Очевидно, что вектор
V=(?(1@? p@?(?((? p)^2@?)@(? p)^(n-1) )))
является собственным вектором матрицы B ?(p), соответствующим собственному числу ? p. Тогда вектор – функция
z^0=e^(? p x)?V ,
есть решение системы уравнений
z^'=B ?(p) z. (10.2)
Очевидно, что так как |?| достаточно велик при ? ? ? , то можно считать, что ?>1.
Заметим, что вектор – функция z=b(?)?z^0 также является решением уравнения (10.2). Кроме, того в силу (3.2) имеем
|y_j (0,?)|?b(?)?z_j (0, ?) (j=1,…,n). (11.2)
К систем (7.2) и (10.2) с учётом (11.2) применим теорему (1.5) и получим, что
|y_j (x,?)|?z_j (x,?) (j=1,… ,n). (12.2)
Из (12.2) выводим при |x|?d
|y_j (x,?)|?b(?) [?(h(d)+?(n&|?| ))]^(j-1)?e^(?(h(d)+?(n&|?| )) d) (13.2)
Из (13.2) следует (5.2), что и требовалось доказать.
Глава III. Теорема об оценке для решений линейных систем с параметром
Теорема 1.3. Пусть имеется система уравнений
Y^'=A(x,?) Y, (1.3)
где Y=(?(y_1 (x,?)@?@y_n (x,?) )), A=(a_ij (x,?))_n^n, a_ij (x,?)- непрерывные функции от x(x?R) и ?(????C).
Обозначим
b_ij (r,p)=max??(|x|?r@|?|??)??|a_ij (x,?)|? (i,j=1,…,n)
B(r,?)=(b_ij (r,?))_n^n.
Пусть
det?(?E-B(r,?))=?^n+?_(k=0)^(n-1)??B_k (r,?) ?^k ?=0 (2.3)
-характеристическое уравнение матрицы B(r,?) и
S(r,?)=?max?(0?k?n-1)?|B_k (r,?)|?^( 1/(n-k)) . (3.3)
` Тогда для фундаментальной матрицы Ф(x,?) решений системы (1.3), удовлетворяющей условию
Ф(x,?)=E (4.3)
имеет место оценка
|Ф(x,?)|?[c_1 S(|x|,|?|)+b(|x|,|?|)]^(n-1)?exp?{c_2?|x|?S(|x|,|?|)}?I, (5.3)
I-матрица, все элементы которой равны единице, а матричное неравенства (5.3) понимается поэлементно.
Рассмотрим систему
Z^'=B(r,?) Z , (6.3)
где Z=(?(z_1 (x,?)@?@z_n (x,?) )) при -r?x?r.
Так как B(r,?)- матрица с неотрицательными элементами, то она по теореме Перрона [3] имеет неотрицательное собственное число ? и соответствующий ему собственный вектор ?=(?(?_1@?@?_n )). Очевидно, что (6.3) имеет решение z=??e^(?|x|).
Так как координаты вектора ? определяются с точностью до постоянного множителя, то не уменьшая общности, можно считать, что ?_i ? 1 (i=1,…,n).
Пусть Y(x,?)- решение системы (1.3), удовлетворяющее начальному условию
y_i^j (0,?)=?_ij (i,j=1,…,n), (7.3)
где ?_ij- символ Кронекера. Тогда очевидно, что
|y_i^j (0,?)|?z_i (0,?) (i,j=1,…,n). (8.3)
Тогда по теореме сравнения 1.5. получим, что
|y_i^j (x,?)|?z_i (x) (|x|?r). (9.3)
Из (9.3) следует, что
|y_i^j (x,?)|??_i?e^(? |x|) (i,j=1,…,n) (10.3)
при всех x?R.
А теперь покажем, что
|?(r_k,?_k )|?C?S(r,?) , (11.3)
где ?- любой корень уравнения (2.3).
Предположим противное, что существует последовательность (r_k,?_k)?? и такая, что
|?(r_k,?_k )|>k?S(r_k, ?_k ).
Поставим ? в характеристическое уравнение (2.3) и разделим его на ?^n:
1+?_(l=0)^(n-1)???^(l-n) (r_k,?_k ) B_l (r_k, ?_k)??0,
откуда следует, что при некотором l для некоторой последовательности k_i ? ? справедлива оценка
|B_l (r_(k_i ),?_(k_i ) ) ?^(l-n) (r_(k_i ),?_(k_i ) )|?c_0 (c_0>0),
откуда получаем, что
|B_l (r_(k_i ),?_(k_i ) )|?c_0 |?(r_(k_i ),?_(k_i ) )|^(n-l)?c_0 ?k_i^(n-l)?S^(n-l) (?r_k?_i,?_(k_i ) ),
что противоречит определению функции S(r,?) (3.3).
Покажем, что координаты ?_i удовлетворяют оценке
?_i?(?+b)^(n-1). (12.3)
Действительно, так как ?-решение системы
(B-? E)?=0 ,
то выделяя в ней базисный минор ? и полагая свободные неизвестные константами, для остальных неизвестных получим ?_i=?_i/? , где ?_i соответствующий минор. В качестве вектора ? возьмем ? = (?_1, …,?_k,?_(k+1) ?,…,?_n ?) и, в силу выбора матрицы B, получим оценку (12.3).
Далее из (11.3) и (12.3) следует, что
|y^j (x,?)|?[c_1?S(|x|,|?|)+b(|x|,|?|)]?exp?{c_2?|x|?S(|x|,|?|)}
(j = 1,…,n). (13.3)
Из (13.3), очевидно, получаем (5.3), что и требовалось.
Список использованной литературы
1. Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Мир», 1970. – 710с.
2. Н. Бурбаки, Функции действительного переменного. М., «Наука», 1965. - 424 с.
3. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц. М., государственное издательство технико – теоретической литературы, 1953. -491 с.
3
....................... |
