Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов

Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего образования «Иркутский государственный университет» 
(ФГБОУ ВО «ИГУ»)
Институт математики, экономики и информатики
Кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений






ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА БАКАЛАВРА
по направлению 01.03.01 «Математика»
профиль «Инновационная математика и компьютерные науки»



ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ






Допущена к защите
Зав. кафедрой, д-р физ.-мат. наук, профессор
______________ 
Фалалеев Михаил Валентинович
Студентка 4 курса очного отделения
группы 02411-ДБ
Хушеева Натэлла Валентиновна





Руководитель:
канд. физ.-мат. наук, доцент
_______________ 
Леонтьев Роман Юрьевич
















Иркутск – 2017


Оглавление
Введение	3
Глава 1. Вспомогательные материалы.	4
1.1 Банаховы пространства.	4
1.2 Принцип сжимающих отображений.	5
1.2 Некоторые свойства отображений конечномерных пространств.	8
Глава 2. Метод последовательных приближений.	10
2.1 Теорема Коши.	10
2.2 Метод последовательных приближений.	13
2.3 Решение задач.	13
Глава 3. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.	21
3.1 Теорема о разложении решения в степенной ряд (теорема Коши).	21
3.2	Решение задач	22
Глава 4. Решение некоторых важных дифференциальных уравнений приближенными методами.	23
4.1 Уравнение Эйри.	25
4.2 Уравнение Бесселя.	26
Заключение.	29
Список литературы.	30
Приложение.	31





Введение
Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений в квадратурах не всегда возможно, даже если точно известно, что решение существует. Данный факт, доказанный Ж. Лиувиллем в 1841 году, оказал заметное влияние на дальнейшее развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений и способствовал росту интереса к приближенным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений. 
Ещё отметим тот факт, что интегрируемые в квадратурах дифференциальные уравнения встречаются в отдельных частных случаях и, в основном, в задачниках. На практике же при нахождении решения той или иной задачи для дифференциального уравнения чаще всего используют различные приближенные методы. Этим и обусловлена актуальность данной работы.
 Цель работы — изучить теоретический материал, лежащий в основе некоторых приближенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и решить учебные задачи.
Задачи работы: 
 Разобрать принцип сжимающих отображений в банаховых пространствах.
 Разобрать теорему существования и единственности решения задачи Коши для систем в нормальной форме и её доказательство методами функционального анализа.
 Разобрать метод последовательных приближений для уравнений и систем в нормальной форме.
 Решить методом последовательных приближений учебные задачи.
 Используя математический пакет, найти решение рассматриваемых учебных задач численными методами и сравнить его график с графиками приближенных решений.
 Изучить теорему, лежащую в основе метода степенных рядов.
 Решить методом степенных рядов некоторый набор учебных задач.
 Рассмотреть решение некоторых важных дифференциальных уравнений приближенными методами.


Глава 1. Вспомогательные материалы.
В этой главе приводятся необходимые сведения из математического анализа, линейной алгебры и функционального анализа, на основе которых доказывается существование и единственность решения задачи Коши. 
1.1 Банаховы пространства.
Введём некоторые определения.
Определение 1: Линейное пространство Х (вещественное или комплексное) называется нормированным, если каждому x?Х поставлено в соответствие вещественное число ?x? (норма x), которое обладает следующими тремя свойствами: 
 положительная определённость нормы
?x??0, ?x?=0 <=>x=0 , 
 положительная однородность
??x?=|?|?x?  , где ? — скаляр,
 неравенство треугольника
?x+y???x?+?y?.
Таким образом, норма — это определённый всюду на Х функционал с неотрицательными значениями и свойствами 1)-3). 
Определение 2: Последовательность {x_m }?X называется сходящейся к элементу x?X, если ?x_m-x??0 при m??.
Этот факт принято обозначать следующим образом
lim?(m??)??x_m ?=x.
Определение 3: Последовательность {x_m } элементов нормированного пространства X называется фундаментальной, если 
?x_m-x_l ??0 при m,l ??.
Проверим, что в любом нормированном пространстве X всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Действительно, пусть x_n?x_0 при n??. Это значит, что для любого ?>0 найдётся номер N=N(?) такой, что для всех номеров n>N выполняется неравенство ?x_n-x_0 ?0, такое, что для любого x?M выполняется неравенство ?x??R, то есть M?(D_R ) ?(0), тогда множество M?X называется ограниченным.
Пусть даны два банаховых пространства X и Y, и задано множество D?X. Если каждой точке x?D поставлена в соответствие единственная точка y?Y, то говорят, что задан оператор y=f(x) с множеством определения D. Данный факт будем записывать так f:X?Y или f: D?X?Y.
Определение 6: Отображение (оператор) называется непрерывным в точке x_0?D, если для любого ?>0 найдется ?=?(?), такое, что для любых x?D_? (x_0)?D выполняется неравенство ?f(x)-f(x_0)?0, то в шаре D ?_r (x_0 ) оператор ? имеет единственную неподвижную точку.
Доказательство: Заметим, что если  r=0, то x_0- неподвижная точка. Ее единственность следует из сжимаемости ?. Если же r>0, то рассмотрим сужение оператора ? на шар D ?_r (x_0 ), то есть рассмотрим оператор ? только на этом шаре. Применяя к этому сужению теорему устанавливаем справедливость и второй части утверждения следствия.
1.2 Некоторые свойства отображений конечномерных пространств.
Приведем необходимые для последующего использования основные факты многомерного математического анализа.
Пусть G?R^(n+1)- область в пространстве переменных t?R, x?R^n. Мы будем использовать в R^n кубическую норму.
Рассмотрим отображение y=f(t,x), ставящее в соответствие каждой точке (t,x)?G определенную точку y?R^n. В стандартном базисе данное отображение можно записать в виде 
y_k=f_k (t,x_1,…,x_n ),     k=1,2,…n,
где функции f_k от (n+1) переменных называются координатными функциями отображения f.
Пусть выполнены следующие условия:
 Отображение  f(t,x) непрерывно в G по совокупности своих переменных.
Отметим, что данное отображение непрерывно тогда и только тогда, когда все его координатные функции f_k (t,x) непрерывны на G.
 Для каждой замкнутой ограниченной области H ??G найдется число K=K(H ?), такое, что для любых (t,x)?H ?, (t,z)?H ? выполняется неравенство (условие Липшица)
?f(t,x)-f(t,z)??K?x-z?.   (1)        
Покажем более подробный вид второго условия. Если x=??(x?_k)?_(k=1)^n, z=??(z?_k)?_(k=1)^n, то условие Липшица равносильно условиям Липшица для каждой координатной функции:
|f_k (t,x)-f_k (t,z)|?K  max?k?|x_k-z_k |,      k=1,2,…,n.
Вспомним факт, известный нам из математического анализа: если отображение f непрерывно в области G, то на каждой замкнутой ее подобласти H ??G оно ограничено: существует постоянная M=M(H ?), такая, что для любых (t,x)?H ? выполняется неравенство?f(t,x)?=max?k?|f_k (t,x)|?M.
 Отображение f(t,x) непрерывно дифференцируемо по x в области G.
В соответствии с определением дифференцируемости отображение f непрерывно дифференцируемо по x тогда и только тогда, когда непрерывно дифференцируема каждая его координатная функция, а это будет иметь место, если частные производные ?f/(?x_k ), k=1,2,…,n, непрерывны.
Из третьего условия следует второе. Докажем этот факт для случая выпуклой области G. Введём обозначение x(?)=y+?(x-y), ??[0,1]. Для каждой координатной функции по формуле конечных приращений Лагранжа имеем
f_k (t,x)-f_k (t,x)=f_k (t,x(1))-f_k (t,x(0))=?_(l=i)^n?(?f_k (t,x(?)))/(?x_l ) (x_l-y_l ),
где ??(0,1).
Так как частные производные по переменным тоже ограничены на H ?, то найдется постоянная K>0, такая, что 
|f_k (t,x)-f_k (t,x)|??_(l=i)^n?|(?f_k (t,x(?)))/(?x_l )|  |x_l-y_l |?K?x-y?,
где K=sup?max?(1?k?n)?|(?f_k (t,x(?)))/(?x_l )| . Таким образом, справедлива оценка ?f_k (t,x)-f_k (t,x)??K?x-y?.
Остановимся на частном случае, когда отображение f линейное (неоднородное):
f(t,x)=A(t)x+h(t).
Здесь A(t)=??(a?_(k,l) (t))?_(k,l=1)^n- матрица с непрерывными на (a,b) элементами, а h(t)=?(h_k (t))?_(k=1)^n- столбец из функций (вектор-функция) с непрерывными на (a,b) координатами.
Каждая координатная функция f_k (t,x)=?_(l=1)^n??a_(k,l) (t) x_l+h_k (t)? и все ее частные производные (?f_k)/(?x_l )=a_kl (t) непрерывны по совокупности переменных при t?(a,b), x?R. Следовательно, в этом случае выполнены первое, второе, а значит и третье.
Глава 2. Метод последовательных приближений.
2.1 Теорема Коши.
Предыдущая глава во многом базировалась на теореме Коши. Ниже будет представлено доказательство данной теоремы в ее общем варианте.
Рассмотрим лемму.
Лемма: Всякое непрерывное на интервале (a,b), содержащем точку x_0, решение интегрального уравнения y(x)=y_0+?_(x_0)^x?f(s,y(s))ds    (*) является решением задачи Коши y^'=f(x,y),   y(x_0 )=x_0    (**).
Доказательство: Воспользуемся теоремой о дифференцируемости интеграла по верхнему пределу. Поскольку суперпозиция (сложная функция) f(s,y(s)) непрерывна на (a,b), то правая часть в уравнении y(x)=y_0+?_(x_0)^x?f(s,y(s))ds дифференцируема, причем ее производная равна подынтегральному выражению в точке x, то есть f(s,y(s)). Но тогда на (a,b) непрерывно дифференцируема и левая часть уравнения, то есть функция y(x). Следовательно, y(x) удовлетворяет на (a,b) дифференциальному уравнению (**). Кроме того, поскольку правая часть в (*) непрерывна, то пологая в (*) x=x_0, видим, что y(x) удовлетворяет и начальному условию.
Перейдем к рассмотрению метода последовательных приближений. 
Рассмотрим на (a,b) последовательность функций
y_0 (x)=y_0,
y_n (x)=y_0+?_(x_0)^x??f(s,y_(n-1) (s))ds,   n=1,2….?
Из этих рекуррентных формул последовательно определяется функциональная последовательность {y_n (x)}. Можно доказать, что существует отрезок [?,?]?(a,b), содержащий точку x_0 и такой, что на нем y_n (x)?y(x), где y(x)- решение задачи Коши. На этом пути и доказывается теорема Коши.
Теорема: Пусть в области G?R^(n+1) отображение f(t,x) непрерывно по совокупности своих переменных и удовлетворяет условию Липшица (1). Тогда для любой точки (t_0,x_0)?G существует ?>0, такое, что на отрезке [t_0-?,t_0+?] существует единственное решение задачи Коши
x ?=f(t,x),   x(t_0 )=x_0.   (2)
Доказательство: Зафиксируем область  H с границей ?, такую, что точка  (t_0,x_0)?H и замыкание H лежит в G, то есть H ?=H???G. 
На H ? отображение f ограничено: существует постоянная M>0, такая, что ?f(t,x) ??M, то есть для любых (t,x)?H ? имеют место неравенства
|f_k (t,x)?M|,   k=1,2,…n.
Воспользуемся условием (1). Существует K>0, такое, что для любых (t,x)?H ?, (t,z)?H ? выполняются неравентсва
?f_k (t,x)-f_k (t,z)??K?x-z?,   k=1,2,…,m.
Введем цилиндр 
T_r={(t,x), t?[t_0-?_r, t_0+?_r ], ?x-x_0 ??r}.
Возьмем r>0 настолько малым, чтобы при ?_r=r/(M+K_r ) имело место включение T_r?G.
Рассмотрим интегральное уравнение 
x(t)=x_0+?_(t_0)^t??f(s,x(s))ds.?    (3)
В координатной форме это уравнение записывается как система интегральных уравнений
x_k (t)=x_0t+?_(t_0)^t??f_k (s,x_1 (s),x_2 (s),…,x_n (s))ds,   k=1,2,…,n.?
Интегральное уравнение (3) будем рассматривать в пространстве X_r=C_n [t_0-?_r, t_0+?_r ] непрерывных на [t_0-?_r, t_0+?_r ] вектор-функций.
Запишем уравнение (3) в операторном виде x=?(x), где оператор ? задан формулой
?(x)(t)=x_0+?_(t_0)^t?f(s,x(s))ds.
Рассмотрим в пространстве X_r замкнутый шар
D ?_r (x_0 )={x?X_r:?x-x_0 ??r}.
Оператор ? является сжимающим оператором на этом шаре и отображает его в себя. Действительно, для любых x,y из данного шара имеем
??(x)-?(y)?=max?(t?[t_0-?_r, t_0+?_r ] )??|?_(t_0)^t??f(s,x(s))-f(s,y(s))?ds|??_r K?x-y??.
Отметим, что коэффициент сжатия q_r=?_r K=K_r/(M+K_r )<1.
Далее, 
??(x_0 )-x_0 ?=max?(t?[t_0-?_r, t_0+?_r ] )??|?_(t_0)^t??f(s,x_0)?ds|??_r M=(1-q_r )r?.
Согласно принципу сжимающих отображений в D ?_r (x_0 ) оператор ? имеет единственную неподвижную точки x_*. Это значит, что интегральное уравнение (3) имеет на [t_0-?_r, t_0+?_r ] единственное решение x=x_* (t). Это решение и является решением рассматриваемой задачи Коши.
2.2 Метод последовательных приближений.
Рассмотрим а области G?R^2 задачу Коши 
y^'=f(x,y),   y(x_0 )=x_0      (4)
Пусть данное дифференциальное уравнение в условиях теоремы Коши имеет на некотором интервале (a,b), содержащем точку x_0, решение y(x), такое, что y(x_0 )=x_0. Это значит, что на (a,b) имеет место тождество y^'=f(s,y(s)). Проинтегрируем это тождество по s от x_0 до x и получим равенство 
y(x)=y_0+?_(x_0)^x??f(s,y(s))ds.?    (5)
Данное равенство можно рассматривать как интегральное уравнение, поскольку неизвестная функция y(x) входит под знак интеграла. 
2.3 Решение задач. 
 Задача: Методом последовательных приближений найти первых два приближения для задачи Коши
y^'=x^2-y^2,   y(-1)=0.
Решение: Дано уравнение Риккати. Строим последовательность {y_n (x)} функций, определяемых соотношениями (5), где n=0,1,2 и приняв за 
y_0 (x)=0.
y_0 (x)=0
y_1 (x)=?_(-1)^x??t^2 dt?=(x^3+1)/3
y_2 (x)=?_(-1)^x?(t^2+?(?(t?^3+1))/3?^2 )  dt=?_(-1)^x?(t^2+t^6/9+(2t^3)/9+1/9)  dt=11/42-x/9+x^3/3-x^4/18-x^7/63.
На рисунке ниже показан график решения данной задачи и его приближений.

 Задача: Методом последовательных приближений найти первых два приближения для задачи Коши
y^'=x+y^2,   y(0)=0.
Решение: Дано уравнение Риккати. Строим последовательность {y_n (x)} функций, определяемых соотношениями (5), где n=0,1,2 и приняв за 
y_0 (x)=0.
y_0 (x)=0
y_1 (x)=?_0^x??tdt=?  x^2/2
y_2 (x)=?_0^x?(t+t^4/4)  dt=x^2/2+x^5/20.
На рисунке ниже показан график решения данной задачи и его приближений.

 Задача: Методом последовательных приближений найти первых два приближения для задачи Коши
y^'=x+y,   y(0)=1.
Решение: Дано линейное неоднородное уравнение. Строим последовательность {y_n (x)} функций, определяемых соотношениями (5), где n=0,1,2 и приняв за y_0 (x)=1.

y_0=1
y_1=1+?_0^x?(t+1)dt=1+x^2/2+x
y_2=1+?_0^x?(t+1+t^2/2+t)dt=x^3/6+x^2+x+1.
Точное решение уравнения: y=C_1 e^x-x-1.

 Задача: Методом последовательных приближений найти первых два приближения для задачи Коши
y^'=2y-2x^2-3,   y(0)=2.
Решение: Дано линейное неоднородное. Строим последовательность {y_n (x)} функций, определяемых соотношениями (5), где n=0,1,2 и приняв за 
y_0 (x)=2.

y_0=2
y_1=2+?_0^x??(4-2t^2-3)dt=? 2+?_0^x?(1-2t^2 )dt=2+x-2/3 x^3
y_2=2+?_0^x??(4-2t^2-3+2t-2/3 t^3 )dt=2+x+x^2-1/4 x^4-2/3 x^3.?

Точное решение уравнения: y=C_1 e^2x+x^2+2
 Задача: Построить по два последовательных приближения (не считая исходного) к решению системы
{?(y^'=2x+z@z^'=y),   y(1)=1,   z(1)=0.?
Решение:  Дана система линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Перепишем данную систему в эквивалентную ей интегральную систему с начальными условиями
{?(y=1+?_1^x?(2t+z)dt@z=?_1^x?ydt)?
Далее последовательные приближения найдем по формулам
{?(y_(n+1)=1+?_1^x?(2t+z_n )dt@z_(n+1)=?_1^x??y_n dt?)?
Подставляем в эти формулы n=0 и n=1. Получим
{?(y_1=1+?_1^x??(2t+z_0 )dt=x^2 ?@z_1=?_1^x??y_0 dt=x-1?)?
{?(y_2=1+?_1^x??(2t+z_1 )dt=1/2-x+3/2 x^2 ?@z_2=?_1^x??y_1 dt=1/3(x^3-1)?).?

 Задача: Построить по два последовательных приближения (не считая исходного) к решению системы
{?(x^'=y@y^'=x^2 ),   x(0)=1,   y(0)=2.?
Решение: Дана нелинейная система дифференциальных уравнений. Аналогично предыдущей задаче запишем рекуррентные формулы для данной системы с заданными начальными условиями
{?(x_(n+1)=1+?_0^t??y_n dz?@y_(n+1)=2+?_0^t??x_n^2 dz?)?
Далее подставляем n=0 и n=1. Получим
{?(x_1=1+?_0^t??y_0 dz?=1+2t@y_1=2+?_0^t??x_0^2 dz?=2+t)?
и
{?(x_2=1+?_0^t??y_1 dz?=1+?_0^t??(2+z)dz=1+2t+t^2/2?@y_2=2+?_0^t??x_1^2 dz?=2+?_0^t???(1+2z)?^2 dz=2+t+2t^2+4/3 t^3 ?).?




Глава 3. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.
Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов является приближенным аналитическим методом. Ниже будет представлена теорема Коши, на которой основывается этот метод. 
3.1 Теорема о разложении решения в степенной ряд (теорема Коши).
Рассмотрим уравнение 
w^'=f(z,w)   (6)
и поставим начальное условие Коши 
w(z_0 )=w_0    (7)
где z_0 и w_0– заданные числа.
Определение: Функция f(z) называется голоморфной в точке z_0, если допускается её разложение в сходящийся степенной ряд по степеням z-z_0 
Теорема. Если f(z,w) голоморфна в точке (z_0, w_0):
f(z,w)=?_(m,n=0)^???a_mn (z-z_0 )^m ?(w-w_0)?^n ?,   (9)
где ряд сходится в области 
|z-z_0 |0, ряды:
a(t)=?_(k=0)^???a_k (t-t_0 )^k,  b(t)=?_(k=0)^???b_k (t-t_0 )^k ??    (12)
Имеет место следующая теорема. 
Теорема: Если  функции a(t), b(t) имеют вид (12), то любое решение y(t) уравнения (11) представимо в виде сходящегося при |t-t_0 |0,   (17)
где p – заданная постоянная.
Перепишем данное уравнение в виде
y^''+1/x y^'+(x^2-p^2)/x^2  y=0.
Здесь 
p(x)=1/x,  q(x)=(x^2-p^2)/x^2 ,
так что 
a_0=lim?(x?0)??xp(x)=1?,  b_0=lim?(x?0)??x^2 q(x)=-p^2 ?.
Определяющее уравнение для ?:
?(?-1)+1??-p^2=0,   или   ?^2-p^2=0,
откуда ?_1=p,   ?_2=-p .
Первое частное решение уравнения Бесселя ищем в виде обобщенного степенного ряда
y=x^p ?_(k=0)^???C_k x^k ?.
Подставляя y, y^' и y'' в исходное уравнение, получаем
x^2 ?_(k=0)^???C_k (k+p)(k+p-1) x^(k+p-2) ?+x?_(k=0)^???C_k (k+p)? x^(k+p-1)+(x^2-p^2 ) ?_(k=0)^???C_k x^(k+p) ?=0,
или, после простых преобразований и сокращения на x^p,
?_(k=0)^???[(k+p)^2-p^2 ] C_k x^k ?+?_(k=0)^???C_k x^(k+2) ?=0.
Отсюда, приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях x, будем иметь:
x^0  (p^2-p^2 ) C_0=0,
x^1  [(1+p^2 )-p^2 ] C_1=0,
x^2  [(2+p)^2-p^2 ] C_2+C_0=0,
x^3  [(3+p)^2-p^2 ] C_3+C_1=0,
x^4  [(4+p)^2-p^2 ] C_4+C_2=0,
………………………………………
x^k  [(k+p)^2-p^2 ] C_k+C_(k-2)=0,
………………………………………
Первое соотношение выполняется при любом значении коэффициента C_0. Из второго получаем что C_1=0, из третьего 
C_2=-C_0/((2+p)^2-p^2 )=-C_0/(2^2 (1+p) ),
из четвертого С_3=0, из пятого 
C_4=-C_2/((4+p)^2-p^2 )=C_0/(2^2 (1+p) ).
Очевидно, что все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю: C_(2k+1)=0, k=0,1,2… . Коэффициенты с четными индексами имеют вид:
C_2k=((-1)^k C_0)/(2^2k (p+1)(p+2)…(p+k)?k!),  k=1,2,…  .
Для упрощения дальнейших выкладок примем
C_0=1/(2^p ?(p+1)),   (18)
где ?(?) – гамма – функция Эйлера. Данная гамма – функция ?(?) определяется для всех положительных значений (а также для всех комплексных значений с положительной вещественной частью) следующим образом:
?(?)=?_0^???e^(-x) x^(?-1) dx?.
Гамма – функция обладает несколькими важными свойствами:
 ?(?+1)=??(?).
 ?(1)=1.
Если k – целое положительное число, то 
 ?(?+k+1)=(?+1)(?+2)…(?+k)?(?+1).
 ?(k+1)=k!
Применим свойства гамма – функции к формуле (18), получим
C_2k=(-1)^k/(2^2k (p+1)(p+2)…(p+k)?k!?2^p ?(p+1))=(-1)^k/(2^(2k+p) ?(p+k+1)),
ибо (p+1)(p+2)…(p+k)?(p+1), по третьему свойству, равно ?(p+k+1). Теперь частное решение уравнения Бесселя, которое мы будем в дальнейшем обозначать через J_p, принимает вид 
J_p (x)=?_(k=0)^??(-1)^k/(k!?(p+k+1)) (x/2)^(2k+p).   (19)
Эту функцию принято называть бесселевой функцией первого рода порядка p. 
Второе частное решение исходного уравнения Бесселя ищем в виде 
y=x^(-p) ?_(k=0)^???C_k x^k ?,
где p – второй корень определяющего уравнения. Ясно, что что это решение может быть получено из (19) уравнения путем замены p на -p, так как уравнение Бесселя содержит p в четной степени и не меняется при замене p на -p.
Итак, 
J_(-p) (x)=?_(k=0)^??(-1)^k/(k!?(-p+k+1)) (x/2)^(2k-p).
Эту функцию называют бесселевой функцией первого рода порядка -p.
Если p не равно целому числу, то решения J_p (x) и J_(-p) (x) являются линейно независимыми, так как их разложения в ряды начинаются с различных степеней x и, следовательно, линейная комбинация ?_1 J_p (x)+?_2 J_(-p) (x) может тождественно равняться нулю лишь при ?_1=?_2=0.
Если p есть целое число, то можно установить линейную зависимость функций J_p (x) и J_(-p) (x), а именно оказывается, что 
J_(-n) (x)=(-1)^n J_n (x)       (n –целое).
Итак, при целом p вместо J_(-p) (x) надо искать другое решение, которое было бы линейно независимо от J_p (x). Для этого введем новую функцию
Y_p (x)=(J_p (x)  cos?p?-J_(-p) (x))/sin?p? ,   (20)
считая сначала, что p – нецелое число. 
Очевидно, что так определенная функция Y_p (x) является решением уравнения (17) (в связи с тем, что она представляет линейную комбинацию частных решений J_p (x) и J_(-p) (x)).
Переходя к пределу в (20) при p, стремящемся к целому числу, получаем частное решение Y_p (x), линейно независимое от J_p (x) и определенное уже  и для целых значений p.
Выведенная здесь функция Y_p (x) называется бесселевой функцией второго рода порядка p. Таким образом, для всякого p, дробного или целого, мы построили фундаментальную систему решений уравнения Бесселя (17). Отсюда вытекает, что общее решение уравнения (17) может быть представлено в виде 
y=AJ_p (x)+BY_(-p) (x),
где A и B – произвольные постоянные.
В случае, когда p не является целым числом, общее решение уравнения Бесселя можно брать в виде 
y=C_1 J_p (x)+C_2 Y_(-p) (x),
где C_1 и C_2 – произвольные постоянные.








Заключение.
В ходе написания данной работы были достигнуты все поставленные цели, а именно разобран теоретический материал, лежащий в основе метода последовательных приближений и метода степенных рядов. Решены учебные задачи. Рассмотрено решение некоторых важных дифференциальных уравнений приближенными методами. 



Список литературы.
 Треногин В.А. Функциональный анализ.– Москва: ФИЗМАЛИТ, 2002– 488 с.
 Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.– Москва: «ЛИБРОКОМ», 2013– 256 с.
 Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.– Санкт–Петербург – Москва –  Краснодар: «Лань», 2009– 272 с.
 Треногин В.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения.– Москва: ФИЗМАЛИТ, 2009– 312 с.
 Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения.– Москва: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2004– 352 с.
 Матвеев П.Н. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений.– Санкт–Петербург.: «Лань», 2008– 336 с.



Приложение.
Реализация решения задачи №1 в пакете IPython.
# -*- coding: utf-8 -*-
# импорт необходимых функций и библиотек библиотек
from numpy import linspace
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
# установки
a = -1 # начало отрезка
b = 2 # конец отрезка
n = 100 # число шагов
y0 = 0 # начальное значение
# правая часть дифференциального уравнения
def fun(y, x):
    return x**2 - y**2
# разбиение на узлы независимой переменной
x = linspace(a, b, n)
# решение ОДУ
sol = odeint(fun, y0, x)
# построение графиков
plt.plot(x, sol, 'b', label='y - численное решение')
plt.plot(x, (x**3+1)/3, 'r', label='y1 - первое приближение')
plt.plot(x, 11/42-x/9+x**3/3-x**4/18-x**7/63, 'g', label='y2 - второе приближение')
# 
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График решения и его приближений')
plt.text(1.85, 1.6, 'y')
plt.text(1.83, 2.8, 'y1')
plt.text(1.85, 0.5, 'y2')
plt.ylim((0, 4))
plt.xlim((a, b))
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()
#plt.savefig('z1.png')

Реализация решения задачи №5 в пакете IPython.
# -*- coding: utf-8 -*-
# импорт необходимых функций и библиотек библиотек
from numpy import linspace
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
# установки
a = 1 # начало отрезка
b = 2 # конец отрезка
n = 100 # число шагов
y0 = [1, 0] # начальное значение
# правая часть системы
def fun(y, x):
    y1, y2 = y
    return [2*x + y2, y1]
# разбиение на узлы независимой переменной
x = linspace(a, b, n)
# решение системы
sol = odeint(fun, y0, x)
# построение графиков
f, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, sharex=True)
ax1.plot(x, sol[:, 0], 'b', label='y - численное решение')
ax1.plot(x, x**2, ':g', label='y1 - первое приближение')
ax1.plot(x, 1/2-x+3/2*x**2, '-.r', label='y2 - второе приближение')
ax2.plot(x, sol[:, 1], 'b', label='z - численное решение')
ax2.plot(x, x-1, ':g', label='z1 - первое приближение')
ax2.plot(x, 1/3*(x**3-1), '-.r', label='z2 - второе приближение')
ax1.grid()
ax2.grid()
ax1.legend()
ax2.legend()
plt.xlabel('x')
ax1.set_ylabel('y')
ax2.set_ylabel('z')
ax1.set_title('График решения и его приближений')
#plt.savefig('z5.png')

23



.......................