Многокритериальный подход к оценке риска

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ РИСКА 
НА ПРИМЕРЕ РЯДОВ УРОЖАЙНОСТИ ЗЕРНОВЫХ 

     Аннотация
     В настоящей статье предлагается осуществлять оценку рисков с помощью статистических показателей: математического ожидания, среднеквадратического отклонения, асимметрии, эксцесса и вариации. Многокритериальный подход к оценке риска инвестиций в объект отрасли растениеводства осуществляется на примере временных рядов урожайности зерновых в шести регионах Южного Федерального округа.
      Модель принятия оптимального решения по Парето предлагается осуществлять на базе прямых методов, которые реализуются с помощью решающих правил вида: MAXSUM, MAXMIN и “расстояние до идеальной точки». Результатом применения решающих правил является список рассматриваемых регионов, ранжированных по убыванию степени их привлекательности. 

Ключевые слова: риск, многокритериальность, множество допустимых решений, оптимум, прямые методы, решающие правила, ранжирование.
      
Multi-criteria approach to risk assessment implemented on time series of grain yields

     Annotation

     In this article a risk assessment is proposed to carry out by dint of statistical measures such as: expectation, standard deviation, asymmetry, kurtosis and variations. Multi-criterion approach to the risk assessment implemented on the example of time series of grain yield from each of six regions of the Southern Federal District of Russian Federation.
     A Pareto optimal solution making model is proposed to carry out by the direct methods implemented with decision rules as: MAXSUM, MAXMIN and “distance to the ideal point”. The result of decision rules is list of 6 regions ranked in descending degree of their attractiveness.
     
Key words: risk, multicriteriality, set of feasible solutions, optimum, direct methods, decision rules, ranging.
     
     
     
     
     В экономико-математическом моделировании риска главным является правильный выбор модели на базе имеющейся экономической информации. Это дает исследователю возможность оценить адекватно риск и выбрать наиболее эффективное решение. 
     Известно, что классическая модель оценки риска базируется на портфельной теории, предложенной Гарри Марковитца в 1952 году [11], согласно которой на множестве  допустимых решений, т.е. портфелей  определена векторная целевая функция (ВЦФ) , в которой  выражает величину ожидаемого дохода (математическое ожидание), если принимается портфель , а  выражает риск, представленный дисперсией, либо средним квадратическим отклонением (СКО). При этом критерий ожидаемого дохода стремится к максимуму , а критерий СКО стремится к минимуму, [11]. Модель портфельной теории Марковитца носит название «риск-доходность», которая утверждает, что доходы распределены нормально, поэтому наиболее вероятное значение дохода всегда совпадает с математическим ожиданием [1]. Риск портфеля обычно представляется с помощью стандартного отклонения , что является корнем квадратным из дисперсии: . Следует отметить, что в силу универсальности этой модели многие финансово-экономические задачи сводятся к портфельной теории Марковица и успешно решаются [6, 7, 8, 11]. Важность этой теории в мировой экономике была отмечена Нобелевской премией в 1990 году. 
     Известно, что теория Марковитца идеально работает в условиях развитой рыночной экономики, когда исследуемые процессы демонстрируют нормальность распределения, конечность дисперсии и неизменность матожидания. В связи с этим правомерным является вопрос адекватности модели Марковитца к непростым условиям переходного периода. Как правило, такие периоды сопровождаются резкими скачкообразными переходами из одного состояния развития общества в другое пока еще неустойчивое. Такое состояние экономики наблюдалось в России в 90-х годах, когда произошел переход от плановой экономики к свободному рынку. И в настоящее время, когда наша экономика также претерпевает очередной кризис, с введенными западными державами санкциями и ответными мерами на них. Особенно этот кризис ощущается в секторе агропромышленного комплекса (АПК).
     Производство зерна в аграрном секторе экономики растениеводства всегда занимало ведущее место, демонстрируя при этом наиболее высокие показатели. При этом важнейшим фактором, определяющим объем производства продукции растениеводства в России, является урожайность. ЮФО считается основным зернопроизводящим районом России и на его долю приходится более трети производства российского зерна [5]. В состав ЮФО включены три важнейших зерновых региона: Краснодарский край, Ростовская и Волгоградская области. Также важно отметить, что по климатическим условиям регионы ЮФО относят к зонам рискового земледелия. Так, Краснодарский край, Ростовская область, Республика Адыгея относят к градоопасным регионам, последствиями которых обычно являются интенсивные ливни и ураганные ветра. Последние в свою очередь наносят урон на растения и почву, смывая и вымывая их. В Волгоградской и Астраханской области, а также в Республике Калмыкия климат резко континентальный и засушливый, поэтому сильные засухи чреваты пожарами и в сезон могут сгубить весь урожай зерновых культур [5]. Таким образом, агроклиматические условия регионов для зон рискового земледелия, создают риск неопределенности и непредсказуемости в растениеводстве. В то же время, следует учитывать и риски, связанные с субъективными факторами, например, недостаточно высокий уровень рыночных отношений, неопытность в принятии управленческих решений руководителями хозяйствующих субъектов, отсутствие кадрового потенциала для решения задач менеджмента в системе АПК и многое другое. 
     Актуальным является для зоны рискового земледелия вопрос разработки экономико-математической модели управления рисками, с целью защиты объекта инвестирования от действия нежелательных внутренних и внешних факторов. Невозможность предсказания и оценки природных факторов порождает риски по соответствующим решениям. Безусловно, риск неразрывно связан с прогнозированием, а значит и с принятием решений вообще. 
     Следуя вышесказанному, стоит также отметить, что категории «риск» и «неопределенность» тесно связаны между собой. Проблема принятия решений в условиях неопределенности и риска порождает необходимость многокритериального подхода к оценке инвестиционной привлекательности сельхозпредприятий, находящихся на территориях рассматриваемых регионов. Для Южного Федерального округа (ЮФО) этот вопрос считается важным с точки зрения различных климатических особенностей всех шести регионов. 
     Предлагаемый многокритериальный подход к оценке риска продемонстрируем на примере временных рядов урожайности зерновых в регионах ЮФО. Основной задачей настоящей статьи является, во-первых, построение векторной целевой функции (ВЦФ) для количественной оценки риска, во-вторых, выбор из множества решающих правил (РП) [4], таких, которые приводят к решению задачи ранжирования рассматриваемых сельскохозяйственных регионов ЮФО в порядке убывания их инвестиционной привлекательности. 
     Для целей построения предлагаемой экономико-математической модели введем обозначения рассматриваемых временных рядов , , урожайности «зерновых всего» в -ом регионе, где - индекс нумерации лет рассматриваемого периода, число регионов. 
     Исходные статистические данные объемов урожайности зерновых культур взяты из сайта Федеральной службы государственной статистики: http://www.gks.ru/dbscripts/cbsd/DBInet.cgi?pl=1434006 .
     Введем следующие обозначения для этих временных рядов:
     ,  ,
     (1)
     ,  ,
     (2)
     ,  ,
     (3)
     ,  .
     (4)
     ,  ,
     (5)
     ,  ,
     (6)
     В исследуемых ВР  (1-6)  значение индекса  имеет следующее соответствие: 1 – Республика Адыгея, 2 – Республика Калмыкия, 3 – Краснодарский край, 4 – Астраханская область, 5 – Волгоградская область, 6 – Ростовская область. В этих ВР индексом  занумерованы годы календарного периода с 1990 г. по  2015 г. Графическое представление этих ВР приведено на рисунке 1 а)-е). Для каждого ВР число наблюдений составляет  уровней, при этом каждое наблюдение приравнивается к одному году и соответствует постперестроечному периоду отечественной экономики. Численные значения наблюдений  определяют объем выхода урожайности зерновых на текущий год, и измеряется в .


а)

б)

в)
 г)

д)
 е)
Рисунок 1– Гистограммы а) - е) временных рядов , 
     Экономико-математическая модель многокритериальной оптимизации основывается на известной классической модели Марковитца [1], в которой среднеквадратическое отклонение является мерой риска. Из этого следует, что в качестве первых двух критериев ВЦФ выступают математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. 
     В современной экономической теории известны следующие методы оценки риска: статистический, аналитический, экспертный. Среди них наиболее предпочтительным [12, 15] и менее трудоемким является статистический метод. Суть этого метода состоит в вероятностном анализе получения определенного дохода или потерь на базе их статистических данных [9, 10, 11]. В силу этого численные значения всех статистических показателей для каждого ВР ,  вычислены и представлены графически на рисунках 2-7 в виде плотности вероятности распределения и в виде таблицы 2.  
     Из визуализации этих гистограмм (см.рис. 2-7) следует, что все рассматриваемые ВР  ,  демонстрируют смещенные распределения относительно математического ожидания, что дает нам основания утверждать о том, что ВР (1-6) не отвечают требованиям нормального закона распределения. Поэтому использование только лишь двух параметров (математическое ожидание и стандартное отклонение) в качестве меры риска, может привести к неправильным результатам.
     



Рисунок 2 – Гистограмма плотности распределения вероятности для с левой (отрицательной) асимметрией

Рисунок 3 – Гистограмма плотности распределения вероятности для с левой (отрицательной) асимметрией 



Рисунок 4 – Гистограмма плотности распределения вероятности для с правой (положительной) асимметрией  
Рисунок 5 – Гистограмма плотности распределения вероятности для  с правой (положительной) асимметрией  




Рисунок 6 – Гистограмма плотности распределения вероятности для  с левой (отрицательной) асимметрией 
Рисунок 7 – Гистограмма плотности распределения вероятности для  с левой (отрицательной) асимметрией 
     
Таблица 2 – Численные значения статистических показателей для ВР  регионов ЮФО
           Статистические
                     показатели

Наименование 
регионов
Математическое ожидание, МО 
Среднеквадратическое отклонение, 
Вариация, 

V

Асимметрия, 

А
Эксцесс, 

Е
Республика Адыгея, 
32,17
7,54
0,23
-0,19
2,45
Республика Калмыкия, 
15,66
3,43
0,22
-0,10
2,02
Краснодарский край, 
40,56
8,81
0,22
0,11
2,47
Астраханская область, 
15,81
6,63
0,42
0,47
2,21
Волгоградская область, 
16,04
4,56
0,28
-0,25
0,83
Ростовская область, 
23,29
6,15
0,26
-0,22
2,20
     
     Автор литературы [15, стр.450] утверждает, что «…при смещенных распределениях стандартное отклонение неадекватно характеризует риск, игнорируя тем, что часть изменчивости приходится на «хорошую» (правую) или же «плохую» (левую) сторону ожидаемой доходности». В силу того, что представленные на рисунке 2 распределения, можно заметить, что все они демонстрируют смещения относительно среднего. Поэтому взяв за основу утверждение автора литературы [15] предлагается при анализе асимметричных распределений использовать в качестве меры риска не только математическое ожидание и стандартное отклонение, но и такие дополнительные статистические инструменты как коэффициент асимметрии (скоса), эксцесса и вариации. 
     Экономико-математический смысл показателей риска (,,), добавленных в двукритериальный список Марковитца [1], при неизменном математическом ожидании состоит в следующем. Во-первых, это коэффициент асимметрии  и характеризуя его, отметим, что все ВР продемонстрировали смещенное распределение. В частности отрицательную асимметрию продемонстрировали ВР , , и . Отрицательная асимметрия в терминах показателя риска означает смещение получаемого дохода в отрицательную сторону, что чревато образованием так называемого «левого хвоста», точки которого соответствуют уменьшающим доходам, т.е. возрастает риск убывания доходности, что нежелательно для лица принимающего решения (ЛПР). Объекты  и  наоборот продемонстрировали положительное смещение ожидаемого дохода не превосходящие 0,5. Экономический смысл возрастающего коэффициента асимметрии состоит в том, что растет вероятность появления высоких доходов и убывает вероятность самых низких доходов. Эту тенденцию образно называют термином «правый хвост». Из табл. 2 видно, что по показателю асимметрии самым благоприятным регионом оказалась Астраханская область , а за ней Краснодарский край , тем самым считаем, что для модели «риск-доходность» асимметрия, как показатель риска, представляется максимизируемым критерием.
     Во-вторых, это коэффициент эксцесса , характеризующий форму распределения. Из табл. 2 видно, что эксцесс не превосходит число 3 (число Вестерграда [14]). Полученные значения эксцесса для исследуемых ВР (2)-(7) продемонстрировали отклонение от своих значений, в случае нормального распределения. Самый низкий эксцесс у Волгоградской области  . Уменьшение  приводит к тому, что график плотности распределения доходности становится пологим, уменьшая при этом значения оси ординат,  и растянутым, увеличивая при этом значения оси абсцисс, тем самым эксцесс демонстрирует увеличение по ширине области значения ожидаемой доходности по обе стороны от математического ожидания. Такое поведение эксцесса означает уменьшение вероятности получить среднее значение доходности, если распределение при этом симметричное. Увеличение эксцесса  означает, что график распределения вытягивается и сужается в окрестности среднего, что возрастает вероятность получить среднюю доходность. Здесь также имеет место допущение симметричного распределения. 
     Выше представленные трактовки не могут иметь место для всех случаев плотности распределения. Она может быть пригодна для случайных вероятностных процессов, подчиняющихся нормальному закону распределения или же как минимум для распределений без признаков «лептоэкцесса», т.е. численные значения статистических показателей которых лежат в интервале  [2, 3, 4]. Из всего выше представленного следует, что критерий эксцесса является максимизируемым.
     В-четвертых, это коэффициент вариации , который характеризует уровень колеблемости признака и является относительной мерой риска - измеряется либо в процентах %, либо в долях в интервале от 0 до 1. Вариация для каждого объекта не превосходит 0,5. Чем выше вариация, тем выше риск неполучения запланированной доходности, чем меньше вариация, тем высока вероятность получения средней величины доходности. Временные ряды , , , , демонстрируют в основном вариацию   и соответствуют малому риску, потому их можно отнести в зону минимального риска. Высокую колеблемость (больше 40%) демонстрирует только ВР  Астраханской области. Это значит, что данный объект в большей степени подвержен экономическому риску, например, недополучения дохода в виде среднего. Таким образом, в экономико-математической многокритериальной модели вариация представляет собой критерий, который минимизируется.
     Из выше проведенной характеристики статистических показателей риска предлагается дополнить известную двукритериальную модель Марковитца  критериями эксцесса, асимметрии и вариации. В этом случае многокритериальная модель оценки риска выглядит следующим образом:
, 
    (7)
     Приведем все математические формулы, лежащие в основе каждого критерия, т.е. показателей риска из ВЦФ (7), взвешенная вероятностями , ,  ,  с которыми могут быть получены прогнозируемые объемы урожайности в указанных регионах .
     - математическое ожидание объема урожайности зерновых в регионе ;
     - среднеквадратическое отклонение урожайности в регионе;
     - показатель вариации ожидаемой урожайности в регионе.
     - показатель асимметрии;
     - показатель эксцесса.
     Для каждого конкретного объекта  инвестирования (регионы ЮФО) сумма вероятностей ожидаемого дохода . 
     Численные значения критериев ВЦФ (7) определены на множестве , состоящем из шести регионов ЮФО. 
     Решение многокритериальной задачи предполагает найти не одно, а множество парето-оптимальных решений, после которого лицо принимающее решение (ЛПР) осуществляет выбор наиболее целесообразного варианта. Известно, что к настоящему времени универсальных методов решения задач многокритериальной оптимизации не существует. В литературе [4] представлены различные подходы к их решению. Наиболее популярными и приспособленными для практического использования считаются, так называемые  «прямые методы», в которых вид зависимости ВЦФ задается без теоретических основ, а параметры этой зависимости либо также задается, либо «впрямую», либо непосредственно оценивается ЛПР [4, 9, 11, 13]. Суть прямых методов состоит в том, что общая полезность альтернативы оценивается с помощью некоторой функции от численных значений критериев ВЦФ. Термин «функция» означает систему правил, с помощью которых элементы паретовского множества ранжируются в порядке убывания их полезности [11, 13], и эту функцию в теории принятия решений называют решающим правилом (РП). Ранжирование регионов по убыванию степени их полезности осуществляется в соответствии с принципом Парето, согласно которому достаточно ограничиться выбором из ПМ , и никакой элемент  не может претендовать на роль наилучшего выбора; если пара элементов  эквивалентна по значению ВЦФ (7): , то полезность  и  также одинакова. Для окончательного решения конкретной задачи достаточно получить и рассмотреть ее полное множество альтернатив (ПМА): .
     Ранжирование объектов  инвестирования осуществляется на базе обобщенного решающего правила (ОРП), алгоритмы которого развиты и подробно представлены автором монографии [11]. В основе идеи ОРП лежит утверждение о том, что некоторая система РП  более адекватно оценивает относительную полезность сравниваемых альтернатив. В настоящей статье система РП состоит из трех решающих правил: линейная свертка критериев вида MAXSUM (или MINSUM), РП MAXMIN (или MINMAX), его еще называют термином «оценка по наихудшему» и РП «расстояние до идеальной точки».
     Использование ОРП требует, чтобы все критерии ,  (7) были а) однонаправленными, т.е. имели один и тот же вид экстремума, и б) имели одну и ту же единицу измерения (условие соизмеримости). 
     Полученная, в результате статистического исследования ВР урожайности зерновых ВЦФ (7) состоит из разнонаправленных критериев: математическое ожидание, асимметрия и эксцесс стремятся к максимуму, а  среднеквадратическое отклонение и вариация стремятся к минимуму, что свидетельствуют о невыполнении условия однородности экстремумов. Нарушается также условие соизмеримости конкурирующих альтернатив, т.е.  и  определяют собой объем выхода урожайности зерновых и измеряется в , а критерии ,, асимметрии, эксцесса и вариации соответственно являются коэффициентами. В результате из этого следует, что  критерии ВЦФ (7) не могут быть просто объединены в один общий вектор. В связи с этим на данном этапе для отдельных критериев ВЦФ (7), необходимо выполнить подходящие преобразования. В работе [11] представлены несколько подходов для достижения желаемой однородности и соизмеримости критериев. Исходя из постановки задачи и экономического смысла ВЦФ (7) в отношении  двух критериев  и  соответственно СКО и вариации ожидаемой урожайности выполним следующую операцию нормирования, на базе формулы, представленной в источнике [11]: 
, ,
(8)
где  - представляет собой эффективные значения максимизируемых критериев , которое объект достигает на своем оптимальном решении. Нормированная величина (8) выражает значение  в долях от величины оптимума . Таким образом, ВЦФ составленная из нормированных максимизируемых критериев, будет полностью удовлетворять вышеуказанным условиям а) и б).   
     Для каждого из критериев и  по формуле (8) вычисляем  при . Тогда получим, что для  , а для  критерия  это число равно . Далее, используя формулу (8), получаем значения критериев СКО и вариации в нормированном или удельном виде, обозначенные соответственно  и . В результате проведенных вычислений векторная целевая функция, состоящая только из максимизируемых критериев принимает вид (9):
, , .
     (9)
     Результаты преобразований сведем также в таблицу 3 с указанием «идеальных точек», которые определяют собой точки максимума, соответственно для каждого из критериев  ВЦФ (9).  Следует отметить, что ВЦФ (9) удовлетворяет всем условиям решения многокритериальной задачи.

Таблица 3 – Численные значения критериев рисковых показателей после 
нормирования   и значением  
Наименование регионов ЮФО
, 
Критерии рисковых показателей






Республика Адыгея, 
32,17
0,13
4,35
-0,19
2,45
Республика Калмыкия, 
15,66
0,29
4,55
-0,10
2,02
Краснодарский край, 
40,56
0,11
4,55
0,11
2,47
Астраханская область, 
15,81
0,15
2,38
0,47
2,21
Волгоградская область, 
16,04
0,22
3,58
-0,25
0,83
Ростовская область, 
23,29
0,16
3,83
-0,22
2,20
Идеальные точки (max)
40,56
0,29
4,55
0,47
2,47
     
     Итак, к множеству объектов  применим ОРП: 
     1. РП MAXSUM  представляет собой полезность целого как сумму полезностей его составляющих [11]. При этом каждый из критериев (9) имеет свой вектор  относительной важности , .  Если каждый критерий отвечает двум условиям а) и б), то РП взвешенной суммы определяется линейной сверткой критериев
.
(10)
     2. РП MAXMIN (MINMAX) или «оценка по наихудшему»:
,
.
  
 (11)
     3. РП «расстояние до идеальной точки». Для него вводятся следующие обозначения: , , , представляющие собой идеальные точки в критериальном пространстве  где  , соответственно для и . Тогда расстояние от  до «идеальной точки»  имеет вид Евклидова расстояния и определяется формулой (11):
.
    (11)
     Проведенные расчеты ранжирования регионов ЮФО по убывающей полезности, а значит по увеличению риска потерь вложений в объект растениеводста, представлены последовательностью . Такое ранжирование регионов по степени рискованности инвестирования позволяет принимать экономически обоснованное управленческое решение по улучшению инвестиционного климата в отдельных регионах.
     
     Список литературы
1. Markowitz H.M. Portfolio Selection, Journal of Finance 7, 1952.
2. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 368 с.
3. Бланк И.А. Управление финансовыми рисками. – К.: Ника-Центр – 2005. – 600 с.
4. Емельянов С.В., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений. – М.: Знание, 1985. – 32 с.
5. Игнатов В.Г., Бутов В.И. Южная Россия и ее регионы. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов н/Д: Издательский центр «Март», 2006.- 304
6. Качалов Р.М. Управление экономическим риском: теоретические основы и приложения. – М.: СПб.: Нестор-История, 2012.– 248 с.
7. Коссов В.В., Лившиц В.Н., Шахназаров А.Г. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов – М.: ОАО «НПО» Изд-во «Экономика», 2000. – 421с.
8. Москвин В.А. Управление рисками при реализации инвестиционных проектов. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 352 с.
9. Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебное пособие / А.И.Орлов.-М.: Изд-во «Экзамен», 2005. – 656 с.
10. Орлов А.И. Современное состояние контроллинга рисков. Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс].- Краснодар , №98(04), 2014. http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/03.pdf
11. Перепелица В.А., Попова Е.В. Математические модели и методы оценки рисков экономических, социальных и аграрных процессов. – Ростов-на-Дону: Издательство Ростовского университета, 2002. – 208 с.
12. Серекин А.Б., Шуметов В.Г. Управление хозяйственным риском производственных систем / Под общ. ред. В.Г. Шуметова. – Орёл: Издательство ОГАРС, 2008. – 123 с.
13. Фишберн П.С. Теория полезности для принятия решения. – М.: Наука, 1978. – 298 с.
14. Хозяйственный риск и методы его измерения: Пер. с венг./ Бачкаи Т., Месена Д., Мико Д. и др. – М.: Экономика, 1979. – 184 с.
15. Шапкин А. С., Шапкин В.А. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций: Учебник.– М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2005. – 880 с. 



1


.......................