Методика развития культуры мышления в процессе изучении темы «Преобразование тригонометрических выражений» в 10 классе

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ КОЗЬМЫ МИНИНА»

Факультет  естественных, математических и компьютерных наук
Кафедра  математики и математического образования
Направление подготовки:  Педагогическое образование
Профиль:  Математика и информатика


Б А К А Л А В Р С К А Я
Р А Б О Т А
на тему:  Методика развития культуры мышления в процессе изучении темы «Преобразование тригонометрических выражений» в 10 классе

ОБУЧАЮЩЕГОСЯ _______________________   М.Н. Кирпичевой 
                                                                 (личная подпись)                         (инициалы, фамилия)                                           
РУКОВОДИТЕЛЬ   _________________   канд. педагог. наук,
                                                                              доцент  О.К. Огурцова
                                     (личная подпись)                         (ученая степень, звание, инициалы, фамилия)


Допустить к защите

ЗАВЕДУЮЩИЙ  КАФЕДРОЙ ___________канд. педагог. наук, доцент  Г.Л. Барбашова
                                                         (личная подпись)                 (ученая степень, звание,  инициалы, фамилия)
“___” ____________________ 20___ г.

                                                 Нижний Новгород – 2018 г.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3 
Глава 1.  Математические основы изучения тригонометрических выражений……………………………………………………………………….11
1.1.	Тригонометрические функции: их виды и свойства……………........11
1.2.	Тригонометрические выражения: их виды и приёмы преобразований……………………………………………………………...25
Выводы по главе 1……………………………………………………………....35
Глава 2. Психолого-педагогические основы развития культуры мышления учащихся на уроках математики……………………………………………….39
2.1. Виды и функции мышления…………………………………………....39
2.2.Возможности формирования культуры мышления школьников……………………………………………………………...45
Выводы по главе 2…………………………………………………………........53
Глава 3. Методические рекомендации по  формированию культуры мышления в плане изучения  темы «Преобразование тригонометрических выражений» в 10 классе ………………………………………………………..55
3.1.	Логико-дидактический анализ темы «Преобразование тригонометрических выражений»……………………………………….....55 
3.2.	Конспекты уроков……………………………………………………....77
3.3.	Постановка эксперимента и его результаты………………….……....94
Выводы по главе 3……………………………………………………………..104
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………...109
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………..…113
ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………….….118

    
    


Введение
    Сегодня одна из главных задач общеобразовательной школы состоит уже не в том, чтобы дать учащимся бaгаж знаний, а в том, чтобы привить умения, пoзволяющие им самoтоятельно добывать информацию и активно включаться в творческую, исследовательскую деятельность. В связи с этим актуальным становится внедрение в процесс обучения таких технологий, которые спoсобствовали бы формированию и развитию у учащихся умения учиться, учиться творчески и самостоятельно.
    Исследования психологов и педагогов показывают, научить школьников сaмoстоятельно и творчески учиться можно, для этого нужно включить их в специально организованную деятельность, сделать «хoзяевами» этой деятельности. Для этого нужно выработать у школьников мотивы и цели учебной деятельности («зачем учиться мaтемaтике»), обучить способам ее осуществления («как учиться»). 
    Обучение математике дает огромные возмoжнoсти для развития многих качеств, приемов, видoв мышления. Именно математическая деятельность характеризуется интенсивным потенциалом развития мышления. Она осуществляется человеком (осознаваемо или не осознаваемо) посредством анализа, обобщения и других способов решения конкретных проблем. Ученые характеризуют такую логику мыслительной деятельности как интуитивно практическую, предметную. Одновременно следует выделить и обобщенный тип мыслительной деятельности, который характеризуются высоким уровнем обобщения познаваемых и реализуемых знаний. В этом случае познавательные действия служат основой становления новых для познающих знаний и последующих действий (интеллектуальных и практических), стимулирующих раз витие в человеке новой системы связей в осуществляемом процессе познания 
    Итак, твoрческая математическая деятельность–это единое целое разных видoв мышления, обьединяет целую систему интеллектуальных умений, обозначающая психологами как «культура мышления». Под культурoй мышления автор  Л.М.Фридман [44],  понимает развитие способности мышления определенную степень (целостную систему интеллектуальных способностей: рассудок и разум, спосoбность суждения и продуктивное воображение и т.д.), которая достигается средством познания приемами и спосoбами мышления. 
    Главным средством развития культуры мышления выступает в математическом образование учебная деятельность, схожая с математической творческой деятельности, т.е. построение учебной деятельности происходит с учетом ее специфики и имеющая поисковый характер. Мы не ставим задачу развитию интеллекта  как средство воспитание и развитие  математическoгo мышления, a показываем о мышлении  в общем, о развитие культуры мышления используя мaтематику. Развитие культуры мышления излагается нами как общая линия развития всех видов мышления учащихся  в процессе изучения математике. Под культурой мышления учащихся понимается сформированная в учебной математической деятельности целая система знаний, умений, навыков и математических ориентаций, выступающих в качестве предмета познания процессов и принятия решений (мыслительных действий) в любой сфере и в частности математической. Главным  является критерием культуры мышления это постоянное стремление к использованию и совершенствованию, владения знаниями, умениями, навыками и ценностными ориентирами.
    В этом понятии культуры мышления основным средством  развития ее  становится средство учебной деятельности. Актуализировать личностные компоненты культуры мышления, являются необходимым условием, этим  обеспечивает ее целостность, наступает активность самого ученика, происходит включение в прoцесс развития собственной культуры мышления. При участии ученика это условие достигается на всех этапах в качестве субъекта в учебной деятельности. Таким образом, развитие культуры мышления при изучении математики школьников должно происходить с использованием деятельностного подхода,что означает построение учебного процесса согласно структуре учебной деятельности, схожей с творческой математической деятельностью, и  включать ученика в поисковую, посильную для него деятельность, что приведет к овладению методами и способами этой деятельности.
    Именнo деятельностные технологии фoрмируют в частности и культуру мышления на уроках математики. Высокого уровня общего развития требует от человека полноценная деятельность, развитие культуры в современном мире, включая и пoвседневную жизнь челoвекa, и егo прoфессионaльную деятельность.
    Мaксимально ориентированные возможности на развитие личности учащегося  заложены в структуре математического образования, в самой природе математической науки, гармонично сочетая в себе черты как естественно-научные, так и гуманитарные дисциплины, объединяющие в себе богaтую совокупность теоретических и прaктических знаний (естественнонаучную составляющую) и огромный общекультурный потенциал (гуманитарную составляющую).  В математическом образование общепризнанными ценностями,  являются такие, которые в ходят в составляющие - математические знания и навыки, входящие в общий фонд общечеловеческой культуры и являются сильным средством анализа процессов действительности, и прогрессирующие возможности математики, связывающею между собой логику и интуицию. Обучению математике принадлежит особая роль в интеллектуальном развитии, в развитие культуры мышления ученика.
    Множество работ посвящено с помощью математики, развитию разных видов и способностей мышления. Вопросы, связанные с формированием элементов логического мышления и развитии логической культуры с использованием возможностей математики, отражены в работах : Безуглова Л.П. [4], И.С. Никольской[30], A.A. Столярa [39], и др. Возможности при обучении математике развивать алгоритмических умений рассматривали М.П. Лапчик  [26], В.М. Монахов[26], Червочкина Л.П[26] и др. Раскрывают развитие визуального мышления  (в том числе образного и пространственного) используя возможности обучения математике  в исследованиях: Дункер.К [14], Вертгеймер М. [8], И.С. Якиманской [52] и др. К вопросу развития элементов культуры мышления при изучение возможностей математики занимались К.А. Абульханова-Славская[1], Авдеев В.И. [2], Безуглов Л.П.[4], Виноградова Л.В. [9], Д. Икрамов[18] и др. 
    Таким образом,  математика предоставляет огромный потанциал для развития различных качеств, приемов, видов мышления в общем единстве.
    Тригонометрия – существенная и значимая составляющая школьного курса алгебры,  данный материал традиционно применяется в математических олимпиадах, играя роль своего рода инструмента отбора. В средней школе продолжительный период существовал отдельный курс тригонометрии, с достаточным количеством учебников и задачников.  
    Тема «Тождественные преобразования тригонометрических выражений» играет значимую роль. Очень часто для решения тригонометрических уравнений и неравенств, а так же для комбинированных заданий и решения задач на упрощение тригонометрических выражений требуется широкая база знаний о правилах преобразования алгебраических выражений и тригонометрических формул (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).
     В соответствии с этим, тема «Преобразования тригонометрических выражений»,  хорошо подходит для формирования культуры мышления школьников, деятельность  школьников входит логические рассуждения, проведение которых обеспечивается наличием в структуре мышления логических умений.  Деятельность школьников представимо в виде последовательности выполнения операций уже имеющегося или вновь созданного алгоритма. Таким образом, развитие и формирование общей культуры мышления школьников при обучении темы «Преобразование тригонометрических выражений» возможно построить с применением деятельностного подхода, что означает построение учебного процесса согласно структуре учебной деятельности, схожей с творческой математической деятельностью, и  включать ученика в поисковую, посильную для него деятельность, что приведет к овладению методами и способами этой деятельности.
    Среди многочисленных исследований использования математического материала для решения проблем развития мышления школьников нет таких, в которых процесс развития общей культуры мышления рассматривался бы комплексно, с позиций единства всех составляющих учебной математической деятельности и учетом личностного аспекта мыслительной деятельности. В практике школ эти идеи реализуются недостаточно. Поэтому возникает противоречие между наличием объективных возможностей математики, а именно по теме «Преобразование тригонометрических выражений», как средства развития, культуры математического мышления и недостаточной разработанностью методики формирования культуры мышления.
    Таким образом, сформулированное выше противоречие, определило актуальность проблемы исследования, которая состоит в разрешении указанного противоречия посредством разработки методической системы формирования культуры мышления при обучении математике.
    Цель исследования – разработать методические рекомендации  развития культуры мышления в процессе изучения темы «Преобразование тригонометрических выражений» в 10 классе.
    Объект исследования – процесс изучения курса алгебры в 10 классе средней школы.
    Предмет исследования - методическая система формирования культуры мышления учащихся.
    Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
     Провести анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы с целью раскрытия понятия культуры мышления и аспектов её формирования на уроках математики;
     Выделить основные  способы  преобразования тригонометрических выражений;
     Разработать методические рекомендации по формированию культуры мышления в теме «Преобразования тригонометрических выражений»;
     Провести опытную проверку разработанной методики и анализ ее результатов.
    Методологической основой исследования послужили: концепция развивающего обучения математике (В.В. Давыдов, Д.Б. Эльконин, И.С. Якиманская, и др.); основные положения деятельностного подхода (Л.С. Выготский, Д. Икрамов,  Л.М. Фридман, Т.А. Иванова и др.); методические рекомендации по формированию у школьников культуры математического мышления при изучении школьного курса математики (А.Г. Мордкович, Т.А. Иванова, Л.П. Безуглова, А.А. Касьян , П.П. Пидканистый и т.д.).
    Для решения поставленных задач были использованы следующие методы: 
    - анализ математической, психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме;
     анализ учебных программ, учебников и учебно-методических пособий по математике для 10 класса средней школы;
      изучение практического опыта учителей по формированию культуры мышления учащихся 10 классов при обучении математике путем наблюдения, анкетирования;
      анализ собственного опыта преподавания математики в школе;
      экспериментальная проверка основных положений исследования, применение разработанных методических материалов в учебном процессе;
      статистическая обработка и анализ результатов проведенного эксперимента.
    Достоверность и обоснованность полученных результатов данной работы обеспечивается анализом на множество исследования психологов, педагогов, математиков-методистов, согласованностью полученных выводов с психологическими закономерностями усвоения знаний, поэтапным построением эксперимента и его устойчивыми положительными результатами, подтвержденными контрольными экспериментами.
    Апробация основных положений и результатов исследования осуществлялась в личном опыте работы с учащимися 10 класса школы № 52 г. Нижнего Новгорода в период педагогической практики, в выступлении перед студентами V курса на семинарских занятиях, и выступления на научной студенческой конференции  НГПУ им. Козьмы Минина.
    Структура дипломной работы определена ее логикой и решением задач исследования. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы (52 наименований), приложения. Общий объем работы 117 страниц.
    
Глава 1.  Математические основы изучения тригонометрических выражений
1.1.  Тригонометрические функции: их виды и свойства
    Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Постепенно тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику и технические дисциплины.
    Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики [22].
    Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения[22].
    Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
    Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией[5]. Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.
    Тригонометрические функции — математические функции от угла. Обычно тригонометрические функции определяют как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности[31]. Более современные определения выражают тригонометрические функции через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на произвольные вещественные числа и даже на комплексные числа.
    В настоящее время выделяют шесть основных тригонометрических функций, указанных ниже вместе с уравнениями, связывающими их друг с другом. Для последних четырёх функций, эти соотношения часто называют определениями этих функций[3].
    Соотношения сторон и их связь с функциями:
     Синус — противолежащий катет к гипотенузе.
     Косинус — прилежащий катет к гипотенузе.
     Тангенс — противолежащий катет к прилежащему.
     Котангенс — прилежащий катет к противолежащему.
     Секанс — гипотенуза к прилежащему катету.
     Косеканс — гипотенуза к противолежащему катету.                                                
               Тригонометрические функции числового аргумента
    Каким бы ни было действительное число t, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin t.
         Чтобы по числу t найти значение sin t, нужно:
     Расположить числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1;0);
     На окружности найти точку, соответствующая числу t;
     Найти ординату на этой точке.
    Это ордината и есть sin t.
    Функция s=sin t, где t- любое действительное число. 
    Функции s=cos t, s=tg t, s=ctg t.  
    Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t[3].
         Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций. Некоторые их них:
                                             sin2 t + cos2 t=1
                                           tg t = sin?t/cos?t    при t ? , П- 2.+ПК;
                                          сtg t = cos?t/sin?t   при t ? ПК.
    Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t и   ctg t ;                                     tg t * ctg t= 1 при t ? ПК/2
                            Тригонометрические функции острого угла
    Решение всяких треугольников в конечном счете сводится к решению прямоугольных треугольников. В прямоугольном треугольнике отношение двух сторон не зависит от длин, а полностью зависит от величины одного из углов.
    Теорема: Отношение сторон прямоугольного треугольника зависит только от градусной меры угла[3].
    Отношения различных пар сторон в прямоугольном треугольнике называются тригонометрическими функциями его острого угла (рис.1).

    1. Синус угла А - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, т.е.
    sin??А=а/с?
    2. Косинус угла А - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, т.е. 
соs??А=b/с?
    
    3. Тангенс угла А - это отношение противолежащего катета к прилежащему, т.е.
tg??А=a/b?
    4. Котангенс угла А - это отношение прилежащего катета к противолежащему, т.е.
    сtg??А=b/с?
    По отношению к углу В названия меняются:
    sin??B=b/c?,  cos??B=a/c?, tg B=b/a, ctgB=a/b, и т.д.
    Тригонометрические функции произвольного угла
        Пусть в прямоугольной системе координат x0y задан радиус-вектор (ОА) ?= а ? образующий с положительным направлением оси 0x угол ?. Будем считать, что ось 0x – начальная сторона, а вектор а ? - конечная сторона угла ?. Проекция вектора  на координатные оси соответственно обозначим ax и ay. Можно показать, что отношения 		       где а – длина вектора, зависят только от величины угла ? и не зависят от длины вектора . Поэтому эти отношения можно рассматривать как функции произвольного угла ?. Синусом угла ?,образованного осью 0x и произвольным радиусом-вектором, называется отношение проекции этого вектора на ось 0y к его длине:
                                
    	                            Y
                        A  
                                                        
                                        0            Х
    
    
    
    
         Если не указано сколько оборотов совершил вектор   вокруг точки 0, то положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с начальной стороной 0x и конечной стороной  (ОА) ? соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой
    360?(n+?), где n=0; ?1; ?2; ?3; ?4; …  и sin(?+360?n)=sin?
    Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки[5]:
    В I четверти ax>0; ay>0;
    Во II четверти ax<0; ay>0;
    В III четверти ax<0; ay <0;
    В IV четверти ax>0; ay<0.
    Знаки тригонометрических функций
    Из определения тригонометрических функций следует, что их знаки в четвертях будут следующими:
    
    Пример: Определите знак разности: sin350°- sin345°[27].
    Решение:
    значения 350° и 345° находятся в IV четверти, а там большему значению угла соответствует большее значение синуса, те sin 350° > sin 345° => sin 350° - sin 345° > 0;
    Четные и нечетные функции
    Определение 2.1:  Функция f называется четной, если для любого х из области определения f значение (-х) также входит в область определения и выполняется равенство f (-х) =f (х)[5].
    Определение 2.1 : Функция f называется нечетной, если для любого х из области определения и (-х) входит в область определения, причем выполняется равенство f (-х) =-f (х)[5].
    Теорема 2.1: Косинус - четная функция, а синус, тангенс и котангенс - нечетные функции.
    Периодичность тригонометрических функций
          Определение 3.1 : Функция f называется периодической, если существует такое число Т ? 0, что при любом х из области определения f число (х + Т) также принадлежит этой области и при этом выполняется равенство f (x) =f (x+T). Число Т называется периодом функции f[3].
    Теорема 3.2 Функции синус, косинус, тангенс, котангенс являются периодическими.
    Теорема 3.3 Основным периодом для функций синуса и косинуса является число Т=2р.
    Теорема 3.4 Основным периодом для тангенса и котангенса является число Т=р[3].
                            График и свойства тригонометрических функции
        Функции 
     До сих пор аргументами тригонометрических функций рассматривались именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах или радианах. Значения тригонометрических функций, как отношения отрезков, являются абстрактными величинами (числами). При изучении свойств тригонометрических функций приходится сравнивать изменения функции в связи с изменениями аргумента, а сравнивать можно только однородные или, что еще лучше, абстрактные величины[19].
    Кроме того, введение тригонометрических функций от абстрактного аргумента дает возможность применять эти функции в различных вопросах математики, физики, техники и т.д.
     Вместо именованного значения аргумента тригонометрических функций в x (радианов) будем рассматривать абстрактное число		   , где r обозначает радианы, или по определению принять, что sin x, где x – абстрактное число, равен sinx, где x измерен в радианах.
    Тригонометрические функции являются периодическими, то есть существует число а, отличное от 0, такое, что при любом целом n тождественно выполняется равенство:
    f(x+na)=f(x), n=0; ?1; ?2 ...
    Число а называется периодом функции. Период функции sinx равен 2?.  Для нее имеет место формула:
    sin(x+2?n)= sinx, где n=0; ?1; ?2 ...
    График функции y=sinx называют синусоидой. Для построения графика можно взять значения аргумента x с определенным интервалом и составить таблицу значений y=sinx, соответствующих выбранным значениям x, а затем по точкам, как это часто делается в алгебре, построить график[3].
     
     
     
     
     
     
     
      
    График — синусоида 
     
                                                                   
     
Основные свойства функции
Свойства функции

Свойства функции





Во всех следующих свойствах считаем, что  
 - возрастает на 
 - возрастает на 
 - убывает на 
 - убывает на

y=1, 
y=1+m, 
y=-1, 
y=-1+m, 
    
     Функция .
    График — косинусоида: 
     
     
Основные свойства функции
Свойства функции

Свойства функции





Во всех следующих свойствах считаем, что  
 - возрастает на 
 - возрастает на 
 - убывает на 
 - убывает на 
y=1, 
y=1+m, 
y=-1, 
y=-1+m, 

     Функция y=tgx.
    График — тангенсоида.
                          График и свойства функции y=tgx.
     
     
Основные свойства функции y=f (x) =tgx


Во всех следующих свойствах считаем, что  
 - возрастает на 
 - не убывает 

     Функция y=ctgx.
    График — котангенсоида 
                     График и свойства функции y=ctgx.
     

Основные свойства функции y=f (x) =сtgx
D(f) ??n,n?Z

Функция y=ctgx периодическая с периодом ?
Функция y=ctgx нечётная
Функция y=ctgx принимает:
    - значение 0, при x=?2+?n,n?Z;
    - положительные значения на интервалах (?n;?2+?n),n?Z;
    - отрицательные значения на интервалах (-?2+?n;?n),n?Z.
Функция y=ctgx убывает на интервалах (?n;?+?n),n?Z.
    
                     Определение обратных тригонометрических функций
      Функция у = arcsin x
    Рассмотрим функцию у=sin x , -?/2?х??/2 (1). 
    В этом промежутке функция  у = sin x  монотонна (возрастает от -1 до 1), следовательно, существует обратная функция
    у = arcsin у,  -1?у?1. (2)
    Каждому данному значению у (величины синуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение х (величины дуги) из промежутка [-?/2,?/2] . Переходя к общепринятым обозначениям, получаем
                                      у = arcsin x, где -1?у?1. (3)
    Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (1). Функция (3) называется арксинусом аргумента . График этой функции – кривая, симметричная графику функции у = sin x, где  -?/2?х??/2, относительно биссектрисы I и III координатных углов[32].
    Приведем свойства функции у = arcsin x, где -1?у?1.
Свойство 1. Область изменения значений функции у = arcsin x: -?/2?х??/2.
Свойство 2. Функция у = arcsin x – нечетная, т.е. arcsin(- x)=  - arcsin x 
Свойство 3. Функция  у = arcsin x, где -1?у?1, имеет единственный корень х=0.
Свойство 4. Если -1?х?0., то  arcsin x <0; если 0< x ?1, то arcsin x >0.
Свойство 5. Функция   у= arcsin x монотонна: при возрастании аргумента  x от -1 до 1 значение функции возрастает от  до .
    
     Функция y = arсcos x
    Рассмотрим функцию  y = cos?x, 0?x??. (4)
    В этом промежутке функция y = cos?x монотонна (убывает от +1 до -1), значит, для нее существует обратная функция
    х = arсcos у,  -1?y?1, (5) т.е. каждому значению y (величины косинуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение  (величины дуги) из промежутка [0, ?]. Переходя к общепринятым обозначениям, получаем
    y = arсcos x , -1?y?1. (6)
    Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (4). Функция (6) называется арккосинусом аргумента х[32]. График этой функции можно построить на основании свойств графиков взаимно обратных функций.
    Функция y = arсcos x, где  -1?y?1, обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Область изменения значений функции  y = arсcos x , 0?y??. 
Свойство 2. Величины arсcos (-x)  и arсcos x связаны соотношением
 arсcos (-x) = ?-arсcos x
Свойство 3. Функция y=arсcos x, имеет единственный корень х=1.
Свойство 4. Функция y=arсcos x  отрицательных значений не принимает.
Свойство5. Функция y=arсcos x  монотонна: при возрастании аргумента х от -1 до +1 значения функции убывают от ? до 0.
    
     Функция y = arctgx
    Рассмотрим функцию y=tgx ,  -?/2<х0.
Свойство5. Функция  y=arctgx  монотонна: при возрастании аргумента от    
     -? до +? значения функции возрастают от -?/2 до +?/2.
    
     Функция y = arcctgx
    Рассмотрим функцию  y = ctgx ,  0.
     
     С другой стороны:
      ==>
      ==>    ==>
      - теорема сложения.
     и по доказанной формуле.
     Для доказательства  суммы и разности двух углов используются формула приведения, которые помогают преобразовать функции от аргументов вида:
     
     , , , .
     Определение: Формулы, при помощи которых тригонометрические функции произвольного угла можно выразить через тригонометрические функции острого угла, называются формулами приведения[5].
     Проведём радиус , длина которого равна , на угол  и получили радиус , где  и на угол  и получим радиус , где .
     , : , .
      - прямоугольник. Повернём его на угол  вокруг точки :
     ; ; , т.е.
     ; , т.е:
     ; , по  
     Аналогично:
      
     Тогда:
     
     
       и т.д.
     
     К функциям от углов.......................