Методика изучения темы правильные многоугольники в 9 классе

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ КОЗЬМЫ МИНИНА»



Факультет Естественных, математических и  компьютерных наук 

Кафедра  Математики и математического образования 

Направление подготовки Педагогическое образование

Профиль Математика и информатика









Б А К А Л А В Р С К А Я

  Р А Б О Т А





на тему:  «Методика изучения темы правильные многоугольники в 9 классе»



ОБУЩАЮШЕГОСЯ   _____________________   К.А. Гаранина 

                                                             (личная подпись)                (инициалы, фамилия)

РУКОВОДИТЕЛЬ      _____________________   доцент, кандидат педагог. наук 

                                                                                  О.К. Огурцова

                                                              (личная подпись)                (ученая степень, звание, инициалы, фамилия)







Допустить к защите



ЗАВЕДУЮЩИЙ  КАФЕДРОЙ   ____________доцент, кандидат педагог. наук 

                                                                                          Г.Л. Барбашова

                                                                                  (личная подпись)      (ученая степень, звание,  инициалы, фамилия)



“___” ____________________ 20___ г.











Нижний Новгород – 2017 г.

Содержание

	ВВЕДЕНИЕ	3

	ГЛАВА I. Математические основы изучения правильных многоугольников.	11

	1.1. Понятие правильного многоугольника	11

	1.2. Свойства правильных многоугольников	14

	Выводы по I главе.	20

	ГЛАВА II. Психолого-педагогические основы конструирования современного урока по математике	22

	2.1. Понятие современного урока	22

	2.2. Основные характеристики и особенности современного урока	25

	2.3. Система требований к современному уроку	29

	Выводы по II главе	43

	ГЛАВА III. Методические рекомендации по проектированию и проведению уроков по изучению темы «Правильные многоугольники» в 9 классе	47

	3.1. Логико-дидактический анализ темы «Правильные многоугольники»	47

	3.2. Конспекты уроков	70

	3.3. Постановка эксперимента и его результаты	89

	Выводы по III главе	96

	Заключение	100

	Список литературы:	103

















ВВЕДЕНИЕ

Целью современного образования является развитие личностных, творческих качеств ученика, формирование универсальные учебные действия необходимые ему для включения в социально значимую деятельность. В свою очередь, цели обучения математике определяются ее ролью не только в развитии общества, но и в формировании личности каждого отдельного человека:

1. Овладение всеми элементами мышления и деятельности, которые наиболее ярко проявляются в математической ветви человеческой культуры и которые необходимы каждому для полноценного развития в современном обществе.

2. Создание условий для зарождения интереса к математике и развития математических способностей.

В итоге цели школьного математического  образования обусловлены целями обучения математики:

овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;

формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;

формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Содержание общего современного математического образования, соответствующее целям, состоит из следующих компонентов:

1. Предмет и метод математики, ее ведущие идеи и понятия, математический язык, связь с другими науками и практикой, математическое моделирование

2. Процесс познания в математике

3. Специфика творческой математической деятельности как сплав интуиции и логики

4. Методы научного познания

5. Эстетика математики

6. Культура мышления

7. История математики

8. Информационный компонент

Содержание математического образования включает следующие содержательные линии: арифметика, алгебра, геометрия, элементы математического анализа, комбинаторики, теории вероятностей и статистики.

Геометрия один из важнейших компонентов математического образования. Она необходимая для приобретения учащимися конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, для эстетического воспитания учащихся.

В курсе геометрии VII-IX классов систематически изучаются геометрические фигуры на плоскости, причем большое внимание уделяется многоугольникам, в частности правильным многоугольникам. Этот раздел школьного курса геометрии выполняет определенные мировоззренческие функции. В процессе его рассмотрения ученики знакомятся с историей отдельных вопросов, узнают об их месте и роли в практической деятельности человека – архитектура, паркетный пол, правильные тесселляции, лоскутные полотна.  Правильные многоугольники встречаются в природе. Один из примеров – пчелиные соты, которые представляют собой многоугольник, покрытый правильными шестиугольниками. 

Вместе с тем при изучении правильных многоугольников идет формирование знаний, умений и навыков, необходимых для изучения смежных дисциплин: физики, черчения, трудового обучения и др. Изучение в курсе планиметрии свойства и признаки правильных многоугольников находят широкое применение в курсе стереометрии.

Вопросами изучения данной темы в школьном курсе геометрии занимались В.В.Шлыков, Н.В.Гвоздович, Т.П. Кубеко, Н.М Рогановский, Г.Н. Солтан, Л.С. Атанасян и др[7,8,9,10,32,6].  Данные авторы достаточно подробно рассматривают теоретический материал: правильный многоугольник, формула для вычисления угла правильного угольника, окружность, описанная около правильного многоугольника, окружность, вписанная в правильный многоугольник, центр правильного многоугольника, формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности, практическое применение правильных многоугольников. Однако, следует отметить, что построение различных правильных многоугольников представлено недостаточно, либо авторы предлагают это на самостоятельное рассмотрение.

Урок как форма организации учебной работы существует с семнадцатого века и в наши дни остается самой распространенной организационной формой учебно-воспитательного процесса в школе. Основные положения, характеризующие урок, заложены в 17 –19 века в трудах Я. А. Коменского, И. Ф. Гербарта, А. Дистервега, К. Д. Ушинского[51,40,41]. Классно-урочная система, первоначально разработана и описана Яном Амосом Коменским  в его книге «Великая дидактика». Дальнейшее развитие классического учения Я. А. Коменского об уроке в отечественной педагогике осуществил К.Д. Ушинский, который глубоко научно обосновал все преимущества классно-урочной системы и создал стройную теорию урока, в частности обосновал его организационное строение и разработал типологию уроков. А. Дистервег разработал систему принципов и правил обучения, касающихся деятельности учителя и ученика, обосновал необходимость учета возрастных возможностей учащихся. До 50-ых годов 20 века урок представляет феномен с достаточно жесткой структурой. В 50 – 60ые года происходит отрицание прежних представлений об уроке. Специалисты в области дидактики, педагогики, психологии, методики начинают исследовать «новый» урок, одновременно создавая теорию и практику современного урока.

В педагогической литературе последних лет лишь Ю.А. Конаржевский дает определение современному уроку. По его мнению, современный урок – это, прежде всего урок, на котором учитель умело использует все возможности для развития личности ученика, ее активного умственного роста, глубокого и осмысленного усвоения знаний, для формирования ее нравственных основ [25].

На данном этапе развитие таких наук, как педагогика, дидактика, методика, психология ведет к постоянному совершенствованию понятия «современный урок», поскольку достижения этих наук существенно на него влияют. И современных условиях происходит осознание ценности и практической значимости образования. В результате этого значительно возрастают требования к качеству образовательной подготовки школьников. Учитель в таких условиях стоит перед необходимостью совершенствования всех сторон процесса обучения.

Современный этап общественного развития характеризуется рядом особенностей, предъявляющих новые требования к школьному образованию. Изменяются приоритеты и акценты в образовании, появляются новые стандарты, требования, оно становится направленным на развитие личности, на формирование у обучающихся таких качеств, которые в дальнейшем должны позволить ему самостоятельно изучать что-либо, осваивать новые виды деятельности и, как следствие, быть успешным в жизни. На данном этапе развития современного урока, в методической литературе разработаны требования к ним, методы проведения таких уроков, однако конкретных методических рекомендаций по проведению таких уроков по определенной теме не приводится.

Наиболее фундаментальное исследование урока было проведено М. И. Махмутовым в его монографии «Современный урок» [33]. Монография посвящена совершенствованию урока. На основе многолетних исследований и обобщения передового педагогического опыта автор предлагает свою концепцию современного урока, отвечающего требованиям развивающего обучения. М. И. Махмутов разрабатывает само понятие «урок», описывая его основные элементы. Важно, что в книге основные элементы урока описываются в динамике, описывается их эволюция. Важно и то, что на страницах книги рассматриваются возможные подходы к тому или иному понятию, проблеме, происходит анализ ситуации, и лишь затем предлагается решение.

Разрабатывают понятие «урок», описывая его элементы и следующие авторы: Г. Д. Кириллова[24], В. А. Онищук[38], Ю. Б. Зотов [21] и др.  Эта группа авторов пишет только об отдельных элементах урока и его теории. Читатель получает частичные сведения об уроке (о требованиях к уроку, о структуре урока, о его анализе и т. д.). Таковы, например, работы Ю. А. Конаржевского [25], М. Н. Скаткина [45], Н. А. Сорокина [47], Н. Е. Щурковой [50], Н. М. Яковлева [52] и других авторов.

Интересен и глубок подход Ю. А. Конаржевского к структуре урока в его работе «Анализ урока» [25]. Автор рассматривает такие понятия, как генетическая «клеточка» урока, макроструктура и микроструктура урока.

Хочется отдельно сказать и о работе Н. Е. Щурковой «Когда урок воспитывает» [50]. Н. Е. Щуркова рассматривает возможности нравственного воспитания школьников непосредственно на уроке, в процессе обучения. Особое внимание уделяет раскрытию нравственного потенциала урока, анализу взаимоотношений учителя и учащихся, путям воздействия на становление нравственности школьников.

Сказанное выше позволяет выделить противоречие между необходимостью использования в ходе составления урок математики современных требований к уроку и отсутствием конкретных методических рекомендаций в этом плане в методике обучения математике.

Таким образом, сформулированное выше противоречие определило актуальность проблемы исследования, которая состоит в разрешении указанного противоречия посредством научно-обоснованной разработки методических рекомендаций по организации и проведению уроков математики, исходя из их современных требований.

Объект исследования -  процесс обучения геометрии  в основной школе.

Предмет исследования – методическая система организации соврменных уроков математики.

Цель исследования – разработать научно-обоснованные методические рекомендации по организации и проведению уроков по теме «Правильные многоугольники» в 9 классе, удовлетворяющих современным требованиям.

Гипотеза исследования: если организовывать уроки по теме «Правильные многоугольники» исходя из современных требований, то это будет способствовать повышению качества обучения, уровня знаний и умений учащихся по теме, их интереса к математике.

Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. Провести анализ математической, психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования с целью выделения современных требований к уроку и особенностей их организации.

2. Раскрыть математические основы темы «Правильные многоугольники». 

3. Выделить основные подходы к проектированию уроков с учетом современных требований к ним.

4. Разработать методические рекомендации по организации и проведению уроков по теме «Правильные многоугольники» в 9 классе.

5. Осуществить опытную проверку разработанной методики.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы:

Эмпирические:

Изучение и анализ литературы по исследуемой проблеме

Изучение передового опыта работы учителей

Опытная работа исследования 

Анкетирование

Наблюдение

Теоретические:

Метод теоретического анализа и синтеза 

Методологической основой исследования послужили: стандарты второго поколения,  концепция развивающего обучения (В.В. Давыдов, Д.Б. Эльконин и др.), принципы деятельностного подхода в обучении (Т.А. Иванова, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн и др.), представления о современном уроке и требования к нему (Н. Г. Дайри, Ю.Б. Зотов, Ю.А. Конаржевский, М.И. Махмутов, В.А. Онищук, М. Н. Скаткин, Н. А. Сорокин, Н. Е. Щуркова, Н. М. Яковлев и др.), методические рекомендации по изучению темы «Правильные многоугольники» (Л.С. Атанасян, Т.М. Мищенко и др.).

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в нём систематизированы требования к современному уроку и описана организация изучения темы «Правильные многоугольники» с позиций современных требований к процессу обучения математики.

Новизна и практическая значимость исследования определяется тем, что в нем выделены основные принципы и требования организации современных уроков и разработаны научно обоснованные методические рекомендации по организации и проведению уроков по теме «Правильные многоугольники», которые могут быть использованы учителям математики в практике школы.

Апробация основных положений и результатов исследования осуществлялась автором в личном опыте работы с учащимися 9 класса школы № 5 города Лысково в период производственной (педагогической) практики.

Структура дипломной работы определена логикой решения задач исследования. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы (? наименований). Общий объем работы ? страниц.













ГЛАВА I. Математические основы изучения правильных многоугольников.

1.1. Понятие правильного многоугольника

В высшей математике понятие правильного многоугольника вводится следующим образом [39]: 

«Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и углы равны». 

Данное понятие связывают с понятием правильной ломаной:

«Правильной ломаной линией называется ломаная, у которой все стороны равны и все углы равны и имеют одинаковое направление».

Поскольку из определения ломаной: это фигура, которая состоит из определенного количества точек и отрезков, последовательно их соединяющих, вытекает понятие многоугольника.  Многоугольник — это простая замкнутая ломаная. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, звенья ломаной — сторонами многоугольника. Из определения выпуклого многоугольника, следует определение правильного многоугольника и соответственно правильной ломаной.

Рассматриваются звездчатые правильные многоугольники. Невыпуклый  многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны называется звезчатым правильным многоугольником.  Общее их построение определяется так:

Разделив окружность на n равных частей, соединим одну из делящих точек с точкой, отстоящей от нее на p делений, эту последнюю точку – с точкой, отстоящей от нее также на p делений, и т.д. до тех пор, пока мы снова не придем в одну из уже пройденных делящих точек. Если точка P будет первой их тех точек, в которую мы придем во второй раз, то эта точка не может быть отличной от той точки, с которой мы начали;  действительно, если бы точка P была концом стороны NP, однажды уже пройденной, то мы пришли бы в точку N во второй раз раньше, чем в точку P. Фигура, таким образом построенная, представляет собой несобственный многоугольник и называется звездчатым правильным многоугольником.

Например, звездчатый правильный пятиугольник получен делением окружности в точках  на пять равных частей и соединением этих точек через два деления в порядке .





	Рисунок 1. Звездчатый правильный пятиугольник.	

 	По определению выпуклый многоугольник называется правильным, если он равноугольный (равны все углы) и равносторонний( равны все стороны). Однако существует класс фигур, не обладающих этими двумя свойствами одновременно. Их называют  полуправильными, если многоугольники:

а) равноугольные, у которых стороны равны через одну;

б) равносторонние, у которых углы равны через один.

Примером полуправильного многоугольника первого рода является прямоугольник, а второго — ромб. 

Рассматривается построение правильных многоугольников, вписанных в данную окружность. 

	Если мы умеем вписать в окружность правильный многоугольник, то мы умеем и описать около той же окружности правильный многоугольник с тем же числом сторон. Этот последний образуется касательными к окружности в вершинах вписанного многоугольника. 

	Если мы умеем вписать в окружность правильный многоугольник, то мы умеем вписать и правильный многоугольник с удвоенным числом сторон.

	Приводится, как вписать квадрат в окружность, и это построение позволяет далее строить правильный вписанных восьмиугольник, шестнадцатиугольник, и т.д. со сторонами .

		Чтобы вписать в окружность  квадрат, достаточно провести два взаимно перпендикулярных диаметра и , окружность разделится , таким образом на 4 равные части. 

	Рисунок 2. Вписанный квадрат.

	

	Чтобы вписать в окружность правильный восьмиугольник, то достаточно построить правильный вписанный четырехугольник, провести биссектрисы углов, которые пересекую окружность в точках. Последовательно соедить полученные точки.

	Рисунок 3. Вписанный правильный восьмиугольник.

	Чтобы вписать правильный треугольник в окружность с центром О, раствором циркуля, равным радиусу, последовательно от одной точки окружности делаем на ней засечки, пока последняя засечка не совпадет с взятой первоначально точкой. Соединив полученные точки через одну, получим правильный треугольник. 

	Рисунок 4. Вписанный правильный треугольник.

Чтобы вписать правильный шестиугольник в окружность с центром О то достаточно последовательно отложить от одной точки окружности 6 радиусов-хорд, так как в правильном шестиугольнике сторона а равна радиусу. Отметим на этой окружности произвольную точку А. Затем, отмерим раствором циркуля радиус, и отложим последовательно от этой точки А, будем делать на окружности засечки, пока последняя засечка не совпадет с взятой первоначально точкой А. Отметим точки B, C, D, Е и F. Теперь соединим последовательно построенные точки отрезками. 

	Рисунок 5. Вписанный правильный шестиугольник.

Чтобы вписать правильный пятиугольник в окружность с центром О проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам. Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника. Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N1, Р1, Q1, К1 и соединяем их прямыми. 

Рисунок 6. Вписанный правильный пятиугольник.

1.2. Свойства правильных многоугольников

Рассматривается следующая теорема [3]:

Если разделить окружность на некоторое число  равных частей, то:

точки деления служат вершинами правильного многоугольника

касательные к окружности в этих точках служат сторонами правильного многоугольника.

Доказательство:

1) Две последовательные стороны многоугольника, имеющего своими
вершинами точки деления, очевидно, симметричны относительно
радиуса, проведённого в их общую точку; два последовательных угла
этого же многоугольника симметричны относительно радиуса, перпендикулярного к их общей стороне. 
2) Два последовательных угла многоугольника, образованного
касательными в точках деления, очевидно, симметричны относительно
радиуса, перпендикулярного к их общей стороне; две последовательные
стороны этого же многоугольника симметричны относительно радиуса,
перпендикулярного к хорде, соединяющей их точки касания.

Также вводится обратная теорема: 

Всякий правильный многоугольник (всякую правильную ломаную), можно вписать в одну окружность или описать около другой. 

Доказательство:

	Пусть, например - правильная ломаная. Опишем около треугольника окружность. Центр  этой окружности лежит на прямой, перпендикулярной к отрезку и проходящей через его середину. Эта окружность пройдет также через точку . Чтобы это доказать, достаточно заметить, что стороны  и  симметричны одна с другой относительно прямой, перпендикулярной к отрезку  и проходящей через его середину, потому что отрезок, симметричный с совпадает с  по направлении. ( в силу равенства углов при и ) и по величине ( так как =). Следовательно, будем иметь . Точно так же убедимся, что та же самая окружность, описанная около треугольника , проходит через точку , и так далее.

	Кроме того, стороны , и т. д. как равные хорды построенной окружности, равно отстоят от ее центра: следовательно, данную ломаную можно описать около второй окружности с центром.

Радиус этой второй окружности, или расстояние какой либо стороны до центра называется апофемой правильной ломаной ( или правильного многоугольника).

Рисунок 7. Правильная ломаная.

Всякий правильный многоугольник с  сторонами может быть наложен на самого себя, с помощью вращений, а именно таких, угол которых измеряется целым числом  частей окружности; и симметрий относительно прямых, перпендикулярных к сторонам многоугольника и проходящих через их середины, и относительно биссектрис его углов.

	Также рассматривается подобие правильных многоугольников [39]:

Два правильных многоугольника с одинаковым числом сторон подобны; коэффициент подобия равен отношению их радиусов и отношению их апофем. 



Рисунок 8. Правильные многоугольники.

Доказательство:

Действительно, два правильных многоугольника с одинаковым числом сторон, вписанных в две равные окружности, очевидно, равны, они совмещаются, если совместить обе описанные окружности и одну из вершин.

Итак, пусть даны два правильных многоугольника  и , вписанных в окружности   и . Пересекая радиусы окружности , проведенные в вершины многоугольника , окружностью, концентричной с  и равной , получим правильный многоугольник, гомотетичный многоугольнику  относительно центра окружности С и равный многоугольнику .

В частности, углы всех правильных многоугольников с одинаковым числом   сторон имеют одну и ту же величину. 

Вводят общие формулы для правильных многоугольников.

1. Площадь правильного многоугольника

Рисунок 9. Правильный многоугольник.

Пусть S – площадь правильного n-угольника, a1 – его сторона, Р – периметр, а r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем, что   

Для этого, соединим центр данного многоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна





2. Сторона правильного многоугольника, вписанного в окружность 

		и радиус вписанной окружности 

Рисунок 10. Правильный многоугольник.

                                                            

Для вывода воспользуемся рисунком. В прямоугольном треугольнике А1Н1О  

	                                           , следовательно

	

	





3. Апофема правильного многоугольника-длина перпендикуляра, опущенного из центра правильного многоугольника на любую из его сторон

Рисунок 11. Апофема в правильном многоугольнике.

Апофема правильного многоугольника: квадрат апофемы равен квадрату радиуса описанной окружности без квадрата половины стороны .  

Докательство вытекает из того, что апофема, половина стороны и радус описанной окружности образуют прямоугольный треугольник, применяется теоерма пифагора.

Затем рассматривают частные формулы, для конкретных правильных многоугольников.

	Сторона квадрата, вписанного в круг радиуса , равна 

	Для квадрата апофема равна .

	Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу окружности.

	Апофема правильного вписанного шестиугольника равна 

	                                       

	Сторона правильного треугольника равна удвоенной апофеме шестиугольника .

	Апофема вписанного равностороннего треугольника равна 

	Сторона правильного вписанного десятиугольника равна большему отрезку радиуса, разделенного в среднем и крайнем отношении.

	

	Апофема десятиугольника 

Сторона правильного выпуклого пятиугольника 

Апофема правильного выпуклого пятиугольника 

В математическом анализе рассматривается следующая теорема:

Пусть - периметр правильного описанного около окружности многоугольника, - периметр правильного вписанного в ту же окружность многоугольника с тем же числом сторон. Если безгранично удваивать число сторон, то  и  стремятся к одному и тому же пределу 

Доказательство:

	Рисунок 12. Правильный многоугольник вписанный в окружность.

	Пусть -вписанный в окружность многоугольник и -описанный многоугольник, стороны которого имеют своими точками касания вершины первого многоугольника. Удвоим число сторон этих многоугольников, деля на две равные части каждую из дуг  так, чтобы образовался новый правильный вписанный многоугольник и соответствующий новый описанный правильный многоугольник Поступим с новыми многоугольниками так же, как с первоначальными, и так до бесконечности.  Доказательство строится на соображениях: 

	Периметры  p возрастают: например, многоугольник , имеет больший периметр, чем многоугольник , так как последний многоугольник лежит внутри первого.

	Периметры  убывают: например, многоугольник имеет меньший периметр, чем многоугольник , так как первый лежит внутри второго.

	Любой периметр меньше любого периметра  , так как сякий вписанный многоугольник лежит внутри любого описанного многоугольника.

	Величина  постонно возрастает, оставаясь все время меньше некоторого постоянного значения ( именно меньше какого- либо из значений ), и, следовательно, стремится к пределу.

	Величина , точно так же постоянно убывает, оставаясь все время больше определенного значения ( именно больше какого-либо из значений ), и , следовательно, также стремится к пределу. Оба эти пределы равны. Действительно, два правильных многоугольника, вписанный и описанный, с одинаковым числом сторон- подобны, и их периметры относятся, как их апофемы. Апофема описанного многоугольника равна радиусу  данной окружности, так что , где - апофема вписанного многоугольника.

	Но при неограниченном удвоении числа сторон апофема  стремится  к . Таким образом, предел отношения , т.е.  отношение обоих предыдущих пределов равен 1.

Выводы по I главе.

1. В высшей математике понятие правильного многоугольника вводится следующим образом: «Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и углы равны». 

Существует класс фигур, не обладающих этими двумя свойствами одновременно. Их называют  полуправильными, если многоугольники:

а) равноугольные, у которых стороны равны через одну;

б) равносторонние, у которых углы равны через один.

Невыпуклый  многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны называется звезчатым правильным многоугольником.  

	Если мы умеем вписать в окружность правильный многоугольник, то мы умеем и описать около той же окружности правильный многоугольник с тем же числом сторон. Этот последний образуется касательными к окружности в вершинах вписанного многоугольника. 

	Если мы умеем вписать в окружность правильный многоугольник, то мы умеем вписать и правильный многоугольник с удвоенным числом сторон.

2. Если разделить окружность на некоторое число  равных частей, то:

точки деления служат вершинами правильного многоугольника

касательные к окружности в этих точках служат сторонами правильного многоугольника.

Всякий правильный многоугольник, можно вписать в одну окружность или описать около другой. 

Общие формулы для правильных многоугольника:

	 	     Площадь правильного многоугольника

			                                

			                           Сторона правильного многоугольника

     Апофема правильного многоугольника



		Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник





ГЛАВА II. Психолого-педагогические основы конструирования современного урока по математике

2.1. Понятие современного урока

Рассмотрим несколько определений понятия «урок»

Урок – это такая форма организации педагогического процесса, при которой педагог в течении точно установленного времени руководит познавательной коллективной и иной деятельностью постоянной группы учащихся (класса) с учетом особенностей каждого из них, используя виды, средства и методы работы, создающие благоприятные условия для того, чтобы все ученики овладевали основами изучаемого предмета непосредственно в процессе обучения, а также для воспитания и развития познавательных способностей и духовных сил школьников [40].

Урок – это систематически применяемая для решения задач обучения, воспитания и развития учащихся форма организации деятельности постоянного состава учителей и учащихся в определенный отрезок времени [15].

Урок – это законченный в смысловом, временном и организационном отношении отрезок (этап, звено, элемент) учебного процесса [41].

Урок — форма организации учебно-воспитательного процесса в учебных заведениях при классно-урочной системе обучения; составная часть процесса обучения [42].

М. И. Махмутов в сущности урока выделяет два аспекта: относительно процесса обучения в целом и как форму его организации [33]. Урок, относительно общего процесса обучения выступает как основная его форма которая определяется содержанием, принципами и методами обучения, а так же планируемая и регулируемая учителем в определенно пространственно-временных границах и осуществляемая  учителем и учащимися. Второй аспект организационный, рассматривает урок как динамичную и вариативную форму организации процесса целенаправленного взаимодействия (деятельностей и общения) определенного состава преподавателей и учащихся, включающая содержание, формы, методы и средства обучения и систематически применяемая  для решения задач образования, развития и воспитания в процессе обучения.

В независимости от различных подходов к определению понятия «урок», можно выделить общие признаки:

Урок – основная форма организации учебно-воспитательного процесса, поскольку на уроке решаются задачи по развитию личности.

Урок – элементарная структурообразующая единица образовательного процесса. В уроке присутствуют все компоненты этого процесса: цели, содержание, методы, средства, деятельность по организации и управлению и все его дидактические элементы.

Урок реализует все функции процесса обучения: воспитательную, развивающую, обучающую. Цель урока это реализация данных функций.

Рассмотрим подходы к понятию «современный урок».

Определение современного урока давал Ю.А. Конаржевский, по его мнению, современный урок– это, прежде всего урок, на котором учитель реализует  все возможности для развития личности ученика, ее активного умственного роста, глубокого и осмысленного усвоения знаний, для формирования ее нравственных основ [25]. Однако это определение не достаточно полно описывает понятие современного урока, поэтому выделим признаками, характеризующие данное понятие: [21]:

Главной целью урока в процессе воспитания и обучения является является развитие личности ученика.

На уроке должна быть реализована личностно-ориентированная модель обучения и деятельностный подход.

На уроке должны быть воплощены идеи гуманизации и гуманитаризации образования.

Организация урока предполагает динамичность и вариативность.

На уроке должны использоваться современные педагогические технологии и средства ИКТ.

Букреева С.Н. современный урок определяет следующим образом:

1. Современный урок — это приобщение учащихся к совокупности достижений человечества в тесной связи с современностью в течение учебного часа. 

2. Современный урок — это высокий уровень мастерства, умение педагога донести до учащихся нечто поучительное, соответствующее уровню своего времени и позволяющее сделать вывод для будущего[2].

Стоит рассмотретьотличия современного урока от традиционного. Во-первых, современный урок способствует более широкому развитию познавательных возможностей учащихся. Во-вторых, предъявляются новые требования к уровню самостоятельной работы учащихся,  перестраивается система организации урока и его методы с целью развития поисковой и творческой  деятельности учащихся. Однако, совремнный урок не теряет своей связи с традиционными методами. Если урок является современным, то он обязательно закладывает основу для будущего.

Следует отменить, особенность современного урока – его проблемный характер, т.е это урок, на котором учитель целенаправленно создает проблемные ситуации и организует поисковую деятельность учащихся по самостоятельной постановке учебных проблем и их решению или сам ставит проблемы и решает их, показывая учащимся логику мысли в поисковой ситуации. 

Также современный урок характеризуется предоставлением ученику максимума свободы для индивидуального развития. Именно в процессе такого урока постигаются образцы высокой культуры отношений, обеспечивается возможность свободного умственного труда и интенсивного духовного развития каждого ребёнка. На таком уроке учитель умело использует все возможности для развития личности ученика, её активного и умственного роста, глубокого и осмысленного усвоения знаний, для формирования её нравственных основ. Для достижения этой цели, учитель должен демонстрировать владение классической структурой урока на фоне активного применения собственных творческих и методических наработок, как в смысле его построения, так и в подборе содержания учебного материала, методики и технологии его подачи.

2.2. Основные характеристики и особенности современного урока

Чтобы полностью охарактеризовать современный урок выделим его основные характеристики и особенности.

Можно выделить следующие функции урока [1]: обучающая функ.......................