Методика определения функции надежности, функции риска, цены риска и суммарной приведенной стоимости

Введение

В настоящее время большинство работ посвящено способам обеспечения надежности трубопроводного транспорта  и его безаварийной работы в процессе его эксплуатации: разработке и внедрению систем геотехнического мониторинга; созданию программно-расчетных комплексов для прогнозирования параметров трубопроводной системы [Суриков, 2016]; организации систем мониторинга опасных природных процессов и его проведения;  составлению реестра опасных геологических процессов с целью их систематизации и анализа степени опасности, а также методам и способам защиты от их неблагоприятного воздействия [Голофаст и др., 2016], [Лободенко, Федоренко, 2016]. В частности, в области криолитозоны широкое использование получил способ термостабилизации грунтов основания, позволяющий сохранять грунты в мерзлом состоянии в течение всего срока эксплуатации [Лободенко, 2016]. Тем не менее этот способ тоже не надежен, особенно, в зоне островной или высокотемпературной мерзлоты, так как применяемые термостабилизаторы зависят от климатических условий.

Главная задача – обеспечение безаварийной работы магистральных трубопроводов, эксплуатируемых в сложных природно-климатических условиях [Суриков, 2016], [Голофаст и др., 2016].

В представляемой статье предлагается оценка надежности трубопроводной системы на предпроектной стадии путем выбора оптимальных проектных решений по прокладке нефтепровода в криолитозоне, основанная на вероятностно-статистическом подходе к прогнозированию теплового и механического взаимодействия нефтепровода с мерзлыми грунтами основания, т.е., методика упреждения опасных ситуаций, связанных с многолетнемерзлыми грунтами.

Опыт показывает, что в процессе эксплуатации магистральных нефтепроводов в России имеют место аварии с разливом нефти, которые составляют 0.013-0.015 случая на 1000 км в год [Нечваль, 2005]. В основном аварии происходят по двум причинам: нарушения технологических условий и нарушения геологических условий (геокриологических). 

Технологические условия подлежат восстановлению в процессе ремонтов, что нельзя сказать о геологических и особенно геокриологических условиях, которые восстановлению не подлежат, происходят на большой территории (в пределах целого таксона геокриологической карты) и требуют перекладки трассы на безопасное расстояние от существующей. Это предъявляет повышенные требования к надежности магистральных нефтепроводов в криолитозоне. Качество многолетнемерзлых грунтов (несущая способность и деформируемость), как известно, зависят от их температуры, которая определяется климатическими факторами. Поэтому надежность основания инженерных сооружений на многолетнемерзлых грунтах, как вероятность сохранения качества этих грунтов, есть климатозависимая величина, которая изменяется в пространстве, и во времени. Процессы взаимодействия магистральных нефтепроводов с мерзлыми основаниями (надземная и наземная прокладка) и вмещающей средой (подземная прокладка) относятся к разряду случайных процессов, прогнозирование которых с позиций существующих детерминистических подходов становится невозможным. Оценить надежность магистральных нефтепроводов в криолитозоне на стадии проектирования можно лишь с позиций вероятностно-статистического подхода, что означает отказ от старых детерминистических методов расчета теплового и механического взаимодействия нефтепровода с окружающей средой и переход на новые методы – вероятностно-статистические. Эти методы позволят оценить риски, которые так или иначе закладываются в проект и выбрать из них те, которые не повлекут большие экономические и моральные потери.

Выбор оптимальных проектных решений магистральных нефтепроводов (линейная часть) в условиях распространения многолетнемерзлых грунтов включает:

выбор оптимальной трассы нефтепровода;

выбор способа прокладки нефтепровода линейной части с сопутствующими ему оптимальными конструктивными параметрами, например, глубиной заложения свайного фундамента при надземной прокладке или толщиной кольцевой теплоизоляции – при подземной.

Выбор трассы нефтепровода и способа его прокладки осуществляется с помощью решения оптимизационной задачи – поиска минимума суммарной приведенной стоимости геотехнической системы «нефтепровод-окружающая среда», состоящей из начальной стоимости и цены риска, являющейся стоимостным эквивалентом надежности геотехнической системы, для каждого таксона инженерно-геокриологической карты на перспективную для строительства нефтепровода территорию. Инженерно-геокриологическая карта с указанными на ней стоимостями прокладки трубопровода и называемая стоимостной инженерно-геокриологической картой, является основой выбора. Ее масштаб зависит от стадии проектирования и изменяется от 1:10 000 до 1: 100 000. На этой карте с помощью методов линейного программирования определяется оптимальный путь, который соответствует минимуму суммарной приведенной стоимости. Он указывает прохождение оптимальной трассы и определяет оптимальные способы прокладки по ней.

Таким образом, для того чтобы осуществить научно обоснованный выбор оптимальных проектных решений трубопроводов линейной части в условиях распространения многолетнемерзлых грунтов необходимо иметь:

1. Методику определения функции надежности, функции риска, цены риска и суммарной приведенной стоимости.

2. Методику построения стоимостной инженерно-геокриологической карты.

3. Методику выбора оптимальной трассы и оптимального способа прокладки нефтепровода на этой карте.

Методика определения функции надежности, функции риска, цены риска и суммарной приведенной стоимости.

	Определение функции надежности.

	Аналитические выражения функции надежности запишется:

					,					(1)

	где Р(t) – функция надежности,

	i () – i-ая координата процесса в пространстве качества  в момент времени ,

	lim i()– i-ая координата границы области допустимых состояний в момент

	времени ,

	n – количество координат пространства качества, t – текущее время.

В квадратных скобках выражения (1) указаны условия, при которых не произойдет отказ системы «нефтепровод – окружающая среда».  Их расшифровка дана в таблице 1. 

Значение функции надежности на конец эксплуатации геотехнической системы называется надежностью системы:

							Р = P(tэ)						(2)

	где tэ – время эксплуатации сооружения. 

	

Вычисление функции надежности слагается из трех этапов:

Первый – выбор пространства качества V, пространства входных параметров U и оператора системы L.

Второй – решение стохастического уравнения:

							 v = Lс?u, 						(3)

	где v – элемент  пространства V, u – элемент  пространства U, Lс – оператор системы.

Третий – определение функции надежности как вероятности сохранения качества системы в течение отрезка времени от 0 до t, т.е. вероятности нахождения системы в области допустимых состояний в этот отрезок времени.

Под пространством U понимаются численные значения природных и техногенных факторов. Под оператором L понимается алгоритм последовательного расчета теплового и механического взаимодействия трубопровода с вмещающей средой и грунтовым основанием.

Третий завершающий этап определения функции надежности является самым сложным. Существуют два возможных пути его реализации – численный и аналитический.

Первый путь известный как метод Монте-Карло [Ермаков, 1971] состоит в статистическом моделировании поведения системы в условиях случайных воздействий на нее и происходящих в ней случайных изменений. Для реализации его надо лишь построить детерминистическое описание преобразования элементов u в элементы v и повторить его m раз (несколько сотен, а иногда и тысяч раз), фиксируя отказы системы в каждом испытании, если они будут иметь место. Функция надежности при этом определяется как дополнение до единицы частного от деления общего числа отказов за время t на общее число испытаний.

Положительной стороной метода Монте-Карло является его малая чувствительность к сложности системы, и он может быть реализован как в случае одномерного, так и в случае многомерного пространства качества. Отрицательной стороной – большая потребность машинного времени (метод реализуется на компьютерах) и сложность анализа полученных результатов. Второй путь (аналитический) реализуется с привлечением известных в теории надежности моделей отказов и ряде существенных допущений, оценка погрешности которых все равно производится численным методом. Дадим описание численного метода как наиболее универсального.

Численный метод заключается в многократном математическом моделировании процесса теплового и механического взаимодействия грунтового основания с инженерным сооружением и окружающей средой. По результатам моделирования строится статистическая оценка функции надежности:

						,					(4)

	где Pm(k) – статистическая оценка функции надежности, k – количество лет с начала эксплуатации геотехнической системы; n(i) – число отказов системы в i – году; m – число испытаний.

Число испытаний зависит от задаваемой погрешности вычислений и связано с ней выражением:

						,					(5)

	где   – задаваемая точность вычислений, P – искомая вероятность (надежность).

Схема алгоритма программы представлена на рисунке 1. Расчет устойчивости нефтепровода (ядро программы) осуществляет на каждом шаге во времени вычисление теплового и механического взаимодействия сооружения с окружающей средой и проверяет предельные условия, которые указаны в таблице 1, в случае отказа системы опыт прерывается и фиксируется отказ c указанием временного шага, на котором он произошел. В противном случае опыт продолжается на следующем временном шаге. Команда на продолжение счета поступает в ядро из цикла по времени, расположенного непосредственно за ядром. Здесь подсчитывается количество сделанных шагов и производится розыгрыш параметров, зависящих от времени, на каждом шаге. Если количество сделанных шагов соответствует продолжительности эксплуатационного периода, то опыт заканчивается и формируется новый опыт. Этот процесс осуществляет внешний по отношению к циклу по времени цикл. Он формирует и подсчитывает число реализованных опытов и разыгрывает независящие от времени параметры для каждого нового опыта. Программа заканчивает работу, когда число опытов будет соответствовать задаваемой точности вычислений. Появление отказа не прерывает работу программы, а только свидетельствует о том, что опыт был неудачным и следует приступить к новому опыту, при этом в счетчик отказов поступает единица. После завершения циклических операций программа обрабатывает счетчик отказов и вычисляет функцию надежности. На этом работа программы заканчивается. 

В цикле с розыгрышем параметров, не зависящих от времени, производится построение геологического разреза и розыгрыш характеристик грунта. Считается, что мощность литологических слоев и все численные значения грунтовых характеристик подчиняются равномерному закону распределения, поэтому их розыгрыш осуществляется с помощью псевдослучайного числа rav. Это число подчиняется равномерному закону распределения и вычисляется по специальной программе. Значение грунтовых характеристик и мощности слоя извлекают из выборки по номеру того образца, который совпадает с числом rav. На временном цикле производится розыгрыш параметров, зависящих от времени, например, температуры воздуха. Считается, что параметры, зависящие от времени подчиняются нормальному закону распределения, поэтому они разыгрываются с помощью псевдослучайного числа norm, вычисляемому по специальной программе. Это число подчиняется нормальному закону распределения, имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице. Значение разыгрываемого параметра получают по формуле:  (u – значение разыгрываемого параметра;  – математическое ожидание параметра и его среднее квадратичное отклонение).

Некоторые технические параметры, как например, глубина заложения свайного фундамента надземного трубопровода или термическое сопротивление кольцевой изоляции подземного трубопровода особенно сильно влияют на надежность геотехнической системы и с их помощью можно направленно ее изменять. Поэтому мы их называем управляющими параметрами и используем для изменения надежности системы по своему усмотрению. В связи с этим прогноз работоспособности системы приобретает активный характер: располагая аппаратом для расчета функции надежности, можно не только констатировать приемлемость проектного решения, но и изменять его по своему усмотрению, добиваясь оптимальной надежности.

 С одной стороны, чем выше надежность, тем выше начальная стоимость системы C0, а с другой стороны, меньше материальный ущерб, обусловленный вероятностью отказа системы до окончания срока ее эксплуатации. Этот ущерб называется ценой риска CR и  зависит от функции надежности. Возникает оптимизационная задача, из решения которой находится оптимальная надежность: 

	

							.					(6)

	Решение уравнения (6) иллюстрируется следующим графиком (рис. 2).

	

	Определение функции риска и цены риска

Опасность возможных аварий сооружений обратно пропорциональна их надежности. Чем выше надежность, тем меньше опасность или иначе вероятность отказа геотехнической системы, которую принято называть риском, а зависимость вероятности отказа от времени – функция риска. Функция риска связана с функцией надежности простым выражением:

							.					(7)

Функция риска дает возможность оценить материальный ущерб, который возникает при отказе геотехнической системы [Хрусталев, Пустовойт, 1988]. Этот ущерб называется ценой риска и есть стоимостной эквивалент надежности. Для ее определения условимся, что каждому отказу системы (ее разрушению) соответствуют экономические потери Свос, равные затратам на ремонт системы, затратам на ликвидацию экологических последствий аварии и плюс побочный ущерб, обусловленный прекращением функционирования системы до окончания ремонта. Эти затраты назовем штрафной функцией времени, поскольку они зависят от времени наступления отказа, и запишем в виде следующего выражения:

							,		(8)

	где tэ – период эксплуатации, лет; t – время наступления отказа, год; Е. – нормативный коэффициент приведения разновременных затрат, Свос – экономические потери при отказе системы.

	Как уже отмечалось, функция риска есть дополнение до единицы функции надежности. Тогда плотность функции риска, т.е. вероятность отказа на интервале времени от t до t+dt будет равна:

						,				(9)

	где P'(t) –  первая  производная функции надежности по времени.

Зная плотность функции риска и штрафную функцию легко вычислить математическое ожидание стоимости отказа, которую и примем за цену риска:

						.			(10)

		Если измерять  в годах, и шаг во времени положить равным одному году, то формулу (10) можно переписать в следующем конечно-разностном виде:

							,				 (11)

						,					 (12)

						,						(13)

	где m – количество лет эксплуатации сооружения; k – год эксплуатации сооружения.

Для не восстанавливаемых систем, к числу которых относятся, как мы писали выше, нефтепроводные системы, получившие отказ в связи с изменением мерзлотно-геологических условий (нарушенные мерзлотно-геологические условия не подлежат ремонту), Свос равно остаточной стоимости геотехнической системы на момент отказа плюс побочный ущерб, связанный с прекращением работы системы и затратами на ликвидацию экологических последствий аварии, что можно представить в виде формулы:

						,					(14)

	где С0 – начальная  стоимость геотехнической системы; kэ – коэффициент экономической ответственности, равный отношению побочного ущерба к начальной стоимости; k – год эксплуатации сооружения.

	 Определение суммарной приведенной стоимости. 

Суммарная приведенная стоимость является суммой двух слагаемых начальной стоимости геотехнической системы, т.е. ее сметной стоимости строительства, и цены риска, т.е. затрат на ликвидацию аварий, которые  возникнут в процессе эксплуатации геотехнической системы в течение всего срока ее эксплуатации, приведенных к единому времени. В качестве последнего принимается начало эксплуатации. Если измерять время в годах, а шаг во времени положить равным одному году, то формулу для суммарной приведенной стоимости можно представить в следующем конечно-разностном виде:

					.			(15)

Следует отметить, что коэффициент экономической ответственности складывается из сумм коэффициентов различных видов стоимостных затрат на восстановление системы и окружающей среды, включая побочные ущербы, нанесенные растительному покрову, почвам, животному миру и др.



	Методика построения стоимостной инженерно-геокриологической карты

	

Указанная карта представляет собой специальную инженерно-геокриологическую карту, в легенде которой отражается минимальное значение суммарной приведенной стоимости геотехнической системы «нефтепровод – окружающая среда» в пределах каждого таксона карты при ее прокладке тремя известными способами (подземным, наземным и надземным).

Инженерно-геокриологическая карта строится на всю область поиска оптимального пути трассы трубопровода, и на ней выделяются следующие слои:

а) глубина залегания скального фундамента; б) разрез отложений дисперсных грунтов до глубины 10-15 метров (слой включает в себя воднофизические, механические и теплофизические характеристики выделенных в разрезе ИГЭ); в) среднегодовая температура многолетнемерзлых грунтов при сливающемся типе залегания многолетнемерзлых пород или глубина залегания кровли многолетнемерзлых грунтов при несливающемся типе.

	

Путем наложения вышеперечисленных слоев инженерно-геокриологической карты получают границы таксонов этой карты. Затем каждый таксон, включая водные преграды (реки, озера), обсчитывается согласно алгоритму на рис 3. 

	

	При расчете массивов отказов операторы Safety 1, 2 и 3 используют общеизвестные методики расчета, изложенные в работах [СП 25.13330.2012, Тартаковский, 1976, Рекомендации…, 1974, Хрусталев, 2005 и Справочник, 1977].

	

Результаты расчетов надежности и суммарной приведенной стоимости отражаются в легенде инженерно-геокриологической карты, которая получает название стоимостной инженерно-геокриологической карты. Пример такой карты показан на рис 4.

	

Методика выбора оптимальной трассы и оптимального способа прокладки нефтепровода на стоимостной инженерно-геокриологической карте.

Определение оптимального маршрута трассы нефтепровода между двумя контрольными точками на стоимостной карте производится в автоматическом режиме методом линейного программирования, который предусматривает следующий алгоритм расчета:

На стоимостную карту накладывается трехслойная координатная сетка (граф), состоящая из вершин и ребер длиной 1 мм, при этом границы таксонов корректируют таким образом, чтобы они проходили по ребрам сетки (рис 5). 

Ребру сетки присваивается цена, равная суммарной приведенной стоимости таксона на каждом слое, умноженной на длину ребра и деленное на масштаб карты. Первый слой сетки отражает стоимость подземной прокладки, второй – наземной, третий – надземной. Вершины сетки, расположенные на границе таксонов отдельных слоев, связывают между собой ребрами переходов от одного способа прокладки к другому; таких переходов возможно три: подземный – наземный, подземный – надземный, наземный – надземный. Ребрам переходов присваивается цена перехода от одного способа прокладки к другому.

Далее на сетках выстраиваются все возможные непрерывные цепочки из ребер, включая и ребра переходов, связывающие контрольные точки между собой, и подсчитывается суммарная приведенная стоимость каждой цепочки; таких цепочек может быть несколько сотен или тысяч; цепочка ребер, соответствующая минимальной стоимости принимается за оптимальный маршрут.

Оптимальный маршрут отображается на карте, при этом фиксируются части маршрута, связанные с тем или иным слоем графа, что позволяет одновременно отобразить на карте и способы прокладки нефтепровода на различных таксонах в пределах оптимального маршрута. Кроме того, поскольку оптимальный способ прокладки всегда жестко связан с управляющими параметрами, при которых он был посчитан, то и они отображаются на карте. 

Пример стоимостной инженерно-геокриологической карты с трассой нефтепровода показан на рис. 6.

Заключение

	Методика выбора проектных решений при прокладке линейной части нефтепровода в криолитозоне является уникальной. Ее уникальность заключается в том, что она основана на вероятностно-статистическом подходе к прогнозу теплового и механического взаимодействия инженерных сооружений с окружающей средой. Этот подход рассматривает исходную природную и техногенную информацию как стохастическую и дает возможность учитывать ее отклонения от своих номиналов во времени и пространстве, что позволяет оценивать надежность трубопроводной системы, как вероятности ее безаварийной работы в течение заданного срока эксплуатации. При этом подходе аварии трубопроводной системы рассматриваются как случайные события, имеющие денежное выражение – цену риска, являющуюся стоимостным эквивалентом надежности. Наличие цены риска позволяет на стадии вариантного проектирования оценивать варианты технических решений не только по сметной стоимости, но и по их надежности, что переводит этот процесс на новый качественный уровень. Экономический эффект от внедрения предлагаемой методики в производство на сегодняшний день можно оценить только качественно. Он заключается в повышении надежности геотехнической системы «нефтепровод – окружающая среда», снижении вероятности риска аварий и экономии эксплуатационных расходов за счет внеплановых ремонтов.


Литература

Голофаст С.Л., Владова А.Ю., Лободенко И.Ю. Проектирование, разработка и сопровождение информационной системы геотехнического мониторинга магистрального трубопровода // Наука и технология трубопроводного транспорта нефти и нефтепродуктов, 2016, №2. с 80-87. 

Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971.

Лободенко И.Ю. Действовать на упреждение // Проблемы, решения. Трубопроводный транспорт нефти. 2016, №4. с. 26-27.

Лободенко И.Ю., Федоренко А.А. Методы инженерной защиты объектов магистральных трубопроводов от опасных природных процессов и явлений // Наука и технология трубопроводного транспорта нефти и нефтепродуктов, 2016, №6. с 72-78. 

Нечваль А.М. Основные задачи при проектировании и эксплуатации магистральных нефтепроводов: - Уфа: изд-во УГНТУ, 2005., 201 с.

Рекомендации по расчету свайных фундаментов на вечномерзлых грунтах на горизонтальное сейсмическое воздействие. Красноярск: Красноярский ПромстройНИИпроект, 1974. 17 с.

СП 36.13330.2012 Магистральные трубопроводы. Актуализированная редакция СНиП       2.05.06-85*.

Справочник по строительству на вечномерзлых грунтах. / Под ред. Ю.Я. Велли, В.В. Докучаева, Н.Ф. Федорова. Л.: Стройиздат, 1977. 552 с.

Суриков В.И. Система геотехнического мониторинга и безопасного управления магистральными нефтепроводами, проложенными в сложных природно-климатических условиях // Наука и технология трубопроводного транспорта нефти и нефтепродуктов, 2016, №7. с 48-51. 

Тартаковский  Г.А. Строительная механика трубопроводов. М.: Недра, 1976.

Хрусталев Л.Н. Основы геотехники в криолитозоне. Учебник. М.: Изд-во МГУ, 2005.

Хрусталев Л.Н., Пустовойт Г.П. Вероятностно-статистические расчеты оснований зданий в криолитозоне. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1988. 253 с.





16.......................