Методические аспекты при изучении темы «Логарифмические уравнения и неравенства

ТИТУЛЬНИК
























СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………….…

РАЗДЕЛ 1. Теоретические аспекты при изучении темы «Логарифмические уравнения и неравенства»
       1.1. История возникновения логарифмов………………….….……….
       1.2. Логарифмические уравнения и неравенства……………………...
       1.3. Методы решения логарифмических уравнений и неравенств…..

РАЗДЕЛ 2. Методические аспекты при изучении темы «Логарифмические уравнения и неравенства»
2.1. Анализ учебной литературы по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»………………………………………………………
2.2. Разработка конспекта урока по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств»………………………………………………..
     
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………...................
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………...…….
ПРИЛОЖЕНИЕ ……………………………………………………………..……




















ВВЕДЕНИЕ
     
      Из школьного курса математики мы знаем, что в XVI веке логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, но если это так, то нужны ли они сегодня, в век информационных технологий,  когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложнейшими расчетами? Ведь не изучаются же в современной школе такие старинные средства для упрощения вычислений, как простейшие счетные приборы, например абак, счеты или арифмометр, не изучаются древние алгоритмы умножения и деления чисел, извлечения квадратных и кубических корней. Так зачем изучают логарифмы сегодня? И есть ли методика изучения логарифмических уравнений и неравенств?
     Во-первых, каждый ученик с 5 класса умеет записывать решение  показательного уравнения, например уравнения 2х = 5. А значит, знание логарифмов позволит им решать задачи, сводящиеся к  простейшим показательным уравнениям.
     Во-вторых, логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.
     В-третьих, частое применение находит логарифмическая  функция. Испокон веков целью математической науки было помочь людям  узнать больше об окружающем мире, познать  его закономерности и тайны. Математики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики и связывая эмпирические данные с помощью различных математических зависимостей, тем самым составляют математическую модель явления. Изучение этой модели позволяет людям больше узнать о природном явлении, глубже уяснить его природу и свойства. Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. 
     НОВИЗНА ТЕМЫ
     НАУЧНОЕ ОБОСНОВАНИЕ ТЕМЫ
     «Логарифмические и  показательные уравнения и неравенства» - одна из важных тем школьного курса алгебры и начала анализа. Впервые ученики встречаются с понятием логарифм и логарифмической функцией в 10 классе, после того, как познакомятся с показательной функцией и ее свойствами.  Опыт показывает, что учащиеся в недостаточной степени овладевают теоретическими знаниями по данной теме, у большинства отсутствуют умения решать уравнения и неравенства, ученики часто допускают ошибки решении данного рода задач. Однако следует отметить,  что логарифмические уравнения и неравенства используются на вступительных  экзаменах, и они довольно часто становятся «камнем преткновения». Решение логарифмических и показательных  уравнений, неравенств вызывают у учащихся определенные трудности. Это, связано с тем, что:
      на освоение логарифмических уравнений и неравенств отводится совсем немного часов, задач на эти темы решается не достаточное количество, а уж повышенной трудности тем более;
      решение таких задач требует не только знаний свойств функций,
      в действующих учебниках по математике нет теоретических сведений  и подбора задач по решению таких уравнений и неравенств нестандартными методами решения.
     Однако овладение школьниками теоретическими знаниями по данной теме мне кажется, очень важным и полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки работы с логарифмами, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.
     Чтобы учащиеся смогли успешно решать логарифмические задачи, сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, что необходимо уделять больше внимания теоретическим аспектам решения логарифмических уравнений и неравенств на учебных занятиях, соблюдать методику изучения данной темы.
     АКТУАЛЬНОСТЬ
     Выше изложенное обусловило проблему исследования: недостаточное обучение школьников решению логарифмических уравнений и неравенств, используя при этом определенную методику изучения уравнений и неравенств.
     В связи с актуальностью проблемы, была определена тема выпускной квалификационной  работы: «Методика изучения логарифмических уравнений и неравенств».
     Цель исследования – изучение, систематизация и описание основной методики изучения логарифмических уравнений и неравенств. 
     Объект исследования  – логарифмические уравнения и неравенства.
     Предмет исследования – методика изучения логарифмических уравнений и неравенств.
     В качестве гипотезы мною выдвинуто предположение, что знание методики изучения логарифмических уравнений и неравенств  и разработка конспектов уроков по данной теме  является важнейшим фактором высокого уровня образования в современных общеобразовательных учреждениях, а также позволит повысить уровень профессиональной культуры будущего учителя математики,  и станет непременным элементом его педагогического мастерства.
      Задачи исследования:
      Изучить и проанализировать научную литературу по вопросу возникновения логарифмов.
      Выбрать рабочее определение логарифмического уравнения и неравенства.
      Изучить и систематизировать основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.
      Разработать конспект урока по решению логарифмических уравнений и неравенств описанными методами.
     Данная работа состоит из введения, двух разделов, четырех подразделов, заключения, списка литературы. Во введении даётся краткое обоснование поставленных целей и задач.
     В первом разделе раскрывается теоретические аспекты изучения темы, представлена краткая история возникновения логарифмов, раскрыты понятия «логарифм», «логарифмические уравнения и неравенства», изучены методы решения логарифмических уравнений и неравенств. Во втором разделе приведены результаты анализа учебной литературы по исследуемой теме и дана разработка урока для 11 класса по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТОЛОГИЧЕСКОЙ ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
     Таким образом, можно выделить сделать вывод, что теоретическая значимость исследования «Методика изучения логарифмических уравнений и неравенств» определена следующим образом: «Полученные результаты расширяют представления о методах изучения логарифмических понятий», а практическая значимость исследования состоит в том,  что методика, инструментарий и некоторые результаты работы могут быть использованы в учебном процессе общеобразовательных учебных заведениях в преподавании предмета математики.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
РАЗДЕЛ 1. Теоретические аспекты при изучении темы «Логарифмические уравнения и неравенства»

       1.1. История возникновения логарифмов
     
     Изучение темы «Логарифмические уравнения и неравенства» начинается с изучения понятия логарифма и истории его возникновения. 
     Принцип, лежащий в основе любой системы  логарифмов, известен очень давно  и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древневавилонской  математики. В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, точно еще не были изобретены ни монеты, ни кошельки, но зато использовались корзины, кучи, а также горшки, которые всегда подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Греции, Индии и Китая, неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
     Дошедшие до нас источники свидетельствуют, о том, что древние ученые владели лишь общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако нигде не дано описания этих приемов. Авторы лишь иногда комментировали свои числовые выкладки небольшими фразами типа «Делай так!», «Смотри!», «Ты правильно нашел».  В этом случае исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
     Первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми,  IX век. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем преобразовалось в хорошо всем знакомое слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
     В  течение  XVI веке резко возрос объём работы, связанный с проведением приближённых вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение. Наибольшие проблемы возникали при выполнении операций  умножения  и деления.  Попытки частичного упрощения этих  операций путём сведения их к сложению большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов позволило ускорить и упростить вычисления. Идея логарифма, то есть идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. 
     Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга швейцарцем Иобстом Бюрги (1552-1632)и шотландским учёным Джоном Непером (1550-1617). Первым опубликовал на латинском языке сочинение математик-любитель Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. 
     Бюрги стал работать  над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал свою работу лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около 1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого - «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогрессии, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогрессии. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. 
     По мнению многих историков, появление логарифмов оказало сильное влияние на многие математические концепции, в том числе:
      формирование и признание общего понятия иррациональных и  трансцендентных чисел.
      появление показательной функции и общего понятия числовой функции, числа Эйлера, развитие теории разностных уравнений.
      начало работы с бесконечными рядами.
      общие методы решения дифференциальных уравнений различных типов.
      существенное развитие теории численных методов, требуемых для вычисления точных логарифмических таблиц.
     Первые таблицы на русском языке были изданы в 1703г. при участии педагога XVIII века Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса».
     В школьном курсе алгебры и начала анализа тема «Логарифмические уравнения и неравенства» изучается в 10-11 классах. 
     Знакомство с логарифмами чисел и их свойствами для многих учащихся достаточно сложно. Поэтому полезны подробные и наглядные объяснения понятий «логарифм», «логарифмические уравнения» и «логарифмические неравенства».
     ВЫВОД
     
     1.2. Логарифмические уравнения и неравенства
     
     До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log, то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания - ниже строки, после символа log: log_a?b{\displaystyle \log _{a}b}. Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма – lg, ln.{\displaystyle \lg ,\;\ln } для десятичного и натурального - появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века.
     Логарифмом числа b по основанию a ( b > 0, a> 0, a?1a?1) называют показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы получить число b: a log_a??b=b?
     Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением. 
     Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида 
     loga x = b. 	(1)
     Утверждение 1. Если a > 0, a ? 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab. 
     Пример 1. Решить уравнения: 
     a) log2 x = 4, b) log2 x = -1, c) log_(1/2)?х = 0.
     Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 24 или x = 16; b) x = 2-1 или x = 1/2; c) х = (?1/2)?^0 или x = 1. 
     Приведем основные свойства логарифма. 
     Р1. Основное логарифмическое тождество: 
      a^log_a?b =b,
     где a > 0, a ? 1 и b > 0. 
     Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей: 
     loga N1·N2 = loga N1 + loga N2 (a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0). 
     Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство P2 примет вид 
     loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2| (a > 0, a ? 1, N1·N2 > 0). 
     Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя 
      log_а??N_1/N_2 ?=log_a??N_1 ?-log_a??N_2 ?, (a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0). 
     Замечание. Если , N_1/N_2 >0,  (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3 примет вид 
     log_а??N_1/N_2 ?=log_a???|N?_1 |?-log_a???|N?_2 ? | ,  (a > 0, a ? 1, N1N2 > 0). 
     P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа: 
     loga N k = k loga N (a > 0, a ? 1, N > 0). 
     Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то 
     loga N 2s = 2s loga |N| (a > 0, a ? 1, N ? 0). 
     P5. Формула перехода к другому основанию: 
      log_a??N=log_b?N/log_b?a ?, (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1, N > 0), 
     в частности, если N = b, получим 
      log_a??b=1/log_b?a ?, (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1). 	                                               (2)
     Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства 
     log_(a^c )??b^d=d/c?  log_a??b, ?  (a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), 	                                     (3)
     log_(a^c )??b^c=?  log_a??b, ? 	(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), 	                                     (4)
     log_(a^c )??b=1/c?  log_a??b, ?	 (a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), 	                                     (5)
     и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место 
     log_(a^2n )??b=1/2n?  log_(|a|)??b, ?  (b > 0, a ? 0, |a| ? 1). 	                                     (6)
     Перечислим основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x: 
      Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел. 
      Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел. 
      При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x1 < x2 loga x1 < loga x2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x1 < x2 loga x1 > loga x2). 
      loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ? 1). 
      Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+?), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x  (0;1) и отрицательна при x (1;+?). 
      Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз. 
     Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений. 
     Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a > 0, a ? 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще) 

f(x) = g(x),
 

f(x) = g(x),

f(x) > 0,


g(x) > 0.
     Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем

f(x) = g(x),
 

f(x) = g(x),

h(x) > 0,


h(x) > 0,

h(x) ? 1,


h(x) ? 1,

f(x) > 0,


g(x) > 0.
      Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться «чужие» решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения 
     f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x) 
     или 
     loga [f(x)·g(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b 
     вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже). 
     Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней. 
     Логарифмические неравенства
     Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции. 
     Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств 

f(x) > g(x),

g(x) > 0.
     Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств 

f(x) < g(x),

f(x) > 0.
     Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств 


h(x) > 1,


f(x) > g(x) > 0,


0 < h(x) < 1,


0 < f(x) < g(x).
     Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ? , < , ? . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются. 
     Пример 1. Решить неравенства 
a) log3(x2 - x) ? log3(x + 8);
b)  log_0,2??(5-x)>log_0,2??2/(x-2)? ?;
c)   log_2??(log_(1/3)??(log_8??x))>0? ? ?
     Решение. a) Используя утверждение 1 , получим 
log3(x2 - x) ? log3(x + 8) 
x2 - x ? x + 8,
 
x2 - 2x - 8 ? 0,


x+8 > 0,

x > -8,

     
 

x ? -2,



x ? 4,
 x ? (-8;-2]?[4;+?).


x > -8,

     b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим 
     log_0,2??(5-x)>log_0,2??2/(x-2)? ??{?(5-x<2/(x-2),@5-x>0,)??
     ?{?(((5-x)(x-2)-2)/(x-2)@x<5,)?<0,?{?((7x-x^2-12)/(x-2)@x<5,)??
     ?{?((-(x-3)(x-4))/(x-2)@x<5,)?<0,?{?([(24,)?@x<5,)??
     ?[(2log_2??1?log_(1/3)??(log_8??x)>1.? ? ? ? ? ?
     Запишем 1=log_(1/3)??1/3?  и, используя утверждение 2, получим 
     log_(1/3)??(log_8??x)>log_(1/3)??1/3? ? ??{?(log_8??x<1/3?@log_8??x>0,? )?, ?{?(01,)?,?10; а?1 равносильно системе: {?(f(x)>0,@g(x)>0,@f(x)=g(x).)?
     Задание 2. Решить уравнение
     lg??(2^х+х-5)=х(1-lg??5).? ?
     Решение. ОДЗ уравнения определяется неравенством 2^х+х-5>0.
     Правую часть уравнения преобразуем так,
     х(1-lg??5)=х(lg?10-lg??5)=х lg??2=lg??2^х ? ? ? ?.
     тогда получим
     lg??(2^х+х-5)=?  lg??2^х ??2^х+х-5=2^х?х-5=0?х=5
     Ответ:{5}.
     Метод подстановки
     Обычно метод замены (подстановки) используют после нескольких преобразований данного уравнения. Поясним суть этого метода на примере.
     Задание 3. Решить уравнение
     ??(log?_3??(9х))??^2-6 log_3??х-7=0.?
     Решение. ОДЗ х>0.
     Преобразуем левую часть уравнения, пользуясь свойствами логарифмов.
     ?(log_3?9+log_3?х)?^2-6 log_3?х-7=0.
     Сделаем замену переменной ?log?_3?х=t. Уравнение примет вид:
     ?(2+t)?^2-6t-7=0?t^2-2t-3=0?[(t=-1,)¦(t=3.)?
     Итак, исходное уравнение на своей ОДЗ равносильно совокупности двух уравнений
     [log_3??х=-1,?¦(log_3??х=3?.)?[(х=1/3,)¦(х=27.)??
     Ответ: {1/3;27}.
     Метод приведения к одному основанию
     Как правило, условие примера подсказывает, какому основанию следует перейти. Обычно метод приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.
     Задание 4. Решить уравнение
     20 log_4х??х+7 log_16х??х^3 ?-3 log_(х/2)??х^2 ?=0.
     Решение. ОДЗ уравнения определяется системой
{?((х>0,)¦(х?1/4,)@(х?1/16)¦(х?2.))?
     Переходим к логарифмам по основанию 2.
     20  log_2??х/log_2?4х +7  log_2??х^3 ?/log_2?16х -3  log_2??х^2 ?/log_2??х/2? =0?
     ?20 ( 1/2  log_2?х)/(log_2?4+log_2?х )+7 (3 log_2?х)/(log_2?16+log_2?х )-3 (2 log_2?х)/log_2??х-log_2?2 ? =0.
     log_2??4=2; log_2??16=4? ?, то обозначим log_2??х=у, ? тогда
     10у/(2+у)+21у/(4+у)-6у/(у-1)=0,
     у(10/(у+2)+21/(4+у)-6/(у-1))=0,
     [(у=0,)¦(10/(у+2)+21/(4+у)-6/(у-1)=0.)?
     [(у=0,)¦(5у^2+3у-26=0.)??[(y=0)¦((у=2,)¦(у=-2,6.))?
     Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности
     {?(log_2??х=0,?@log_2?х=2,@log_2?х=-2,6.)??{?(х=1,@х=4,@х=2^(13/5).)?
     Ответ: {1;4;2^(13/5) }.
     Метод логарифмирования
     Уравнения вида f_1 ?(x)?^(f_2 (x))=f_3 (x). Данное уравнение решают методом логарифмирования.  Рассмотрим этот метод на примере.
     Задание 5. Решить уравнение
     х^6 5^log_(1?х)?5 =?11?^?-log?_?(5&11)?5 
     Решение. ОДЗ уравнения определяется системой {?(х>0,@х?1.)?
     Проведем некоторые упрощения,
     5^log_(1?х)?5 =5^log_((1?х )^(-1) )??5^(-1) ? =5^log_х??5^(-1) ? =5^(-log_х?5 ),
     ?11?^?-log?_?(5&11)?5 =?11?^(-log_11??5^5 ? )=5^(-5).
     Поэтому уравнение примет вид:
     х^6 5^(-log_х?5 )=5^(-5).
     Прологарифмируем обе части по основанию х
     log_х??(х^6 5^(-log_х?5 ))?=log_х??5^(-5)?6 log_х??х+(-log_х??5)log_х??5=-5 log_х??5?? ? ? ? ?
     ?6-(log_х??5)^2 ?+5 log_х?5=0.
     Обозначим log_х?5=у, тогда
     у^2-5у-6=0?[(у=6,)¦(у=-1.)?
     Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности
     [log_х??5=6,?¦log_х??5=-1.? ??[(х^6=5,)¦(х^(-1)=5.)??[(х=?(6&5,))¦(х=1/5.)?
     Ответ: {1/5;?(6&5)}.
     Функционально-графический метод
     Суть метода состоит в использовании свойств показательной функции.
     Если невозможно решить уравнение, используя свойства, тогда используют графическую иллюстрации функций, заданных в нем. Рисуем функции в одной системе координат и ищем точки пересечения. Координата этих точек и будет решением уравнения.
     Задание 6. Решить уравнение .
     Решение. По определению логарифма: ,    (так как ,  по определению). Ответ: . 
     рис. 1
     
     Задание 7. Решить уравнение .
     Решение. Это уравнение целесообразнее решать графически. В одной системе координат рисуем графики функций  и . Смотрим, пересекаются ли данные графики. В данном случае они пересекаются в одной единственной точке (1; 0). Решением данного рис.1                                           уравнения будет .
     Методы решения логарифмических неравенств
     Рассмотрим основные методы решения логарифмических неравенств:
     По определению логарифма
     Простейшие логарифмические неравенства имеют следующий вид (). Для их решения используют основное логарифмическое тождество (b=log_a??b^a ?) и получают: 
     (). 
     Теперь делаем выводы: 
     Если a>1, то f(x)>, решаем это неравенство.
     Если 0 0, а1и f(x)>0.
     Задание 8. Решить неравенство:  .
     Решение: Данное неравенство решим по второму способу 
     2,5>1 , т.е. 01, т.е. 20, а1и x>0)  является убывающей при 01.
     Таким образом, справедливы следующие утверждения:
     1)         при a>1.
     2)          при 01,то данное неравенство решаем по аналогии первой системы, только знак первого неравенства системы меняем на противоположный.
     .
                        	                                       х
     7/3                   4	рис. 3
     Ответ: .
     При решении логарифмических неравенств, содержащих несколько различных функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область определения исходного выражения, и лишь затем совершать преобразования, в ходе которых область определения может сужаться или расширяться.
     4) Решить неравенство:.
     Решение: Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области определения.
     
     Получили, что область определения неравенства состоит только из двух точек. Осталось подстановкой выяснить, какие из этих точек удовлетворяют неравенству. 
     При логарифмическое неравенство принимает вид:
      - истинно.
     При  логарифмическое неравенство принимает вид:  - ложно.                                                                                    
     Ответ: .
     Метод подстановки
     Ищем в неравенстве некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым, упрощая вид неравенства. В некоторых случаях, очевидно, что удобно обозначить.
     Решить неравенство: .
     Решение: Сразу отметим, что x>0 .
     Заменяем . Тогда имеем , (t+2)(t-1), т.е. 
     Так как  и , то имеем:
      !!!
     С учетом ОДЗ (x>0), получаем .
     Ответ: .
     Обычно замену (подстановку) производят после некоторых преобразований данного неравенства.
     2) Решить неравенство: .
     Решение: Неравенство равносильно системе:
     !!!!
     Заменяем >0, получим неравенство:
     .
                  +              -                +	х
                          -2               3                .  Рис.5
     Вернемся к замене. Так как t>0, то рассматриваем только положительные значения:
     .
     Ответ: .
     Метод приведения к одному основанию
     Обычно условие примера подсказывает, к какому основанию следует перейти. Как правило, метод приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.
     Решить неравенство: .
     Решение: 
     ОДЗ: 
     Все слагаемые приведем к одному основанию:
     !!!!!
     .
     
     Воспользуемся свойствами логарифма и получим:
     , т.к.  , то .
     , D<0, числитель дроби всегда >0, значит и знаменатель должен быть >0.
     Ответ:.
     2) Решить неравенство: .
     Решение:
     Приведем обе части неравенства к одному основанию
     .
     Так как основание степени , то имеем: 
     .
     Функция  определена при 
     Заменяем .
     Тогда имеем: .
             +             -             +	х
                     1              5               .  Рис.6
     Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
     
     Так как основание логарифма больше 1, то:
     
     Ответ: .
     Метод логарифмирования
     При решении неравенств вида    обычно следуют следующей схеме:
     Находят ОДЗ неравенства, исходя из того, что на ОДЗ функции f(x) и g(x)  определены и положительны.
     Логарифмируют неравенство, т.е. заменяют неравенство равносильным ему на ОДЗ при a > 0,  неравенством .
     Решают полученное неравенство. Его решения и будут решениями исходного неравенства.


     ВЫВОД




















РАЗДЕЛ 2. Методические аспекты при изучении темы «Логарифмические уравнения и неравенства»
     2.1. Анализ учебной литературы по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»
     
     При подготовке теоретической части темы «Логарифмические уравнения и неравенства» и исходя, из анализа различной литературы можно сделать вывод, что не во всех учебниках дается теоретический материал изучения методов решения логарифмических уравнений и неравенств, в некоторых учебниках представлены разборы примеров и отсутствует теория.
     Таким образом, чтобы подтвердить гипотезу  ВКР, было принято решение произвести логико-методологический анализ учебной литературы 10-11 класса по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» и рассмотреть основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.
     Проведём  логико-математический анализ темы «Логарифмические уравнения и неравенства» в различных школьных учебниках. С этой целью выясним:
      какие новые понятия рассматриваются, даются ли им определения;
      какие новые утверждения изучаются, что они отражают, каковы основные идеи доказательств;
      какие новые виды задач и примеров рассматриваются в объяснительном тексте, каково их назначение, приводятся ли алгоритмы их решения;
      какие задачи приводятся в задачном материале пункта.
     В качестве экспериментальной базы УМК предмета «Математика»  нами были выбраны учебники 10-11 классов МКОУ СОШ  № 6  с. Гофицкого.
     В ходе исследования было рассмотрено пять школьных учебников различных авторов и года издания. В рассматриваемых учебниках ис-следуемой теме отводится разное место.  В школьном курсе алгебры и начала анализа, понятие логарифма вводится по учебнику С. М. Никольского (13 часов). А по учебнику Н. Я. Виленкина (40 часов), А. Н. Колмогорова (18 часов), А. Г. Мордковича (20 часов) в 11 классе изучается.
     Учебник А. Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа, 10 класс». Часть 1. Учебник, 2004 г. [2]
     Глава 3. Показательная и логарифмическая функции
     § 17. Логарифмические уравнения.
     § 18. Логарифмические неравенства.
     Учебник С. М. Никольского «Алгебра и начала математического анализа, 10 класс», 2009 г.[5]
     Глава 1. Корни, степени, логарифмы.
     §6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
     6.2.Простейшие логарифмические уравнения.
     6.3.Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.
     6.5.Простейшие логарифмические неравенства.
     6.6.Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.
     Учебник  А. Н. Колмогорова «Алгебра и начала математического анализа, 10-11 класс», 2008 г.[1]
     Глава 4. Показательная и логарифмическая функции.
     §10. Показательная и логарифмическая функции.
     39. Решение логарифмических уравнений и неравенств.
     Учебник Н. Я. Виленкина  «Алгебра и математический анализ, 11 класс», 2001 г. [6]
     Глава 8. Показательная, логарифмическая и степенная функции.
     §2.Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
     §3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства.
     §4. Решение логарифмических уравнений и неравенств.
     Учебник М.И. Шабунина  «Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень, 10 класс», 2007 г. [4]
     Глава 10. Степенная, показательная, логарифмическая функции. 
     §5. Логарифмические уравнения.
     §6. Показательные и логарифмические неравенства. 
     Проанализируем пункты каждого из учебников  в отдельности.
     Так, во втором учебнике, С. М. Никольского тема «Логарифмические уравнения и неравенства» разделена двумя отдельными пунктами. Логарифмическое уравнение вводится следующим образом:
      «Пусть  a – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда уравнение  называют  простейшим логарифмическим уравнением». Затем в параграфе рассматриваются различные примеры решения уравнений. В следующем параграфе рассматриваются уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. [166]
     Логарифмические неравенства вводятся следующим образом:
     «Пусть  a – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда неравенства log_а?х > b и  log_а?х < b  называются простейшими логарифмическими неравенствами».[178]
     После введения определения в параграфе рассматриваются примеры решений неравенств. В следующем параграфе рассматриваются неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. [178]
     В  учебнике А. Н. Колмогорова тема «Логарифмические уравнения и неравенства» рассматривается в пункте «Решение логарифмических уравнений и  неравенств».  
     В данном учебнике, сразу и без определения даётся простейшее логарифмическое уравнение и рассматриваются его свойства на примере логарифмической функции, из определения логарифма делается вывод, что является его решением. Далее рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений и неравенств. 
     В учебнике М.И. Шабунина  темы «Логарифмические уравнения» и «Логарифмические неравенства» [4] изложены в отдельных параграфах. Логарифмические уравнения и.......................