Показательные уравнения и неравенства и методика их изучения в профильных классах средней школы

Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Оренбургский государственный педагогический университет»

Физико-математический факультет


Кафедра математического анализа и методики  преподавания математики


ЕЖЕЛЕВА ЕЛЕНА ВИКТОРОВНА


ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА И МЕТОДИКА ИХ ИЗУЧЕНИЯ В ПРОФИЛЬНЫХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
(бакалаврская работа)


Квалификация – бакалавр
Направление подготовки (специальность)– 44.03.01 Педагогическое образование
Направленность (профиль)– Математика
Форма обучения – очная


РУКОВОДИТЕЛЬ      ________________             Н.А. Мунасыпов
                                                                      подпись                              И.О. Фамилия 
«____»__________ 2017 г.
Нормоконтроль пройден  _____________            И.В. Игнатушина
                                                                       подпись                            И.О. Фамилия
«____»__________ 2017 г. 
ДОПУЩЕНА К ЗАЩИТЕ
зав. кафедрой математического анализа и методики преподавания математики
                                                                                   наименование кафедры
                                             _____________           И.В. Игнатушина
                                                                      подпись                            И.О.Фамилия
«____»__________2017г.

Оренбург, 2017
Оглавление
Введение	3
Глава 1. Научно-методические основы изучения показательных уравнений и неравенств	5
§1. Показательная функция: определение, ее свойства и график	5
§2. Методы решения показательных уравнений	11
§3. Методы решения показательных неравенств	20
§4. Метод рационализации	25
§5. Анализ учебников по алгебре и началам анализа на предмет решения показательных уравнений и неравенств	29
Глава 2. Исследование методологической стороны процесса изучения показательных уравнений и неравенств	35
§1. Решение показательных уравнений и неравенств повышенной сложности в ЕГЭ	35
§2. Применение показательной функции в различных областях	40
2.1. Применение показательной функции в физике	41
2.2. Применение показательной функции в природе и биологии	43
2.3.  Применение показательной функции в экономике	46
2.4. Применение показательной функции при решении задач с экономическим содержанием в ЕГЭ	49
2.5. Применение показательной функции в технике	52
§3. Методические особенности изучения показательных уравнений и неравенств в профильных классах средней школы	54
Заключение	61
Список литературы	63
Приложение 1	67
Приложение 2	76


Введение
     На современном этапе развития школьного образования становятся наиболее важными развивающие цели обучения. В связи с этим при изучении математики особую значимость приобретает организованное обучение приемам мышления, рационального выполнения учебной деятельности, что исключительно важно при усвоении трудных тем и решении сложных задач, таких, как показательные уравнения и неравенства. Именно недостаточная сформированность приемов учебной деятельности является одной из причин того, что большинство учащихся совершает ошибки или испытывает затруднения при решении даже несложных задач такого рода.
     Следует отметить, что в разных учебниках алгебры и начал анализа 10–11-х классов порядок изучения тем различный. В большинстве из них, например,в[19] учебнике, тема «Показательная и логарифмическая функции» изучается в одиннадцатом классе, в других – в десятом. Примером может послужить учебник алгебры и начал математического анализа Ш.А. Алимова [1]. Показательные уравнения, неравенства, системы, содержащие показательные уравнения, встречаются в заданиях ЕГЭ. Поэтому изучению методов их решения должно быть уделено особое внимание, т.к. в заданиях ЕГЭ системы, содержащие показательные уравнения и неравенства, могут быть и комбинированными. И для того, чтобы решить правильно систему уравнений или неравенств, нужно научиться решатькаждое показательное уравнение или неравенство в отдельности.
     При решении показательных уравнений и неравенств часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями: 
1) незнание четкого алгоритма решения показательных уравнений, неравенств и их систем;
2) ошибки в преобразованиях, при которых получаются уравнения и неравенства, неравносильные исходным;
3) при введении новой переменной забывают возвращаться к обратной замене.
     Вышесказанное определяет актуальность выбранной темы и полезность ее изучения для применения в будущей профессиональной деятельности.
     Объектом исследования является процесс обучения математике в профильных классах старшей школы.
     Предметом исследования являются методические особенности изучения показательных уравнений, неравенств и их систем в профильных старших классах.
     Цель работы: изучить теоретический материал по теме, проанализировать данную тему в учебниках по алгебре и началам анализа, систематизировать задания ЕГЭ на решение показательных уравнений и неравенств, систематизировать и обобщить методические рекомендации по решению показательных уравнений и неравенств, а также рассмотреть применение данной темы в различных областях.
     Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: 
 изучить свойства и график показательной функции;
 изучить методы решений показательных уравнений и неравенств, рассматриваемых в профильных классах;
 проанализировать материал по теме в учебниках алгебры и начал анализа;
 рассмотреть применение показательных уравнений и неравенств на практике в различных областях.
     
     
     


Глава 1. Научно-методические основы изучения показательных уравнений и неравенств
     
§1. Показательная функция: определение, ее свойства и график
     
     В учебнике алгебры и начал математического анализа (профильный уровень) Ю.М. Колягина[11, с.43] дается следующее определение показательной функции: функция, заданная формулой вида, где a – некоторое положительное число, не равное единице, называется показательной.
     Рассмотрим свойства показательной функции[19, с.81-85].
 Область определения . Это действительно верно, т.к. при положительном значении  выражение  определено для любого действительного числа .Это значит, что график показательной функции простирается вдоль всей оси абсцисс.
 Область значений . Данное свойство имеет графическое истолкование.График показательной функции целиком располагается выше оси .Ведь при возведении положительного числа  в степень с показателем  не может получиться ни нуля, ни отрицательного числа. Это значит, что график показательной функции не может иметь общих точек с осью абсцисс и не может иметь точек в третьей и четвертой четверти. 
 Если , то при , при .
     Если , то при , при .
     И действительно, при  кривые  располагается выше прямой  при и ниже при . Если же , то кривые  располагаются ниже прямой  при  и выше этой прямой при .
Доказательство: пусть , а - любое положительное число. Докажем, что . 
     Если число - рациональное, т.е. представлено в виде , то . Так как , то и .  Корень из числа, большего 1, также больше 1. 
     Если же число - иррациональное, то существуют положительные рациональные числа и , которые являются десятичными приближениями числа : . По определению степени с иррациональным показателем имеем: . 
     Выше мы определили, что число , следовательно, число также должно быть больше 1. Мы доказали, что при  и произвольном положительном значении .
     Если бы число  было отрицательным, то мы имели бы , где число  было бы уже положительным. Поэтому . Следовательно . Таким образом, при  и произвольном отрицательном значении .
     Случай, когда , легко сводится к уже рассмотренному случаю. 
 Функция является монотонно возрастающей при , и монотонно убывающей при [27].
     Пусть  и . Докажем, что . Так как, то , где - некоторое положительное число. Получаем:.
     Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому . Так как , то по 3 свойству показательной функции . Оба множители в произведении положительны, поэтому и само это произведение положительно. Таким образом, мы доказали, что , или .
     Подведем итоги, при  функция является монотонно возрастающей. Аналогичное доказательство можно привести для случая, когда  функция  является монотонно убывающей [29].
 Не ограничена сверху, ограничена снизу.Данное свойство показательной функции наглядно отражено на рисунках 1 и 2.
     Ограниченность функции снизу следует из неравенства , которое выполняется для любого значения  из области определения функции. С другой стороны, какое бы положительное число ни взять, всегда можно подобрать такой показатель , что будет выполняться неравенство , а это и доказывает неограниченность функции сверху.
     Докажем это следующим образом. Возьмем любое число . Рассмотрим его целую часть  и составим число . Обозначим буквой  количество цифр данного числа. Тогда выполнится неравенство . Вычислим значение функции в точке . Получаем: [6].
 Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
 Непрерывна.
 Выпукла вниз.
     Проиллюстрируем свойства монотонности на графиках.
     
     Рисунок 1.
     
     
     Рисунок 2.
     Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:
     Теорема1.Показательное уравнение (где , ) равносильно уравнению [31]. 
     Областью определения уравнения  или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной , при которых одновременно имеют смысл выражения и .
     Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями[15, с.79-82].
     Изучение темы  рассматривается в следующейпоследовательности: степень с натуральным показателем (7 класс); степень с нулевым и целым отрицательным показателем (7 класс); степень с рациональным нецелым показателем (11 класс); степень с иррациональным показателем (11 класс).
     По определению степени с натуральным показателем степень представляет собой произведение  множителей, каждый из которых равен . Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел, можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем:
 основное свойство степени ;
 свойство частного степеней с одинаковыми основаниями ;
 свойство степени произведения ;
 свойство частного в степени ;
 возведение степени в степень .
     Заметим, что все записанные равенства являются тождественными, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство степени  при упрощении выражений часто применяется в виде .
     Рассмотрим каждое из них подробно.
 Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени: для любого действительного числа и любых натуральных чисел  и  справедливо равенство .
     Доказательство. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида  можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как , а это произведение есть степень числа  с натуральным показателем , то есть, . На этом доказательство завершено.
     Рассмотрим пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями  и натуральными степенями  и , по основному свойству степени можно записать равенство . Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений и . Выполняя возведение в степень, имееми , так как получаются равные значения, то равенство  -верное, и оно подтверждает основное свойство степени.
      Свойство частного степеней с одинаковыми основаниями: для любого отличного от нуля действительного числа  и произвольных натуральных чисел и , удовлетворяющих условию , справедливо равенство . Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие  необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как , а на нуль делить нельзя. Условие  вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при показатель степени является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при ), либо отрицательным числом (что происходит при ), а мы ведем разговор о свойствах степеней с натуральным показателем.
     Доказательство. Основное свойство степени позволяет записать равенство . Из полученного равенства  и из связи умножения с делением следует, что  является частным степеней и . Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.
     Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями и натуральными показателями  и , рассмотренному свойству степени отвечает равенство .
 Свойство степени произведения: натуральная степень  произведения двух любых действительных чисел  и равна произведению степеней  и , то есть, .
     Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем . Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как , что равно . 
     Приведем пример. .
 Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени: частное действительных чисел  и ,  в натуральной степени  равно частному степеней  и , то есть, . 
     Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так , а из равенства следует, что является частным от деления на .
     Запишем это свойство на примере конкретных чисел: .
 Теперь озвучим свойство возведения степени в степень: для любого действительного числа  и любых натуральных чисел и степень  в степени равна степени числа  с показателем , то есть, .
     Например, .
     Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка .
     После того, как учащиеся познакомились с показательной функцией, они приступают к изучению показательных уравнений и неравенств. 
     Показательные уравнения и неравенства – это уравнения и неравенства, в которых переменная величина входит в аргумент показательных функций.
     
     
§2.Методы решения показательных уравнений

     Прежде чем приступить к рассмотрению методов показательных уравнений и их систем, во многих учебниках алгебры вводится понятие данного уравнения. Например, в учебнике А.Г. Мордковича [19, с.93]определение формулируется следующим образом: показательными уравнениями называются уравнения вида , где - положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.
     Решить уравнение, значит найти все его корни или доказать, что их не существует. Стандартных методов решения много, а нестандартных - еще больше. Для каждого вида уравнений и неравенств в работе представлен наиболее удобный способ его решения. Трудности могут возникнуть при решении систем, содержащих одно или два показательных уравнения, т.к. нужно правильно определить метод решения.
     При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению простейших показательных уравнений. Методы решения показательных уравнений: 
1) метод уравнивания показателей;
2) метод введения новой переменной;
3) метод вынесения общего множителя за скобки;
4) функционально–графический метод;
5) метод группировки.
     Проиллюстрируем некоторые методы решения показательных уравнений, рассматриваемые в профильных классах средней школы, на примерах.
     I. Алгоритм решения уравнения методом уравнивания показателей: 
1) представить обе части показательного уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями;
2) на основании теоремы 1, если(где, ) равносильно уравнению , приравнять показатели степеней;
3) решить полученное уравнение, согласно его виду (линейное, квадратное и т.д.);
4) записать ответ.
     Пример 1 [24]. Решить уравнение:
.
     Решение.
;
;
;
;
;
;
.
     Проверка: подставим полученный корень в уравнение
;
;
;
- верно.
Ответ: .
     Пример 2. Решить уравнение:
.
     Решение.Перепишем уравнение в виде:
;
;
; т.е. .
(Уже ясно, что )
     Перепишем уравнение, разделив его на .
; т.е. ;
Отсюда ;
.
Ответ: .
     II. Алгоритм решения показательного уравнения методом введения новой переменной: 
1) определить возможность переписать данное уравнение в новом виде, позволяющем ввести новую переменную;
2) ввести новую переменную;
3) решить уравнение относительно новой переменной;
4) записать ответ.
     В большинстве случаев, уравнения, решаемые этим способом, в большинстве случаев сводятся к квадратным.
     Пример 3[11, с.52]. Решить уравнение:
.
     Решение.Пусть , где ,тогда уравнение можно записать в следующем виде:
;
.
;
.
      Сделаем обратную замену:
 или - не имеет корней, т.к. показательная функция не может принимать отрицательные значения; .
Ответ: .
     III. Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки.
     Примечание: выносить за скобки множитель с меньшим показателем.
     Пример 4. Решить уравнение:
.
     Решение.
;
;
;
;
.
     Приравниваем показатели:
;
.
     Находим корни квадратного уравнения:
;
.
Ответ: , .
     IV. Алгоритм функционально-графического метода решения показательных уравнений:
 построить графики двух функций (левая и правая части уравнения);
 найти абсциссы точек пересечения графиков;
 записать ответ.
     Не всегда можно применить графический способ, поэтому не стоит забывать об основных универсальных аналитических методах решения показательных уравнений.
     
     Пример 5[20, с.71]. Решить уравнение:
.
     Решение.


-2
-1
0

9
3
1
	

-2
-1
0

2
3
4


     На графике видно точку пересечения двух функций, эта точка и будет решением искомого уравнения.
Рисунок 3.
Ответ: .

     Пример 6 [8]. Определить количество корней уравнения:
.
     Решение.

1
2
3

1
2
4



.
     Определим по графику точки пересечения, таким образом, найдем количество корнейуравнения.

Рисунок 4.
     На графике видно, что графики функций  и  пересекаются в 1 точке, эта точка и является решением данного уравнения.
Ответ: 1 корень.
     V. Решение показательных уравнений методом группировки.
     Данный способ заключается в следующем: требуется собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней.
     Пример 7. Решить уравнение:
.
     Решение. Сгруппируем слагаемые следующим образом
;
;
;
;
; ;
; 
;
.
Ответ: .
     Далее рассмотрим способы решения систем уравнений. Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений. Существуют четыре основных способа решения систем уравнений: 
 Способ подстановки: из двух данных уравнений выбрать любое и выразитьy через x, затем y подставить в уравнение системы, откуда и найти переменную x. После этого без затруднений можно вычислить переменную y. 
 Способ сложения: в данном способе следует умножить одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении данных уравнений одна из переменных «исчезла».
 Графический способ: оба уравнения системы изобразить на координатной плоскости и найти точку их пересечения. 
 Способ введения новых переменных: сделать замену каких-либо выражений для упрощения системы, далее применить один из выше указанных способов.
     Пример 8. Решить систему уравнений:
.
     Решение.
. 
     Совершим следующую замену: .
     Вернемся к системе уравнений:
     Решим полученную систему методом сложения.
.
     Подставим получившееся значение во 2 уравнение.
. 
     Возвращаясь к замене, получим новую систему показательных уравнений:
.
Ответ: .
     Подведем некоторые итоги: в школьном курсе математики выделяют следующие основные методы решения показательных уравнений.
 Функционально - графический метод (основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций).
 Метод уравнивания показателей (основан на теореме: показательное уравнение (где , ) равносильно уравнению ).
 Метод введения новой переменной.
     В профильных же классах программа обучения строится таким образом, чтобы рассмотреть как можно больше методов решения показательных уравнений.
§3.Методы решения показательных неравенств

     Показательными неравенствами называются неравенства вида, где - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду [16, с.246].
     При решении показательных неравенств используются следующие свойства[16, с.246-247]:
     Из неравенства следует:
если, то, так как функция возрастает;
если, то, так как функция  убывает.
     Аналогично, если, то
Если, то, так как функция    возрастает;
если , то, так как функция    убывает.
     Аналогичные утверждения действительны и для строгих неравенств.
     Выделяют следующие методы решения показательных неравенств:
 метод введения новой переменной;
 графический метод;
 решение неравенств, содержащих однородные функции относительно показательных функций;
 метод уравнивания оснований;
 метод решения, основанный на разложении на множители.
     В учебнике алгебры и начал анализа (профильный уровень) Ю.М. Колягина представлен подробный разбор некоторых показательных неравенств. Рассмотрим один из таких примеров.
     Пример 9[11, с.53]. Решить неравенство:
.
     Решение.Запишем неравенство в виде .
Так как , то функция является возрастающей. Следовательно, при выполняется неравенство ,  а при выполняется неравенство . Таким образом, при  неравенство является верным, а при -неверным, т.е. неравенство выполняется только тогда, когда .
Ответ: .
     Проиллюстрируем некоторые методы решения показательных неравенствна примерах.
      Решение показательных неравенств методом уравнивания оснований.
     Пример 10. Решить неравенство:
.
     Решение. ОДЗ: .
     Так как  ,  тогда данное неравенство можно записать в виде:.
     Показательная функция, где (), является убывающей на множестве R, следовательно, меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента, то есть, но ,  тогда ,  но  показательная функция, где (), является возрастающей на R, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. В результате этих рассуждений получим и решим следующее неравенство: .

Ответ: .
 Решение показательных неравенств методом введения новой переменной и методом интервалов.
     Пример 11[17, с.110]. Решить неравенство:
.
     Решение. Заметим, что , и введем новую переменную , где .
Получим .
     Далее последовательно получаем: ;
;
.
     Применив для решения последнего неравенства метод интервалов, 

находим .
     Вернемся к обратной переменной , получим: ,
,
.
Ответ: .
      Решение показательных неравенств методом почленного деления и методом, основанным наразложении на множества.
Пример 12[18, с.111]. Решить неравенство:
.
     Решение. Преобразуем неравенство к видуи разделим обе его части почленно на :
     .
     Введя новую переменную ,, перепишем неравенство в виде .
     Разложим левую часть неравенства на множители: 
.
     Имеем неравенство .
     Учтя, что , придем к более простому неравенству , т.е. .
     Осталось решить неравенство .
     Получим: - решение заданного неравенства.
Ответ: .
 Решение показательных неравенств графическим методом.
     Пример 13. Решить неравенство:
.
     Решение.
,, .
     Построим графики обеих функций в одной ПДСК.
Рисунок 5.
     Используя график, найдем решение данного неравенства. 
Ответ: .
     Рассмотрим решение системы неравенств.
     
     Пример 14[12, с.326-327]. Решить систему неравенств:
.
     Решение.
.
     Выполнив нетрудные преобразования, получим следующую систему неравенств:
.
Ответ: .
§4.Метод рационализации

     В данном параграфе рассмотрим более подробно один из наиболее интересных методов решения показательных неравенств, а именно метод рационализации. Этот метод известен уже около 50 лет. В разных источниках его называют по - разному: метод декомпозиции, метод замены множителей, обобщенный метод интервалов.
     Решение нестандартных неравенств сопряжено со многими техническими сложностями, что чревато как логическими, так и вычислительными ошибками. Применение стандартных способов решения неравенств часто бывает затруднительным или невозможным. Метод рационализации позволяет избежать многих нежелательных осложнений и ускорить процесс решения неравенств.Данный метод позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические  и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству. Поэтому, прежде чем разбираться с методом рационализации при решении показательных неравенств, следует поговорить о равносильности. 
     Равносильными или эквивалентными называются уравнения (неравенства), множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения (неравенства), которые не имеют корней.
     Пример 15. 
Уравнения  и равносильны, так как имеют одни и те же корни.
     Предположим, что - монотонно возрастающая функция, и числа и принадлежат области определения данной функции. Тогда справедливы следующие утверждения:
 неравенство эквивалентно неравенству , другими словами, неравенство эквивалентно неравенству ;
 неравенство эквивалентно неравенству .
     Сделаем вывод: если - монотонно возрастающая функция, то разность  совпадает по знаку с разностью .
     Рассмотрим применение данного утверждения на конкретном неравенстве. Нам дано: , где  и - монотонно возрастающие функции. Тогда, опираясь на утверждение рассмотренное выше, разность  можно заменить разностью  (того же знака), а разность можно заменить разностью (того же знака). Таким образом, получим следующее рациональное неравенство , которое можно решить методом интервалов.
     Полученное неравенство является следствием исходного, это означает, что оно содержит все решения исходного неравенства, и, возможно, некоторые другие. Чтобы выделить лишние решения, следует пересечь множество решений полученного неравенства с областью определения функций  и .
     Для того чтобы безошибочно пользоваться методом рационализации, следует знать и уметь пользоваться следующей не сложной таблицей.
Дано: - некоторые выражения, - соответствующие им рационализирующие выражения, - функции; - функция или число; - один из знаков . Таблица работает при условии . В 3 и 4 строках дополнительное условие: .
Выражение 
Выражение 









     Не трудно заметить, что нужно запомнить первую и третью строки таблицы. Вторая строка - частный случай первой, а четвертая - частный случай третьей.
     Докажем некоторые «замены», представленные в таблице.
 Из неравенства . Пусть , тогда или (по свойствам логарифмов) .
     Для логарифмов так же существуют «замены», одна из которых .
     С учетом этой замены и условия  получаем: , получаем .
     Аналогично доказываются неравенства .
 Проведем доказательство этого же утверждения немного другим способом. Нам дано неравенство .
     Найдем ОДЗ: . Сложность заключается в том, что неизвестно основание больше 1 или меньше. Запишем следующую совокупность.
.
     Если в 1 системе умножить первое неравенство на второе, то знак не изменится. Знак такого произведения совпадает с исходным знаком неравенства. 
     А если так же перемножить неравенства во второй системе, то знак поменяется и станет снова совпадать с исходным знаком неравенства. Получается, вся совокупность равносильна следующему неравенству: .
 . Доказательство проводится аналогично предыдущему. 
     Для того чтобы лучше понять как работает метод рационализации, рассмотрим конкретные задачи.
     Пример 16. Решить неравенство:
.
     Решение. Воспользовавшись таблицей, переходим к решению следующего, равносильному исходному, неравенства.
;
;
;
; .

Ответ: .

     Пример 17. Решить неравенство:
.
     Решение.
;
;
; .

Ответ: .
     Пример 18 [25]. Решить неравенство:
.
     Решение. Представим  как , т.е. .
     Тогда .
     Применим метод рационализации и получим:
;
.
     Решаем полученное неравенство методом интервалов:

Ответ: 


     §5.Анализ учебников по алгебре и началам анализа на предмет решения показательных уравнений и неравенств
     
     В данном параграфе мы проведем анализ школьных учебников алгебры и начал анализа, для того, чтобы узнать, в каком классе изучают показательные уравнения и неравенства и как преподносится данная тема в каждом из учебников. Для сравнения возьмем 3 учебника алгебры для профильных старших классов общеобразовательной школы:
1) А.Г. Мордкович, Алгебра и начала анализа 11 класс, учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)[19]; 
2) Ю.М. Колягин, Алгебра и начала математического анализа 10 класс, учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) [11]; 
3) С.М. Никольский, Алгебра и начала математического анализа 10 класс, учебник для общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) [21].
     Учебник алгебры А.Г. Мордковича (профильный уровень) [19] дает цельное и полное представление о школьном курсе алгебры и начал анализа, отвечает требованиям обязательного минимума содержания образования.Изложение теоретического материала ведется очень подробно. Построение курса алгебры осуществляется на основе приоритетной функциональной линии.У данного автора также есть учебник алгебры и начал анализа (базовый уровень). Многие главы у данных учебников совпадают, но есть и отличия: простые примеры и рассуждения заменены более сложными и интересными. Другими словами, уровень представления материала в учебнике профильного уровня намного выше, нежели в учебнике базового уровня.
     Прежде чем познакомить учащихся с методами решения показательных уравнений и неравенств, автор знакомит их с такими понятиями, как корень n-ой степени числа и его свойства; функция , ее график и свойства. После изучения данных понятий автор переходит к показательной функции, к решению показательных уравнений и неравенств.
     Сначала вводится понятие показательного уравнения: показательными уравнениями называются уравнения вида, где– положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду [19, с.93].Далее приведена теорема о решении показательного уравнения с одинаковыми основаниями. В учебнике автор выделяет три основных метода решения показательных уравнений: метод уравнивания показателей, функционально-графический метод и метод введения новой переменной.
     Отличительной особенностью учебника является доступное изложение материала, большое количество разобранных примеров. Например, в п.12 на метод уравнивания показателей приведено 2 разобранных примера:
а), где нужно 64 представить как; 
б), где нужно решить квадратное уравнение.
     В следующем параграфе изучаются показательные неравенства. Сначала вводится понятие показательного неравенства: показательными неравенствами называют неравенства вида , где –положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду [19, с.99]. Рассматривается теорема:
     если, то показательное неравенстворавносильно неравенству того же смысла:;
     если , то показательное неравенстворавносильно неравенству противоположного смысла:. 
     При решении неравенств, автор пользуется методами введения новой переменной, уравнивания показателей, почленного деления и др.
     Учебник выпускается в двух частях. В первой части учащиеся могут познакомиться с теорией, а во второй части уже приступить к решению задач.
     В каждом параграфе представлено большое количества заданий. Упражнения сконцентрированы по двум блокам. Первый блок содержит задания базового и среднего уровня сложности, второй блок включает задания среднего и повышенного уровня. По данной теме предлагаются следующие задания: 
1) решите уравнения; 
2) решите систему уравнений; 
3) решите неравенство;
4) найдите наибольшее целочисленное решение неравенства. 
     Следует отметить, что учебник «Алгебры и начал анализа 11 класс (профильный уровень)» [19] используется в профильном старшем классе. Для обычных классов есть другой учебник этого автора, он также представлен в двух частях.
     Учебник алгебры и начал математического анализа Ю.М. Колягина (профильный уровень) [11] считается распространенным учебником алгебры в 10 классе. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. В данном учебнике в конце каждой главы представлена историческая справка. Это позволяет развить интерес к предмету и окружающему миру, расширить кругозор учащихся.
     Автор рассматривает тему «Показательные уравнения и неравенства» в 10 классе, когда многие другие считают правильнее изучать ее в 11 классе. В данном учебнике эта тема представлена  во 2 главе, сразу после изучения темы «Показательная функция, ее свойства и график». В 1 главе представлен материал по следующей теме «Действительные числа. Степень с действительным показателем».
     Сначала предлагается вспомнить понятие функции, изученное еще в 7 классе[11]: если каждому значению  из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определенному правилу число , то говорят, что на этом множестве определена функция. При этом  называют независимой переменной или аргументом, а  – зависимой переменной или функцией. Далее вводится понятие показательной функции, и рассматриваются ее свойства.
     Показательные уравнения и неравенства рассматриваются в одном параграфе, причем их четкого определения в учебнике нет. Автор заостряет внимание на примерах. Стоит отметить, что они очень разнообразные и интересные. 
     В учебнике автор выделяет следующие методы решения показательных уравнений: метод уравнивания показателей, метод введения новой переменной и метод вынесения общего множителя за скобку. А также указывает на свойства возрастания и убывания функций при решении показательных неравенств.
     После изучения 2 главы предлагается ряд упражнений повышенной сложности по данной теме для закрепления полученных навыков. 
     Учебник «Алгебра и начала математического анализа» С.М. Никольского (базовый и профильный уровни)[21] пользуется меньшей популярностью среди учебников алгебры.
     Прежде чем перейти к изучению показательных уравнений и неравенств, автор знакомит нас с корнем -ой степени; с функцией , ее графиком и свойствами; степенью положительного числа, а в данном параграфе выделен специальный пункт, который посвящен показательной функции; с логарифмами. И только после изучения всех перечисленных тем автор приступает к знакомству с показательными и логарифмическими уравнениями и неравенствами. 
     Структура построения данного параграфа сильно отличается от рассмотрения показательных уравнений и неравенств во многих других учебниках алгебры. Предлагаю ее рассмотреть:
 простейшие показательные уравнения;
 далее простейшие логарифмические уравнения; 
 уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного; 
 простейшие показательные неравенства; 
 простейшие логарифмические неравенств.......................