Формирование у учащихся старших классов умения решать показательные уравнения и неравенства в процессе реализации теории поэтапного формирования умственных действий на уроках математики
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
1 Теоретическое обоснование проблемы формирования у учащихся старших классов умения решать показательные уравнения и неравенства на уроках математики
Формирование у учащихся старших классов умения решать показательные уравнения и неравенства как педагогическая задача
Анализ современного педагогического опыта по решению проблемы формирования у учащихся старших классов умения решать показательные уравнения и неравенства в процессе обучения
Выводы по первой главе
2 Опытно-экспериментальная работа по обучению учащихся решению показательных уравнений и неравенств в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий
2.1 Организация экспериментальной работы по обучению учащихся решению показательных уравнений и неравенств в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий
2.2 Методические подходы к формированию умения решать показательные уравнения и неравенства в ходе обучения на основе теории поэтапного формирования умственных действий
2.3 Анализ результатов опытно-экспериментальной работы по обучению учащихся решению показательных уравнений и неравенств в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий
Выводы по второй главе
Заключение
Список использованных источников
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Решение показательных уравнений и неравенств достаточно непростая задача для учащихся 10-11 классов, которой уделяется особое внимание в школьном курсе математики. В учебниках эта тема выделена в самостоятельный параграф, а кроме того, данный вид задач встречается в физике, биологии и, собственно, в ЕГЭ. Непосредственно по этой причине необходимо наиболее подробно сконцентрироваться на исследовании методов решения показательных уравнений и неравенств. Помимо этого, задачи ЕГЭ включают комбинированные системы, состоящие из показательных уравнений и неравенств. Кроме того, показательные уравнения и неравенства зачастую используются на вступительных экзаменах и столь же часто оказываются не по силам абитуриентам.
Показательные уравнения и неравенства, изучаемые в старшей школе, осваиваются обучающимися хуже, так как на их рассмотрение отводится небольшое количество часов, а при их решении учащемуся следует обладать комплексом умений, приобретенных в основной школе, а также новыми познаниями, связанными с каждым из новых видов уравнений и неравенств. Такого объема упражнений, который, как правило, предлагается в учебниках по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов, очевидно, мало для формирования умения решать показательные уравнения и неравенства. Для того чтобы ученики сумели благополучно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, что следует уделять больше внимания решению показательных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.
Ученики зачастую испытывают затруднения в решении показательных уравнений и неравенств в связи с:
незнанием алгоритма решения данного типа задач;
выполнением неравносильных преобразований;
невыполнением обратной замены, забыв вернуться к исходной переменной;
незнанием формул и формулировок теорем при решении показательных уравнений и неравенств;
Цель исследования: обосновать, разработать и экспериментально проверить педагогические условия для реализации формирования у учащихся умения решать показательные уравнения и неравенства в соответствии с теорией поэтапного формирования умственной деятельности.
Объект исследования: процесс обучения математике в старшей школе
Предмет исследования: процесс обучения решению показательных уравнений и неравенств в старшей школе
Гипотеза исследования: формирование у учащихся старших классов умения решать показательные уравнения и неравенства в процессе реализации теории поэтапного формирования умственных действий на уроках математики обеспечивается, если:
учащиеся осознанно усваивают алгоритмы решения показательных уравнений и неравенств каждым из методов;
усвоение пройденных алгоритмов систематически повторяется первоначально с использованием наглядности, а затем на абстрактной основе.
Задачи исследования:
проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу по решению показательных уравнений и неравенств и теории поэтапного формирования умственных действий;
рассмотреть примеры решения показательных уравнений и неравенств различной сложности и задач для самостоятельного решения;
систематизировать сведения о методах решения показательных уравнений и неравенств и их систем в школьном курсе алгебры старшей школы;
разработать методические рекомендации;
провести экспериментальную проверку разработанных материалов и осуществить анализ полученных материалов.
В ходе исследования темы применялись разнообразные теоретические и экспериментальные методы исследования в их сочетании. Основу исследования составил анализ состояния изучаемого вопроса в практике работы школы, а также анализ состояния его изучения в специальной математической и методической литературе.
Практическая значимость проведенного исследования состоит в том, что разработанные методические рекомендации могут быть использованы учителями и практикантами в школе, а также в ходе занятий по элементарной алгебре в педагогическом отделении университета. Весь теоретический материал по теме «Показательные уравнения и неравенства» сгруппирован, приведены алгоритмы решения и разобраны упражнения. Рассмотрены способы решения уравнений, предложены задачи для самостоятельного изучения и укрепления новых знаний и умений. Данные материалы возможно использовать как в школе, так и с целью индивидуального обучения, при подготовке к сдаче ЕГЭ, а также для тех, кто желает углубить собственные знания по теме «Показательные уравнения и неравенства».
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав – теоретической и практической частей соответственно, заключения, списка использованных источников и пяти приложений.
1 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ У УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ УМЕНИЯ РЕШАТЬ ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
1.1 Формирование у учащихся старших классов умения решать показательные уравнения и неравенства как педагогическая задача
К современным теориям развивающего обучения причисляется теория поэтапного формирования умственных действий, разработанная Петром Яковлевичем Гальпериным, которая направлена на развитие у обучающихся умственных действий, понятий, психических процессов (в частности, внимания).
Условием формирования действий считается ориентировочная основа действия (ООД) – это система ориентиров и указаний, сведений о всех компонентах действия (предмет, продукт, средства, состав и порядок выполнения операций). Выделяют 3 типа ООД и 3 типа обучения:
1-й тип обучения характеризуется неполным составом ООД, ориентиры представлены в частном виде и выделяются самим субъектом посредством слепых проб.
2-й тип обучения характеризуется присутствием всех условий, требуемых для верного выполнения действия. Но данные условия предоставляются субъекту:
а) в готовом виде;
б) в частном виде, подходящем для ориентировки только в данном случае.
3-й тип обучения – ООД содержит полный состав, ориентиры представлены в общем виде, свойственном для целого класса явлений. В каждом конкретном случае ООД составляется учащимся самостоятельно с помощью общего метода, который ему предоставляется.
Поэтапное формирование умственных действий согласно данной классификации типов обучения соответствует третьему типу. Однако успешность обучения такого типа определена не только лишь полной, обобщенной и самостоятельно создаваемой ориентировочной основой действия, но и отработкой действия на различных уровнях его формирования (в разнообразных формах).
П. Я. Гальперин выделял шесть этапов формирования умственных действий:
1-й этап – мотивационный. Совершается предварительное знакомство обучающихся с целью обучения, формирование «внутренней», или познавательной, мотивации. На данном этапе необходимо познакомить учеников с определениями показательного уравнения и показательного неравенства и основными методами и способами решения показательных уравнений и неравенств, напомнить учащимся свойства степеней.
Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Пример: 2^(x-1) – 3 = 29.
Простейшее показательное уравнение имеет вид: a^x=a^b, где a>0, a?1, x – неизвестное.
Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Пример: 2^(x^2 )>?2 ?^(x+2).
Свойства степеней, с помощью которых преобразуются показательные уравнения и неравенства: a>0,b>0.
a^0=1, a^1 = a;
a^(m/n) = ?(n&a^m ), где m и n – натуральные числа;
a^(-n)= 1/a^n ;
a^n? a^m = a^(n+m);
a^n/a^m =a^(n-m);
?(a^n)?^m =a^(n?m);
(?ab)?^n = a^n?b^n;
?(a/b)?^n=a^n/b^n .
При решении показательных уравнений и неравенств пользуются также следующими свойствами показательной функции: y=a^x, a>0, a?1:
a^x>0, при всех a>0 и x?R;
a^(x_1 )=a^(x_2 )?x_1=x_2.
Для представления числа в виде степени используют основное логарифмическое тождество: b=a^log_a?b , a>0, a?1, b>0.
Методы решения показательных уравнений и неравенств:
Метод уравнивания показателей;
Метод введения новой переменной;
Метод вынесения общего множителя за скобки;
Функционально-графический метод;
Метод почленного деления;
Метод группировки.
2-й этап – создание схемы ориентировочной основы действия. Школьник разбирается в содержании усваиваемого действия: в свойствах предмета, в результате-образце, в составе и порядке исполнительных операций.
На данном этапе следует показать учащимся алгоритм решения показательных уравнений и неравенств.
Метод уравнивания показателей.
Алгоритм решения показательного уравнения методом уравнивания показателей:
представить обе части показательного уравнения в виде степеней с равными основаниями;
на основе теоремы, если a^f(x) = a^(g(x)), где a > 0, a ? 1 эквивалентно уравнению вида f(x)=g(x), приравниваем показатели степеней;
решаем полученное уравнение, согласно его виду (линейное, квадратное и т.д.);
записываем результат решения.
Метод введения новой переменной.
Алгоритм решения показательного уравнения методом введения новой
переменной:
определить возможность переписать данное уравнение в новом виде, позволяющем ввести новую переменную;
вводим новую переменную;
решаем уравнение относительно новой переменной;
возвращаемся к исходной переменной;
решаем уравнение относительно исходной переменной;
записываем результат решения.
Метод вынесения общего множителя за скобки.
Признаки показательного уравнения, решаемого вынесением общего множителя за скобки:
все степени обладают одинаковыми основаниями;
все показатели степеней обладают одинаковыми коэффициентми при переменных.
Количество степеней может быть любым.
Выносить за скобки допускается степень с любым показателем, однако наиболее комфортно в качестве общего множителя выносить степень с минимальным показателем в том случае, если основание a > 1, и с наибольшим, если a < 1.
Вынести за скобки общий множитель — означает, каждое слагаемое разделить на этот множитель. При делении степеней с одними и теми же основаниями показатели степеней вычитаются. При вычитании наименьшего показателя обретем все степени с положительными показателями (иначе возникнут степени с отрицательными показателями и потребуется иметь дело с дробями, что не столь комфортно).
Функционально-графический метод.
Функционально-графический метод базируется на применении графических картинок или же каких-либо свойств функций.
Алгоритм решения показательного уравнения функционально-графическим методом:
левую и правую части уравнения представить в виде функций;
построить графики двух функций в одной системе координат;
определить абсциссы точек пересечения графиков этих функций, в случае если они существуют;
записать результат решения.
Метод почленного деления.
Представленный метод состоит в том, чтобы поделить каждый член уравнения, имеющий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Сей метод применяется с целью решения однородных показательных уравнений.
Метод группировки.
Способ группировки состоит в том, чтобы собрать степени с различными основаниями в разных частях уравнения и поделить, впоследствии, обе части уравнения на одну из степеней.
Неравенства вида a^f(x) >a^g(x) .
Решение неравенств такого типа базируется на следующих
утверждениях:
Если a>1, то неравенство a^f(x) >a^g(x) эквивалентно неравенству f(x)>g(x);
Если 0a^g(x) эквивалентно неравенству f(x)», допускается этот же метод использовать и при решении неравенств, содержащих знаки «<», «?», «?».
Неравенства вида a^f(x) >b, a>0.
Необходимо рассмотреть два случая:
b?0, тогда a^f(x) >b?x?D(f)
b>0, тогда a^f(x) >b?f(x)>log_a??b ? при a>1
a^f(x) >b?f(x)b эквивалентно неравенству 1>b при x?D(f).
Неравенства вида a^f(x) >b^g(x) .
При решении неравенств данного вида используется логарифмирование обеих частей по основанию a или b. Принимая во внимание свойства показательной функции, имеем:
a^f(x) >b?f(x)>g(x)log_a??b ? при a>1
a^f(x) >b?f(x)0.
t^2-5t+4=0.
[?(t_1=4;@t_2=1. )?
[?(3^x=4;@3^x=1; )?
[?(x_1=log_3??4;?@x_2=0.)?
Ответ: log_3?4; 0.
Пример 2. Решить уравнение: 2^2x+2^x-2=0.
Решение:
Пусть 2^x=t, t>0.
t^2+t-2=0.
t_1=1, t_2=-2.
Так как t>0, то второй корень не удовлетворяет условию.
Возвращаемся к исходной переменной и получаем следующее уравнение:
2^x=1;
2^x=2^0;
x=0.
Ответ: 0.
Метод вынесения общего множителя за скобки.
Пример 1. Решить уравнение: 3^(x+1)-2?3^(x-2)=25.
Решение:
Выносим за скобки степень с меньшим показателем:
3^(x-2) (3^3-2)=25;
3^(x-2)?25=25;
3^(x-2)=1;
3^(x-2)=3^0;
x-2=0;
x=2.
Ответ: 2.
Пример 2. Решить уравнение: 2^(12x-1)-4^(6x-1)+8^(4x-1)-?16?^(3x-1)=640.
Решение:
Приводим все степени к основанию 2:
2^(12x-1)-2^(2(6x-1))+2^(3(4x-1))-2^(4(3x-1))=640;
2^(12x-1)-2^(12x-2)+2^(12x-3)-2^(12x-4)=640;
2^(12x-4)?(2^(12x-1)/2^(12x-4) -2^(12x-2)/2^(12x-4) +2^(12x-3)/2^(12x-4) -2^(12x-4)/2^(12x-4) )=640;
2^(12x-4)?(2^3-2^2+2^1-1)=640;
2^(12x-4)?(8-4+2-1)=640;
2^(12x-4)?5=640;
2^(12x-4)=640/5;
2^(12x-4)=128;
2^(12x-4)=2^7;
12x-4=7;
12x=11;
x=11/12.
Ответ: 11/12.
Функционально-графический метод.
Пример 1. Решить уравнение: 4^x=5-x.
Решение:
Построим в одной системе координат графики функций y=4^x и y=5-x.
Рисунок 1
y=4^x: y=5-x:
x
-2
-1
0
1
2
y
1/16
1/4
1
4
16
x
0
1
y
5
4
Они пересекаются в одной точке (1; 4)
x=1.
Ответ: 1.
Пример 2. Решить уравнение: 5^2x-7^x-35?5^2x+35?7^x=0.
Решение:
Сгруппируем слагаемые, содержащие 5^2x и 7^x:
5^2x-7^x-35?5^2x+35?7^x=5^2x?(1-35)+7^x?(35-1)
Подставим полученное в левую часть уравнения и решим его:
5^2x?(1-35)+7^x?(35-1)=0;
5^2x?(-34)+7^x?34=0;
7^x?34=5^2x?34;
7^x=5^2x.
Последняя запись показательного уравнения многих заводит в тупик.
Тогда, давайте перепишем уравнение в виде 7^x/5^2x =1.
Рисунок 2
Метод почленного деления.
Пример 1. Решить уравнение: 3?4^x+2??25?^x-7??10?^x=0.
Решение:
3?4^x+2??25?^x-7??10?^x=0 – разделим на 5^2x.
3?2^2x+2?5^2x-7?2^x?5^x=0;
3??(2/5)?^2x+2-7??(2/5)?^x=0;
Решим уравнение методом введения новой переменной.
Пусть (2/5)^x=y, y>0;
3y^2-7y+2=0;
[?(y_1=2; @y_2=1/3;)?
[?((2/5)^x=2;@(2/5)^x=1/3;)?
[?(x_1=log_(2/5)??3;?@x_2=log_(2/5)?2.)?
Ответ: log_(2/5)?2; log_(2/5)?3.
Пример 2. Решите уравнение: 5?5^2x-13?5^x?3^x+6?3^2x=0.
Решение:
5?5^2x-13?5^x?3^x+6?3^2x=0 – разделим обе части на 3^2x, получим равносильное уравнение:
5?(5/3)^2x-13?(5/3)^x+6=0;
Выполним замену y=(5/3)^x, y>0;
5y^2-13y+6=0;
y_1=3/5; (5/3)^x=3/5; x_1=-1;
y_2=2; (5/3)^x=2; x_2=25/9.
Ответ: -1; 25/9.
Метод группировки.
Пример 1. Решить уравнение: 3?2^2x+1/2?9^(x+1)-6?4^(x+1)=-1/3?9^(x+2).
Решение:
3?2^2x+1/2?9^(x+1)-6?4^(x+1)=-1/3?9^(x+2) – выполним группировку слагаемых следующим образом:
1/2?9^(x+1)+1/3?9^(x+2)=6?4^(x+1)-3?2^2x;
1/2?9^x?9+1/3?9^x?9^2=6?4^x?4-3?4^x;
4,5?9^x+27?9^x=24?4^x-3?4^x;
9^x (4,5+27)=4^x?21;
9^x?31,5=4^x?21 :9^x;
?(4/9)?^x=3/2;
?(2/3)?^2x=?(2/3)?^(-1);
2x=-1;
x=-0,5.
Ответ: -0,5.
Неравенства вида a^f(x) >a^g(x) .
Пример 1. Решить неравенство: 2^x<1/8.
Решение:
2^x<1/8;
2^x<2^(-3);
x<-3.
Ответ: (-?; -3).
Пример 2. Решить неравенство: 2^(x^2 )>2^(x+2).
Решение:
2^(x^2 )>2^(x+2);
x^2>x+2;
x^2-x-2>0;
x<-1; x>2;
x?(-?; -1)?(2; +?).
Ответ: (-?; -1)?(2; +?).
Неравенства вида a^f(x) >b, a>0.
Пример 1. Решить неравенство: 2^x>5.
Решение:
2^x>5;
2^x>2^log_2?5 ;
x>log_2?5;
x?(log_2?5; +?).
Ответ: (log_2?5; +?).
Пример 2. Решить неравенство: 3^x<6.
Решение:
3^x<6;
3^x<3^log_3?6 ;
xb^g(x) .
Пример 1. Решить неравенство: 2^x?3^(x^2 ).
Решение:
2^x?3^(x^2 ) – прологарифмировав обе части неравенства по основанию 2, имеем:
log_2??(2^x )?log_2?(3^(x^2 ) ) ?;
x??x^2 log_2??3;
x=?x^2 log_2??3?0;
x(?1-xlog_2???3)??0;
x?[0;1/log_2?3 ]=[0;log_3?2 ].
Ответ: [0;log_3?2 ].
Решение показательных неравенств методом замены переменной.
Пример 1. Решить неравенство: 9^x+27<12?3^x.
Решение:
9^x+27<12?3^x;
Пусть 3^x=t, тогда исходное неравенство эквивалентно следующему неравенству:
t^2-12t+27<0;
30.
Решение:
Пусть 4^x=t, t>0;
t^2+t-2>0;
{?(t<-2;@t>1)? , т.к t=4^x, то
{?(4^x<-2<0;-нет решений@4^x>1.)?
4^x>1;
4^x>4^0;
x>0.
Ответ: (0; +?).
Решение неравенств, содержащих однородные функции относительно показательных функций.
Пример 1. Решить неравенство: 4^x-2?5^2x-2^x?5^x>0.
Решение:
Исходное неравенство запишем в виде:
?2?2?^x-2?5^2x-2^x?5^x>0.
В левой части неравенства присутствуют однородные функции относительно 2^x и 5^x. Разделим обе части неравенства на 2^2x, 5^2x или ?10?^x=2^x?5^x. Разделив обе части исходного неравенства, имеем:
?(4/25)?^x-2-?(10/25)?^x>0;
??((2/5)?^x)?^2-?(2/5)?^x-2>0;
Обозначив ?(2/5)?^x=t, получим:
t^2-t-2>0;
t_1<-1; t_2>2;
Поскольку t_1<-1 (посторонний корень) и t_2>2, то исходное неравенство равносильно следующему:
(2/5)^x>2;
?(2/5)?^x>?(2/5)?^log_(2/5)?2 ;
x0.
Решение:
3^(2x^2 )-2?3^(x^2+x+6)+3^(2x+12)>0;
?(3^(x^2 ))?^2-2?3^(x^2 )?3^(x+6)+??(3?^(x+6))?^2>0;
?(3^(x^2 )/3^(x+6) )?^2-2?(3^(x^2 )/3^(x+6) )?3^(x+6)+1>0;
3^(x^2-x-6)-2?3^(x^2-x-6)+1>0;
3^(x^2-x-6)?1;
x^2-x-6?0;
{?(x?3;@x?-2.)?
x?(-?;-2)?(-2;3)?(3;+?).
Ответ: (-?;-2)?(-2;3)?(3;+?).
4-й этап – становление действия в громкой речи. Учащийся, лишенный материальных опор действия, оценивает материал в плане в громкой социализированной речи, обращенной к другому человеку. Это одновременно и речевое действие, и сообщение о данном действии. Речевое действие должно быть детальным, сообщение – ясным другому человеку, осуществляющему контроль над процессом обучения. В этом этапе совершается «скачок» – трансформация от наружного действия к мысли об этом действии. Осваиваемое действие проходит последующее обобщение, однако остается несокращенным, неавтоматизированным.
Ученику дается несколько примеров для самостоятельного решения. При этом он проговаривает и поясняет каждое выполненное действие.
Метод уравнивания показателей.
Примеры для самостоятельного решения:
4^(3-2x)=4^(2-x);
2^(5x+1)=4^2x;
8^x=4^(x-1);
2^x=32;
5^3=?25?^(x+0,5);
?(1/8)=(1/64)^x;
(2/3)^2x=27/8;
5^(x-4)=?25?^2.
Метод введения новой переменной.
Примеры для самостоятельного решения:
4^x+2^x-24=0;
9^x-4?3^x-45=0;
4^x-3?2^x=40;
2^4x-50?2^2x=896;
7^2x-6?7^x-7=0;
9^x-8?3^x-9=0;
?16?^x+4?4_5^x=0;
4^x-9?2^x+8=0.
Метод вынесения общего множителя за скобки.
Примеры для самостоятельного решения:
7^(x+2)-4?7^(x+1)=539;
2^(x+1)+3?2^(x-1)-5?2^x+6=0;
7^x+7^(x+2)=350;
?7?5?^x-5^(x+1)=2?5^3;
3^(x+2)+4?3^(x+1)=21;
5^(1+2x)+5^(2x+3)=650;
6^(x+1)+35?6^(x-1)=71;
4^(x+1)+4^x=320.
Функционально-графический метод.
Примеры для самостоятельного решения:
1+3^(x/2)=2^x;
5^(x-1)=1/2;
4^x=5-x;
3^(-x)=-3/x;
?(1/2)?^3x=2x-3.
Метод почленного деления.
Примеры для самостоятельного решения:
3?2^2x+6^x-2?3^2x=0;
2?2^2x-5?2^x?3^x+3?3^2x=0;
3??16?^x+2??81?^x=5??36?^x;
3?4^2x-4^x?9^x+2?9^2x=0;
6?4^x-13?6^x+6?9^x=0.
Неравенства вида a^f(x) >a^g(x) .
Примеры для самостоятельного решения:
4^(5-2x)<0,25;
?0,4?^(2x+1)?0,16;
5^(x^2-2x-1)<25;
3^x>9^(x-3);
(1/7)^x?49.
Неравенства вида a^f(x) >b, a>0.
Примеры для самостоятельного решения:
(1/4)^x<7;
3^x>5;
(1/3)^x>25;
2^x<6;
(1/2)^x?3.
Решение показательных неравенств методом замены переменной.
Примеры для самостоятельного решения:
?(0,5)?^2x+2<3??(0,5)?^x;
9^(x-1)<3^(x-1)+6;
?25?^x?6?5^x-5;
4^2x-5?4^x+4?0;
4^x-2^(x+1)-24<0.
Решение неравенств, содержащих однородные функции относительно показательных функций.
Примеры для самостоятельного решения:
2^(2x+1)+3^(2x+1)<5?6^x;
5?4^x+2??25?^x?7??10?^x;
6??25?^x-5??10?^x>4^x;
2^(x+1)-3??10?^x>5^(2x+1);
5?9^x+15?5^(2x-1)?8??15?^x.
5-й этап – формирование действия в внешней речи «про себя». Ученик употребляет ту же речевую конфигурацию действия, что и в прошлом этапе, но без участия проговаривания (в том числе и в полголоса). Здесь возможен пооперационный надзор: преподаватель может конкретизировать очередность производимых операций или результат отдельной операции. Этап завершается, когда достигается быстрое и точное выполнение каждой операции и всего действия.
6-й этап – формирование действия в внутренней речи. Школьник, решая задачу, говорит только лишь окончательный результат. Действие становится сокращенным и легко автоматизируется. Однако это автоматизированное действие, исполняемое с предельно возможной для учащегося быстротой, остается безошибочным (при возникновении погрешностей следует возвратиться на один из прошлых этапов). На заключительном, шестом, этапе формируется умственное действие, возникает «феномен чистой мысли».
Сопоставляя поэтапное формирование умственных действий со стихийным научением детей (первый тип обучения), необходимо выделить в первую очередь в целом достоинства в стабильности достигаемых положительных результатов. Стихийное научение – неконтролируемый процесс, на который оказывает большое влияние множество условий, как внешних, так и внутренних. По этой причине окончательный продукт оказывается неустойчивым (в некоторых случаях – успешным, в некоторых – нет), а, непосредственно, учащийся не всегда убежден в правильности полученного результата. Второй тип обучения, более типичный для школы (то, что как правило именуется традиционным обучением), приводит к различной успешности обучения разных детей, т. е. к различным уровням успеваемости. Применение метода формирования умственных действий дает возможность «сглаживать» успеваемость, достичь устойчиво эффективного решения разными детьми определенного класса задач.
Значение теории П.Я. Гальперина заключается в том, что она указывает педагогу, как необходимо строить обучение для того, чтобы результативно формировать знания и действия с помощью основного дидактического средства – ориентировочной основы.
1.2 Анализ современного педагогического опыта по решению проблемы формирования у учащихся старших классов умения решать показательные уравнения и неравенства в процессе обучения
В данном пункте мы проведем анализ школьных учебников алгебра и начал анализа, для того, чтобы узнать в каком классе изучают показательные уравнения и как преподносится эта тема в каждых из учебников. Для сравнения возьмем 3 учебника алгебры для старших классов общеобразовательной школы.
А.Г. Мордкович, Алгебра и начала анализа 10-11 классы, учебник для общеобразовательных учреждений;
А.Н. Колмогоров, Алгебра и начала математического анализа, учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений;
Ш.В. Алимов, Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, учебник для общеобразовательных учреждений.
В первый раз тему «Показательные уравнения неравенства» изучают в 10 классе. Проанализировав учебники, мы можем выяснить в чем сходство и различие теоретического материала, задач.
Учебник алгебры А.Г. Мордковича предоставляет целостное и абсолютное представление о школьном курсе алгебры и начала анализа, соответствует требованиям обязательного минимума содержания образования. Описание теоретического материала проводится весьма основательно. Построение курса алгебры осуществляется на базе первенствующей функциональной линии. В первую очередь нежели познакомить нас с методами решения показательных уравнений и неравенств автор знакомит нас с такими понятиями как, корень n-ой степени числа и его свойства. Далее мы знакомимся с функцией y= ? , ее графиком и свойствами. После мы изучаем логарифмическую функцию, ее свойства. И уже потом переходим к показательной функции и затем, к решению показательных уравнений и неравенств. Сначала вводится понятие показательного уравнения, затем приведена теорема о решении показательного уравнения с равными основаниями. В учебнике предложены методы решения показательных уравнений: метод уравнивания показателей, функционально-графический метод и метод введения новой переменной. В тот момент, когда обучающиеся начинают решать уравнения, они уже знают определение показательной функции, ее свойства и график, новые обозначения и понятия.
Характерной чертой учебника является вразумительное описание материала, большое число разобранных примеров. К примеру, в п.46 «Показательные уравнения», на метод уравнивания показателей приведено три разобранных примера:
2^(2x-4)=64, где 64 нужно представить, как 2^6
?(1/3)?^(2x-3,5)=1/?3, где 1/?3 нужно представить, как 3^(-1)
5^(x^2-3x)=2^(3x-8), где нужно решить квадратное уравнение x^2-3x=3x-8.
В последующем параграфе учебника переходят к исследованию показательных неравенств. Сперва вводится понятие показательного неравенства, затем приведены примеры решения показательного неравенства и представлен способ решения показательного неравенства методом введения новой переменной. Учебник издается в двух частях. В первой части мы можем ознакомиться с теорией, а во второй части уже перейти к решению задач. В каждом параграфе показано большое количество упражнений, которые сосредоточены по двум блокам. Первый блок включает задачи базового и среднего уровня сложности, второй блок содержит задачи среднего и высокого уровня.
По данной теме предлагаются задания:
решить уравнения;
решить систему уравнений;
решить неравенство;
сколько натуральных чисел являются решениями неравенства;
найдите наибольшее целочисленное решение неравенства.
Необходимо выделить, что учебник «Алгебры и начала анализа 10-11 классы» используется в обычном классе. Для профильных классов имеется иной учебник данного автора.
Учебник «Алгебры и начала анализа» А.Н. Колмогорова считается наиболее популярным учебником алгебры в 10-11 классах. Теоретический материал иллюстрируется немалым числом примеров. Задачи для учеников делятся на две части. Первая часть задач - необходимый минимум для учащихся, который они обязаны уметь решать. В следующей части задачи немного труднее. Кроме того, в конце каждой темы можно заметить задачи и вопросы на повторение, что может помочь для подготовки к контрольной работе.
В учебнике отлично изложен вспомогательный материал, увлекательные факты, история жизни ученых, возникновение терминов. Это дает возможность привить заинтересованность к предмету и окружающему миру.
Содержание учебника Колмогорова: сперва осваивается глава «Функции», в которой рассматривается показательная функция. В последующей главе автор переходит к показательным уравнениям и неравенствам. Однако точные определения показательного уравнения и неравенства в учебнике отсутствуют.
В учебнике представлены следующие задания:
решите уравнения;
решите систему уравнений;
решите неравенства;
решите графически неравенства.
В учебнике рассмотрены: методы уравнивания показателей, метод введения новой переменной и метод вынесения общего множителя за скобку при решении показательного неравенства. Кроме того, указывается на свойства возрастания и убывания функций при решении показательных неравенств. Затем рассматривается решение системы показательных уравнений.
Учебник «Алгебра и начала математического анализа» Ш.В. Алимова наименее известен среди учебников алгебры. Изложение учебника уже близко подступает к математическому анализу. В учебнике весьма большое количество разобранных примеров, графических иллюстраций к решению задач. Упражнения, предоставляемые в параграфе, распределены на два уровня: средний и высокий. В конце учебника к каждому параграфу имеются вспомогательные задачи, которые могут помочь подготовиться к контрольной работе. Прежде чем приступить к решению показательных уравнений и неравенств, автор призывает сперва ознакомиться с показательной функцией, её графиком и свойствами. Представленные в учебнике методы: метод уравнивания показателей, вынесения общего множителя за скобки, метод введения новой переменной. При решении показательных неравенств автор обращает внимание читателя на возрастание и убывание функции. В учебнике предлагается пример решения показательного неравенства графическим способом. Непосредственно, после изучения методов решения показательных уравнений и неравенств, предоставляется решение систем, охватывающих показательные уравнения и неравенств.
Задания, представленные в учебнике:
решить уравнения;
доказать, что уравнение имеет один корень при фиксированном значении х
решить неравенства;
решить графически уравнения;
найти целые значения неравенства на отрезке;
решить графически неравенства;
решить систему.
Проанализировав учебники, можно сделать заключение о том, что в абсолютно всех трех учебниках практически идентичный порядок освоения темы, однако способы решения показательных уравнений представлены различно. Теоретическое описание данной темы, упражнения, продемонстрированные в учебнике алгебры и начал анализа, предпочтительнее под редакцией А.Г. Мордковича.
ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ
В первой главе выпускной квалификационной работы изложено теоретическое обоснование проблемы формирования у учащихся старших классов умения решать показательные уравнения и неравенства на уроках математики.
Подсчитав количество методов решения показательных уравнений и неравенств, представленных в первом пункте, и, проведя анализ школьной литературы, представленный во втором пункте, можно сделать вывод о том, что в школьных учебниках представлены не все методы решения показательных уравнений и неравенств. В связи с этим, у учеников возникают проблемы с решением показательных уравнений и неравенств.
2 ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ОБУЧЕНИЮ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В СООТВЕТСТВИИ С ТЕОРИЕЙ ПОЭТАПНОГО ФОРМИРОВАНИЯ УМСТВЕННЫХ ДЕЙСТВИЙ
2.1 Организация экспериментальной работы по обучению учащихся решению показательных уравнений и неравенств в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий
Экспериментальная работа проводилась в 11 «А» классе МОУ «СОШ № 64 им. Б. Ручьева». Целью эксперимента была проверка гипотезы исследования, согласно которой использование разработанной системы уроков по теме «Решение показательных уравнений и неравенств» способствует формированию у учащихся старшей школы умений решения показательных уравнений и неравенств.
При разработке методического обеспечения приоритет был отдан этапу ориентировки в учебном материале и способах работы с ним, поэтому задачи эксперимента состояли в следующем:
выделить методические рекомендации по формированию у учащихся умений решать показательные уравнения и неравенства;
выявить полноту подобранных групп задач, направленных на освоение учащимися методов решения показательных уравнений и неравенств;
установить иерархию подобранных задач;
проверить эффективность разработанных занятий на качество приобретаемых знаний и умений учащихся.
В эксперименте участвовало 23 учащихся. Система состоит из 5 уроков. Экспериментальная проверка эффективности разработанного курса проводилась в три этапа: констатирующий, обучающий и контролирующий.
На первом этапе учащимся была предложена входная самостоятельная работа, состоящая из заданий, взятых из пособий для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ и пособий для выпускников и абитуриентов. Ее цель – создание противоречий между имеющимися у учащихся знаниями и знаниями, необходимыми для более глубокого изучения темы. На втором этапе были экспериментально проведены занятия разработанного курса. На третьем этапе был проведен контр....................... |
