Математическое развитие школьников посредством специальных задачных конструкций

      ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
      «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО»
     Арзамасский филиал
     Физико-математический факультет
     Кафедра физико-математического образования
     
     Выполнила: 
     Белова В.И.
     студентка 4 курса
          заочной формы обучения направление «Педагогическое образование» 
     
 «	»	20	г. 
      
    Курсовая работа
    Математическое развитие школьников посредством специальных задачных конструкций
     

Научный руководитель
к. п. н., доцент Миронова С.В.
     «	»	20	г.
       
       
       
       
Арзамас
2017
Содержание
      Введение…………………………………………………………………..3
      Глава 1. Теоретическая основа изучения математического развития школьников посредством специальных задачных конструкций………………5
      1.1. Направления математического развития школьников в педагогической литературе…………………………………………………….5
      1.2. Виды задачных конструкций в обучении математике………….13
      Глава 2. Методы и аспекты математического развития школьников посредством специальных задачных конструкций………………………….21
      2.1. Особенности влияния задачных конструкций на развитие школьников……………………………………………………………………...21
      2.2. Специфика развития школьников посредством специальных задачных конструкций…………………………………………………………..28
      Заключение………………………………………………………………34
      Список литературы……………………………………………………36
      
      
      
      
      
      
      
      




Введение
      Актуальность исследования. Новая парадигма образования в РФ характеризуется личностно ориентированным подходом, идеей развивающего обучения, созданием условий для самоорганизации и саморазвития личности, субъектностью образования, направленностью на конструирование содержания, форм и методов обучения и воспитания, обеспечивающих развитие каждого ученика, его познавательных способностей и личностных качеств.
      В концепции школьного математического образования выделены его основные цели - это обучение учащихся приемам и методам математического познания, формирование у них качеств математического мышления, соответствующих мыслительных способностей и умений. Важность этого направления работы усиливается возрастающим значением и применением математики в различных областях науки, экономики и производства.
      Необходимость математического развития младшего школьника в учебной деятельности отмечается многими ведущими российскими учеными (В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.Б. Истомина, Ю.М. Колягин, Л.Г. Петерсон и др.). Это обусловлено тем, что на протяжении дошкольного и младшего школьного периода у ребенка не только интенсивно развиваются все психические функции, но и происходит закладка общего фундамента познавательных способностей и интеллектуального потенциала личности.  
      Многочисленные факты свидетельствуют, что если соответствующие интеллектуальные или эмоциональные качества по тем или иным причинам не получают должного развития в раннем детстве, то впоследствии преодоление такого рода недостатков оказывается делом трудным, а подчас и невозможным (П.Я. Гальперин, А.В. Запорожец, С.Н. Карпова).
      Цель исследования – изучить математическое развитие школьников посредством специальных задачных конструкций.
      Объект исследования – специальные задачные конструкции как средство развития математического развития школьников.
      Предмет исследования – математическое развитие школьников.
      Для достижения цели ставились и решались следующие задачи:
      1. Рассмотреть направления математического развития школьников в педагогической литературе.
      2. Описать виды задачных конструкций в обучении математике.
      3. Изучить особенности влияния задачных конструкций на развитие школьников.
      4. Определить специфику развития школьников посредством специальных задачных конструкций.
      Для решения поставленных целей и задач были использованы методы исследования: теоретические: анализ педагогической, психологической, методической литературы по проблеме; систематизация полученной информации; синтез.
      Структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
      
      
      
      
      
      
      
      
      




      
      Глава 1. Теоретическая основа изучения математического развития школьников посредством специальных задачных конструкций
      1.1. Направления математического развития школьников в педагогической литературе
      Математическое развитие ребенка младшего школьного возраста мы будем рассматривать в качестве целенаправленного и методически организованного формирования и развития совокупности взаимообусловленных фундаментальных свойств и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности.
      Целью математического развития младших школьников является стимуляция и развитие математического мышления, с учетом возрастного компонента и качеств такого мышления.
      Целенаправленное развитие конструктивного и пространственного мышления является основным направлением при организации математического развития.
      А.В. Белошистая утверждает, что модель изучаемого математического понятия или отношения выступает в роли многофункционального средства изучения свойств математических объектов. Данный подход к формированию начальных математических представлений реализуется с учетом не только специфики математики (науки, которая изучает количественные и пространственные характеристики реально существующих объектов и процессов), но при нем дети обучаются  общим способам деятельности с математическими моделями реальной действительности и способом построения этих моделей [10, с. 87].
      Представляя собой общий прием изучения действительности, моделирование дает возможность эффективного формирования таких приемов умственной деятельности как классификация, сравнение, анализ и синтез, обобщение, абстрагирование, индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, благодаря чему в перспективе стимулируется активное развитие словесно-логического мышления.
      Таким образом, можно полагать, что такой подход обеспечит формирование и развитие математического мышления школьника, а, значит, обеспечит его математическое развитие.
      Н.Б. Истомина отмечает, что на эффективность и качество обучения математике влияют не только глубина и прочность овладения учащимися системой математических знаний, умений и навыков, которые предусматривает программа, но и уровень их математического развития, степень подготовки к самостоятельному овладению знаниями. Итак, у школьников должны сформироваться определенные качества мышления, прочные навыки рационального учебного труда, быть развитым познавательный интерес. Исходя из этого, очевидно, что среди многих существующих проблем совершенствования обучения математике в начальной школе весьма значительна проблема формирования у школьников математического мышления [15, с. 98].
      В процессе обучения накопление знаний играет хоть и не малую, но все же не решающую роль. Со временем человек может забывать ряд конкретных фактов, на основе которых совершенствовались его качества. Однако если они достигли высокого уровня, то человек будет в состоянии справиться со сложнейшими задачами, что означает  достижение им высокого уровня мышления.
      В этой связи в практике школьного обучения от учителя требуется проведение конкретной работы, направленной на развитие у школьников математического мышления.
      В.Г Болтянский пишет, что математическое образование является сложным процессом, в качестве главных целевых компонентов которого можно выделить:
      а) усвоение учащимися определённых математических умений и навыков;
      б) овладение школьниками определёнными математическими умениями и навыками;
      в) развитие мышления учащихся [6, с. 121].
      Относительно недавно была актуальной точка зрения, что за успешной реализацией первой и второй из указанных целей математического образования автоматически последует успешная реализацию и третьей цели, то есть считалось, что математическое мышление развивается стихийно, в процессе обучения математике. В настоящее время ученые установили, что это действительно развивает математическое мышление, но в незначительной степени.
      В связи с этим, современное обучение направлено на то, чтобы превратить развитие мышления школьников в управляемый процесс.
      В современной психологии под мышлением принято понимать социально обусловленный, психологический процесс, неразрывно связанный с речью, направленный на поиск и открытие принципиально нового, являющийся процессом опосредованного обобщённого отражения действительности в ходе её анализа и синтеза. Мышление появляется из чувственного познания на основе практической деятельности и далеко выходит за его границы.
      Л.П. Терентьева утверждает, что математическое мышление - это один из главных компонентов процесса познавательной деятельности школьников, без целенаправленного развития которого невозможно эффективное овладение учащимися системой математических знаний, умений и навыков. Формирование математического мышления младших школьников предполагает целенаправленное развитие посредством математики всех качеств, которыми наделено естественно-научное мышление, комплекс мыслительных умений, находящихся в основе методов научного познания, в естественном единении с формами проявления мышления, связанных с математической спецификой, с постоянным акцентом на развитие научно-теоретического мышления [12, с. 98].
      Коллектив авторов «Методики преподавания математики в средней школе» (В.А.Оганесян, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, В.Я.Соннинский) предложил собственную концепцию математического мышления. «…Под математическим мышлением следует понимать, прежде всего, форму, в которой возникает диалектическое мышление путем познания человеком конкретной науки математики или в процессе использования математических знаний в других науках, технике, народном хозяйстве и т.д. А, во вторую очередь,  специфику, обусловленную самой природой математической науки, её методов, которые применяются для познания явлений реальной действительности, а также теми общими приёмами мышления, которые при этом используются» [14, с. 121].
      Как отмечает Е.Е. Белокурова, математическое мышление обладает специфическими чертами и особенностями, обусловленными спецификой изучаемых при этом объектов, а также особенностью методов их изучения. Для математического мышления характерно появление определённых мыслительных качеств. Это - гибкость мышления, оригинальность, глубина, целенаправленность, рациональность, широта, активность, критичность и доказательность. А также организованность памяти, устная и письменная чёткость и лаконичность [5, с. 45].
      Гибкость мышления выражается в умении находить новые способы решения задачи, выходить за рамки известного способа действия, по-новому решать проблемы при меняющихся исходных данных. А.Эйнштейн отмечал гибкость мышления как характерную творческую черту.
      Шаблонность мышления является противоположностью гибкости мышления. Шаблонное мышление выражается в желании придерживаться известной системы правил при решении задач. Нередко шаблонность мышления является следствием «натаскивания» школьников по определённым видам типовых задач. В большинстве случаев ученики школы приступают к решению незнакомой им задачи тем способом, который пришёл им на ум в первую очередь. Нестандартные задачи направлены именно на преодоление этого качества. Другим качеством математического мышления является активность Для нее характерно постоянство усилий, которые направлены на решение определенной проблемы, желание обязательно решить эту проблему, рассмотреть различные подходы для её решение.
      Развитию данного качества у школьников способствует изучение различных вариантов решения одной и той же задачи.
      Следующее качество – целенаправленность мышления, включающая в себя стремление реализовать разумный выбор действий в процессе решения определенной проблемы, а также направленность на поиск кратчайших путей её решения.
      Целенаправленность мышления позволяет  более экономично решать многие задачи, которые традиционным способом решаются если и не сложно, то достаточно долго.
      В.М. Брадис отмечает, что целенаправленность мышления способствует проявлению рациональности мышления, характеризующаяся склонностью экономить время и средства для решения задачи, стремлением найти оптимально простое в данных условиях решение, применять в ходе решения схемы, условные обозначения.
      Чаще всего рациональность мышления проявляется при наличии широты мышления, которую можно охарактеризовать, как способность формирования обобщённых способов действий. Данные способы имеют широкий диапазон переноса и применения к частным, умение охватить проблему в целом, не упуская при этом значимых деталей; обобщить проблему, увеличить область приложения результатов, достигнутых в процессе её разрешения [12,с. 87].
      Данное качество мышления выражается в готовности учащихся принимать во внимание новые для них факты в процессе уже известной им деятельности. Глубине мышления свойственно умение выявлять, сущность изучаемых фактов в их взаимосвязи с другими фактами.
      Как известно, процесс познания происходит двояко: кроме самого объекта познания, в сознании отражается и его фон, являющийся совокупностью различных свойств, связанных с данным объектом и свойств иных объектов, связанных с ним. Отделение фона от самого объекта является весьма сложным процессом. Величина фона зависит от умения достаточно глубокого изучения данного объекта в его значимых свойствах.
      Таким образом, глубина мышления выражается, в первую очередь, в умении отделять главное от второстепенного, обнаруживать логическую структуру рассуждения, разделять строго доказанное, от того, что принято на веру. Особенно ярко глубина мышления заметна при решении нестандартных задач, например, таких как математические софизмы.
      Все качества, рассмотренные выше, могут развиться лишь при условии активности мышления, которой характерно постоянство усилий, направляемых на решение определенной задачи, желанием довести до конца решение поставленной проблемы, изучить различные подходы к её решению, исследовать возможные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменения условий.
      Активность мышления у школьников, в том числе, выражается  в желании узнать разные способы решения одной и той же задачи, обратится к изучению полученного результата. Учитель поспособствует развитию активности мышления учащихся, если убедит их в том, что принятое в математике условие о невозможности деления на нуль разумно. 
      Антиподом активности мышления является пассивность мышления. Оно возникает в результате формального усвоения математических знаний.
      Также, одним из важных качеств мышления является организованность памяти. Память каждого ученика представляет собой необходимое звено в его познавательной деятельности, на нее оказывают влияние характер, цели, мотивы и конкретное содержание. Очевидно, что в процессе обучения математике очень важно развивать как оперативную, так и долговременную память учащихся; обучать их запоминанию наиболее значимого материала, общих методов и приёмов решения задач; формировать умение систематизировать свои знания и опыт.
      Организованность памяти позволяет соблюдать принцип экономии в мышлении. В связи с этим загружать память учеников ненужной или незначительной информацией - нецелесообразно, не стоит накапливать у них опыт учебной деятельности, которая не принесет пользы  в дальнейшем. Так, например, довольно долгое время учащиеся запоминали решение типовых текстовых задач, которые не несут большого познавательного значения; это довольно плохо сказывалось и на развитии их памяти.
      При обучении математике развитие и укрепление памяти учащихся обусловлено: а) мотивацией изучения; б) составлением плана учебного материала, который необходимо запомнить; в) широкое применение в процессе запоминания сравнения, аналогии, классификации.
      Все вышеизложенные качества математического мышления находятся в тесной взаимосвязи и не проявляются в учебной математической деятельности школьников изолированно.
      Специфика математического мышления выражается не только в особых мыслительных качествах, но и в том, что они характеризуются особыми формами мышления: конкретным, абстрактным, функциональным, интуитивным мышлением.
      Конкретное или предметное мышление – это мышление, обусловленное тесным взаимодействием с конкретной моделью объекта. Выделяют две формы предметного мышления:
      1) неоперативное (наблюдение, чувственное восприятие);
      2) оперативное (непосредственные действия с конкретной моделью объекта) [14, с. 99].
      Чаще всего неоперативным, конкретным мышлением чаще обладают дошкольники и младшие школьники, мыслящие в основном наглядными образами, воспринимающие мир на уровне представлений. Отсутствие владения школьниками понятиями на данном уровне развития, демонстрируют опыты психологов школы Ж. Пиаже. Лично он объясняет ошибочные ответы детей  тем, что у них нет способностей к особым мыслительным операциям (постоянство целого, устойчивое отношение части к целому), без формирования которых овладеть понятием натурального числа невозможно.
      В то же время Ж. Пиаже утверждает, что оперативное конкретное мышление наиболее действенно для подготовки детей к овладению абстрактными понятиями. Самостоятельная мыслительная деятельность развивается именно по мере проведения практической деятельности, которая лежит в основе развивающейся психики ребёнка [19, с. 65].
      Конкретное мышление оказывает значительное влияние на образование абстрактных понятий, в построении особых свойств математического мышления, развитие которых помогает осмыслению математических абстракций. Абстрактное мышление находится в тесной взаимосвязи с мыслительной операцией, которая называется абстрагированием. Абстрагирование носит двойственный характер: негативный (дети отвлекаются от некоторых сторон или свойств изучаемого объекта) и позитивной (школьники выделяют определённые стороны или свойства этого же объекта, которые надлежит изучить).
      В этой связи, абстрактное - это вид мышления, характеризующееся умением мысленно отстраниться от конкретного содержания изучаемого объекта в пользу его общих свойств, подлежащих изучению [1]
      По мнению Л.П. Терентьевой, абстрактное мышление может проявляться в процессе изучения математике:
      а) в явном виде. Например, при изучении понятия геометрического тела в курсе геометрии, мы отстраняемся от всех свойств реальных тел, помимо формы, размеров;
      б) в неявном виде. Например, при счёте предметов конкретного множества мы неявно игнорируем свойства каждого из предметов, полагая, что все предметы одинаковы [18, с. 76].
      Абстрактное мышление делится на: аналитическое мышление; логическое мышление; пространственное мышление.
      Для аналитического мышления характерна чёткость отдельных этапов в познании, полным пониманием, как его содержания, так и осуществляемых операций. Аналитическое мышление не происходит в изоляции от других видов абстрактного мышления. Данный вид мышления находится в тесной взаимосвязи с мыслительной операцией анализа.
      Логическому мышлению свойственно умение выявлять следствия из существующих предпосылок, умение выделять частные случаи из некоторого общего положения, умение предсказывать конкретные результаты на базе теоретических знаний. Решение логических нестандартных задач способствует развитию логического мышления.
      Для пространственного мышления характерно умение мысленного конструирования пространственных образов или схематических конструкций изучаемых объектов и выполнения над ними операции, в соответствии с теми, которые должны были быть выполнены непосредственно над объектами.
      Функциональное мышление, характеризуется осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами, наиболее четко проявляется в связи с изучением функции. Сюда относится:
      - представление математических объектов в движении, изменении;
      -повышенное внимание к прикладным аспектам математики, к причинно-следственным связям.
      Таким образом, в психологии до сегодняшнего дня широко распространены представления о возрастных особенностях математического мышления школьника, истоки которых лежат в ранних исследованиях Ж. Пиаже. Однако исследования Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова, Л. В. Занкова, А.В. Скрипченко и других показали, что изменение содержания и методики преподавания может значительно повлиять на особенности развития математического мышления в младшем возрасте.
      
      1.2. Виды задачных конструкций в обучении математике
      Подбор задач оказывает почти определяющее значение в школьном математическом образовании. Они выполняют мотивационные, дидактические и развивающие функции, а совокупности взаимосвязанных задач целевого назначения (задачные конструкции) являются особым методическим средством, которое способно обеспечить усвоение учебного материла, интеллектуальное развитие обучаемых, удовлетворение их познавательных потребностей [1].
      По мнению А.В. Боровских, Н.Х. Розова, задачные технологии обучения в контексте деятельностного подхода к обучению математике по своей сути представляют собой одно из главных направлений развития методической мысли [2, с. 76]. В процессе его реализации, стоит помнить, что на многое в обучении влияют внешние условия, немало субъективных и ситуативных явлений, появляющихся в результате ряда причин или стечения обстоятельств.
      Конечно же, задачная конструкция не является решением всех образовательных проблем. Это лишь идеальная модель образовательного процесса, и поэтому только односторонне имитирует реальный образовательный процесс.
      Чтобы данная модель стала эффективной, ее необходимо наполнить человеческими измерениями. Мотивы, цели, установки, ожидания и т.п. должны выражаться не в искусственной или отвлеченной форме, а в естественной, легкой  для восприятия каждого учащегося.
      иными словами, эффективно использовать задачную конструкцию может лишь искусный педагог. А гуманизация обучения математике и будет заключаться в том, чтобы в задачной конструкции, как основном средстве организации познавательной деятельности школьников, наиболее полно представить духовное педагогическое начало.
      Как известно, наиболее используемыми в методических изысканиях и практике школьного математического образования задачными конструкциями являются системы задач. 
      Однако ниже мы будем рассматривать другие задачные конструкции - цепочки задач, которые становятся все более популярными при работе с одарёнными школьниками.
      I. Дефиниция.
      Развивающаяся цепочка задач представляет собой совокупность задач целевого назначения, постановка и решение каждой задачи которой (за исключением первой) порождены решением предыдущих задач. 
      Взаимосвязь задач в структуре РЦЗ может носить различный характер. В широком смысле данную взаимосвязь можно называть взаимосвязью порождения. Обобщённая структурная модель цепочки представлена на рис. 1.
      где: З,(г'= 1, 2, .. .и) - совокупность взаимосвязанных задач, М,('= 1, 2, ...п-1) - совокупность мотивов, обусловливающих их постановку и решение.
      
      
      
      Рис. 1. Обобщённая структурная модель развивающейся цепочки взаимосвязанных задач. 
      II. Отличительные черты развивающей цепочки задач
      1. Наличие внутренней мотивации. Это значительно и весьма деликатное отличие развивающей цепочки задач от других совокупностей задач целевого назначения, которые используются в практике математического образования.
      Учебные мотивы должны исходить изнутри. Они должны вызывать у ученика желание осуществлять познавательную деятельность. Иными словами: узнавать, находить, строить, вычислять, составлять, описывать, формулировать, доказывать и т.п. По мере возможностей, они должны быть предметными, обусловленными конкретной математической закономерностью, числовой или геометрической особенностью, различными формами её проявления. Они должны характеризовать целостью, обеспечивающей единство общего замысла всей деятельности по решению совокупности задач. 
      Наконец, они должны быть действенными, т.е. создающими устойчивое стремление к деятельности, удовлетворяющей появляющееся познавательные потребности. Действенность мотивов подкрепляется рядом условий, самым главным из которых в данном случае выступает посильность решения задачи для школьника.
      Развивающая цепочка задач обеспечивает определенную самомотивацию познавательной деятельности обучаемых. Дальнейшие действия возникают и формируются при непосредственном выполнении самой деятельности. При формулировке следующего задания мотив становится целью дальнейшей деятельности.
      Если обеспечить такие условия цепочки взаимосвязанных заданий могут достаточно сильно увлечь учащихся и проводить их по лестнице познания к открытию математических истин, а, возможно, и к созданию локальных теорий. Они создают в обучении атмосферу творческой поисковой деятельности. На долю педагога выпадает грамотное поддержание накала, направление замыслов и устремлений школьников в нужное русло, «одухотворение» познавательного процесса, насыщение его истинными человеческими ценностями.
      2. Открытость структуры. Структурная модель развивающейся цепочки взаимосвязанных задач, достаточно условна, потому что в реальном познавательном процессе и число, и формулировки порождённых задач могут иметь существенные отличия от планируемых. Некоторые задачи могут вообще не быть поставленными, а лишь предполагаться или рассматриваться как тривиальные. Напротив, могут быть поставлены и решены задачи, которые изначально не предусматривалось (поскольку не было известно их математическое содержание). В таких случаях процессе решения возникает неожиданная гипотеза, которая дает возможность сформулировать новую задачу и получить интересные результаты; в свою очередь из новой задачи могут произойти и многие другие, благодаря которым возможно углубить и расширить представления о некой области математического знания.
      3. Продуктивность деятельности. В большинстве случаев, под продуктивностью в образовании понимается обеспечение строгой нацеленности на реальный, конкретный конечный продукт, который создается учащимся в процессе его деятельности. 
      Классик отечественной психологии С.Л. Рубинштейн [4] писал, что человек, совершивший нечто значительное, становится в некотором смысле другим человеком; но чтобы сделать что-то значительное, необходимо обладать внутренними возможностями для этого. Однако такие возможности человека отмирают, если они не получают реализации; и лишь по мере того, как личность выражается предметно и субъектно в продуктах собственного труда, происходит ее рост и формирование.
      В контексте деятельностного подхода к обучению становится важным определение видов учебной продуктивной математической деятельности, результатов деятельности и методических средств, позволяющих вовлечение школьников в продуктивную деятельность.
      М.И. Зайкин отмечает, что при первом приближении в отношении данного случая сказанное ориентирует на постановку задач, которые предполагают:
      - составление примеров математических объектов;
      - придумывание аналогичных задач;
      - формулировку гипотез;
      - моделирование объектов или процессов;
      - поиск способов доказательства;
      - формулирование вопросов;
      - постановку проблем;
      - поиск различных способов решения (доказательства);
      - построение теорий (локальных) [5].
      4. Индуктивный ход мысли.
      В учебных целях весьма важно придавать индуктивный характер поисковой деятельности учащихся, демонстрируя путь непосредственного «сотворения» математического знания [6]. Он соответствует познавательным возможностям учеников среднего и старшего звена, а также студентов младших курсов колледжей и университетов. Более того, он дает возможность проводить эксперимент на базе математического материала, замечать числовые или геометрические особенности, находить зависимости и закономерности, совершать маленькие «открытия».
      По мнению М.И. Зайкина, С.В. Арюткиной, индуктивному пути познания требуется необходимое время, неторопливость в рассуждениях, неспешность в выводах. Обобщение должно постепенно созреть в сознании активно действующего субъекта, который непременно желает его совершить. Обобщение должно стать органичным итогом мыслительного процесса, закономерным результатом учебного познания, его продуктом. Не вызывает сомнений, что потраченное время здесь окупится качественными сдвигами в интеллектуальном развитии учащихся.
      Для индуктивного познания необходимы вполне осязаемые ориентиры, задающие направление поисково-познавательной деятельности. В качестве них могут выступать параметры изменения задачной ситуации: варьирование числовых данных, изменение условия задачи, преобразование её требования и т.п. [7].
      Первое время они могут задаваться комментариями педагога или непосредственно последовательностью задач в формирующейся цепочке; в идеале задачи должны осознаваться самим решающим. 
      5. Заданность общей логики познавательного процесса. Допуская тактику «свободного блуждания по полю исследования», методика развивающейся цепочки взаимосвязанных задач образует своеобразные «коридоры», прежде всего, чтобы учащийся «не заблудиться» и не ушел в никуда, потеряв интерес к познавательной деятельности, а во вторую очередь, в целях обеспечения возможности прохождения всех основных этапов в процессе получения итогового знания.
      Совокупность мотивов главным образом ориентирована на достижение данной цели. Этому же служит и общая логика познавательного процесса, в которой отображается видовое своеобразие обсуждаемой задачной конструкции. В ней также определяется цикличность в построении поисковой деятельности и самой задачной конструкции. 
      III. Исходная задача в развивающей цепочке задач. Исходная задача в развивающей цепочке задач выполняет особую миссию. В ней заложены начальные, возможно, не осознаваемые во всей полноте, мотивы предстоящей деятельности, в снятом виде задаётся общее направление учебного познания, она являет собой исходную клеточку, прообраз тех умозаключений и обобщений, ради которых данная цепочка задач включается в учебный процесс. Очевидно, что для выполнения такой миссии подойдет далеко не любая учебная задача. Наиболее подходящими являются те, для которых характерен потенциал возможных продолжений. Каждая такая задача является одной из ряда аналогичных задач, выступающих конкретным проявлением общей математической закономерности, которую предстоит установить, осознать, выразить математическим языком. Как утверждает Р.М. Зайкин, то изначально, обучаемый должен принять такую задачу, следовательно, она должна иметь развивающую, гуманитарную, прикладную или иную образовательную ценность [9].И последнее, важно , чтобы задача обладала естественным параметром, которому можно следовать в поисковых устремлениях. Видимость этого параметра делает процесс принятия задачи легче для решающего, обеспечивает благоприятные условия для выбора направления исследования, реализации начальных шагов мыслительного поиска. Для учеников со слабыми способностями к математике он помогает найти среди множества неясных предположений. Более способным к математике он помогает выбирать очередной шаг, иными словами, развивает важнейшее для математика умение определять значимые факты и перспективные направления поиска (исследования).
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      Глава 2. Методы и аспекты математического развития школьников посредством специальных задачных конструкций
      2.1. Особенности влияния задачных конструкций на развитие школьников 
      Важнейшей задачей математического образования является вооружение учащихся общими приёмами мышления, развитие способности понимать смысл поставленной задачи, умение логически рассуждать. Каждому важно научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, отчётливо выражать свои мысли.
      Большие развивающие возможности в этом плане имеют уроки математики. В современной ситуации обучения математике ставятся задачи, связанные не только вооружением школьников математическими знаниями, умениями и навыками, но и развитием познавательных способностей на математическом материале.
      В начальном курсе математике понятие «задача» обычно используется тогда, когда речь идет об арифметических задачах. Они формируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами. Поэтому их называют «текстовыми», « сюжетными», «вычислительными» или «практическими».
      Начальный курс математики ставит основной целью научить младших школьников решать задачи арифметическим методом, который сводится к выбору арифметического действия или действий, моделирующих связи между данными и искомыми величинами. Оно оформляется в виде последовательности числовых равенств или выражением, к которым даются пояснения. 
      А.М. Дедюхин, В.А. Сухомлинский отмечают, что мышление человека, и в частности школьника, наиболее ярко проявляется при решении задач. Любая мыслительная деятельность начинается с вопроса, который ставит перед собой человек, не имея готового ответа на него. Человек может мыслить с разной степенью обобщённости, в большей или меньшей степени, опираться в процессе мышления на восприятие, представления или понятия. В устном счёте можно предлагать задачи на смекалку и на развитие логического мышления. Вычисления в этих задачах должны быть нетрудоёмкими, чтобы не отнимали много времени на уроке, но заставляли думать. При этом развиваются такие приёмы логического мышления, как синтез, аналогия, сравнение, классификация, обобщении, необходимые для интеллектуального роста каждого ребёнка [14, с. 88].
      Одним из важнейших условий построения обучения, которое способствует развитию мыслительной деятельности школьников на уроках математики, является пробуждение их к самостоятельной мысли. Развитие у школьников теоретического сознания и мышления есть следствие того, что соответствующими знаниями, умениями и навыками учащиеся овладевают в форме учебной деятельности. Это овладение теоретическими знаниями происходит в диалоге, дискуссии, в их сознании постоянно функционирует анализ, обобщение, планирование, рефлексия.
      Как утверждает В.П. Труднев, комплексное развитие детского интеллекта в младшем школьном возрасте идет в несколько различных направлениях: усвоение и активное использование речи как средства мышле.......................