ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»
Московский институт электроники и математики
Кухарева Мария Эдуардовна
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ФОРЕКС МЕТОДАМИ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ
Выпускная квалификационная работа – магистерская диссертация
по направлению подготовки 01.04.02 «Прикладная математика и информатика»
студента образовательной программы магистратуры
«Математические методы моделирования и компьютерные технологии»
Студент
___________________
М.Э. Кухарева
Рецензент
звание, должность
___________________
О.В. Вальба, доцент
Руководитель
звание, должность
___________________
М.В. Тамм, доцент
Москва 2017
АННОТАЦИЯ
Данная работа посвящена исследованию временных рядов рынка FOREX с помощью методов случайного блуждания.
Основная задача работы – проверить, что распределение плотности вероятностей временного ряда рынка FOREX, при увеличении дельты разности цен приводится к распределению Гаусса.
В процессе работы исследовались временные ряды, на примере пары валют Евро-Доллар.
Проверка была реализована при помощи программных продуктов MS Excel, SQL Server 14 и Origin 8.
Работа содержит 39 страниц текста и 34 рисунка.
ABSTRACT
This work is devoted to the study of time series of the FOREX market with the help of random walk methods.
The main task of the work - to check that the distribution of the probability density of the time series of the FOREX market, with an increase in the price difference between the delta is a Gaussian distribution.
In the process of work has investigated the time series of the FOREX market, for example the currency pair Euro-Dollar.
Test was realized with the help of software MS Excel, SQL Server14 and Origin 8.
The explanatory slip contains 39 pages and 34 pictures
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение. 5
Глава 1. Обзор литературы. 6
1.1. Уравнение диффузии (основные понятия). 6
1.2. Распределение вероятностей. 8
1.3. Распределение длины шага. 11
1.4. Коэффициент эксцесса. 17
Глава 2. Статистический анализ временных рядов Forex. 19
2.1. Сбор и подготовка данных. 19
2.2. Реализация приращений. 21
2.3. Демонстрация приближения данных к распределению Гаусса. 24
2.4. Нахождение коэффициента эксцесса. 35
Заключение 38
Список литературы 39
Введение.
В рамках данной работы проведем анализ зависимости вида распределения плотности вероятности, от временного интервала разности цен временного ряда евро-доллар за 2004 год. В частности, мы покажем, что распределение плотности вероятности временного ряда приближается к распределению Гаусса на больших временных интервалах. Для проверки данного утверждения необходимо произвести расчеты для определения математического ожидания, среднеквадратического отклонения, нормального распределения и другие. Графически отобразим зависимость нормального распределения и распределения нормированного количества уникальных значений разности цен. Наглядно убедимся в корректности утверждения. Для количественной оценки близости распределения плотности к распределению Гаусса используем коэффициент эксцесса.
Обзор литературы.
Уравнение диффузии (основные понятия).
Случайные блуждания – это траектории, чьи последовательные шаги направлены в случайных направлениях. Они часто возникают в статистической механике: как суммы флуктуирующих величин, как траектории частиц, претерпевающих случайные столкновения, как формы длинных связанных цепей, например полимеров. В этих системах можно отметить два типа возникающего крупномасштабного поведения:
Отдельное случайное блуждание, если оно содержит достаточно большое количество шагов, становится фрактальным или масштабно инвариантным.
Распределение вероятности для положения конечной точки блуждания подчиняется простому континуальному закону – уравнению диффузии.
Данные свойства являются универсальными и не зависят от микроскопических деталей блуждания ^([3]).
Рассмотрим подробнее уравнение диффузии.
В непрерывном пределе, когда пространственные и временные масштабы велики, в ансамбле нерегулярных, изломанных случайных блужданий возникает простое коллективное поведение. Эволюция этих поведений описывается уравнением диффузии:
?P/?t=D (?^2 P)/(?x^2 ) , (1)
где D – коэффициент диффузии.
Уравнение (1) описывает изменение со временем плотности вероятности P(x,t) и непрерывный предел несмещенного случайного блуждания.
Prob[частица ?(x,x+dx)]?P(x,t)dx (2)
Необходимо задать начальные условия, для которых: P(x,0)=?(x), что соответствует блужданию из начала координат.
Положим, что случайное блуждание не имеет сноса, тогда среднее смещение будет равно:
?x???_(-?)^??xP(x,t)dx=0 (3)
?x^2 ???_(-?)^???x^2 P(x,t)dx? (4)
Чтобы показать, что плотность вероятности имеет распределение Гаусса, воспользуемся методом анализа размерности и свойством масштабной инвариантности.
1) Анализ размерности.
Среднеквадратичное отклонение должно зависеть от коэффициента диффузии D и от времени t. Для того чтобы показать эту зависимость воспользуемся анализом размерности.
Обозначим через L – единицы длины, а T – единицы времени, то из (1) размерности ?x^2 ?, D и t будут равны:
[?x^2 ?]=L^2, [D]=L^2/T, [t]=T. (5)
При комбинировании данных параметров можно получить только само среднеквадратичное отклонение и произведение Dt. Таким образом
?x^2 ?=C?Dt , (6)
где C – численная константа.
Полученное уравнение (6) является одним из центральных результатов неравновесной статистической физики. Чтобы определить численную константу С, необходимо домножить (1) на x^2 и проинтегрировать по пространственной координате. Получим:
d/dt ?x^2 ?=2D
И следовательно С = 2 ^([5]).
2) Масштабная инвариантность (Скейлинг).
Применим анализ размерности к плотности вероятности P(x,t|D), где зависимость от D указана явно, следовательно плотность существенно зависит от коэффициента диффузии. Так как [P]=L^(-1), то величина ?Dt P(x,t|D) – безразмерна и может зависеть только от безмерных величин. Из переменных x, t, D можно составить только одну безмерную величину x/?Dt. Следовательно общая зависимость плотности от основных переменных, которая допустима при анализе размерностей, выглядит следующим образом:
P(x,t)=1/?Dt ?(?), (7)
где ? – скейлингова переменная и ?= x/?Dt.
Теперь плотность зависит от единственной переменной ?, а не от двух основных переменных x и t. Данное свойство упрощает анализ типичных уравнений в частных производных, которые описывают неравновесные системы. Уравнение (7) называют скайлинговым анзацем. Нахождение правильного скейлингового анзаца часто является большим шагом на пути к решению. При подстановке (7) в уравнение диффузии (1), уравнение в частных производных к обычному дифференциальному уравнению
?2??^''+??^'+?=0.
Проинтегрировав дважды и использую симметрию (?^' (0)=0) и нормировку, получим:
?=?(4?)?^(-1/2) e^(-?^2/4),
что приводит к распределению Гаусса:
P(x,t)=1/?4?Dt exp?[-x^2/4Dt]. (8)
Таким образом плотность вероятности имеет распределение Гаусса ^([1]).
Распределение вероятностей.
Рассмотрим случайное блуждание в дискретном времени на одномерной решетке. На каждом шаге частица смещается на единичную длину вправо с вероятностью p или влево с вероятностью q=1-p. Вероятность P_N (x) нахождения частицы в узле x через N шагов подчиняется рекурсии:
P_N (x)=pP_(N-1) (x-1)+qP_(N-1) (x+1) (9)
Заметим, что вероятность П_N (r) того, что блуждание сделает r шагов вправо и N-r шагов влево, имеет биноминальный вид:
П_N (r)=(?(N@r)) p^r q^(N-r). (10)
Биноминальный коэффициент (?(N@r)) учитывает число различных сочетаний шагов вправо и влево, включающих r шагов вправо, тогда как множитель p^r q^(N-r)- это вероятность одного такого блуждания. Так как рассматривается случайное блуждание из начала координат, то общее смещение будет x=2r-N.
Воспользуемся приближением Стирлинга для больших N, чтобы упростить биноминальное распределение. Получим, что P_N (x)=П_N [r=(x+N)/2]|dr/dx|, превращается в
P_N (x)?1/?8?Npq e^(?-[x-N(p-q)]?^2/8Npq). (11)
P_N (x) вдвое больше, чем показано в (11), когда x и N имеют одинаковую четность, и P_N (x)?0, если четность x и N разная.
Данный гауссов вид универсален и возникает, когда среднее и среднеквадратичное смещение за один шаг конечны.
Рассмотрим симметричный случай, когда прыжки вправо и влево происходят с одинаковыми интенсивностями, которые мы полагаем равными единице. Обозначим через P_n (t) – вероятность того, что блуждание находится в узле n в момент t. Основное кинетическое уравнение для такой вероятности заполнения имеет вид:
(?P_n)/?t=P_(n+1)-?2P?_n+P_(n-1). (12)
Рисунок 1. Случайное блуждание с шагами одинаковой интенсивности.
Случайные блуждания в непрерывном времени с прыжками вправо и влево с интенсивностью = 1 ^([1]).
Здесь P_n растет за счет прыжков из n±1 в n, и, наоборот, P_n убывает из-за прыжков из n в n-1 и в n+1. Решение уравнения (12) дает:
P_n (t)=I_n (2t) e^(-2t), (13)
где I_n – модифицированная функция Бесселя порядка n. В пределах большого времени асимптотика функции Бесселя ведет себя как распределение Гаусса:
P_n (t)?1/?4?t e^(?-n?^2/4t). (14)
В непрерывном пространстве уравнение эволюции (12) превращается в уравнение диффузии. Чтобы сделать пространство непрерывным, мы заменяем m?x и P_n (t) на P(x,t) – плотность вероятности координаты x в момент времени t.
Разложим (12) в ряд Тейлора до второго порядка, это приводит к уравнению диффузии с коэффициентом D = 1:
(?P(x,t))/?t= D (?^2 P(x,t))/(?x^2 ) (15)
Решим уравнение (15) используя прямое и обратное преобразование Фурье:
P(k,t)=?_(-?)^???P(x,t) e^ikx dx, ? P(x,t)=1/2? ?_(-?)^???P(k,t) e^(-ikx) dk. ? (16)
Преобразование Фурье упрощает уравнение, возникающее в случайных блужданиях. С помощью преобразования Фурье из уравнения (15) получим:
(?P(k,t))/?t= Dk^2 P(k,t),
с решением P(k,t)=P(k,0) e^(-Dk^2 t). Используя начальные условия P(x,t=0)=?(x), получим P(k,t)=e^(-Dk^2 t). После этого обратим преобразование Фурье и получим распределение вероятностей Гаусса:
P(x,t)=1/2? ?_(-?)^???e^(-Dk^2 t) e^(-ikx) dk=1/?4?t e^(?-x?^2/4Dt) ?, (17)
которое идентично результату (14), полученному в дискретном времени, с коэффициентом диффузии взятым равным 1 ^([1]).
Распределение длины шага.
Предположим, что одношаговое распределение имеет вид:
p(x)={?(?x^(-(1+?)), x>1,@0, 00. Введем параметр обрезания снизу, чтобы избежать усложнений из-за бесконечно малых шагов, тогда как условие ?>0 обеспечивает нормируемость распределения. Используем основные факты о статистике экстремальных величин, чтобы определить два первых момента смещения из N шагов. Основная идея – заменить настоящее одношаговое распределение эффективным распределением p_eff (x), которое описывает лишь блуждания с конечным числом шагов. Эффективное распределение имеет ограниченный носитель, верхний предел которого определяется самым длинным шагом, ожидаемым за конечное число шагов.
Применяя экстремальный критерий
?_(x_max)^???p(x)dx~1/N? (19)
находим x_max~N^(1/?). По построению эта длина дает верхнее обрезание распределения одного шага для блуждания из N шагов. Следовательно, необходимо заменить одношаговое распределение p(x) для бесконечной выборки эффективным одношаговым распределением для блуждания N шагов:
p_eff (x)={?(?/(1-x_max^(-?) ) x^(-(1+?))??x^(-(1+?) ), 11,@1, 01. Тогда для средней длины максимального шага имеем:
?x_max ?=?_1^???xM_N (x)dx=N?_0^1??(1-?)^(N-1) ?^(-1/?) d?=I^' (1-1/?) (I^' (N+1))/(I^' (N+1-1/?) )?I^' (1-1/?) N^(1/?) ??
для N?1, ?=x^(-?).
Таким образом, экстремальный критерий (19) воспроизводит правильную зависимость ?x_max ? от N, а разобранный точный подход требуется для вычисления амплитуды.
Обрезанное одношаговое распределение p_eff (x) теперь соответствует условию центральной предельной теоремы: оба момента ?x? и ?x^2 ? конечны из-за обрезания. Поэтому мы можем вычислить смещение случайного блуждания из N шагов с широким распределением длин индивидуальных шагов, используя p_eff (x) вместо p(x) в формулировке центральной предельной теоремы. Таким образом, средняя длина единичного шага становится:
?x?_eff~??_1^(x_max)??xx^(-(1+?) ) dx~{?(?x_max?^(1-?), ?<1,@lnx_max, ?=1,@конечно, ?>1.)? ? (23)
Поскольку x_max~N^(1/?), величина ?x?_eff имеет следующую зависимость от N:
?x?_eff~{?(N^((1-?)/?), ?<1,@lnN, ?=1,@конечно, ?>1.)?
Аналогично, для ?x^2 ?_eff:
?x^2 ?_eff~{?(N^((2-?)/?), ?<2,@lnN, ?=2,@конечно, ?>2.)?
Так как первые два момента одношагового распределения конечны, центральная предельная теорема дает среднее значение и дисперсию случайного блуждания из N шагов:
?X??N?x?_eff~{?(N^(1/?), ?<1,@NlnN, ?=1,@конечно, ?>1.)?
var(X)=?X^2 ?-?X?^2~{?(N^(2/?), ?<2,@NlnN, ?=2,@конечно, ?>2.)?
Полученные результаты говорят, что самые большие отклонения от гауссова проведения возникают, когда 02) и полетами Леви (00, то плотность вероятности имеет положительный эксцесс, что соответствует тому, что график плотности распределения имеет более острую и высокую вершину, а хвосты распределения находятся выше, чем у нормального распределения. Если хвосты распределения находятся ниже, чем у нормального распределения, а пик более низкий и плоский, то плотность вероятности имеет отрицательный эксцесс и ?_2<0 ^([7]).
Область возможных значений коэффициента эксцесса ?_2?[-2,?).
Рисунок 5. Коэффициент эксцесса ^([8]).
На рисунке изображено три линии, отображающие наглядное различие между значениями коэффициента эксцесса: положительный, нейтральный и отрицательный.
Статистический анализ временных рядов Forex.
Сбор и подготовка данных.
В настоящей работе рассмотрена динамика цен рынка FOREX для пары валют евро-доллар за 2004 год. Данные выгружены с сайта http://ratedata.gaincapital.com/2004/, который предоставляет информацию по продажам на рынке Forex, для удобства обработки загружаем в предварительно созданную базу данных (БД). Используем SQL Server, для написания запросов к БД.
Для удобства рассмотрения данных, приведем их к поминутному распределению. Для этого создаем пустую поминутную таблицу («CTE_Temp»). Рекурсивно раскладываем день на минуты. Затем выбирая нужный нам год, расписываем все дни по заданной функции.
delete from [dbo].[CTE_Temp]
WITH CTE AS (
SELECT 1 as Number
UNION ALL
SELECT Number+1
FROM CTE
WHERE Number < 1440
)
insert into [dbo].[CTE_Temp]
SELECT DATEADD(MINUTE,CTE.Number, t.[Date]) as [DateByMinute]
FROM CTE,(select a.[Date] from [dbo].[Calendar] as a where a.[Year] = 2004) as t
option (maxrecursion 0)
Так как в исходной таблице с данными за каждую минуту могло происходить не одинаковое количество тиков, мы посчитаем среднее поминутно и запишем значения в таблицу («AVG_Temp»).
delete from [dbo].[AVG_Temp]
insert into [dbo].[AVG_Temp]
select
[CurrencyPair]
,dateadd(mi, datepart(mi, [RateDateTime]), dateadd(hh, datediff(hh, 0, [RateDateTime]), 0)) as [RateDateTime]
avg([RateBid]) as [RateBid]
avg([RateAsk]) as [RateAsk]
from [dbo].[CurrencyRates]
group by
[CurrencyPair]
,dateadd(mi, datepart(mi, [RateDateTime]), dateadd(hh, datediff(hh, 0, [RateDateTime]), 0))
Теперь нужно соединить обе полученные таблицы. Тем самым получится таблица («MAIN_TEMP») со всеми минутами за год, но она будет заполнена только теми значениями, которые имеются во второй таблице (посчитанное среднее).
delete from [dbo].[MAIN_TEMP]
insert into [dbo].[MAIN_TEMP]
SELECT tab.DateByMinute
,Replace(c.CurrencyPair,'"','')
,c.RateBid
,c.RateAsk
FROM [dbo].[CTE_Temp] as tab left join [dbo].[AVG_Temp] as c on tab.[DateByMinute] = c.[RateDateTime]
Осталось заполнить пустые ячейки значениями за предыдущую минуту и записать их в новую таблицу («EUR_USD_2004»). Тем самым не останется минут, у которых нет цены.
delete from [dbo].[EUR_USD_2004]
insert into [dbo].[EUR_USD_2004] ([CurrencyPair]
,[RateDateTime]
,[RateBid]
,[RateAsk])
select
t.CurrencyPair
,t.DateByMinute
,ISNULL(t.RateBid, (SELECT TOP 1 RateBid FROM dbo.Main_TEMP WHERE DateByMinute < t.DateByMinute AND RateBid IS NOT NULL ORDER BY DateByMinute desc)) as NewRateBid
,ISNULL(t.RateAsk, (SELECT TOP 1 RateAsk FROM dbo.Main_TEMP WHERE DateByMinute < t.DateByMinute AND RateAsk IS NOT NULL ORDER BY DateByMinute desc)) as NewRateAsk
FROM dbo.Main_TEMP t
order by t.DateByMinute
update [dbo].[EUR_USD_2004]
set [CurrencyPair] = (select top 1 [CurrencyPair] from dbo.Main_TEMP)
Данные готовы к работе.
Реализация приращений.
В рамках данной работы проведем анализ зависимости вида распределения от временного интервала разности цен. Полагаем, что распределение временного ряда приближается к распределению Гаусса при больших временных интервалах. Произведем необходимые подготовительные расчеты для построения.
Для анализа полученных данных найдем разность цен - дельты (d). Разность цен рассчитывается между минутами. Воспользуемся Microsoft Office Excel 2010. Из-за необходимости расчета дельт для нескольких значений, выведем и воспользуемся универсальной формулой:
d_n=x_(n+1)-x_1, (25)
где ?dn?_n – искомая дельта, n – номер дельты (1, 2, 5 и .т.д.), x_(n+1) – конечная цена для данного значения дельты с номером (n+1)?N (N – количество минут в рассматриваемом ряду), x_1 – начальная цена для данного значения дельты с номером = 1.
Для наиболее наглядного результата необходимо найти дельты для значений: 1, 2, 5, 10, 30, 60, 120, 300 и 1440.
Произведем расчет в MS Excel на примере значения дельта = 1. С помощью (25) и встроенной функции «=ОКРУГЛ()», выводя после запятой 5 знаков, рассчитаем значения. Применим полученную формулу для всего столбца значений, номер последнего значения равен 527040. Скопируем полученные данные в новый столбец, удалим повторяющиеся данные и отсортируем их в порядке возрастания. Получили столбец с уникальными значениями дельт (назовем данный столбец «dx»). Теперь необходимо в новом столбце посчитать, сколько раз каждое уникальное значение дельты встречается среди всех дельт, для этого применим встроенную функцию Excel «=СЧЁТЕСЛИ(«диапазон ячеек со всеми дельтами»; «ячейка с уникальной дельтой»)». Применим данную формулу для всех уникальных значений дельт. Для упрощения назовем данный столбец «Count».
Так как при приведении данных к поминутному распределению заполнялись не рабочие дни рынка одинаковыми значениями, то дельты в такие дни равны нулю и их количество является слишком большим, по сравнению с количеством остальных дельт. По данной причине исключим значение дельты равное нулю для упрощения наглядного представления. Вычислим сумму полученного столбца с помощью встроенной функции «=СУММ(«диапазон ячеек столбца Count»)» (Сумма_Count).
Найдем математическое ожидание полученного ряда, для этого в новом столбце перемножим значения столбцов dx и Count, получим столбец «dx*Count». Вычислим его сумму с помощью встроенной функции и получим значение «Сумма_ dx*Count». Таким образом, мы посчитали сумму всех значений дельт. Математическое ожидание рассчитывается как отношение «Сумма_ dx*Count» к «Сумма_Count» (). Выпишем данное значение в отдельной таблице в ячейку «МО».
Рисунок 6. Пример таблицы основных параметров.
При расчете среднеквадратического отклонения для нового столбца необходимо выполнить следующую формулу «=dx^2*Count» (наименование столбца «dx^2*Count»). С помощью встроенной функции вычислим сумму столбца и получим значение «Сумма_ dx^2*Count». Вычислим среднее значение данного столбца как отношение «Сумма_ dx^2*Count» к «Сумма_Count» (). Среднеквадратическое отклонение («?») рассчитаем с помощью встроенной функции «=КОРЕНЬ( - ??^2)». Выпишем данное значение в отдельной таблице в ячейку «Cigma».
Найдем нормальное распределение (Norm) для dx с помощью встроенной функции «=НОРМРАСП(«соответствующая ячейка из столбца dx»;«МО»;«Cigma»;0)». С помощью встроенной функции вычислим сумму столбца и получим значение «Сумма_ Norm».
Произведем нормировку столбца Count (Renorm_count) с помощью следующей функции «dx/Сумма_Count*Сумма_Norm».
Столбцы Log_Norm и Log_count заполним соответствующими прологарифмировнными значениями столбцов Norm и Renorm_count
Пример внешнего вида заполненной таблицы данных:
Рисунок 7.Пример расчетной таблицы данных.
Повторим все выше описанные действия для значений дельт = 2, 5, 10, 30, 60, 120, 300 и 1440.
Демонстрация приближения данных к распределению Гаусса.
С помощью программного продукта Origin 8 представим полученные данные графически. На рисунках 8 - 16 изображено два графика, один из которых отображает нормальное распределение, а другой распределение нормированного количества уникальных дельт. Данные графики построены на основании столбцов Norm и Renorm_count относительно столбца dx.
Рисунок 8.Нормальное распределение и распределение нормированного количества (дельта = 1)
Рисунок 9.Нормальное распределение и распределение нормированного количества (дельта = 2)
Рисунок 10.Нормальное распределение и распределение нормированного количества (дельта = 5)
Рисунок 11.Нормальное распределение и распределение нормированного количества (дельта = 10)
Рисунок 12.Нормальное распределение и распределение нормированного количества (дельта = 30)
Рисунок 13.Нормальное распределение и распределение нормированного количества (дельта = 60)
Рисунок 14.Нормальное распределение и распределение нормированного количества (дельта = 120)
Рисунок 15.Нормальное распределение и распределение нормированного количества (дельта = 300)
Рисунок 16.Нормальное распределение и распределение нормированного количества (дельта = 1440)
Для большей наглядности построим графики на основании столбцов Log_Norm и Log_count относительно столбца dx. На рисунках 17 - 25 изображено два графика, один из которых отображает нормальное распределение, а другой распределение нормированного количества уникальных дельт в логарифмических координатах.
Рисунок 17. Распределение в логарифмических координатах (дельта = 1)
Рисунок 18. Распределение в логарифмических координатах (дельта = 2)
Рисунок 19. Распределение в логарифмических координатах (дельта = 5)
Рисунок 20. Распределение в логарифмических координатах (дельта = 10)
Рисунок 21. Распределение в логарифмических координатах (дельта = 30)
Рисунок 22. Распределение в логарифмических координатах (дельта = 60)
Рисунок 23. Распределение в логарифмических координатах (дельта = 120)
Рисунок 24. Распределение в логарифмических координатах (дельта = 300)
Рисунок 25. Распределение в логарифмических координатах (дельта = 1440)
Из рисунков 17- 25 видим, что распределение нормированного количества уникальных дельт приближается к распределению Гаусса.
Произведем нормировку столбцов dx и Renorm_count в соответствии с параметром Cigma для каждой дельты, используем встроенные функции в Origin 8 (col(A)/«Cigma») и (col(В)*«Cigma»). Отобразим все полученные после нормировки данные на одном графике для сравнения.
Рисунок 26. Дельты, приведенные к общей нормировке распределения.
Рисунок 27. Дельты, приведенные к общей нормировке распределения без учета дельты = 1440.
Из графиков можно увидеть, что распределение плотности вероятностей является устойчивым на протяжении достаточно больших дельт (Рисунок 27). Но при отображении на графике значений для дельты = 1440 видно, что устойчивое распределение Леви изменяется и приближается к распределению Гаусса.
Построим зависимость изменения среднеквадратического отклонения от дельты. Из рисунка 28 видно, что у всех ? линейная зависимость.
Рисунок 28. Зависимость изменения среднеквадратического отклонения от дельты.
Нахождение коэффициента эксцесса.
В разделе 2.3 данной работы описано наглядное приближение распределения исходного ряда к распределению Гаусса, при увеличении дельты. Докажем данное утверждение с помощью коэффициента эксцесса (kurtosis).
Как известно kurtosis определяется формулой:
?_2=?^4/?^4 -3
где µ – математическое ожидание, ? – среднеквадратическое отклонение.
Нормальному распределению плотности вероятности соответствует нулевой эксцесс ?_2=0. Следовательно, ?^4/?^4 =3.
Рассчитаем коэффициент эксцесса в среде MS Excel. Для этого в новом столбце (dx^4*Count) необходимо выполнить следующую формулу «=dx^4*Count». С помощью встроенной функции вычислим сумму столбца и получим значение «Сумма_ dx^4*Count». Выпишем данное значение в отдельной таблице, показанной на рисунке 6, в ячейку «M4».
Значение коэффициента эксцесса рассчитаем в ячейке «Kurtosis» и значение его будет равно отношению «значения ячейки M4» к «значению ячейки Cigma в 4 степени».
Выпишем все коэффициенты эксцесса в отдельную таблицу (Рисунок 29) и построим их зависимость от изменения дельты.
Рисунок 29. Таблица коэффициентов эксцесса.
Рисунок 30. Зависимость коэффициентов эксцесса от изменения дельты.
Заключение
В рамках данной работы был проведен анализ зависимости вида распределения плотности вероятности, от временного интервала разности цен. Показали, что распределение плотности вероятности временного ряда приближается к распределению Гаусса при больших временных интервалах. Для проверки данного утверждения провелась большая работа по подготовке и обработке данных. Было построено множество графиков, из которых видно изменение зависимости нормального распределения и распределения нормированного количества уникальных значений разности цен. Наглядно убедились в корректности приведенного утверждения. На примере коэффициента эксцесса показали, что распределение плотности вероятности временного ряда приближается к распределению Гаусса при больших временных интервалах.
Список литературы
Pavel L. Krapivsky, Sidney Redner, Eli Ben-Naim: «A Kinetic View of Statistical Physics», Cambridge University Press, 1 edition (December 27, 2010), 504 pages;
H. Eugene Stanley, Rosario N. Mantegna: «An introduction to econophysics: correlations and complexity in finance», Cambridge University Press, 2000, 144 pages;
James P. Sethna: «Entropy, Order Parameters, and Complexity», Clarendon press Oxford, 2011, 351 pages;
Jean-Philippe Bouchaud and Marc Potters: «Theory of financial risks from statistical physics to risk management», Cambridge University Press, 2000, 218 pages;
Дерендяев Н.В. Анализ размерности и автомодельные решения (в примерах и задачах). Учебно-методический материал по программе повышения квалификации «Информационные технологии и компьютерное моделирование в прикладной математике». Нижний Новгород, 2007, 78 с.
https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis
http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D1%8D%D0%BA%D1%81%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B0
http://yourforexschool.com/book/157-opciony-volatilnost-i-ocenka-stoimosti-strategii-i-metody-opcionnoj-torgovli/102-teoreticheskaya-stoimost.html
http://ratedata.gaincapital.com/2004/
39
....................... |
