Математические методы в экономике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

ИМЕНИ Г.В. ПЛЕХАНОВА»



Факультет  Математической экономики, статистики и информатики 

Кафедра  Математических методов в экономике

«Допустить к защите»

Заведующий кафедрой

математических методов в экономике

_______________Тихомиров Н.П.

«_____»______________2017 г.



ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА 

Направление  38.03.01 «Экономика»

Профиль  «Математические методы в экономике»



Тема: «Методы оценки и управления рисками финансирования инвестиционных проектов»



Выполнила студентка Шмелькова Ксения Дмитриевна



Группа 442

Научный руководитель выпускной квалификационной работы

Тихомиров Н.П.., д.э.н., заведующий кафедрой «Математических методов в экономике», профессор

_____________________

Автор ___________________



Москва – 2017

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова»



АННОТАЦИЯ

выпускной квалификационной работы

Шмельковой Ксении Дмитриевны



на тему: ««Методы оценки и управления финансированием инвестиционных проектов»



Данная выпускная квалификационная работа посвящена проблеме оценки и управления финансированием инвестиционных проектов. В работе представлена классификация существующих рисков инвестиционных проектов, более подробно рассмотрен единичный риск инвестиционного проекта. Также был проведен анализ существующих методик оценок рисков финансирования инвестиционных проектов, отмечены их положительные и отрицательные черты. Далее в работе были рассмотрены методы совершенствования существующих методов: имитация денежных потоков и задание их распределений с помощью кривых Пирсона, расчет интервальных показателей эффективности инвестиционных проектов, расчет NPV, скорректированного на риск. Проведен анализ рассмотренных методов, также отмечены их положительные и отрицательные черты. Некоторые из представленные методы рассматривались на проекте бизнес-плана работы машиномойки. Так как любой из рассмотренных методов нельзя считать совершенным, поэтому предложено несколько способов управления рисками финансирования инвестиционных проектов на основе управляющей компании «МИР», которая обеспечивает многоканальное финансирование российских наукоёмких малых и средних предприятий, работающих в реальном секторе, через инструменты долевого участия и привлечения банковских кредитов; также методов управления Sberbank CIB департамента собственных инвестиций с помощью мезонинного финансирования.

Ключевые слова: классификация рисков инвестиционных проектов, метод уместности затрат, метод аналогий, метод Монте-Карло, модель DCF, полный экономический результат, имитационное моделирование, интервальный NPV, NPV, скорректированный на риск, мезонинный кредит.





ABSTRACT

ПЕРЕВОД НАЗВАНИЯ ВКР «Quantitative assessment of the risk of financing investment projects»

This diploma thesis is dedicated to the problem of assessing the risk of financing investment projects. A set of approaches of classifying the risks of the investments projects are presented. There is the analysis of existing methods of assessing risks, their positives and drawbacks. Some elaborate approaches are presented: simulation modeling, presenting with the Pirson`s lines, interval assessments of NPV and risk-adjusted NPV. Also their advantages and disadvantages were noticed. As none of remarked methods are not idealistic, so management of risk of financing investment projects is proposed. There some practical examples: the investment policy of MIR company and management methods of MB department of Sberbank CIB, specially, their Mezzanine Loan. 

Keywords: classification of risks of financing investment projects, analogy method, method of appropriateness of costs, Monte-Carlo method, DCF model, simulation, risk-adjusted NPV, interval NPV, Mezzanine Loan. 

Автор ВКР    «_____________»         « Шмелькова Ксения Дмитриевна»



Оглавление

ВВЕДЕНИЕ	5

ГЛАВА 1 СТРУКТУРА ВОЗМОЖНЫХ РИСКОВ РЕАЛИЗАЦИИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ	7

ГЛАВА 2 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ РИСКОВ ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ С УЧЕТОМ ИХ ПРЕИМУЩЕСТВ И НЕДОСТАТКОВ	10

ГЛАВА 3 НАПРАВЛЕНИЯ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ОЦЕНКИ РИСКА ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ (ПРАКТИЧЕСКАЯ ПРИМЕНИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ ИЗ РАССМОТРЕННЫХ МЕТОДОВ И ИХ МОДИФИКАЦИИ)	20

3.1 Оценка риска методом имитационного моделирования NPV	20

3.2 Расчет интервального NPV	35

3.3 Расчет NPV, скорректированного на риск	36

ГЛАВА 4 ОБОСНОВАНИЕ ПОДХОДОВ К УПРАВЛЕНИЮ РИСКАМИ ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ	39

4.1. Основные подходы управления риском финансирования инвестиционных проектов	39

4.2. Составление критериев к инвестиционным проектам	39

4.3. Примеры управления рисками финансирования инвестиционных проектов	41

ЗАКЛЮЧЕНИЕ	45

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	46

ПРИЛОЖЕНИЯ	49













ВВЕДЕНИЕ

Одним из главных компонентов развития экономики страны являются инвестиции. Они исполняют роль связующего звена между инвестором и предприятием. Управляющие лица предприятий, заинтересованные в привлечении денежных средств на развитие или расширение бизнеса, составляют инвестиционные проекты, систематизирующие будущие расходы и затраты. Инвестиционный проект – это экономический или социальный проект, основывающийся на инвестициях; обоснование экономической целесообразности, объёма и сроков осуществления прямых инвестиций в определённый объект, включающее проектно-сметную документацию, разработанную в соответствии с действующими стандартами. С целью извлечения максимальной прибыли инвесторы оценивают привлекательность проектов и риски, непосредственно с ними связанные, для наиболее эффективного использования своих денежных средств. 

По данным Росстата за последние 6 лет среднегодовое увеличение просроченной задолженности по кредитам юридическим лицам оставило 30%, что говорит о необходимости реформировании системы оценки рисков финансирования инвестиционных проектов, также популизации методов оценки рисков и методов управления ими.



Рисунок 1 - Динамика изменения просроченной задолженности по кредитам юридическим лицам в РФ за период с 2009 г. по 2016 г., тыс.руб.

 	Также на ПМЭФ – 2017 В.В. Путиным было отмечено, что для развития экономики страны необходимо позаботиться о снижении рисков инвестиций, что еще раз подчеркивает важность правильной оценки и точно подобранных методах управления ими.

Цель данной работы найти наилучший способ оценки рисков финансирования инвестиционных проектов. В данной работе будет рассмотрена структура возможных рисков реализации инвестиционных проектов, существующие методы оценки рисков финансирования инвестиционных проектов и предложены направления их совершенствования. Также будут рассмотрены методы управления рисками инвестиционных проектов и приведены примеры из практики реальных организаций.













ГЛАВА 1 СТРУКТУРА ВОЗМОЖНЫХ РИСКОВ РЕАЛИЗАЦИИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ 

	Риски реализации инвестиционных проектов являются частью предпринимательских рисков, снижение которых способствует притоку инвестиций и увеличению темпов развития предприятия и экономики в целом.

	Риски реализации инвестиционных проектов можно разделить на следующие группы [см. источник 24].

	1. Внутренние и внешние.

	Внутренние:

Операционные риски или технические риски. Характеризуются возможностью экономических потерь вследствие экономических затруднений на этапах проектирования, строительства и запуска производства, выходы из строя оборудования

Риски стратегических решений или риски управления, которые могут привести к невозможности исполнения инвестиционного проекта

Риск неполноты и неточности информации о финансовом положении и деловой репутации фирмы, что впоследствии приводит к занижению затрат и недостоверной оценки инвестиционного проекта.

Риски видов деятельности, которые зависят от класса опасности производства.

Внешние:

Ценовой риск: изменение цен на продукцию поставщиков, на выпускаемую продукцию

Процентный риск

Политический риск: запрет на торговлю и поставки.

Страновой риск

Правовой риск, связанные с изменением законодательства о правилах ведения бизнеса, ценовой и налоговой политики предприятий 

Риск природных катастроф и связанные с ними экологические риски, влекущий за собой невозможность осуществления предпринимательской деятельности

2. По сфере проявления.

Технико-технологические риски

Социальные риски

Политические риски

Экологические риски

Кредитные риски

3. По управляемости риском.

По возможности страхования риска

По возможности диверсификации риска

4. Специфичные риски.

единичный риск, кода риск проекта рассматривается изолированно, вне связи с другими проектами предприятия

внутрифирменный риск или корпоративный риск, когда риск проекта рассматривается в его связи с другими проектами предприятия

рыночный риск инвесторов, который рассматривается в контексте диверсификации капитала инвесторов на рынке

Обычно привыкли ориентироваться на рыночный риск, совсем забывая про единичный и корпоративный. Для успешной реализации проекта необходимо устойчивое финансовое положение предприятия, которое характеризуется постоянной прибылью, объемом производства и сильным составом рабочих и менеджеров [см. источник 16]. Немаловажным также является единичный риск, так как успешная реализация проекта зачастую приводит к увеличению стоимости акций компании, увеличению прибыли, а провал проекта к падению стоимости портфелей акционеров.

5. По результатам деятельности.

временные риски – возможность задержания реализации проекта

риски финансовой обеспеченности проекта, которые включают в себя возможность привлечения дополнительного финансирования 

риски провала проекта

риски невыполнения обязательств: поставщиками, кредиторами, участниками проекта. Данная группа также включает в себя риски низкого качества выполнения работ

6. По фазам реализации проекта.

прединвестиционной фазы: основное значение имеют риски оценки условий реализации и рыночные риск

инвестиционной фазы

эксплуатационной фазы

Такое большое количество рисков связано с отдаленностью периода возврата  денежных средств и неопределенностью параметров реализации проектов, что требует тщательного анализа структуры проектов, их критериального отбора и оценки их рисков и эффективности. Все вышеперечисленные мероприятия можно отнести к термину «управление проектами» (project management), особые методы оценки и управления которого будут рассмотрены ниже.




ГЛАВА 2 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ РИСКОВ ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ С УЧЕТОМ ИХ ПРЕИМУЩЕСТВ И НЕДОСТАТКОВ

	1 Методы оценки единичного риска

1.1 Экспертные методы оценки риска. Используются в сферах, в которых сложно предугадать наличие конечного результата, соответственно сложно определить будущий денежный поток [см. источник 15]. Например, разработка шельфов нефти, карьеров, рудников, научные разработки и др. В экспертных методах выделяют следующие виды: 

Метод Делфи – метод, при котором эксперты лишены возможности обсуждать решения. Организационная группа с каждым этапом изменяет и корректирует вопросы экспертам, тем самым сближая их ответы к единому консенсусу. Данный процесс будет продолжаться до тех пор, пока не будет принято единого решения или установлено расхождение во мнениях [см. источник 2].

Преимущества: простота расчетов, отсутствие необходимости в статистической информации и применении электронно-вычислительной техники
Недостатки: субъективность оценок, сложность в нахождении высококвалифицированных специалистов

Метод анализа уместности затрат. Предполагается, что перерасход средств может быть вызван следующими факторами: первоначальная недооценка стоимости проекта в целом или его стадий; изменение границ проекта, вызванное непредвиденными обстоятельствами; отличие фактической производительности от бюджетной; увеличение стоимости проекта в следствие инфляции или изменения экономической ситуации. Процесс утверждения платежей разбивается на стадии. На каждой стадии происходит оценка существующего риска. При резком ухудшении показателей инвестор может отказаться от дальнейшего финансирования или начать поиск мер, снижающих затраты [см. источник 8].
Преимущества: последовательное планирование затрат, возможность сохранения части средств, 
Недостатки: непрерывная оценка риска, выход из проекта неоправдавшегося по риску в будущем; отсутствие определенного метода оценки риска на каждой стадии

Метод аналогий. Состоит в анализе аналогичных проектов для выявления потенциального риска оцениваемого проекта. Чаще всего используется, когда другие методы оценки неприемлемы. Данный метод практикуется рядом известных банков, например, Всемирным банком. Каждый проект по своему завершению подвергается оценке, полученные данные исследуются на наличие зависимостей, что позволяет выявлять потенциальный риск реализации аналогичных проектов [см. источник 14].
Преимущества: наличие информации по проектам, которые проводятся впервые
Недостатки: трудно создать предпосылки для будущего анализа, т.е. сформировать реалистичный набор сценариев срыва проекта, найти действительно схожие проекты.

1.2 Количественные методы оценки риска. Имеют более сложную математическую базу, менее субъективны в отличие от экспертных методов оценки риска.

Вероятностная оценка. Анализ вероятностных распределений денежного потока [см. источник 6].           

Преимущества: высокая точность метода
Недостатки: высокая вероятность не учесть все возможные исходы, как следствие неправильно оценить вероятность события

Анализ чувствительности проекта. Данный метод заключается в определении изменения переменных показателей эффективности проекта в результате колебания исходных данных. Риск считается высоким, если показатели сильно реагируют на изменения экзогенных величин [см. источник 3].

Преимущества: простота расчетов
Недостатки: неверно определенная целевая функция сильно повлияет на правильность расчетов

Метод сценариев или стресс-тестинг. Осуществляется на основе изменения внешней ситуации. Может рассматриваться как для положительного, оптимистического и ожидаемого сценария [см. источник 22].

Преимущества: рассмотрение проекта с разных точек зрения, возможен учет большого количества сценариев с оценкой их вероятности.
Недостатки: неверно определены целевая функция, связи между показателями. 

Метод Монте-Карло. Основан на моделировании случайных процессов с заданными характеристиками. Затем происходит оценка вероятности неблагоприятных событий [см. источник 23].

Преимущества: высокая точность вычислений, приближенное к реальности моделирование
Недостатки: большое количество вычислений, неправильно заданные функции распределения полностью исказят результаты расчетов

Модель DCF. Хотелось бы подробнее остановиться на данном методе, так как он применяется повсеместно и часто бывает решающим в определении проекта для инвестирования. DCF модель – это финансовая модель, основанная на дисконтированных денежных потоках, позволяющая определить справедливую стоимость актива в целях долгосрочных инвестиций или стратегической покупки [см. источник 25].

Для применения дисконтирования необходимо корректное определение ставки дисконта, которая может быть подобрана следующими способами:

как средневзвешенная стоимость капитала фирмы [см. источник 32]
, где

- процент обязательств в капитале

 – стоимость обязательств после вычета налога, t- налоговая ставка

 - процент привилегированных акций в капитале

 – стоимость привилегированных акций,  – отношение дивидендов по привилегированным акциям к рыночной цене привилегированных акций

 – доля обыкновенных акций в капитале

 – стоимость обыкновенных акций

Три метода нахождения стоимости обыкновенных акций (

1. Через CAPM модель , где RFR – безрисковая ставка (например, доходность казначейских обязательств США),  – доходность по обыкновенным акциям компании,  – рисковый показатель компании. Также хотелось бы отметить, что если средняя рискованность деятельности фирмы отличается от рискованности проекта, то следует использовать рисковый показатель проекта, рассчитывающийся на основе показателя рискованности компаний с похожей рискованностью проекта. Например, строительство собственного магазина для розничного предприятия, торгующего на арендуемых площадях [см. источник 13].



2. С помощью модели дисконтированных дивидендов (модели Гордона)

Используется для компаний с равномерным постоянным ростом – g.

 где g определяется на основе уже имеющейся статистике прошлых лет или как g=(1-норма выплат дивидендов)*(ROE), ROE=(чистая прибыль/капитал).

.  Доходность бондов + премия за риск. (прибавляем примерно 3-5% к риску долгосрочного долга компании) [см. источник 29].

Ставку дисконтирования можно выбрать как ожидаемую доходность проекта.

Как минимальная доходность альтернативного способа использования капитала (ставка доходности по надежным ценным бумагам или ставка депозита в надежном банке).

Как стоимость капитала, который может быть использован для кредитования деятельности предприятия.

В качестве числителя в данной модели часто используется свободный денежный поток фирмы – это денежный поток, доступный как инвесторам, так и акционерам и кредиторам. 

FCFF=NI+NCC+Int(1-t)-FCInv-WCInv

FCFF=CFO+Int(1-t)-FCInv

FCFF=EBIT(1-t)+NonCash – WCInv – FCInv

, где 

NI-net income – чистая прибыль

NCC – Non cash charge – не денежные траты, которые уменьшают прибыль, но не денежный поток, это амортизация, обесценивание активов.

Int – interest - процентные платежи по долгу

t - tax - налоговая ставка

FCInv – fixed capital investments - чистые капитальные затраты

WCInv – working capital investments - изменения в (текущие активы – текущие пассивы)

CFO – cash flow from operations - денежный 

EBIT – earnings before interest and tax – прибыль до вычета процента и налога

Иногда вместо FCFF используется FCFE – денежный поток, характеризующий возможность выплаты дивидендов [см. источник 28].

Преимущества DCF моделей: 

1. Повсеместность использования

2. Математическая обоснованность методов вычислений

3. Применимость для широкого спектра компаний

4. Рассматривает всю жизнь проекта

5. Учитывает временную стоимость денег

6. Основывается на денежных потоках, а не на прибыли

Недостатки DCF моделей:

1. Требует оценивать внутреннюю норму доходности капитала, что нередко приводит к ошибкам в вычислениях, так как DCF модели (например, NPV) имеют высокую чувствительность к ставке дисконтирования. Как следствие большая неточность в окончательном выборе проекта инвестирования. 

2. Предпочтение отдается краткосрочным проектам.

3. Обесценивание будущих денежных поступлений от проектов

4. Крайне сложно определить весь период жизни проекта

В книге «Новые методы инвестиционного менеджмента» Ю.А. Маленкова в качестве альтернативы DCF модели приводится расчет полного экономического результата. 

Данный показатель вычисляется по каждому периоду развития проекта следующим образом:



 – полный экономический результат j-го периода (j=1,2,3…);  – доходы от i-го виды деятельности (продукта) по проекту в году t;  – расходы по i- му виду деятельности (продукту) проекта в году t;  – доходы от инвестиции прибыли компании в прошлые годы, полученные ею в году t;   – доля прибыли компании, направляемая на k-й вид инвестиционной деятельности в году t; - общее число видов инвестиционной деятельности, осуществляемых ею до года t;   – рыночная оценка компании в году t;  – инвестиции по проекту в году t [см. источник 9].

Таблица 1 – Пример использования расчета полного экономического результата.



Преимущества: нет необходимости искать ставку дисконта, учет доходов прошлых периодов

Недостатки: 

1. Не учитывается временная стоимость денег

2.  Отсутствует учет вероятности невыполнения или частичного выполнения проекта.

3. Сложно точно оценить рыночную стоимость компании в году t

Расчет критического пути проекта. В данном методе определяется продолжительность выполнения проекта путем составления сетевого графика и определения критического пути, который сопоставляется затратам. Для этого для каждой операции проекта находят нормальный срок выполнения операции и ее нормальную стоимость, сокращенный срок выполнения операции и ее повышение стоимости, и с помощью графика (где y- это стоимость операций, х- время) определяется приращение стоимости при досрочном выполнении операции (дневное приращение стоимости при досрочном выполнении операции). Последовательно, путем перебора операций, которые могут быть сокращены, выбирается операция с наименьшим приращением стоимости при ее сокращении на 1 день. Это позволяет определить путь, сокращенный на 1 день, но имеющий наименьший прирост стоимости для сокращения критического пути на 1 день. Тем самым затраты минимизируются. Данная операция повторяется несколько раз, и из всех значений стоимости и продолжительности проекта следует выбрать тот, который удовлетворяет, как по стоимости, так и по времени [см. источник 21].

В данном методе риском проекта будет являться смещение критического пути (увеличение проекта по времени, сдвиг начала проекта, начала получения прибыли; изменение стоимости проекта)

Преимущества: детальный подход к изучению проекта, прослеживается связь денег со временем их поступления или оттока.

Недостатки: сложность оценки больших проектов, не всегда можно найти время выполнения операции

2 Методы оценки внутрифирменного риска. 

Внутрифирменный риск или корпоративный риск рассчитывается, когда риск проекта рассматривается в его связи с другими проектами предприятия.

Здесь можно рассчитать следующие показатели:

ROI = Прибыль/инвестированный капитал, где в качестве прибыли берут прибыль до выплаты процентов и налогов, а инвестированный капитал – это (активы – текущие обязательства) [см. источник 18]. 

Когда мы решаем инвестировать в новый проект или нет, то отдаем предпочтения тем проектам, у которых ROI выше, чем ROI фирмы или департамента фирмы 

Преимущества: широко используется; можно использовать как сравнительную оценку для различных подразделений и компаний разных размеров; можно разбить данный показатель на более мелкие для детального анализа

Недостатки: возможность отвергнуть жизненно необходимый проект для фирмы, если его ROI меньше внутрифирменного, так как часто на основе этого показателя оценивают работу всего департамента или фирмы. Тогда если ROI фирмы = 30%, ROI проекта=25%, то фирма скорее отвергнет этот проект, так как он уменьшит общее ROI фирмы; если использовать различные методы амортизации, то и результаты будут разные, как следствие могут возникнуть проблемы со сравнением проектов и компаний.

RI – residual income – остаточная прибыль за вычетом всех платежей и расходов. Если RI проекта положительная, то компания его принимает, если отрицательная, то компания его отвергает [см. источник 31].

Преимущества: имеет экономическую интерпретацию

Недостатки: нельзя сравнивать между другими проектами и подразделениями.

ROCE – return on capital employed – рентабельность инвестиций (капитала). Рассчитывается как отношение прибыли до вычета процентов и налога к привлеченному капиталу. Если данный показатель проекта выше рентабельности капитала компании, то проект стоит принимать [см. источник 30].

Преимущества: имеет экономическую интерпретацию, широко используется, удобно сравнивать проекты между собой

Недостатки: можно отвергнуть интересный и эффективный проект, если его ROCE окажется ниже рентабельности капитала фирмы

3 Методы оценки рыночного риска акционеров.

В данном методе оценки риска можно использовать различные техники оценки компаний, и влияние на них принятия/непринятия проектов.

В данной работе мы более подробно будем рассматривать только единичный риск.






ГЛАВА 3 НАПРАВЛЕНИЯ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ОЦЕНКИ РИСКА ФИНАНСИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ (ПРАКТИЧЕСКАЯ ПРИМЕНИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ ИЗ РАССМОТРЕННЫХ МЕТОДОВ И ИХ МОДИФИКАЦИИ)

3.1 Оценка риска методом имитационного моделирования NPV

Любой инвестиционный проект реализуется в условиях неопределенности, что говорит о невозможности точно спрогнозировать его финансовые потоки. 

Распишем чистую приведенную стоимость проекта следующим образом:



Знак  «^» обозначает стохастичность соответствующей переменной [см. источник 4]. 

При этом необходимо заметить, что первоначальные инвестиционные вложения являются величиной постоянной.

При оценивании проектов, как правило, предполагают, что даже если притоки и оттоки распределены неравномерно, то сам NPV ввиду большого количества притоков и оттоков имеет нормальное распределение, поэтому аналитически рассчитывают следующие характеристики:



Но на практике, как мы увидим далее, данное предположение не всегда верно, поэтому гораздо практичнее использовать метод имитационного моделирования.

Реализация данного метода предполагает выполнение следующего алгоритма:

1) Определение величин притока и оттока для каждого года

2) Определение ставки дисконта 

3) Задание примерного закона распределения стохастических величин. Можно использовать нормальный закон распределения для оттоков и притоков с одинаковой дисперсией (если риски одинаковы), но разными математическими ожиданиями (как среднее данных величин) [см. источник 27].

 Но если ориентироваться на более точное описание процессов, то лучше задавать распределениями, смещенными влево (см. Приложение 1), такими как распределение Вейбулла (у которого k>1). Также можно использовать распределение Пуассона 

, где  - математическое ожидание случайной величины.

И логнормальное распределение:



4) На данном этапе необходимо сгенерировать случайные числа, по подобранным законам распределения, получить набор NPV, построить его функцию распределения.

5) Теперь можно определить характеристики NPV: его математическое ожидание, дисперсию, Var (0,9; 0,95; 0,99), ES. Тогда дисперсия и будет одной из основных характеристик риска проекта.

Для описания полученного распределения будем пользоваться кривыми Пирсона. Наиболее общим видом распределения случайной величины является распределение Маркова. Распределение Маркова приводит, как к предельным стохастическим кривым, к кривым распределения Пирсона, соответствующим действительным корням знаменателя в уравнении [см. источник 11]:

  (1)

Данное дифференциальное уравнение выражает общие свойства функции распределения:

1. Значения случайной величины х заключается в определенных пределах; следовательно, частота, соответствующая значениям меньше наименьшего предела и больше наибольшего, равна нулю; в то же время частота ряда распределения не может быть меньше нуля.

2. В промежутке между наименьшим и наибольшим значениями Х частоты ряда распределения возрастают, начиная от нуля, достигают для некоторого значения  своего максимума, а затем убывают до нуля. На обоих концах распределения часто наблюдается касание высшего порядка.

3. Площадь кривой распределения равна сумме всех частот ряда распределения.

Таким образом, функция распределения должна удовлетворять следующим условиям: в начале и конце распределения эта функция должна равняться нулю, а где-нибудь в середине ряда она должна достигать своего максимума. Иначе говоря, первая производная dy/dx должна равняться нулю в трех точках: в начале и конце ряда, где у=0, и в середине ряда, где функция достигает максимума.

Постоянные, входящие в уравнение (1), можно выразить при помощи моментов:

,

, , где



Общий интеграл дифференциального уравнения (1) может быть представлен в виде 

, где



Значение этого интеграла зависит от частных значений коэффициентов при х в знаменателе. Таким образом, задача сводится к рассмотрению уравнения

 (2)

Корни R1 и R2 этого уравнения зависят от дискриминанта

, где 

Теперь введем величину  или 

Тогда мы можем корни уравнения (2) представить в виде 

, 

Каждому значению величины  соответствует определенное значение корней уравнения (2), а значениям корней – определенный результат интегрирования дифференциального уравнения (1). А так как результат интегрирования получается некоторый частный вид уравнения, представляющий тот или иной тип привой распределения, то величина   получает характер критерия, по значению которого можно определить тип кривой.

Критерий может быть представлен в виде

 или  , (3)

где r- основной момент

 Проиллюстрируем данный метод на следующем наборе данных (пример 1):

1) Определим притоки и оттоки бизнес-плана

Таблица 2 - данные бизнес-плана «Тюнинг и Сервис»



Таблица 3 - притоки и оттоки бизнес-плана «Тюнинг и Сервис», руб.







Рисунок 2- притоки и оттоки бизнес-плана «Тюнинг и Сервис», тыс. руб. за 14 лет

	2) Возьмем ставку дисконта как ожидаемую доходность для инвестора, предложенную писателями бизнес-плана. Это 9,8%

	3) Притоки и оттоки будут распределены нормально, со средними: 536288 – для притоков, -8750 – для оттоков, с дисперсией – 757854166 (ско=27529,15) для притоков и оттоков.

	4,5) Сгенерируем порядка 101 сценарий NPV.

Получим следующее распределение.



Рисунок 3 плотность распределения NPV, где притоки и оттоки смоделированы нормальным распределением, руб.

С полученными данными можно ознакомиться в приложении №1.



Рисунок 4 График квантиль-квантиль для имитации NPV №1 и гистограмма распределения

Распределение близко к нормальному, но смещено вправо из-за разного математического ожидания у притоков и оттоков, и далеко от нормального, возможно, из-за небольшого количества имитаций.

Таблица 4 характеристик имитации NPV №1



Для дальнейшего исследования полученного распределения, заменим значения на отклонения , где  – некоторое начальное значение. Для определения начального значения сложим частоты, начиная с первой, до того разряда, когда полученная сумма будет превышать половину итого частот. В нашем случае =299150, критерием правильности выбора начального значения является условие где m1 – первый начальный момент

Таблица 5 таблица начальных, центральных и основных моментов распределения NPV для имитации №1



Рассчетное =-0,02. Значит, данное распределение можно описать с помощью первой кривой Пирсона, которая имеет вид

, где , с – величина разряда, а 

Размах распределения ,  , 

Постоянные, входящие в уравнение вычисляются по формуле 

Наконец, 

Представим полученные расчетные значения в таблице:

Таблица 6 расчетные значения для описания распределения NPV имитации №1





Тогда уравнение кривой примет вид:

, где , где 17814 – величина разряда



Рисунок 5 фактические и теоретические значения npv для имитации №1, руб.

Как видно из графика плотности распределения, лучше данное распределение разбить на два, и общую плотность распределения записать как систему распределений. 

Замоделируем первую часть, также представим ее моменты, и характеристики для определения типа кривой. В наше моделирование попадет 62 значения из 100.



Рисунок 6 Плотность распределения первой части имитации NPV №1, руб.

Таблица 7 Моменты и другие характеристики первой части имитации NPV №1



Таблица 8 Описательные характеристики для определения кривой Пирсона



Из таблицы видно, что данную часть распределения можно описать с помощью кривой Пирсона I типа.



Рисунок 7 Представление теоретических и эмпирических частот первой части распределения, руб.

 Тогда уравнение, будет выглядеть следующим образом:

, где , где 2315 – величина разряда, для X<302924,8
	Теперь опишем вторую часть распределения.

Таблица 9 Таблица моментов и прочих характеристик второй части распределения имитации NPV №2



Таблица 10 Основные характеристики для определения типа кривой Пирсона



Из последний таблицы можно говорить, что можно попробовать описать данные с помощью VI типа кривой Пирсона.
Уравнение кривой будет иметь вид:

, где , где  – наиболее частое значение.

Тогда уравнение второй части имитации №2 будет выглядеть как:





Рисунок 8 График эмпирических и теоретических частот второй части распределения имитации NPV №2, руб.

	Теперь общее распределение примет вид:

 



Рисунок 9 Общий график эмпирических и теоретических частот имитации NPV №1, руб.

Также хотелось бы отметить, что для получения более точных расчетов можно использовать в числителе FCFF, все составляющего которого могут быть случайными величинами. 

Имитация №2

Теперь попробуем имитировать притоки и оттоки разными распределениями

3) Оттоки будут иметь нормальное распределение с параметрами; E[x] = -8750, [x]=27259, а притоки – экспоненциальное с параметром =1/536288=0,000001865. При составлении 100 сценариев получили следующий график. 



Рисунок 10 график плотности распределения NPV для имитации №2, руб. 





Рисунок 11 гистограмма частот и график квантиль-квантиль нормального распределения для имитации №2

Как видим, распределение не является нормальным. При большом количестве сценариев, распределение NPV должно представлять нормальное распределение по теореме Ляпунова, которая гласит, что если значения независимых случайных величин будут малы в сравнении с их суммой, то при неограниченном возрастании числа этих величин, распределение их суммы становится приближенно нормальным.

Таблица 11Характеристики распределения имитации NPV №2



Но в распределении мы видим, что последний элемент явно выброс, поэтому исключим и попробуем замоделировать распределение без него.

Также попробуем описать данное распределение с помощью кривых Пирсона, рассчитаем критерий и основные моменты:

Таблица 12 Описательные характеристики распределения и критерий для подбора кривой Пирсона



Таблица 13 Расчетные значения для кривых Пирсона



Данное распределение можно замоделировать с помощью кривой Пирсона I типа, так как <0:

, где , где 414900 – величина разряда

 

Рисунок 12 фактические и теоретические значения NPV для имитации №2, руб.

Если сравнивать эти две имитации, то можно увидеть, что если замоделировать одну из составляющих потока экспоненциальным распределением, то спектр возможных NPV расширяется, и наиболее частое NPV смещается вправо. Риск можно оценить с помощью VAR, задавая nj. Если для первой имитации с 5% вероятность NPV будет не ниже 2881824 руб., а при второй имитации не ниже 3550853 руб.; при первой имитации значение получается более оптимистичное. Результат оценки рискованности финансирования очень сильно зависит от заданного распределения притоков и оттоков.



3.2 .......................