Интеграция нескольких разделов математики, которые включает в себя теория обобщенных рядов Фурье

      АННОТАЦИЯ
      
      ВКР содержит  102 страницы, 11 рисунков,  6 приложений, 14 источников используемой литературы. 
      Целью исследования является, проследить интеграцию нескольких разделов математики, которые включает в себя теория обобщенных  рядов Фурье.
      Получены следующие результаты: исследовано современное состояние изучения ортогональных многочленов и рядов Фурье по ним; разработана программа на языке Pascal, позволяющая вычислять на ЭВМ   коэффициенты разложения функции по методу Эйлера-Фурье; приведены примеры разложение функций по ортогональным полиномам; разработан интегрированный урок на тему «Ортогональные полиномы и ряды Фурье по ним» для учащихся 10 класса. 
      ABSTRACT
      
      In this diploma thesis is contained  102  pages, 11 illustrations, 6 appendices, 14 bibliography.
      The aim of the study is to trace the integration of several areas of mathematics which includes the theory of generalized Fourier series.
      The following results were obtained: investigated the current state of the study of orthogonal polynomials and Fourier series; developed a program in Pascal that allows you to calculate by computer the coefficients of the function according to the method of Euler-Fourier; the examples of expansion of functions in orthogonal polynomials; developed an integrated lesson on "Orthogonal polynomials and Fourier series on them" for grade 10 students.
      
      
      СОДЕРЖАНИЕ
        ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ	5
        ВВЕДЕНИЕ	6
        1ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ	12
1.1 Ортогональные векторы. Понятие ортогональности функций. Процесс ортогонализации системы функций	12

        ЗАКЛЮЧЕНИЕ	74
        СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ	75
        ПРИЛОЖЕНИЕ А Первые 10 полиномов Лежандра P_n (x)	77
        ПРИЛОЖЕНИЕ Б...............................	81
      
        
        	
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
      ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
      Определения, обозначения, сокращения
      Расшифровка
        
        
        
        
        
        
        
        
        
      
      
      
      
      
      
      ВВЕДЕНИЕ
      В процессе изучения геометрии в средней школе достаточно много времени уделяется доказательству теорем, однако преимущественно акцент делается на готовые доказательства, их понимание и заучивание. Новые подходы к математическому образованию, разрабатываемые в свете идей Концепции модернизации российского образования, новых государственных образовательных стандартов требуют включения в учебный процесс творческой составляющей.
      На современном этапе развития теории и методики обучения математике выявлено достаточно много неразрешенных проблем, среди них наиболее значимой является проблема формирования самостоятельного мышления через обучение учащихся математической деятельности. В ней специфическое место занимает доказательство математических фактов. Введение понятия «обучение доказательству», новый смысл которого раскрывается через обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, явилось протестом против традиционно сложившейся в прошлом методики, в основном ориентированной на разучивание теорем и их доказательств и мало внимания уделявшей обучению самостоятельному открытию теорем и способов их доказательств.
      В отечественной науке имеется большое число работ, в которых обсуждаются отдельные аспекты проблемы обучения доказательству. Прежде всего, отметим работы психологов, результаты которых служат обоснованием концепции обучения доказательству (Г.П. Блонский, С.Л. Рубинштейн, М.Г. Ярошевский и др.).
      Немаловажную роль в становлении взгляда на обучение доказательству как методического явления, в котором важное место занимает обучение самостоятельному открытию теорем и доказательств, сыграли и работы Д. Пойа. Последние из них значительно стимулировали ряд исследований, связанных с проблемой обучения учащихся доказательству теорем. Среди них можно отметить следующие: методика обучения решению задач, в частности, обучения поиску способа решения задачи (Ю.М. Колягин, А.К. Артемов, П.И. Крупич, Я.И.Груденов, Е.С. Канин и др.), использование методов научного познания в изучении математики (А.Д. Семушин, О.С. Кретинин, В.А. Байдак и др.), формирование эвристических приемов (А.К. Артемов, А.И. Волхонский и др.).
      Интересные мысли об обучении доказательству были высказаны И. Лакатосом, автором книги «Доказательства и опровержения». Особенностью его концепции является наличие не только этапа использования готовых доказательств, но и этапа опровержения предложенных доказательств. Мысль о важности последнего этапа подчеркивалась в работах Я.С. Дубнова, В.Л. Минковского, А.И. Фетисова, а также болгарского методиста К. Петрова. Результаты этих исследований имели большое значение в «повороте» методики обучения решению задач и, в частности доказательству, к ученику, в приобщении его к поисковой деятельности. Отметим, наконец, и ряд исследований, посвященных трудностям, возникающим у учащихся при доказательствах (В.И. Зыкова, Л.П. Ланда, Ф.Н. Гоноболин и др.).
      В проблеме обучения доказательству был выделен и ряд последовательно решаемых задач. Например, 3.И. Слепкань предложила включить в процесс обучения доказательству такие этапы: изучение готовых доказательств, умение воспроизводить их, самостоятельное построение доказательств по аналогии с изученными, поиск и изложение доказательств указанным учителем способом, самостоятельный поиск и изложение учащимися доказательств математических предложений. Однако им не были раскрыты содержание перечисленных этапов, а их формулировки вызвали у других исследователей, в том числе у Г. И. Саранцева, сомнение в логике их последовательности. Дальнейшую разработку новой концепции провели Г.И. Саранцев и В. А. Далингер,которые в своих работах описали деятельностный подход к обучению доказательству теорем.
      Среди исследований в рамках нашей темы заслуживает особого внимания работы Г. Р. Бреслер, которая рассматривает проблему целенаправленного обучения школьников V - VI классов элементам доказательства, а самое главное - специальное формирование потребности в логическом доказательстве утверждений. На это положение указывается и в работах Н. М. Бескина, В. М. Брадиса, В. И. Зыковой, Ф. Ф. Притуло, А. Д. Семушина и др. Многие методисты (А. К. Артемов, Д. Пойа, Г. Д. Балк, М. Б. Балк, Е. Ф. Данилова, М. И. Бурда, В. И. Крупич и др.) считают центральным звеном в обучении доказательству формирование умения осуществлять поиск доказательства.
      Однако внедрение этой концепции в практику школьного образования осложняется неразработанностью методического инструментария, а именно, отсутствием подробного описания этапов обучения доказательству, особенно это касается обучения в 10 - II классах, перечня приемов активизации деятельности учащихся и технике их применения при обучении геометрии. Поэтому выше обозначенные положения подчеркивают неразрешенность проблемы обучения доказательству на современном этапе школьного обучения геометрии.
      Все выше сказанное определило актуальность нашего исследования.
      Объектом исследования является процесс обучения доказательству теорем по геометрии.
      Предметом исследования – этапы процесса формирования доказательств геометрических теорем, разработать методические рекомендации по обучению учащихся доказательству геометрических теорем в условиях личностно ориентированного обучения.
       Цель работы – их содержания и формы реализации.
      Для достижения поставленной цели исследования решались следующие задачи:
       Изучить психолого-педагогическую и учебно-методическую литературу по теме исследования.
       Проанализировать различные концепции обучения доказательству теорем.
       На основе анализа применяемых в школьной практике методик обучения доказательствам выбрать наиболее перспективную в условиях ЛОО.
       Выделить совокупность действий, составляющим содержание каждого этапа избранной методики.
       Апробировать учебно-методические материалы, сконструированные соответствии с методикой обучения доказательству теорем по геометрии в условии ЛОО.
      Для решения поставленных задач использовались следующие методы:
       Изучение и анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературу.
       Анализ примерной программы и учебников по школьной геометрии.
       Наблюдение. беседы, анкетирование учащихся.
       Анализ опыта работы учителей по обучению доказательствам в МБОУ Вадьковской СОШ и в печатном математическом журнале «Математика в школе».
       Опытноэксперементальнальная проверка учебнометодических приемов в МБОУ Вадьковской СОШ, где ведется наша работа в 7,8 и 11-ых классах.
      Апробирование результатов работы проводилось в выступлениях на студенческой научно- практической конференции в дни науке в апреле 2017 года и 2018 годов на методическом объединение учителей математики города и школы. Основные положения лично проверялись в ходе работы в МБОУ Вадьковской СОШ.
      Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.
      
      
      

      ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ НО ГЕОМЕТРИИ
      1.1  ПРОБЛЕМА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ ПО ГЕОМЕТРИИ
      
      Проблема обучения доказательствам теорем в школьным курсе математике, находилась и находится в центре внимания как психологов (Г.А.Буткин, М.Б.Волович, Ф.Н.Гоноболин, В.А.Крутецкий, Л.М.Фридсан и др.) так и методистов (А.И.Фетисов, А.К.Артемов, З.И.Слепкань, А.А.Столяр, Ф.Ф.Притул, Г.И.Саранцев, В.А.Далингер и др.). Онаинтересует и творчески работающих учителей математики. В учебно методической литературе, включая вузовские пособия по методике обучения математике, это проблема освещается с точке зрения разных концептуальных основ. Можно отличить различные точки зрения на сущность понятия «обучения доказательству». Рассмотрим некоторые из них. Так А.А.Столяр под обучением доказательству понимает «обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств».[26,145] В этом определение он основной акцент делает на обучение процессам поиска и построения доказательства, а не на традиционно его сложившуюся веками методику, ориентированную на разучивание теорем и их готовых доказательств. Заметим, что обучению школьников самостоятельному открытию теорем и способов их доказательств большое внимание уделял Д.Пойа, еще раньше А.А.Столяра.
      Несколько иная точка зрения на обучение доказательству, была сформулирована 3.И.Слепкань: «Под обучением доказательствам мы понимаем обучение учащихся готовым доказательствам, предлагаемым учителем или учебником, и обучение самостоятельному поиску доказательств». Далее она предлагает проблему обучения доказательствам расчленить на несколько последовательно решаемых задач:
      1)	изучение готовых доказательств, умение воспроизводить их;
      2)	самостоятельное построение доказательств по аналогии с изученными;
      3)	поиск и изложение доказательств указанным учителем способом;
      4)	самостоятельный поиск и изложение учащимися доказательств математических предложений.
      Как отмечает Г.И.Саранцев, она не раскрыла содержание перечисленных этапов, а их формулировки сомнение в логике их последовательности. Например, третий этап вряд ли реален вне умений решать четвертую задачу, метод аналогии имеет довольно-таки сложную структуру, а потому решение второй задачи вслед за решением первой вызовет большие трудности у школьников. 
      Интересные мысли об обучении доказательству были высказаны И.Лакатосом, автором книги «Доказательства и опровержения»[22]. Им были выделены четыре уровня понимания доказательств. 
       понимание аргументации и ее повторения;
       самостоятельный разбор доказательства теоремы и его воспроизведение;
       самостоятельное доказательство теоремы; 
       опровержение готовых доказательств.
      Особенностью концепции И. Лакатоса является наличие не только этапа использования готовых доказательств, но и этапа опровержения предложенных доказательств. Мысль о важности последнего этапа подчеркивалась в работах Я. С. Дубнова, В. Л. Минковского, А. И. Фетисова
      Сходную точку зрения с .З.И.Слепкать на трактовку понятия «обучение доказательству» высказывает и В.А.Далингер[8] и Г.И.Саранцев[22], внося свои предложения по этому виду деятельности. В дальнейшем изложении мы будем придерживаться точки зрения Г.И.Саранцева, используя его формулировку: «под обучением доказательству будем понимать обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию фактов, поиску и конструированию доказательств, а также опровержению предложенных доказательств»[22,8]
      В отечественной науке имеется большое число работ, в которых обсуждаются отдельные аспекты проблемы обучения доказательству. Прежде всего, отметим работы психологов, результаты которых служат обоснованием принятой концепции обучения доказательству (П. П. Блонский, С. Л. Рубинштейн, М. Г. Ярошевский и др.). Среди таких положений выделим основные. которые будут положены в основу иерархии уровней обучения доказательству:
      структуры мозга, руководящие аналитической деятельностью, формируются к 13 - 14 годам;
      развитие «доказательного» мышления проходит две стадии: в подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их; в юношеском  возрасте уже заметно выступают критическое отношение к готовым доказательствам и стремление к собственным доказательствам;
      доказательство - специфическая мыслительная деятельность, овладение которой требует специального, целенаправленного формирования составляющих ее логических и эвристических действий, протекающая последовательно от простых к более сложным структурам, с повышением их уровня дедуктивной строгости.
      Деятельность по доказательству наряду с специфическими действиями, включает действия лежащие в основе умения думать:
      •	подведение объекта под понятие; выбор системы признаков, необходимых и достаточных для подведения под понятие, соответствующей конкретным условиям теоремы; развертывание условия - выведение системы следствий; выделение в условии «поисковых» областей (Г. А. Буткин, М. Б. Волович);
      •	вычленение из формулировки теорем их объектов, условия, заключения; запись теоремы в краткой символической форме, построение для данной теоремы ей обратной и установление ее справедливости; перевод формулировки теоремы на язык необходимых и достаточных условий (Л. М. Фридман);
      •	выполнение логического анализа формулировки теоремы, разработка логических схем доказательства отношений необходимости, достаточности, необходимости и достаточности между двумя событиями;
      Очевидно, что даже самостоятельный разбор готового доказательства предполагает понимание хотя бы простейших и наиболее распространенных в доказательствах силлогизмов, например:
        (если Р, то Q; если Q, то R)/(если Р, то R)
      В некоторых работах более детально рассматривается компонентный состав действий и методика их формирования. В 70-х годах уделяется большое внимание внедрению в школьный курс математики элементов логики и рассмотрению в этом контексте проблемы обучения школьников доказательству теорем. Исследователи И. Л. Никольская, М. Е. Драбкина, С. Т. Обиднык, Т. А. Кондрашенкова и другие делают акцент на рассмотрении таких вопросов, как:
       методика изучения логических отношений («следует», «равносильно», «противоположно», «противоречиво», «необходимо», «достаточно»);
       логическая структура математического предложения;
       обучение доказательству истинности или ложности суждения;
       обоснование символьной формы записи высказываний;
       обучение простейшим умозаключениям;
       выяснение отношений между двумя данными предложениями;
       развертывание доказательства в 1 - 3 шага и т. д.
      Среди исследований в рамках нашей темы заслуживает особого внимания работы Г. Р. Бреслер, в которых она рассматривает проблему целенаправленного обучения школьников IV - V (теперь V - VI) классов элементам доказательства. Автор выделяет следующие направления в решении проблемы:
      воспитание потребности в доказательстве;
      ознакомление с некоторыми дедуктивными выводами и с идеей доказательства «от противного»;
      подготовка к восприятию взаимно обратных теорем.
      Отметим, что на необходимость специального формирования потребности в логическом доказательстве утверждений указывается и в работах П.М.Бескина, В.М.Брадиса, В.И.Зыковой, Ф.Ф.Притуло, А.Д.Семушина и др.
      В ряде работ рассматривается проблема обучения школьников построению формулировок теорем:
      метод эксперимента (К. С. Богушевский, Ф. Ф. Притуло [19]);
      метод познавательных задач (А. Г. Нудельман);
      метод использования эквивалентных определений понятий (А. А. Столяр); эвристический метод (В. М. Брадис [3], Ю. М. Колягин, , А. И. Фетисов и др.);
      В контексте некоторых направлений исследователями рассматривается и обучение учащихся доказательству.
      Многие методисты (А. К. Артемов, Д. Пойа, Г. Д. Бал к, М. Б. Балк, Е. Ф. Данилова, М. И. Бурда, В. И. Крупич и др.) считают центральным звеном в обучении доказательству формирование умения осуществлять поиск доказательства. Особенно много сделано в данном направлении Д. Пойа. Им разработана общая методика решения математических задач, в частности задач на доказательство, методика использования методов научного познания в решении задач. Лейтмотивом его работ является мысль о том, что важно развивать у учащихся не только логические рассуждения, но и навыки правдоподобного, эвристического мышления.
      Последователями Д. Пойа были выделены различные эвристические приемы: аналогии, предельного случая, соображений непрерывности, равносильного преобразования требования задачи, получения следствий, незавершенных задач, постановки и выполнения производного задания, сопоставимого вычленения, сведения задачи к подзадачам, парадигмы и т. д. В ряде работ предлагаются эвристические схемы поиска решения задач. Отдельные авторы работ обращают внимание на важность выделения идеи доказательства, ознакомления с ней учащихся, обучения умению осуществлять это действие
      Отметим, наконец, и ряд исследований, посвященных трудностям, возникающим у учащихся при доказательствах (В. И. Зыкова, Л. И. Ланда, Ф. Н. Гоноболин и др.). Выделяются такие причины, как: плохое качество знаний, неумение их применять, неосознанность умственных операций, неумение устанавливать связи между логическими шагами и т. д. В качестве средств, устраняющих трудности, предлагается использование приемов:
      формулирования общей идеи доказательства, мотивации дополнительных построений, приведения плана доказательства, проведения доказательства с опорой на краткую запись, использования блок-схемы доказательства, таблиц и т. д.
      Мы видим, что многие ученые обращались к проблеме обучения учащихся доказательству. Основным результатом их исследований является то, что существуют разные точки зрения на содержание понятия «обучение доказательству». Авторы одной из них делают акцент на обучение школьников поиску способа доказательства и самостоятельному его осуществлению (эвристическая), авторы другой  на обучение умению разбираться в готовых доказательствах(логическая).. Сучествует и третье мнение, в основе которого лежит утверждение о том, что реальный процесс доказательства опирается на единство логического и эвристического, в нем логика и эвристика (логические и эвристические приемы мышления, составляющие доказательство) взаимосвязаны и взаимообусловлены. Отсюда следует, что обучение доказательству должно включать обучение как умению разбираться в готовых доказательствах, так и умению самостоятельно осуществлять их поиск и конструирование, о чем и утверждает Г.И.Саранцев.
      В русле каждого направления предлагаются многочисленные рекомендации по использованию разработанных логических и эвристических приемов. 
      Выполненные исследования создали условия целостного решения проблемы обучения доказательству исходя из новой концепции обучения доказательству, плодотворной оказалась методика, основанная на системно-деятельностном подходе, единстве логического и эвристического в обучении доказательству и более расширенном содержании самого понятия обучения доказательству.
      Рассмотрим методическую концепцию обучения доказательству, выдвинутую Г.И.Саранцевым [22], которая на наш взгляд, отвечает всем требованиям целостного подхода к решению обозначенной проблемы.
      Остановимся кратко на логической концепции доказательств теорем в курсе геометрии, выделив в ней центральное понятие «доказательство». Сам термин «доказательство» употребляется в смысле «рассуждение». 
      Под доказательством в теории, построенной в рамках формальной аксиоматической системы, понимают «такую конечную последовательность (А1. А2, . . .Аn) предложений теории, что каждое предложение либо аксиома, либо получено из предшествующих предложений этой последовательности по какому-нибудь (из принятых в базисной логической системе) правилу вывода. Если существует хотя бы одна такая последовательность предложений, оканчивающаяся предложением Т, то Т  теорема или выводимое предложение теории». В понятийно-терминологической системе методики обучения математике под доказательством подразумевают  цепочку умозаключений (правильных), ведущих от истинных посылок (исходных для данного доказательства суждений) к доказываемым (заключительным) тезисам. Истинность посылок не обосновывается в самом доказательстве, а устанавливается заранее. В этом заключается логический смысл доказательства. Однако рассмотрение доказательства как педагогической задачи выходит за рамки этого представления и приобретает более широкий смысл. Доказательство выступает не только борением разных логик, но и борением эвристик, что обусловливает широкий поиск различных способов доказательства, их оценку. Посредством доказательства устанавливается истинность данного суждения.
      Определив логическую и методическую сущность понятия, рассмотрим его структуру. Доказательство включает в себя три основных элемента:
      1) Тезис, установить истинность которого - главная цель доказательства. Форма выражения тезиса – суждение.
      2)	Аргументы (основания) доказательства - положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов - суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключениям, которые строятся по определенным правилам.
      3)	Демонстрация	- логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.
      К тезису, аргументам и демонстрации предъявляют определенные требования, нарушение которых приводит к ошибкам в доказательствах.
      Способ связи аргументов от условия к заключению суждения называют методом доказательства. Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, делят на прямые и косвенные (по тому, как строится обоснование тезиса). Методы доказательства делят и в зависимости от математического аппарата, используемого в доказательстве.
      Различают следующие приемы прямого доказательства:
      1)	прием преобразования условия суждения (синтетический);
      2)	прием преобразования заключения суждения:	отыскание
      достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (исходящий анализ);
      3)	прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.
      К приемам косвенного доказательства относят:
      1)	 метод «от противного» (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения);
      2)	разделительный	(тезис рассматривается как один из возможных вариантов предложений, когда отвергаются все предположения, кроме одного).
      Методы доказательства в зависимости от математического аппарата, разделяются на алгебраические, геометрические (в частности геометрические преобразования, векторные и т. д.) и арифметические.
      Выяснив понятия «обучение доказательству», «доказательство», перейдем к вопросу методике обучения доказательствам. Выясним: Зачем надо доказывать? Что надо доказывать? Как надо доказывать?
      Ответ на первый вопрос обусловлен мотивационным компонентом деятельности, который обеспечивается действиями целеполагания и мотивации. Второй вопрос актуализирует действия анализа теоремы - выделение условия, заключения теоремы, объектов, отношений между ними, построение графической модели ситуации, отраженной в теореме. С данным вопросом соотносится и открытие доказываемых фактов, что обеспечивается владением и различными эвристиками. Ответ на третий вопрос предполагает поиск метода доказательства, его соотнесение с доказываемым утверждением, прогнозирование результатов использования метода, нахождение других методов доказательства, выбор наиболее оптимального из них п т. д.
      Поэтому ответ на вопрос: «Зачем доказывать?» - в его широком понимании обусловлен целями обучения доказательству.
      Говоря о роли и месте доказательств в обучении математике, мы приведем слова Г.И.Саранцева, подтверждающие их особую значимость: «Доказательство в математике не все, но без него в ней нет ничего». Обучать математике – это значит обучать доказательству.
      Умение доказывать является, по мнению. В.А.Далингера, структурной единицей учебно-познавательной деятельности школьника. В качестве основных целей обучения доказательствам он называет: обеспечение усвоения учащимся теоретических знаний по предмету; формирование у учащихся представлений о математике как дедуктивной науке; обеспечение осознанности, глубины и устойчивости знаний; развитие мыслительной деятельности учащихся; овладение всем арсеналом различных методов и приемов получение и применения знаний; осознания способов получения доказательств.
      Проблема обучения доказательству не может быть решена без учета возрастных возможностей учащихся. поэтому систематическое использование доказательств возможно не ранее VII класса, хотя обучение элементам доказательства должно осуществляться в V - VI классах. По мнению психологов, в младших классах доказательство должно сводиться к проверке полученного результата перепроверкой или каким-либо другим действием. Однако, как отмечал П.П.Блонский, проверяющее мышление постепенно развивается в доказывающее мышление. Направляющим моментом в этом процессе становится вопрос: «Истинно ли? Соответствует ли действительности?»
      Очевидна зависимость обучения доказательству от содержания обучения математике, от принятой структуры курса, ступеней обучения. Формирование концепции обучения доказательству должно осуществляться с учетом методов обучения, средств и форм обучения математике. Таким образом, обучение доказательству представляет собой сложную систему, структура которой обусловлена многочисленными связями между различными ее составляющими.
      Доказательства в школьном курсе математики играют огромную роль. Они являются источником и условием развития логического, абстрактного, дедуктивного и эвристического мышления. Они представляют сплав логического и эвристического. Велико их значение в формировании и развитии нравственных качеств личности. Доказательства являются способом систематизации учебного материала, с их помощью и посредством их устанавливается связь между доказываемой теоремой и ранее доказанными теоремами. Они являются средством мотивации и получения обучаемым новых знаний, в процессе доказательств развиваются важнейшие интеллектуальные и учебные умения. Велико и общекультурное значение доказательств.
      Исходным моментом в обучении учащихся доказательству является формирование потребности в логических доказательствах. Потребность служит источником активности, проявлением которой являются мотивы. Следовательно, формирование потребностей учащихся в логических обоснованиях обусловливает развитие мотивов к соответствующей деятельности. Средства формирования потребностей выступают в качестве мотивации введения доказательств. Вообще говоря, изучение любой теоремы предполагает мотивацию ее введения.
      Потребность в логических обоснованиях должна формироваться еще при изучении пропедевтического курса геометрии, т. е. в V - VI классах У школьников VII класса, начинающий изучение систематического курса геометрии, развивается естественная потребность в проведении доказательств.
      Итак, первый уровень обучения доказательству должен включать формирование потребности в логических обоснованиях утверждений, навыков выполнения дедуктивных умозаключений и понимания того, что из одних предложений логическим путем можно получать новые предложения.
      Следующий уровень должен характеризоваться умением школьников выполнять цепочки дедуктивных умозаключений и применять некоторые эвристики. На этом уровне рекомендуется формировать действия преобразования требования задачи (заключения теоремы) в равносильное ему или в такое требование, из которого данное вытекает как следствие, а также действия выведения следствий, составления вспомогательных задач и т. д. Эти действия составляют основу применения многих эвристических приемов (элементарных задач, достраивания фигур, представления задачи в пространстве состояний и т. д.) и методов научного познания (аналогии, обобщения и т. д.) в различных ситуациях. К тому же некоторыелогические действия, например выведение следствий, имеют эвристический характер и используются в поиске способа доказательства. Другими словами, формирование логических действий включает знакомство учащихся с их эвристичностью и использованием в осуществлении поиска решения задачи. 
      Данный уровень но характеру своих действий и их соотнесению с курсом геометрии наиболее свойствен первым разделам систематического курса планиметрии, которые содержат и многие эвристики, основанные на ассоциациях «равенство отрезков - равенство треугольников», «равенство углов - равенство треугольников», «сторона а треугольника больше стороны b - угол, лежащий против стороны а, больше угла, лежащего против стороны 6», «сравнить два объекта - ввести в рассмотрение третий объект, находящийся с данными в известных отношениях» и т. д. Формированию эвристик учитель должен уделить самое серьезное внимание.
      Итак, обучение умениям осуществлять цепочки логических шагов в доказательстве и применять эвристические приемы составляет содержание второго уровня в обучении школьников доказательству.
      Первые уроки геометрии изобилуют изучением определений многих понятий (биссектрисы, смежных углов, вертикальных углов и т. д.), что позволяет формировать действия подведения объекта под понятие, выведения следствий. Задачи на доказательство, содержащиеся в этом разделе, дают возможность совершенствовать навыки дедуктивных умозаключений. Появление теорем, доказательство которых основано на 6-12 логических шагах, позволяет вести работу по приобщению школьников к разбору доказательств, формируя тем самым умение самостоятельно разбираться в готовых доказательствах. Изучение таких теорем дает основу для развития умения выделять и формулировать идею доказательства. Все это способствует и развитию потребностей учащихся в доказательстве.
      Доказательства в школьном курсе геометрии содержательны, свернуты и содержат в значительной мере интуитивный компонент, а порой даже ссылку на утверждение, отсутствующее в учебнике. Обучение анализу доказательства:	выделению логических шагов, поиску и устранению логических пробелов, развертыванию дедуктивных умозаключении в логическую схему, выделению идеи доказательства и его воспроизведению, применению эвристических приемов - составляет содержание третьего уровня обучения школьников доказательству. Содержание этого уровня, особенно поиск и устранение логических пробелов в тексте доказательства теоремы, выделение идеи доказательства готовит школьников к новому уровню - самостоятельному поиску и осуществлению доказательства. Немаловажное значение в этом принадлежит и вооружению школьников эвристическими приемами, начало чему положено уже на более раннем уровне усвоения доказательства.
      Огромная роль в самостоятельном поиске доказательства принадлежит умению использовать методы научного познания: аналогию, обобщение, конкретизацию, анализ и г. д. Уже изучение первых теорем, например первого и второго признаков равенства треугольников, дает возможность формирования метода аналогии, а заключительный этап работы с задачей является хорошим средством обучения школьников обобщению и конкретизации. Умение использовать методы научного познания и умение самостоятельно выполнять доказательство можно считать содержанием четвертого уровня работы с доказательством. На этом уровне осуществляются доказательства по аналогии, с использованием обобщения и т. д. Он соответствует программе VII - VIII классов.
      Содержание пятого уровня обучения доказательству составляет обучение умению опровергать предложенные доказательства. Выполняя анализ учебно-методической литературы, мы подчеркивали мысль многих авторов о важности умения опровергать готовые доказательства. С точки зрения методики преподавания математики обучение умению опровергать предложенные доказательства важно по ряду причин. Во-первых, как уже было отмечено, психологи выделяют у детей юношеского возраста развитие способности критического отношения к окружающему и изучаемому, что предполагает необходимость адекватной этой способности деятельности, а таковой и является деятельность но опровержению готовых доказательств. Доказательства могут содержать ошибку, источником которой может быть нарушение требований к тезису, аргументации или демонстрации доказательства. И, наконец, опровержение доказательств есть логическое завершение деятельности, адекватной доказательству, ибо оно в отличие от анализа готового доказательства, самостоятельного конструирования доказательства направлено не только на выявление ошибки в доказательстве, но и на ее исправление.
      Итак, обучение учащихся доказательству включает формирование потребности в логическом обосновании утверждений, умения осуществлять дедуктивные выводы и цепочки логических шагов, обучение логическим действиям и эвристическим приемам, самостоятельному разбору готовых доказательств, открытию фактов, самостоятельному поиску и выполнению доказательства, умению использовать методы научного познания и, наконец, умению опровергать предложенные доказательства. Очевидно, что отдельные умения включают в себя более простые. Так, умение сам.......................