Функциональные методы решения задач с параметром и разработать элективный курс по заявленной теме

     СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ	5
ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ	7
      1.1 Понятие об уравнении с параметром и его особенности	7
      1.2 Монотонность функции	9
      1.3 Ограниченность функции	13
      1.4 Инвариантность функции	14
      1.5 Наибольшее и наименьшее значение	16
      1.6 Периодичность функции	18
      1.7 Непрерывность функции	18
ГЛАВА 2 ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ	20
      2.1 Использование свойства монотонности  функции при решении задач с параметром	20
      2.2 Решение задач с параметром  с использованием свойства ограниченности функции	25
      2.3 Использование свойства инвариантности при решении задач с параметром	32
      2.4 Использование свойства наибольшего и наименьшего значений функции при решении задач с параметром	39
      2.5 Решение задач с параметром с использованием свойства периодичности функции	44
      2.6 Использование свойства непрерывности функции при решении задач с параметром	47
ГЛАВА 3 РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ»	52
      3.1 Пояснительная записка	52
      3.2 Содержание занятий	54
      3.2.1 Занятие 1–2	54
      3.2.2 Занятие 3–4	55
      3.2.3 Занятие 5–6	56
      3.2.4 Занятие 7–8	57
      3.2.5 Занятие 9 –10	58
      3.2.6 Занятие 11 –12	59
      3.2.7 Занятие 13 – 14	60
ЗАКЛЮЧЕНИЕ	62
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ	63
     
ВВЕДЕНИЕ
     Параметр(от греческого «parametron» - отмеривающий)  – это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему).
     Задачи с параметрами считаются одними из наиболее трудных в школьном курсе математики. Решению таких задач в школьной программе уделяется мало внимания. На решение различных уравнений и неравенств с параметрами  в 11 классе отводится 3 часа, но функциональные методы их решения почти не рассматриваются.  Большая часть учащихся либо не справляются с этими  задачами, либо получают объемные вычисления. Данная ситуация происходит из-за отсутствия системы заданий рассматриваемой темы в школьных учебниках. Однако задачи с параметрами присутствуют в вариантах ЕГЭ по математике. 
     Трудность в работе с задачами заключается во множестве различных методов, применяемых для исследования значения параметра, в умении проводить логические цепочки рассуждений и в знании формул элементарной математики. Задания с параметрами играют огромное значение в формировании логического мышления и математической культуры у учащихся школ. Изучение данной темы позволяет достичь развития у учащихся общих исследовательских навыков, которые должны сформироваться у каждого выпускника школы. Таким образом, тема «Решение задач с параметром функциональными методами» является актуальной.
     Г.В. Дорофеев указывал, что «решение уравнений и неравенств с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале». [2]
     Цель исследования: рассмотреть функциональные методы решения задач с параметром и разработать элективный курс по заявленной теме.
     Объектом исследования  является процесс обучения математике в школе.
     Предметом исследования является методика решения задач с параметрами.
     Поставленная цель позволила сформулировать следующие задачи:
      Проанализировать отражение темы «функциональные методы решения задач с параметром» в  школьной программе по математике и заданиях ЕГЭ;
      Изучить теоретические методы решения задач с параметром функциональными методами;
      Подобрать систему задач;
      Разработать элективный курс.
     Выпускная квалификационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников.
     Во введении обоснована актуальность темы, выделены объект, предмет, цель и задачи исследования. В первой главе проанализирована литература исследуемой проблемы. И на основе этого анализа рассмотрены теоретические сведения решения задач с параметром: понятия, утверждения и теоремы основных свойств функций. Во второй главе представлено применение теоретических знаний к решению задач. На использование каждого свойства подобрана система задач с подробным решением. На основе второй главы составлена третья глава, которая представлена в виде элективного курса. В заключении содержатся обобщения и выводы по результатам выполненной работы.


ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ
     1.1 Понятие об уравнении с параметром и его особенности
     Рассмотрим уравнение F(x;a)  = 0.                                                                   (1)
     Поставим следующую задачу: найти пары вида(x;a), которые удовлетворяют уравнению (1), при такой задаче F(x;a)=0 – это уравнение с переменными x и a. Возможна постановка и другой задачи относительно данного уравнения. Когда aпридадим какое-то фиксированное значение, то исходное уравнение будет рассматриваться как уравнение с одной переменной x, и решение уравнения (1) будем определять выбранным значением a.
     Поставим задачу: решить уравнение F(x;a)=0 относительно xдля любого значения параметра a из некоторого числового множества А. В этом случае при постановке такой задачи исходное уравнение – это уравнение с переменной x и параметром a, а множество А – область изменения параметра. F(x;a)=0 – это короткая запись семейства уравнений. Уравнения данного семейства получаем из уравнения (1) при разных определенных значениях a. [16]
     Например, у уравнения 2b(b-1)y=b-1 областью изменения параметра aбудет множество A={-1;0;1;2;3}. А данное уравнение является краткой записью семейства уравнений:
     {?(2y=-1 при b=-1,@0?y=-1 при b=0,@0?y=0 при b=1,@4?y=1 при b=2,@6?y=1 при b=3.)}
     Область изменения параметра – это множество всех действительных чисел. Задача решения уравнения с параметром излагается в следующем виде: решить уравнение F(x;a)=0 – значит, на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из уравнения F(x;a)=0 при всех действительных значениях параметра. [8]
     Из бесконечного семейства уравнений довольно тяжело выписать каждое уравнение, но все таки каждое уравнение семейства должно быть решено. Для его решения необходимо разбить множество значений параметра на подмножества по некому целесообразному признаку, а потом решить уравнение на каждом из этих подмножеств. При разбиении множества значений параметра на подмножества используются такие значения параметра, при которых или при переходе сквозь которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называют контрольными.
     Замечание 1. Если соотношение с параметром не содержит ограничений на неизвестную или параметр, то нужно выражать неизвестную через параметр, обращаясь к рассмотрению нескольких случаев в ситуациях, когда проводимые преобразования требуют наложения ограничений. Если в соотношении есть ограничения на неизвестную или параметр, то необходимо перейти к его структуре и провести анализ этой структуры. [4]
     Замечание 2. Чтобы решить систему из уравнения и неравенств с параметром, надо решить уравнение, то есть найти зависимости неизвестной от параметра, подставить каждую из вычисленных зависимостей в неравенства, решить каждое из полученных неравенств относительно параметра и установить, при каких значениях параметра каждая из зависимостей будет давать решения всей системы. Эти решения при каждом значении параметра составят множество решений. [4]
     Существуют следующие методы решения задач с параметрами:
      Алгебраический метод.
      Графический метод.
      Геометрический метод.
      Функциональный метод.
     В данной работе будет рассмотрен функциональный метод решения задач с параметром, который требует обоснование, основанное на использовании свойств и графиков различных функций. Разберем наиболее часто используемые свойства функций при решении задач с параметром.
     1.2 Монотонность функции
     Функцияy=f(x), x?X, является возрастающей (или строго возрастающей) на множествеM  ?X, если для любых x_(1 ) и x_2из множества M таких, чтоx_(1 )f(x_2 ), что противоречит условию f(x_(1 ))=c= f(x_2).
     Утверждение 2. Если функция y = f(x) строго монотонно возрастает, а функцияy = g(x)строго монотонно убывает, то уравнение вида f(x)= g(x) имеет не более одного корня. Приведем следующее доказательство: если функция y = g(x)строго монотонно убывает, то функция y = -g(x)строго монотонно возрастает, значит, и функция p(x) = f(x) - g(x) является строго монотонно возрастающей. Из первого утверждения следует, что уравнение p(x) = 0 имеет не более одного корня. Таким образом,  уравнениеf(x)= g(x) также будет иметь не более одного корня. [17]
     Используя вышеприведенные утверждения, можно объяснить единственность решения уравнения в тех случаях, когда его не удается привести  к простейшему, но есть возможность очень просто подобрать корень. При решении уравнения «методом подбора», важно  разъяснить, что других корней нет. Такое разъяснение может быть получено при использовании свойств монотонных функций.
     Свойства монотонных функций:
      Если функции f(x)и g(x)возрастают или убывают на множестве M, то функция f(x)+g(x) также возрастает или убывает на множестве M; 
      Если функции f(x)и g(x) возрастают или же убывают на множестве M и, кроме того,  f(x)?0 и g(x)?0  при всех допустимых значенияхx, то функция f(x)?g(x)также возрастает или же убывает на M.
     Обратимся к монотонности функции на множестве действительных чисел, представленной в таблице 1.[11]
Таблица 1 – Монотонность функции на множестве действительных чисел
Монотонность функции на R
Равносильность уравнения (неравенства)
Функция f(t) строго монотонна на множестве R
f(z(x))=f(h(x)) ?(?? ) z(x)=h(x)
Функция f(t) строго возрастает на R
f(z(x))> f(h(x)) ?(?? )  z(x)>h(x)
Функция f(t) строго убывает на R
f(z(x))f(h(x)) ?(?? ) {?(z(x)>h(x),@E(z)?M,@E(h)?M,)?E(z)  и E(h)- множество значений функций z(x)и h(x).
Функция f(t) строго убывает на своей области определения – на промежутке M
f(z(x))>f(h(x)) ?(?? ) {?(z(x)g(x)-все числа из (x_0;b),а решение неравенства f(x)g(x) и f(x)c-это все числа из (x_0;b),а решение неравенстваf(x)<
x_0, либо f(x_0 )x_(0 ) ?(?? ) f(f(x_0 ))>
>f(x_0) , однако f(f(x_0 ))= x_0, поэтому x_0>f(x_0), а это противоречит неравенству f(x_0)  ?>x?_0. Если f(x_0) 0 на (a;b), то функция f(x) будет возрастать на этом интервале; если f^' (x)<0, то функция будет убывать. [15]
     1.3 Ограниченность функции
     Обратим внимание на уравнения и неравенства с параметром, которые решаются при помощи использования свойств ограниченных функций, прежде всего рассматриваются множества значений функций. Такие задачиобычно невозможно свести к простейшим уравнениям (неравенствам) с помощью алгебраических преобразований или замены переменной: решением здесь обычно является исследование множества значений функций или алгебраических выражений. В этом решении устанавливается, к примеру, что одна из частей уравнения не больше некоторого действительного числаd, а другая - не меньше этого же числа. Затем делаем вывод, что уравнение имеет хотя бы один корень только в том случае, если его левая и его правая части равны числу d.
     Обратимся к основным свойствам, связанным с ограниченностью функций:
     1) a + b?2?ab для любых неотрицательных a и b, причем a + b= 
=2?ab, только если a=b;
     2) a^2  +b^2  ?2ab для любых действительных a и b, причем a^2  +b^2=
=2ab, только если a=b; 
     3) ax^2+bx+c=a(x+b/2a)+c-b^2/4a?c-b^2/4a  при a>0; ax^2+bx+c==a(x+b/2a)+c-b^2/4a?c-b^2/4aприa<0;
     4)a+( 1)/a  ?2 при a>0, причем  a+( 1)/a  =2, только если a=1; a+( 1)/a  ??-2 при a<0, причем a+( 1)/a  =-2, только если a=-1;
     5) |sinx|?1, |cosx|?1 при любых действительных x;
     6)|asin x +bcos x|??(a^2+b^2 )  при любых действительных a, b, x;
     7)-  ?/2?arcsinx??/2,  0?arccosx??, -  ?/2c выполняется при всех x из этого промежутка;


2) условие того, что наименьшее значение функции f(x) меньше числа cбудет равносильно тому, что неравенство f(x)c выполняется хотя бы при одном значении x из этого промежутка.

     
     Некоторые задачи можно свести к нахождению наибольшего и наименьшего значения квадратичной функции. При a?0: ax^2+bx+c=
=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a,тогда из этого следует, что: а) y_наим=c-b^2/4a, a>0и достигается оно при x=-b/2a;б)y_наиб=c-b^2/4a, a<0и достигается оно при x=-b/2a.
     1.6 Периодичность функции
     Функция y=f(x), x?X, является  периодической на X, если существует число T, отличное от нуля,которое называется периодом данной функции. Число T такое, что для него применимы следующие условия:
     1) числа x+T и x-Tпринадлежат X для каждого x?X;
     2) для каждого x?X справедливо равенство f(x+T)=f(x).
     Если  T является периодом функции, то  и kT-ее период, где k- любое целое число. Если функции f(x) и g(x)периодические с периодом T_1и T_2, то число T, кратное T_1и T_2,будет  периодом суммы этих функций, разности, произведения и частного. Наименьший из положительных периодов периодической функции называется ее главным периодом. [12]
     1.7 Непрерывность функции
     Функцию f(x), определенную на промежутке (a;b), называют непрерывной в точке x_0, принадлежащей этому промежутку, если:
     1) существует предел  lim?(x?x_0 )??f(x)?;
     2) данный предел равен значению функции в точке x_0: lim?(x?x_0 )??f(x)?=f(x_0 ).
     Свойства непрерывных функций:
     Пусть X={x_0 }  или X=(a;b)  или X=[a;b].
     1) Сумма, разность и произведение конечного числа непрерывных на множестве X функций является функцией непрерывной на X.
     2) Если функции f(x) и g (x) непрерывны на X и g (x ) ? 0 , ? x ? X, то частное (f(x))/(g (x)) – непрерывная на множестве X функция.
     3) Пусть f: X ? Y, ?: Y ? Z. Если f(x) непрерывна на X, ? (x) – непрерывна на Y, то сложная функция ? (f(x)) непрерывна на X.
     Теорема Вейерштрасса: если на отрезке [a;b]наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции равны соответственно A и B, то для любого значения C?[A;B]найдется значениеc?[a;b]такое, чтоC=f(c). Это означает, что множество значений непрерывной функции на отрезке [a;b]будет весь отрезок [A;B]. [12]
     Теорема Больцано – Коши: если функция fнепрерывна на отрезке [a;b]  и f(a)?f(b)<0,то уравнение f(t)=0имеет по крайней мере один корень на интервале (a;b). Следует отметить, если функция строго монотонна, то этот корень единственный.[13] 
     
     
ГЛАВА 2 ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
     2.1 Использование свойства монотонности  функции при решении задач с параметром
     Задача 1. Найдите значения a, при которых уравнение
?16?^(y+a)-4^(y^2-4y+3a)=y^2-6y+a действительных решений не имеет.
     ??Решение. 4^(2y+2a)-4^(y^2-4y+3a)=y^2-4y-2y+3a-2a?(?? )  4?^(y^2-4y+3a)+?+y?^2-4y+3a=4?^(2y+2a)+2y+2a. Рассмотрим функцию f(t)=4^t+t. Последнее уравнение примет вид f(y^2-5y+4a)=f(3y+3a). Функция f(t)=4^t+t определена при всех t и строго возрастает на всей числовой прямой (как сумма двух возрастающих функций). Тогда получаем, что  
f(y^2-4y+3a)=f(2y+2a) ?? 2y+2a=y^2-4y+3a,? y?^2-6y+a=0. 
     Полученное уравнение,а, следовательно, и уравнение, заданное в условии, не будет иметь действительных решений, когдаD=36-4a<0, a>>9.
     Ответ: a>9.
     Задача 2.Найдите все значения параметра c, при которых у уравнения
?27y?^6+(c-y)^3+3y^2+c=y имеется  хотя бы один корень.
     Решение.?27y?^6+3y^2=(c-y)^3+y-c. Рассмотрим функцию f(t)=?=t?^3+t,которая строго монотонно возрастает на всей числовой прямой. Тогда получим, чтоf(?3y?^2 )=f(y-c),?3y?^2-y+c=0,  D? 0?(?? )  1-12c?0, c?
?1/12. 
     Ответ: c?(? -?; 1/12]?.
     Задача 3. Найдите значения параметра d, при которых уравнение 2^(?3y?^2+y)-?(5d-y)=2^(5d-y)-?(?3y?^2+y)имеет  один корень.
     Решение. Запишем 2^(?3y?^2+y)+?(?3y?^2+y)=2^(5d-y)+?(5d-y) и рассмотрим функцию g(t)=2^t+?t. Полученная функция является строго возрастающей на R. Тогда g(3y^2+y)=g(5d-y) ?(?? ) ?3y?^2+y=5d-y, ?3y?^2+2y-5d=0. Уравнение имеет один корень, когда D=4+60d=0?(?? ) d=-1/15.
     Ответ: d=-1/15.
     Задача 4. Укажите все значения a, для которых уравнение ?(3+?(3a+2x-x^2 )) =2x-x^2имеет решение.
     Решение.f(t)=?(3a+t),  f(f(2x-x^2 ))=2x-x^2 ?(?? ) f(f(t))=t, t=
=2x-x^2. g(x)=2x-x^2- парабола, у которой  вершина x=1 и максимумтоже равен 1. Для того чтобы для фиксированного t  существовало хотя бы одно решение x уравнения t=2x-x^2, нужно выполнение условия t?1.  Функция f(t)строго монотонна, поэтому уравнение f(f(t))=t?(?? ) f(t)=t.
     {?(f(t)=t@t?1)? ?(?? ) {?(?(3a+t)=t@t?1)? ?(?? ) {?(3a+t=t^2@t?0@t?1)? ?(?? ) {?(t=1/2±?(3a+1/4)@t?[0;1] )?
     t=1/2+?(3a+1/4)принадлежит [0;1] при  a?[-1/12;0]и t=1/2-?(3a+1/4)принадлежит [0;1] при  a?[-1/12;0].Таким образом, при  a?[-1/12;0] существует одно такое значение t?1, что f(f(t))=t. А для каждого такого t существует хотя бы одно такое значение x, что t=2x-x^2. Ответ: a?[-1/12;0].
     Задача 5. Найдите значения параметра b, при которых число решений уравнения 3y^2+(9b^2-2)y+3b^2-1=0не превосходит числа решений уравнения 3y^3+y+?(3b-2)?^2?3^y=(8^b-4) ?log?_3 (3^b-1/2).
     Решение. Рассматривая второе уравнение, можем сказать, что допустимые значения b удовлетворяют условию 3^b-1/2>0.Заметим, что правая часть от y не зависит,поэтому, при любом b она будет константой.Функция f(y)=3y^3+y+?(3b-2)?^2?3^y- возрастающая. Таким образом, используя первое утверждение, получаем, что второе уравнение имеет не более одного решения при всех допустимых значениях параметра b.Для выполнения условий нужно, чтобы первое уравнение имело не более одного решения.D=?(9b^2-2)?^2-12(3b^2-1)=(9b^2-4)^2?0. Полученное неравенство выполняется, если 9b^2-4=0?(?? ) b=2/3  и b=-2/3.
     b=-2/3- не удовлетворяет условию 3^b-1/2>0, так как 3^(-2/3)-1/2>0?(?? )  1/?9>1/2 ?(?? ) (1/?9)^3>(1/2)^3 ?(?? )  1/9>1/8.
     b=2/3 – удовлетворяет условию 3^b-1/2>0. При b=2/3второе уравнение запишем x+3x^3=0?(?? ) x=0. Оба уравнения имеют одно решение при b=2/3. Поэтому  найденное значение b удовлетворяет условию нашей задачи.
     Ответ: b=2/3.
     Задача 6. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение (2b+3) x^2+(b+3)x+1=0имеет хотя бы один корень, и число различных корней этого уравнения равно числу различных корней уравнения(2x+1)/(21-b)==1/(?(x-3)+3).
     Решение. b?21 – это область допустимых значений параметра, а x?3-областьдопустимых значений неизвестной. Когдаx?3, то во втором уравнении правая часть будет положительна и2x+1 положительно. Для выполнения равенства во втором уравнении 21-b>0,  b<21.
     Введем f(x)=(2x+1)/(21-b)и g(x)=1/(?(x-3)+3).f(x)=(2x+1)/(21-b)=2/(21-b) x+1/(21-b)-линейная функция с k=2/(21-b)>0?(?? ) f(x)- возрастающая функция. При ростеx, знаменатель ?(x-3)+3?( тоже растет?? )  g(x)- убывающая функция. Следовательно, из свойства функций разной монотонности имеем, что второе уравнение будет иметь не более одного решения. Из графических соображений (Рисунок 1), мы видим, что уравнение (2x+1)/(21-b)=1/(?(x-3)+3) имеет решения, если f(3)?g(3).
      
      Рисунок 1 – Решение уравнения f(x)=g(x)
     f(3)=7/(21-b), g(3)=1/3. 7/(21-b)?1/3 ?(?? ) b?0.Уравнение (2x+1)/(21-b)=1/(?(x-3)+3) имеет единственное решение при b?0.
     Далее рассмотрим первое уравнение (2b+3) x^2+(b+3)x+1=0. Мы выяснили, что второе уравнение может иметь только один корень, причем при условии, что b?0.Тогда данное уравнение тоже должно иметь один корень. Для этого рассматриваются два случая: 2b+3=0 и 2b+3?0, D=0.
     а) 2b+3=0?(?? ) b=-3/2,первое уравнение примет вид 1,5x+1=0?(?? ) x=-2/3.
     б) 2b+3?0, D=0.D=b^2-2b-3=0, b_1=3, b_2=-1.Но так как b?0, то b_1=3- условию не удовлетворяет.
     Ответ: b_1=-3/2, b_2=-1.
     Задача 7. Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение 7^(py^2-y)-7^(y^2-1)=?(7&y-py^2 )-?(7&1-y^2 )имеет ровно 2 различных решения.
     Решение. Запишем в следующем виде 7^(py^2-y)+?(7&py^2-y)=7^(y^2-1)++?(7&y^2-1).Рассмотрим функцию f(t)=7^t+?(7&t), она является строго-возрастающей на всей числовой прямой. f(py^2-y)=f(y^2-1)и в силу строгой монотонности это уравнение равносильно py^2-y=y^2-1. Получаем уравнение (p-1) y^2-y+1=0.
     1) Если p=1  получаем линейное уравнение y=1.
     2) Если p?1.  Уравнение имеет два различных корня, если D>0.D=5-4p, D>0при p<5/4.
     Ответ: p?(-?;1)?(1;5/4).
     Задача 8. Для 00,z+aи tнаходятся в промежуткестрогой монотонности функции f.f(z+a)=f(t) ?(?? ) z+a=t, ?(a^2+z-1/16)=z+a?(?? ) z=-a+?(a^2+z-1/16).В итоге получим z^2+2az+1/16=z.Для 00.
     ?(a^5 ) (x-4)^2+?a/(x-4)^2 ?2/3 a|cos?x|.Оценим левую часть с помощью неравенства Коши a+b?2?ab (a?0, b?0),?(a^5 ) (x-4)^2+?a/(x-4)^2 ?2?(a^3 ). Равенство будет выполняться при x=4+?a/a. Для того, чтобы неравенство имело хотя бы одно решение, должно выполняться следующее: 2?(a^3 )?
?2/3 a|cos?x|, a^3?1/9 a^2 ?cos?^2 ?x.Так как a>0, то a?1/9 ?cos?^2 ?x, a?1/9.Еслиa=
=1/9,то неравенство имеет решение x=4+?a/a=7.
      Ответ: a=1/9.
     Задача 3. Найдите значенияa, при которыхуравнение |(y^2-4ay+4a^2+1)/(y-2a)|+?+y?^2-2y=1имеет хотя бы одно решение?
     Решение.|((y-2a)^2+1)/(y-2a)|+(y-1)^2=2?(?? ) |y-2a+1/(y-2a)|+(y-1)^2=2.Обозначим y-2a=z, тогда |y-2a+1/(y-2a)|=|z+1/z|. Воспользуемся следующим свойством ограниченности функций: z+( 1)/z  ?2 при z>0, причем z+( 1)/z  =2, только если z=1; z+( 1)/z  ?-2 при z<0, причем z+( 1)/z  =
=-2, только если z=-1.Таким образом, при z>0 и при z<0 будет выполняться неравенство |z+1/z|?2, а равенство будет лишь при z=1 и z=-1, |y-2a+1/(y-2a)|?2.Для того чтобы выполнилось равенство 
|y-2a+1/(y-2a)|+?(y-1)?^2=2, должно быть |y-2a+1/(y-2a)|=2 и ?(y-1)?^2==0. Это возможно в следующих случаях: 
     1) {?(y-2a=1@?(y-1)?^2=0)? ?(?? ) {?(a=(y-1)/2@y=1)? ?(?? ) a=0.
     2) {?(y-2a=-1@?(y-1)?^2=0)? ?(?? ) {?(a=(y+1)/2@y=1)? ?(?? ) a=1.
     Ответ: a=0, a=1.
     Задача 4.Найти все значения параметра b, при каждом из которых система уравнений {?(a+?x=2 sin??3y,?@|x|+z^4=8a,@(a-1)^2=|z^2+2z|+|sin?6y |+1)?имеет хотя бы одно решение, указать решения системы для каждого из найденных значений a.
     Решение. ?x?0,  sin?3y?1?(?? ) первое уравнение примет вид a?2. |x|?0, z^4?0?(?? ) второе уравнение .......................