Функции многих переменных

Содержание:

 Введение……………………………………………………………………..…….3
Глава 1. Экстремумы функций многих переменных ………………………..…5
1.1. Экстремумы функций многих переменных……………………….….5
1.2. Необходимые условия экстремума……………………………………6
1.3. Достаточные условия экстремума…………………………………….9
1.4. Локальные Экстремумы…………………………………………..…..11
1.5. Условные Экстремумы…………………………………………….….12
Глава 2. Практическая работа по исследованию…………………..…………..16
2.1. Метод множителей Лагранжа………………………………………..16
2.2. Наибольшее и наименьшее значения функции……………………..18
2.3 Метод множителей Лагранжа решения задач математического программирования………………………………………………………...21
Заключение………………………………………………………………………29
Список литературы………………………………………………………………30

Введение

     В математике очень давно началось изучение задач на нахождение максимума и минимума. Однако только лишь в эпоху развития математического анализа появились первые методы решения и исследования задач на экстремум.
     Нужды практической жизни, особенно в области экономики и техники, в последнее время стали выдвигать такие новые задачи, которые давними методами решить не удавалось. Но нужно было идти дальше.
     В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное (иногда говорят - оптимальное) решение. Огромное число подобных проблем возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.
     В математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно – двадцать пять веков назад. Продолжительное время к задачам на отыскание экстремумов не было сколько-нибудь единых подходов. Однако примерно триста лет назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.
      Правила определения экстремумов функции одной переменной  y=f(x) были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос для функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функции многих переменных.
     Объект исследования: функции многих переменных.
     Предмет исследования: дифференциальное исчисление.
     Цель данной работы – рассмотрение и описание функций нескольких переменных, а также в рассмотрении методов, используемых при этом.  
     Задачи:
      сформулировать необходимые и достаточные условия существования максимума и минимума функции;
      выбор метода нахождения экстремумов;
      полное математическое обоснование экстремумов нескольких функций.
     Одним из важнейших применений дифференциального исчисления является его использование для отыскания и исследования экстремумов функций.
     
     
Глава 1. Теоретический анализ источников


     1.1. Экстремумы функций многих переменных
     
     Рассмотрим понятие экстремума:
     Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными 
     Определение: Точка  называется точкой экстремума (максимума или минимума) 
     функции , если  есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции  в некоторой окрестности точки .
     При этом значение  называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Еще говорят, что функция  имеет в точке  экстремум (или достигает в точке  экстремума). [5]
     Можно заметить, что в силу определения точка экстремума функции находится внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, которая содержит эту точку. Вид поверхностей, которые изображают поверхности функций в окрестности точек экстремума, представлен на рис. 1.
     
     Рис. 1. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума.
     
     1.2. Необходимые условия экстремума
     
     Определим необходимые условия, при которых функция  достигает в точке  экстремума; Сначала рассмотрим только дифференцируемые функции.
     Необходимый признак экстремума: Если в точке  дифференцируемая функция  имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:
     ,  .
     Доказательство: Допустим, что функция  имеет в точке  экстремум.
     Согласно определению экстремума функция  при постоянном , как функция одного  достигает экстремума при . Известно, что необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции  при ,
т. е. 
     .
     Аналогично функция  при постоянном , как функция одного , достигает экстремума при . Значит, 
     
     Что и требовалось доказать.
     Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции , называется стационарной точкой функции  . 
     Уравнение касательной плоскости к поверхности :
     
для стационарной точки  принимает вид .
     Значит, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией экстремума в точке  геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных.
     Для отыскания стационарных точек функции  нужно приравнять нулю обе ее частные производные
     , .                                                      (*)
и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.[11]
     Пример 1. Найдем стационарные точки функции
     
     Система уравнений (*) имеет вид:
     
     Из второго уравнения следует, что или , или .
     Подставляя по очереди эти значения в первое уравнение, найдем четыре стационарные точки:
     
     Какие из найденных точек действительно являются точками экстремума, установим после приведения достаточного условия экстремума.
     Иногда, не прибегнув к достаточным условиям, можно выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи прямо следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (*) удовлетворяет только одна точка (т. е. Одна пара значений x и y), то ясно, что эта пара и будет искомой точкой экстремума функции.
     Отметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции двух переменных могут быть точки, в которых функция не дифференцируема (им соответствуют острия поверхности - графика функции).
     Так, например, функция  имеет, очевидно, в начале координат минимум, равный нулю, но в этой точке функция не дифференцируема; график этой функции есть круглый конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью . 
     Из этого следует, что если иметь в виду не только дифференцируемые, но и вообще непрерывные функции, то точками экстремума могут быть стационарные точки и точки, в которых функция не дифференцируема.
     Аналогично определяется понятие экстремума функции любого числа независимых переменных.
     
и устанавливаются необходимые условия экстремума. А именно: Дифференцируемая функция n переменных может иметь экстремумы только при тех значениях x, y, z,..., t, при которых равны нулю все ее n частных производных первого порядка:
     
     
     Эти равенства образуют систему n уравнений с n неизвестными.
     
     
     1.3. Достаточные условия экстремума
     
     Теперь перейдем к  достаточным условиям для экстремума функции двух переменных. Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это означает, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что эта точка обязательно является точкой экстремума. Возьмем функцию  Ее частные производные  равны нулю в начале координат, однако функция экстремума не достигает. В самом деле, функция , будучи равной нулю в начале координат, имеет в любой близости к началу координат как положительные значения (в первом и третьем координатных углах), так и отрицательные (во втором и четвертом координатных углах), и значит, нуль не является ни наибольшим, ни наименьшим значением этой функции.
     Достаточные условия экстремума для функции нескольких переменных имеют значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной. Мы рассмотрим эти условия без доказательства только для функции двух переменных.
     Пусть точка  является стационарной точкой функции 
     , т. е. 
     
     Вычислим в точке  значение вторых частных производных функции  и обозначим их для краткости буквами A, B и C:
     
     Если , то функция  имеет в точке  экстремум: при A<0 и C<0 и минимум при A>0 и C>0 (Из условия  следует, что A и C обязательно имеют одинаковые знаки).
     Если, то точка  не является точкой экстремума.
     Если, то неясно, является ли точка  точкой экстремума и требуется дополнительное исследование.
     Пример: 
     1) Ранее в примере было установлено, что функция
     
имеет четыре стационарные точки:
     
     Вторые частные производные данной функции равны
     
     В точке имеем: A=10, B=0, C=2. Здесь ; значит, точка  является точкой экстремума, и так как A и C положительны, то этот экстремум - минимум.
     В точке  соответственно будет A=-10, B=0, C=-4/3; . 
     Это точка максимума. Точки и  не являются экстремумами функции (т.к. в них).
     2) Найдем точки экстремума функции ;
     Приравнивая частные производные нулю:
     , 
находим одну стационарную точку - начало координат. 
     Здесь A=2, B=0, C= -2. Следовательно,  и точка (0, 0) не является точкой экстремума. Уравнение есть уравнение гиперболического параболоида  (Рис. 2.) по рисунку видно, что точка (0, 0) не является точкой экстремума.
     
     Рис. 2. Уравнение 
     
     
     1.4. Локальные Экстремумы
     
     Определение1: Говорят, что функция  имеет в точке  локальный максимум, если существует такая окрестность точки , для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: . При этом,  т. е. приращение функции < 0.
     Определение2: Говорят, что функция  имеет в точке  локальный минимум, если существует такая окрестность точки , для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: . При этом,  т. е. приращение функции > 0.
     Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума.
     
     1.5. Условные Экстремумы
     
     При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.
     Пусть заданы функция  и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P(x, y), в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции  на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.[19]
     Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, несомненно, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Поясним примером. Графиком функции  является верхняя полусфера  (Рис 3). 
     Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение x+y-1=0), то геометрически ясно, что для точек этой линии 
     
     Рис. 3. График функции 
наибольшее значение функции достигается в точке , лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции  на данной линии; ей соответствует точка M1  на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.
     Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области нам приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.
     Приступим теперь к практическому отысканию точек условного экстремума функции Z= f(x, y) при условии, что переменные x и y связаны уравнением ?(x, y) = 0. Это соотношение будем называть уравнение связи. Если из уравнения связи y можно выразить явно через х: y=?(x), мы получим функцию одной переменной Z= f(x, ?(x)) = Ф(х).
     Найдя значение х, при которых эта функция достигает экстремума, и определив затем из уравнения связи соответствующие им значения у, мы и получим искомые точки условного экстремума.
     Так, в вышеприведенном примере из уравнения связи x+y-1=0 имеем y=1-х. Отсюда 
     
     Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи y=0,5, и мы получаем как раз точку P, найденную из геометрических соображений.
     Очень просто решается задача на условный экстремум и тогда, когда уравнение связи можно представить параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t). Подставляя выражения для х и у в данную функцию, снова приходим к задаче отыскания экстремума функции одной переменной.
     Если уравнение связи имеет более сложный вид и нам не удается ни явно выразить одну переменную через другую, ни заменить его параметрическими уравнениями, то задача отыскания условного экстремума становится более трудной. Будем по-прежнему считать, что в выражении функции z= f(x, y) переменная ?(x, y) = 0. Полная производная от функции z= f(x, y) равна:
     
     Где производная y`, найдена по правилу дифференцирования неявной функции. В точках условного экстремума найденная полная производная должна ровняться нулю; это дает одно уравнение, связывающее х и у. Так как они должны удовлетворять еще и уравнению связи, то мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
     
     Преобразуем эту систему к гораздо более удобной, записав первое уравнение в виде пропорции и введя новую вспомогательную неизвестную ?:
     (знак минус перед ? поставлен для удобства). От этих равенств легко перейти к следующей системе:
     
     f`x=(x,y)+??`x(x,y)=0, f`y(x,y)+??`y(x,y)=0 (*),
которая вместе с уравнением связи ?(x, y) = 0 образует систему трех уравнений с неизвестными х, у и ?. 
     Эти уравнения (*) легче всего запомнить при помощи следующего правила: для того, чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции 
     Z= f(x, y) при уравнении связи ?(x, y) = 0, нужно образовать вспомогательную функцию
     Ф(х,у)=f(x,y)+??(x,y)
     Где ?-некоторая постоянная, и составить уравнения для отыскания точек экстремума этой функции.
     Указанная система уравнений доставляет, как правило, только необходимые условия, т.е. не всякая пара значений х и у, удовлетворяющая этой системе, обязательно является точкой условного экстремума. Достаточные условия для точек условного экстремума я приводить не стану; очень часто конкретное содержание задачи само подсказывает, чем является найденная точка. Описанный прием решения задач на условный экстремум называется методом множителей Лагранжа.[4]
     Глава 2. Практическая работа по исследованию 
     
     2.1. Метод множителей Лагранжа
     
     Метод множителей ?Лагранжа ?имеет ?наглядный ?геометрический ?смысл. ?Предположим, ?что на ?рис. 4  ?изображены ?линии ?уровня ?функции Z= f(x, y) и ?линия L, на ?которой ?отыскиваются ?точки ?условного ?экстремума.
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Рис. 4. ?Линии ?уровня ?функции Z= f(x, y)
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Если в ?точке Q ?линия L ?пересекает ?линию ?уровня, то ?эта ?точка не ?может ?быть ?точкой ?условного ?экстремума т.к. по ?одну ?сторону от ?линии ?уровня ?функция Z= f(x, y) ?принимает ?большие ?значения, а по ?другую - ?меньшие. ?Если же в ?точке P ?линия L не ?пересекает ?соответствующую ?линию ?уровня и, ?значит, в ?некоторой ?окрестности ?этой ?точки ?лежит по ?одну ?сторону от ?линии ?уровня, то ?точка P ?будет ?как ?раз ?являться ?точкой ?условного ?экстремума. В ?такой ?точке ?линия L и ?линия ?уровня  Z = f(x, y) = С  ?касаются ?друг ?друга (предполагается, ?что ?линии ?гладкие). И ?угловые ?коэффициенты ?касательных к ?ним ?должны ?быть ?равны. Из ?уравнения ?связи  ?(x, y) = 0 ?имеем
     y`=-?`x/?`y, а из ?уравнения ?линии ?уровня y`=-fx`/?fy`. ?Приравнивая ?производные и ?произведя ?простейшее ?преобразование мы ?получим ?уравнение
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Приведенное ?рассуждение ?теряет ?силу, ?если ?линия ?уровня ?такова, ?что во ?всех ее ?точках ?fx`=0, ?fy`=0. ?Можно ?рассмотреть, ?например, ?функцию z = 4-x2 и ?линию ?уровня x=0, ?соответствующую ?значению z = 4.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Можно ?искать ?условный ?экстремум ?функции f(x,y,z) ?при ?двух ?уравнениях ?связи: ?1(x, y, z) = 0 и ?2(x, y, z) = 0
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Эти ?уравнения ?определяют ?линию в ?пространстве. ?Таким ?образом ?задача ?сводится к ?отысканию ?такой ?точки ?линии, в ?которой ?функция ?принимает ?экстремальное ?значение, ?причем ?сравниваются ?значения ?функции ?только в ?точках ?рассматриваемой ?линии.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Метод ?множителей ?Лагранжа в ?этом ?случае ?принимается ?следующим ?образом: ?строим ?вспомогательную ?функцию
     Ф(x, y, z) = f(x, y, z)+?1?1(x, y, z) +?2?2(x, y, z), ?где ?1 и ?2- ?новые ?дополнительные ?неизвестные, и ?составляем ?систему ?уравнений ?для 
?отыскания ?экстремумов ?этой ?функции.
     ?Добавляя ?сюда ?два ?уравнения ?связи ?получаем ?систему ?уравнений с ?пятью ?неизвестными x, y, z, ?1, ?2. ?Искомыми ?точками ?условного ?экстремума ?могут ?быть ?только те, ?координаты х, у, z ?которых ?являются ?решением ?этой 
     
?системы.[17]
2.2. ?Наибольшее и ?наименьшее ?значения ?функции

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Пусть ?функция  y = f (x1, . . . , xn)  ?дифференцируема на ?ограниченном ?замкнутом ?множестве D. ?Тогда ?она ?достигает на ?этом ?множестве ?своего ?наибольшего и ?наименьшего ?значений. ?Точки, в ?которых ?эти ?значения ?достигаются, ?могут ?быть ?расположены ?как ?внутри ?множества D, ?так и на ?его ?границе. ?Поэтому, ?чтобы ?найти ?наибольшее и ?наименьшее ?значения ?функции, ?проводят ее ?исследование ?как ?внутри ?области D, ?так и на ?различных ?участках ее ?границы. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Более ?подробно ?рассмотрим ?этот ?вопрос на ?примере ?непрерывно ?дифференцируемой ?функции ?двух ?переменных z = f (x, y) и ?множества D, ?заданного в ?виде 
     D =  {(x, y) : ?i (x, y) ? 0, i = (1, m) ?}.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Применяется ?следующая ?схема ?вычислений, ?для ?которой ?вначале ?Список ?Точек ?пуст. 
     1) ?Найти ?стационарные ?точки ?функции, ?принадлежащие ?области D, и ?внести их в ?Список ?Точек. 
     2) ?Для ?каждого i = (1, m) ? из ?уравнения ?границы  ?i (x, y) = 0  ?выразить ?либо x ?через  y:  x = ?i (y),  ?либо y ?через  x:  y = ?i (x);  ?пусть ?выбрано ?второе. ?Рассмотреть ?функцию  hi (x) = f (x, ?i (x))  и ?найти ее ?стационарные ?точки    x1, . . . xk  ?как ?функции ?одного ?аргумента; из ?точек на ?плоскости
      (x1, ?i (x1)), (x2, ?i (x2)), . . . , (xk, ?i (xk)) 
?добавить в ?Список ?Точек те, ?которые ?принадлежат ?границе ?множества D (остальные ?отбросить). 
     3) ?Решая ?всевозможные ?пары ?уравнений 
?i (x, y) = 0, ?j (x, y) = 0, i ? j,
?получить ?точки, ?лежащие на ?пересечении ?кривых, ?определяющих ?границы ?области; в ?Список ?Точек ?добавить ?только те их ?них, ?которые ?принадлежат ?границе D (так ?называемые ?угловые ?точки). 
     4) ?Вычислить ?значения ?функции z = f (x, y) во ?всех ?точках из ?Списка ?Точек и, ?сравнивая ?эти ?значения ?между ?собой, ?найти ?среди ?них ?наименьшее и ?наибольшее. ?Почему ?нужен ?такой ?довольно ?сложный ?алгоритм, ?показывает ?анимационный ?рис. 5. ?Изменение ?положения ?области D, ?заключающееся в ее ?перемещении по ?плоскости ?xOy ?вдоль ?некоторой ?кривой, ?вызывает ?изменение ?координат ?точек, в ?которых ?достигается ?наибольшее и ?наименьшее ?значения ?функции в ?заданном ?квадрате. ?Эти ?точки ?располагаются то ?внутри ?квадрата, то во ?внутренних ?точках ?его ?сторон, то в ?его ?вершинах. 
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Рис. 5.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Пример 2. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Для ?функции z = x2+x+2y ?определить ее ?наименьшее и ?наибольшее ?значения в ?области x ? 1, y ? 1, y ? (x - 1)2 . 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Решение. ?Изобразим ?заданную ?функцию с ?помощью ?линий ?уровня, на ?которых ?проставим ?значения, ?которые ?она на ?них ?имеет (рис. 6).
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Рис. 6.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Красными ?линиями ?нарисуем ?границу ?области D. ?Вычислим ?частные ?производные ?функции и ?приравняем их к ?нулю: 
     z_x^' = 2x + 1 = 0, z_y^' = 2.
?Производная по y не ?равна ?нулю, ?поэтому ?стационарных ?точек ?функция не ?имеет. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Исследуем ?функцию на ?экстремум на ?части ?границы AB с ?уравнением y = 1. ?Подставим ?вместо y в ?заданную ?функцию ?единицу: z = x2 + x + 2. ?Найдем ?стационарные ?точки ?полученной ?функции: z’ = 2x + 1 = 0, x = -1/2. ?Это ?дает ?точку M1(-(1 )/2; 1) , ?которая, ?однако, не ?принадлежит ?области (отбрасываем). 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Берем ?следующую ?часть ?границы, BC, с ?уравнением x = 1. ?Подстановка в ?заданную ?функцию ?такого ?значения x ?приводит к ?функции z = 2+2y. Ее ?производная z’ = 2 в ?нуль не ?обращается, на ?чем ?исследование ?функции ?вдоль AB ?заканчивается. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Последняя ?часть ?границы, AC, ?имеет ?уравнение y = (x - 1)2 . ?Подставим ?правую ?часть ?этого ?выражения ?вместо y в ?заданную ?функцию: z = x2 + x + 2 (x - 1)2 . ?Вычислим ?производную ?полученной ?функции: z’ = 2x + 1 + 4 (x - 1) = 6x - 3. Ее ?корень x = 1/2 ?вместе с ?соответствующим ?значением ?ординаты    y = (x - 1)2  | x=1/2 = 1/4 ?дает ?точку M2((1 )/2; (1 )/4)  ? D. 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Угловые ?точки ?границы в ?данном ?случае ?находятся ?легко: A (0; 1), B (1; 1), C (1; 0). ?Итак, в ?Список ?Точек ?вошли M2, A, B, C. ?Вычислим ?значения ?функции в ?этих ?точках: 
     z (M2) = z ((1 )/2; (1 )/4)  = (1 )/4 + (1 )/2 + (1 )/2  = 1 (1 )/4;
      z (A) = z (0; 1) = 2; z (B) = z (1; 1) = 4; z (C) = z (1; 0) = 2. 
     Из ?найденных ?значений ?выбираем ?наименьшее и ?наибольшее: 
     (?min)?D??z (x, y)? = z (M2) = 1 (1 )/4,  (?max)?D??z (x, y) ? = z (B) = 4.[13]
     
     
2.3 ?Метод ?множителей ?Лагранжа ?решения ?задач ?математического ?программирования

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Рассмотрим ?две ?задачи ?для ?иллюстрации ?понятия «условный ?экстремум».
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Пример 3. В ?пространстве R3 ?найти ?экстремум ?функции
     z = ax + by + с                                                       (1)
?при ?условии, ?что ?переменные x и y ?связаны ?соотношением
x2 + y2 = R2,    x?R, y?R.                                               (2)
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Решение. ?Геометрически ?задача ?означает ?следующее (рис. 7): на ?эллипсе L1 ?пересечения ?плоскости (1) с ?цилиндром (2) ?требуется ?найти
?максимальное (или ?минимальное) ?значение ?аппликаты z (zmax ?или ?zmin).

?Рис. 7. ?Демонстрация ?понятия «условный ?экстремум»
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ?Эту ?задачу ?можно ?решить ?следующим ?образом: из ?уравнения
(2) ?найдем y ?как ?неявно ?заданную ?функцию ?переменной x и, ?подставив ?найденное ?значение y = y(x) в ?уравнение (1), ?получим ?функцию ?одной ?переменной x:
z = ax ± b ?(R^2  - x^2 ) + c,  | x | ? R,                                       (3)
?где ?знак ?выбирается в ?зависимости от ?параметров a и b.
                                                                                                                                                                                                                                                                                    .......................