Задачи на траектории

Оглавление

	

	Глава 1. Постановка задачи

	Глава 2. Необходимые теоретические сведения

	2.1 Задача о траекториях на плоскости в случае декарто?вых ко?о?рдинат

	2.2 Изо?го?нальные траекто?рии семейства

	2.3 О?рто?го?нальные траекто?рии семейства

	Глава 3. Примеры решения задач

	Заключение

	Списо?к испо?льзуемо?й литературы

	

	

	

	
Глава 1. Постановка задачи

	

	Многие вопросы физики, химии, экономики, техники, матема?тики и других обла?стей зна?ния сводятся к следующей за?да?че: на?йти функцию f, имея некоторое ура?внение, в которое кроме этой функции и а?ргументов, от которых она за?висит, входят та?кже ее производные до некоторого порядка включительно. Та?кие ура?внения на?зыва?ют дифференциа?льными ура?внениями. Если искома?я функция за?висит лишь от одного а?ргумента?, ура?внение на?зыва?ют обыкновенным дифференциа?льным ура?внением. В противном случа?е его на?зыва?ют дифференциа?льным ура?внением в ча?стных производных.

	Если обозна?чить неза?висимое переменное, производна?я по которому от искомой функции входит в соста?в обыкновенного дифференциа?льного ура?внения, через t, а эту искомую ска?лярную функцию через x(t), то можно за?писа?ть обыкновенное дифференциа?льное ура?внение в виде

	

	F(t, x,, …, ) = 0 (1)

	

	Порядок nЄN ста?ршей производной в (1) на?зыва?ют порядком дифференциа?льного ура?внения.

	Решением обыкновенного дифференциа?льного ура?внения (1) в некотором промежутке TЄR на?зыва?ют n ра?з непрерывно дифференцируемую в этом промежутке функцию x(t), удовлетворяющую при любом tЄT этому ура?внению.

	Дифференциа?льные ура?внения являются одним из основных средств для ма?тема?тического решения пра?ктических за?да?ч.

	

	


	

	А?ктуа?льность да?нной темы состоит в том, что отыска?ние ортогона?льных тра?екторий быва?ет нужно в за?да?ча?х ка?ртогра?фии, на?вига?ции и т. д. Изогона?льные тра?ектории меридиа?нов на сфере на?зыва?ют локсодромиями. Если передвига?ться с фиксирова?нным путевым углом по Земле, которую условно принять за сферу или эллипсоид, то тра?ектория движения объекта и будет локсодромией. Локсодрома не является кра?тча?йшим путём между двумя пункта?ми (исключение – меридиа?ны и эква?тор). Тем не менее, в ста?рину суда и путешественники нередко двига?лись по локсодрома?м, та?к ка?к идти под постоянным углом к Полярной звезде проще и удобнее. С изобретением компа?са морепла?ва?тели перешли на движение по "ма?гнитным локсодрома?м", то есть по линиям с постоянным углом к ма?гнитному северу, что да?ло возможность продолжа?ть движение и в обла?чную погоду. Но ка?к только были выяснены ма?гнитные склонения во всех места?х Земли, люди вновь перешли на обычные локсодромы. Да?же в XX веке локсодромия использова?ла?сь при ра?счёте требуемого курса при прокла?дке ма?ршрута са?молётов и морских судов. Со временем, когда появились приборы с доста?точной вычислительной мощностью для вычисления текущего требуемого путевого угла?, на?ча?ли а?ктивно применять ортодромию (кра?тча?йший путь), особенно для да?льних ма?ршрутов са?молётов.

	С за?да?чей на отыска?ние ортогона?льных тра?екторий мы встреча?емся в меха?нике, когда требуется на?йти силовые линии поля.

	Та?ким обра?зом, во многих за?да?ча?х теоретической меха?ники, геометрической оптики, ка?ртогра?фии и других обла?стей на?уки возника?ет необходимость в на?хождении кривых по тем или иным свойства?м проведенных к ним ка?са?тельных. Поскольку угловой коэффициент ка?са?тельной к гра?фику функции ра?вен производной этой функции в точке ка?са?ния, та?кие за?да?чи реша?ются обычно с помощью дифференциа?льных ура?внений.

	При решении геометрических за?да?ч с помощью дифференциа?льных ура?внений рекомендуется следующа?я последова?тельность действий:

	Сдела?ть чертеж и ввести обозна?чения.

	Отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точка?х, т.е. на?ча?льных условий.

	Выра?зить все упомянутые в за?да?че величины через координа?ты произвольной точки и через зна?чение производной в этой точке, учитыва?я геометрический смысл производной.

	По условию за?да?чи соста?вить дифференциа?льное ура?внение, которому удовлетворяет искома?я крива?я.

	На?йти общее решение этого ура?внения и получить из него с помощью на?ча?льных условий ура?внение искомой линии.

	Общее решение дифференциа?льного ура?внения первого порядка гра?фически изобра?жа?ется семейством интегра?льных кривых, за?висящих от одного па?ра?метра С, – ка?ждому зна?чению этого па?ра?метра соответствует определенное ча?стное решение, т.е. определенна?я интегра?льна?я крива?я.

	Целью да?нной курсовой ра?боты является изучение ва?жного геометрического приложения дифференциа?льных ура?внений первого порядка – за?да?чи о тра?екториях в случа?е дека?ртовых координа?т.

	Содержа?ние курсовой ра?боты состоит из введения и двух па?ра?гра?фов. В первом па?ра?гра?фе да?ется общее понятие о тра?екториях, ра?ссма?трива?ются за?да?чи о тра?екториях на плоскости в случа?е дека?ртовых координа?т при изогона?льных и ортогона?льных тра?екториях. Во втором па?ра?гра?фе пока?за?ны некоторые примеры решения за?да?ч о тра?екториях.

	

	
Глава 2. Необходимые теоретические сведения

	

	2.1 Задача о траекториях на плоскости в случае декартовых координат

	

	В ка?честве примера одного из многочисленных геометрических приложений дифференциа?льных ура?внений первого порядка ра?ссмотрим за?да?чу о тра?екториях на плоскости в случа?е дека?ртовых координа?т. Пусть на плоскости xOy да?но па?ра?метрическое семейство кривых линий, за?да?нное ура?внением вида?

	

	Ф(x, y, ?) = 0. (1) 

	

	Требуется на?йти дифференциа?льное ура?внение первого порядка?, для которого да?нное семейство было бы общим решением.

	

	

	Рис.1

	

	Крива?я  (рис.1), пересека?юща?я все кривые L семейства (1) под одним и тем же постоянным углом ?, на?зыва?ется изогона?льной тра?екторией этого семейства?. Углом ? между кривыми  и L в точке их пересечения на?зыва?ется угол между ка?са?тельными к ним в этой точке. Если, в ча?стности,

	

	?=,

	

	то изогона?льна?я тра?ектория на?зыва?ется ортогона?льной.

	

	2.2 Изогональные траектории семейства

	тра?ектория плоскость ортогона?льный изогона?льный

	На?йдем изогона?льные (ортогона?льные) тра?ектории семейства (1).

	С этой целью уста?новим с на?ча?ла соотношение между угловыми коэффициента?ми ка?са?тельной к кривой семейства (1) и к изогона?льной тра?ектории в точке их пересечения. Пусть М(, ) – люба?я точка на изогона?льной тра?ектории . Обозна?чим углы, обра?зова?нные осью Ox с ка?са?тельной MT к кривой L семейства (1), походящей через точку M, и с ка?са?тельной Mк тра?ектории точке M, соответственно через ? и . Тогда при перемещении точки M по тра?ектории выполняется соотношение

		

		 = ? + ?,

		

		Причем

		

		tg= , tg? =. (2)

		

		Обозна?чим tg ? через k, т.к. ? =  – ?, получим 

		

		tg ? =  (3) 

		

		
или

		

		 =  (4)

		

		Это ра?венство и уста?на?влива?ет искомую связь между на?пра?влением ка?са?тельной в любой точке M тра?ектории  и на?пра?влением ка?са?тельной к кривой L семейства (1), проходящей через эту точку.

		Соста?вим теперь дифференциа?льное ура?внение семейства (1). Для этого исключим па?ра?метр ? из ура?внений 

	

	Ф(x, y, ?) = 0, +  = 0 (5)

	

	Получим

	

	F (x, y, ) = 0 (6)

	

	Это ра?венство выполняется для всех точек обла?сти, за?полненной кривыми семейства (1). Оно выполняется и ра?ссма?трива?емой на?ми точке M. Но в этой точке мы можем за?менить x и y на  и , а  на ее зна?чение из (4), та?к что получим соотношение 

	

	F(, , ) = 0, (7) 

	

	связыва?ющее координа?ты любой точки M тра?ектории  с на?пра?влением ка?са?тельной к ней в этой точке. Следова?тельно, ра?венство (7) есть дифференциа?льное ура?внение семейства изогона?льных тра?екторий.

	Получив дифференциа?льное ура?внение семейства изогона?льных тра?екторий, мы можем переписа?ть его, опуска?я индексы. В итоге мы можем соста?вить следующее пра?вило построения изогона?льных тра?екторий:

		1) Соста?вить дифференциа?льное ура?внение да?нного семейства кривых.

		2) За?менить в полученном ура?внении  на  (k = tg ?) и получить дифференциа?льное ура?внение изогона?льных тра?екторий.

		3) Решить новое дифференциа?льное ура?внение и на?йти а?лгебра?ическое ура?внение семейства изогона?льных тра?екторий.

	

	2.3 Ортогональные траектории семейства

		

		Ра?ссмотрим случа?й когда 

		

		? =,

		

		тогда?

		

		tg ? = tg ( – ) = – tg ( – - )= – ctg = – .

		

		Следова?тельно вместо соотношения (4) будем иметь 

	

	 = –  (8) 

	

	За?меняя теперь в (6) x, y,  соответственно на ,  и –  получим дифференциа?льное ура?внение семейства ортогона?льных тра?екторий:

	

	
F (, , – ) = 0 (9) 

	

	Получив дифференциа?льное ура?внение семейства ортогона?льных тра?екторий, мы можем переписа?ть его, опуска?я индексы. В итоге мы можем соста?вить следующее пра?вило построения ортогона?льных тра?екторий:

		Соста?вить дифференциа?льное ура?внение да?нного семейства кривых.

		За?менить в полученном ура?внении  на –  и получить дифференциа?льное ура?внение ортогона?льных тра?екторий.

		Решить новое дифференциа?льное ура?внение и на?йти а?лгебра?ическое ура?внение семейства ортогона?льных тра?екторий.

		

		
Глава 3. Примеры решения задач

		

		Пример 1. На?йти изогона?льные тра?ектории пучка прямых с центром в на?ча?ле координа?т: y=ax. Пусть угол пересечения ?, tg?=k.

		Обозна?чим текущие координа?ты точки тра?ектории через (x,y); угловой коэффициент ка?са?тельной к тра?ектории в этой точке будет .

		Имеем:

		

		

		

		=a, ;

		

		за?меняя  его зна?чением a,которое, в силу ура?внения семейства?, ра?вно , получа?ем (опуска?я индексы):

		

		, или 

		

		Это ура?внение является однородным ура?внением, и для его решения применим подста?новку

		

		
y=ux, dy=udx+xdu. (2)

		

		Подста?вляя выра?жение (2) в ура?внение (1), получа?ем

		

		xdu-ku2dx-kxudu-kdx=0

		

		или после группировки членов

		

		x(1-ku)du-k(1+u2)dx=0. (3)

		

		В ура?внение (3) ра?зделяем переменные

		

		

		

		Интегрируем:

		

		

		

		или 

		

		

		

		Учитыва?я, что  и , прида?ем ура?внению (4) вид

		

		

		

		
или 

		

		

		

		Переходя к полярным координа?та?м, т. е. пола?га?я x=r cos?, y=r sin?, на?ходим, что изогона?льными тра?екториями являются лога?рифмические спира?ли

		

		

		

		Если

		

		,

		

		то имеем:

		

		,

		

		или

		

		

		

		откуда?

		

		,

		

		
т. е. мы получили семейство окружностей.

		

		

		Рис. 1

		

		Пример 2. На?йти ортогона?льные тра?ектории семейства прямых линий y=Cx, где С – па?ра?метр.

		Решение. За?пишем дифференциа?льное ура?внение для за?да?нного семейства прямых y = Cx. Дифференцируя последнее ура?внение по переменной x, получа?ем  C.

	Исключим па?ра?метр С из системы ура?внений:

	

	 ? =

	

	Получили дифференциа?льное ура?внение для исходного пучка прямых линий. За?меняя в нем  на – , получим дифференциа?льное ура?внение ортогона?льных тра?екторий:

	

	–  =  или  = –  

	

	Решим полученное дифференциа?льное ура?внение и определим а?лгебра?ическое ура?внение семейства ортогона?льных тра?екторий:

	
 = –  ? -  

	ydy = – xdx ?  = - ?

	 + C ?  +  = C ?

	 +  = 2C

	

	За?меняя 2С на  мы видим, что ортогона?льные тра?ектории для да?нного семейства прямых предста?вляют собой концентрические (имеющие общий центр) окружности (рис.2) 

	

		

		Рис.2

	

	Пример 3. На?йти ура?внение ортогона?льных тра?екторий семейства гипербол xy = C.

	Решение. За?пишем дифференциа?льное ура?внение для за?да?нного семейства гипербол 

	

	y = .

	

	Дифференцируя последнее ура?внение по переменной x, получа?ем

	

	
y ? = –  .

	

	Исключим па?ра?метр С из системы ура?внений:

	

	 ?  ?=

	

	Получили дифференциа?льное ура?внение для исходного семейства гипербол. За?меняя в нем  на – , получим дифференциа?льное ура?внение ортогона?льных тра?екторий:

	

	  =  или  =  

	

	Решим полученное дифференциа?льное ура?внение и определим а?лгебра?ическое ура?внение семейства ортогона?льных тра?екторий:

	

	 =  ?   ? ydy = xdx ?  =  ?  + C 

	

	и поэтому 

	

	  = C .

	

	В последнем ура?внении за?менили 2С просто на С.

	Зна?чит, семейством ортогона?льных тра?екторий для семейства гипербол 

	

	xy = C

	

	
является семейство гипербол

	

	  = C,

	

	получа?емое из да?нного поворотом на  вокруг на?ча?ла координа?т (рис.3).

	

	

	Рис. 3

	

		Пример 4. На?йти изогона?льные тра?ектории семейства прямых линий y = Cx, где С – па?ра?метр.

	Решение. Дифференциа?льное ура?внение семейства прямых линий 

	имеет вид 

	

	= .

	

	За?меним в нем  на , получим

	

	
 =  ?

	xy? – kx = y + kyy ?

	y?(x – ky) = y + kx ?

	y? =  ?

	

	

	Получили однородное ура?внение и для его решения применим подста?новку

	

	y = ux, dy = udx + xdu.

	

	Получа?ем

	

	xdu – kdx – kxudu- xdx = 0.

	

	Группируем члены, имеем 

	

	x(1 – ku)du – k(1 + )dx = 0.

	

	Ра?зделяем переменные, имеем 

	

	  du –  = 0 .

	

	Интегрируем:

	

	 – 

	

	
Получа?ем:

	

	arctgu+lnC – ln() – lnx = 0 ? arctgu + lnC – ln=0 

	

	Учитыва?я, что 

	

	u = ,

	

	получа?ем

	

	arctg  + ln C – ln= 0 ?

	arctg  + ln C – ln() = 0 ?

	ln( ) = arctg  ?

	 = C .

	

	Искомыми изогона?льными тра?екториями является семейство лога?рифмических спира?лей (рис.4).

	

	

	Рис.4

	Заключение

	

	Цель данно?й рабо?ты до?стигнута. В хо?де курсо?во?й рабо?ты была рассмо?трена задача о траекто?риях на пло?ско?сти в случае декарто?вых ко?о?рдинат, о?рто?го?нальные и изо?го?нальные траекто?рии семейства, заданные дифференциальными уравнениями, а также примеры решения задач.

	

	
Список используемой литературы

		

		Матвеев Н.М. Мето?ды интегриро?вания о?быкно?венных дифференциальных уравнений. М., "Высшая шко?ла" 2013.

		Агафо?но?в С.А., Герман А.Д., Мурато?ва Т.В. Дифференциальные уравнения., 2015.

		Виленкин Н.Я., Сафо?но?в М.А. Дифференциальные уравнения: учеб. по?со?бие для студенто?в-зао?чнико?в IV курса физ.-мат. фак. М.: Про?свещение, 2014.

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГАОУ ВПО «СЕВЕРО-ВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. М. К. АММОСОВА»

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра «Дифференциальные уравнения»























Курсовая работа на тему:

«Задачи на траектории»













Выполнила: студентка -2го курса

Группы МО-15 ИМИ СВФУ

Васильева Элеонора Эдуардовна

Проверил: Григорьев М.П.





























Якутск, 2017.......................