Всесторонне изучение производственной функции

3



Оглавление

Введение	3

1. Теоретическая часть	4

1.1. Понятие производственной функции и ее свойства	4

1.2. Производственный процесс  в краткосрочном периоде	6

1.2.1. Средний переменный продукт фактора производства	6

1.2.3. Предельный продукт переменного фактора производства	7

1.2.4. Закон уменьшающейся предельной производительности переменного фактора производства	8

1.2.5. Оптимальный выпуск в краткосрочном периоде	9

1.3. Производственный процесс в долгосрочном периоде	10

1.3.1. Изокванта и ее свойства (все виды изоквант)	10

1.3.2. Предельная норма технического замещения	13

1.3.3. Однородность производственной функции и эффект масштаба производства	16

1.3.4. Оптимальный выпуск в долгосрочном периоде	18

2. Аналитическая часть	24

Задача 1	24

Задача 2	25

Задача 3	26

Заключение	27

Список использованных источников	28







Введение 

К числу фундаментальных понятий экономико-математического моделирования относятся производственные функции, которые по сути являются регрессионными уравнениями. Производственные функции относятся к моделям производственно-технологического уровня. 

В рамках микроэкономического подхода к описанию экономической системы, она представляется в виде элементарных экономических подсистем, каждая из которых может моделироваться отдельно. Другими словами, экономическая система моделируется в виде множества взаимосвязанных между собой производственных единиц. Деятельность производственной единицы можно определить как процесс, в ходе которого осуществляется выпуск какой-либо продукции с использованием при этом различных ресурсов.

Под производством принято понимать любую деятельность, направленную на использование природных, материально-технических и интеллектуальных ресурсов для получения как материальных, так и нематериальных благ. 

Традиционно роль общей теории производства выполняет теория материального производства, в которой производство рассматривается, как процесс превращения основных производственных ресурсов в конечный продукт или услугу. Основными же производственными ресурсами являются труд (L) и капитал (K). 

Основой любого производства является производитель – предприятие, фирма, организация. Способы производства или существующие производственные технологии, которые использует производитель, определяют, какой объем конечного продукта производится при используемых количествах труда и капитала. 

Целью данной работы является всесторонне изучение производственной функции. Для этого в работе решен ряд задач:

изучено понятие и свойства производственной функции;

исследованы особенности производственного процесса в краткосрочном и долгосрочном периодах;

решен ряд практических задач.

Структурно курсовая работа состоит из введения, двух глав основного текста, заключения и списка использованных источников.

1. Теоретическая часть

1.1. Понятие производственной функции и ее свойства

Задача планирования хозяйственной деятельности производственного объекта интерпретируется как задача выбора эффективного технологического способа, наилучшим образом соответствующего некоторым внешним условиям. 

Можно дать несколько определений производственной функции:

1. Производственная функция- это функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции [4, с. 118].

2. Производственная функция характеризует чисто техническую зависимость между количеством применяемых ресурсов и объемом выпускаемой продукции в единицу времени [12, с. 154].

3. Производственная функция – это экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей – факторов [6, с. 116].

Во всех определениях присутствует в явном или неявном виде технология, технологический способ производства. Можно сказать, что технология лежит в основе производственной функции и выступает в качестве ограничений при принятии решений.

Под технологией принято понимать определенное состояние знаний о различных способах производства, которые могут использоваться в процессе выпуска продукции для соединения производственных факторов.

В производственной функции не участвует такая экономическая величина, как цена. Производственная функция должна воплощать технологические ограничения, которые налагаются на экономические решения, в то время как экономические решения не налагаются на способ, которым размеры продукции связаны с затратами. В этом контексте задача рационального ведения хозяйства для фирмы заключается в определении количества продукции и в расчете необходимых для ее выпуска затрат с учетом существующих технологических связей между ними и существующими ценами на затраты и на выпускаемую продукцию.

Производственные функции можно использовать для оценки эффективности принятого на предприятии метода хозяйствования. Так для заданного набора ресурсов можно определить фактический выпуск продукции и сравнить его с рассчитанным по производственной функции построенной для предприятия. Полученные различия дает полезный материал для оценки эффективности принятого на предприятии метода хозяйствования в абсолютном и относительном измерении.

Производственная функция может быть задана четырьмя способами:

в явном виде аналитически: ;

в неявном виде аналитически: ;

в табличном виде;

в графическом виде (крайне редко).

Рассмотрим основные свойства производственных функций.

Будем считать, что непрерывная дифференцируемая производственная функция  определена в положительном ортанте  и однозначно задает преобразование .

Производственная функция называется неоклассической, если она обладает следующими свойствами:

I.  = 0 при xi = 0 для . Данное свойство неоклассической ПФ показывает, что при отсутствии затрат одного из факторов производится нулевой продукт. Другими словами – не существует факторов – абсолютных субститутов. Возможно замещение одного фактора другим лишь в некоторой ограниченной области. 

Однако невозможно полностью заменить один фактор производства никакой комбинацией других факторов. Производственная функция обращается в ноль на лучах xi = 0, т.е. на осях факторов производства.

Для случая двух факторов производства данное свойство принимает вид:



.



Следовательно невозможно произвести никакой продукт без затраты труда и капитала.

II.  для  и для , где ? - экономическая область. Это свойство неоклассической ПФ показывает, что при увеличении затрачиваемых факторов производства количество производимого продукта увеличивается в экономической области  в положительном ортанте .

Экономической областью  назовем множество точек положительного ортанта , в которых выполняется условие строгой положительности первой производной производственной функции.

Производительность любой производственной функции ограничена сверху, т.е. существует такая величина Ymax , что производимый продукт Y удовлетворяет неравенству Y ? Ymax для любого количества затрачиваемых факторов.

Следовательно, при увеличении факторов затрат количество производимого продукта сначала растет, а затем при достижении некоторого критического значения начинает падать. Критическое значение затрат факторов задают границу экономической области. Границами экономической области являются поверхности  = 0, которые называются разделяющими поверхностями или изоклиналями.

Выход из экономической области приводит к уменьшению количества продукта при увеличении затрат факторов труда и капитала. Следовательно, выход производственной системы из экономической области на практике недопустим. Дальнейшее увеличение затрат труда и капитала приведет к снижению производительности системы производства из-за ухудшения эффективности системы управления производственным процессом.

III.  для . Это свойство неоклассической ПФ связано с ее вогнутостью. Свойство вогнутости ПФ математически выражает закон убывания производительной эффективности производства продукта при увеличении затрат факторов. Это означает, что во всей экономической области  вторая производная производственной функции  по любому фактору xi отрицательна: .

Следует отметить, что уменьшение предельной эффективности ресурсов справедливо в основном в условиях экономической статики, т.е. при неизменном уровне научно-технического прогресса и неизменном качестве используемых ресурсов.

В теории фирмы все ресурсы разделяются на две категории: постоянные и переменные. 

Постоянные ресурсы – это ресурсы, величина которых не изменяется в течение рассматриваемого периода.

Переменные ресурсы – это ресурсы, величина которых изменяется за этот же период.

Считать ресурс переменным или постоянным, зависит от длины рассматриваемого периода. На очень коротком промежутке времени все ресурсы можно считать постоянными. Чем длиннее временной период, тем больше ресурсов можно отнести к переменным. При достаточно продолжительном периоде времени все ресурсы можно считать переменными.

1.2. Производственный процесс  в краткосрочном периоде

Краткосрочным периодом производства называется такой период времени, в течение которого несколько (или хотя бы один) из факторов производства являются постоянными, тогда как другие (или хотя бы один) факторы являются переменными. Таким образом, в краткосрочном периоде существуют как постоянные, так и переменные факторы производства. Продолжительность краткосрочного периода не привязана к временным рамкам (день, месяц, год), причем в различных отраслях она может существенно различаться.

Для простоты анализа предположим, что в течение некоторого периода времени фирма изменяет затраты только одного фактора производства – труда (L). Затраты всех остальных факторов остаются неизменными. Тогда объем выпуска(Q) становится функцией от одной переменной – количества труда (L):



Q = f(L).



Анализируя в краткосрочном периоде производственную функцию мы однозначно предполагаем, что либо количество труда, либо количество капитала является постоянным. При этом мы, как правило, считаем, что труд является переменным фактором производства, а капитал – постоянным. Но это свойственно не для всякого производства. Каждое производство само выбирает какой фактор оно сможет изменить в краткосрочном периоде.

1.2.1. Средний переменный продукт фактора производства

При изучении результативных производственных систем возникает вопрос об эффективности преобразования факторов в продукт.

Производственная система считается эффективной, если она достигает поставленных целей при низких издержках, которые пропорциональны количеству потребляемых системой факторов производства за некоторый период времени постоянстве цен на рынке ресурсов.

Математически эффективность производственного процесса или эффективность использования факторов производства определяется величинами среднего и предельного продуктов факторов затрат производства. Более эффективная система производит большее количество конечного продукта при заданных затратах факторов производства в единицу времени [9, с. 402].

Совокупный продукт Q (total product) – это количество экономического блага, произведенное с использованием некоторого количества переменного фактора.

Средний продукт i – ого фактора  (average product) - это отношение количества произведенного конечного продукта к количеству затраченного фактора производства xi за определенный период времени.

.

				

Для случая двух факторов затрат производства K и L, введем понятия средней фондоотдачи APK и средняя производительность труда APL .

Средняя фондоотдача APK – это средний продукт капитала, равный среднему количеству произведенного продукта единицей капитала:



.

			

Средняя производительность труда APL – это средний продукт труда, равный среднему количеству произведенного продукта единицей труда:



.

	

Увеличение затрат определенного фактора производства приводит к уменьшению его среднего продукта, что обусловлено вогнутостью ПФ.

1.2.3. Предельный продукт переменного фактора производства 

Рассмотрим влияние малого приращения потребляемого фактора производства , на изменение производства конечного продукта ?Q. Для этого введем понятие предельного продукта i – ого фактора производства.

Предельный продукт i – ого фактора производства  (marginal product)– это отношение приращения конечного продукта ?Q к величине вызвавшего его приращения затрат фактора производства.

Математически предельный продукт затрат фактора производства xi определяется как первая производная  продукта Q по затратам этого фактора xi:



.



Для двух факторов затрат производства K и L, введем понятие предельной фондоотдачи МPK  и предельной производительность труда МPL.

Предельная фондоотдача МPK или предельный продукт затрат фактора капитала – это первая производная конечного продукта Q по величине затраченного фактора капитала K:



.



Предельная производительность труда МPL или предельный продукт фактора труда – это первая производная продукта Q по величине затраченного фактора труда L:



.



Предельные продукты факторов затрат производства всегда меньше соответствующих средних продуктов этих факторов (рис. 1.1). 



Рис. 1.1. Средний и предельный продукты фактора затрат производства L.

Это является следствием свойства вогнутости ПФ. В экономической области ?, по определению, предельные фондоотдача МPK и производительность труда МPL являются положительными величинами. На внешней части границы экономической области эти показатели обращаются в нуль. Однако, средняя фондоотдача APK и производительность труда APL положительны и не равны нулю на границе экономической области.

1.2.4. Закон уменьшающейся предельной производительности переменного фактора производства 

Анализ реальных функционирующих производственных процессов выявил, что с ростом использования какого-либо фактора (при неизменности остальных) рано или поздно достигается такая точка, в которой дополнительное применение  перменного фактора ведет к снижению относительного и далее абсолютного объема выпуска продукции. Увеличение использования  одного из факторов (при фиксированности остальных) приводит к последовательному снижению отдачи его применения. 

 Это явление получило название закона убывающей отдачи факторов затрат производства и объясняется свойством вогнутости производственной функции (III свойство неоклассических производственных функций).

Закон убывающей отдачи переенного фактора производства никогда не был доказан строго теоретически, он выведен экспериментальным путем (сначала в сельком хозяйстве, а потом и применительно к другим отраслям производства). Он отражает реально наблюдаемый факт определенных пропорций между различными факторами. Нарушение их, выражающееся в чрезмерном росте применения одного из  ресурсов, может довольно быстро исчерпать границы взаимозаменяемости ресурсов и в конечном итоге приведет к недостаточно эффективному его использованию (если другие факторы производства остаются неизменными). 

Закон убывающей отдачи переменного фактора производства носит не абсолютный, а относительный характер. Во-первых, закон убывающей отдачи переменного фактора действует только в случае, если несколько или хотя бы один из используемых фирмой факторов производства остаются фиксированными в течение определенного периода времени. Если же факторы производства являются переменными, тогда этот закон перестает действовать.  Во-вторых, этот закон относится не только к убыванию предельной производительности труда. Аналогичным образом он действует применительно к любому другому фактору производства, являющемуся переменным. 

1.2.5. Оптимальный выпуск в краткосрочном периоде

В микроэкономике процесс производства рассматривается сугубо функционально, то есть как процесс преобразования входного потока факторов (ресурсов, затрат) на выходной поток — готовую продукцию с использованием определенной технологии производства, и описывается с помощью производственной функции. Это предопределяет необходимость углубленного анализа производственных функций.

Рассмотрим случай, когда объемы использования всех факторов производства, кроме одного, являются фиксированными, то есть однофакторную производственную функцию (ПФ), или ПФ краткосрочного периода. Основными показателями здесь являются динамика совокупного (ТР), среднего (АР) и предельного (МР) продукта переменного фактора производства. Взаимосвязь показателей ТР, АР и МР и объема использования переменного фактора Х иллюстрирует рис. 1.2. Совокупный продукт увеличивается вместе с увеличением переменного фактора Х и достигает в точке А наибольшего значения, затем увеличение прекращается. Средний продукт увеличивается, достигает наибольшего значения В точке В, затем спадает. Предельный продукт увеличивается, достигая наибольшего значения в точке С, затем спадает.

Характер изменения показателей означает, что, начиная с определенного момента (на рисунке — точка С), каждая дополнительная единица переменного фактора становится все менее результативной. Более того, дополнительные затраты фактора могут негативно повлиять на выпуск продукции (на рис. 1.2, б МР < 0 при Х > 8). Этот факт означает не только снижение предельного продукта (предельной производительности) фактора, но и нарушение оптимальной комбинации привлеченных факторов (используемой технологии производства).



Рис. 1.2. Совокупный, средний и предельный продукты переменного фактора производства и их взаимосвязи

Закономерность, что наблюдается в аналогичных ситуациях, известных в теоретической экономике как закон убывающей производительности (отдачи) переменного фактора производства. В соответствии с этим законом вовлечение в процесс производства все большего дополнительного количества определенного фактора при неизменных объемах других факторов приводит в конечном итоге к тому, что отдача (производительность) каждой следующей единицы переменного ресурса будет меньше отдачи предыдущей единицы этого ресурса, то есть предельная производительность убывает. В зависимости от соотношений МР, АР и ТР можно определить четыре стадии производства (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Характеристика графика производственной функции в краткосрочном периоде

		Фаза

		Совокупный 
продукт, ТР

		Средний 
продукт, AР

		Предельный 
продукт, МР

		Конечная точка фазы

		І

		Увеличивается

		Увеличивается

		Увеличивается
до max

		MР = max

		II

		Увеличивается

		Увеличивается 
до max

		Снижается
МР  АР

		АР = max
МР = АР

		III

		Увеличивается
до max

		Снижается

		Снижается
до 0

		ТР = max
МР = 0

		IV

		Снижается

		Снижается

		Снижается

		—

Закономерным является то, что кривые АР и МР на рис. 1.5, б пересекаются в точке В, где средняя производительность переменного фактора является максимальной, то есть в этом случае достигается наиболее эффективное использование ресурса. Рассмотрены взаимозависимости показателей используются при обосновании управленческих решений относительно расширения или свертывания производства в краткосрочном периоде:

— на I фазе необходимо увеличивать масштабы производства, привлекая большее количество переменного фактора производства; 

— на II фазе есть смысл продолжать привлекать ресурсы, наращивать производство продукции до максимальных значений средней и предельной производительности переменного фактора производства. Однако объем продукции еще не является максимальным;

— на III фазе объем продукции будет наибольшим при очень низкой средней и предельной производительности ресурса;

— на IV фазе следует прекратить привлекать ресурсы. Предельный продукт имеет отрицательное значение.

1.3. Производственный процесс в долгосрочном периоде

Долгосрочным периодом производства называется такой период времени, в течение которого изменяется количество всех используемых в производственном процессе факторов производства. Таким образом, в долгосрочном периоде нет постоянных факторов производства; все факторы производства являются переменными. [8, с. 99].

Производственную функцию в долгосрочном периоде можно представить, как функцию от двух переменных факторов производства – труда (L), капитала (К): 

Q=f(L, K)

1.3.1. Изокванта и ее свойства (все виды изоквант)

Доступность множества технологий позволяет производителю изменять наборы факторов затрат производства при выпуске конечного продукта. Изменение набора этих факторов приводит, в общем случае, к изменению количества производимого конечного продукта. Однако существует бесконечное множество различных наборов факторов затрат производства, которым соответствует одинаковое количество произведенного конечного продукта. Это множество называют множеством безразличия производителя [11, с. 322].

В общем случае, множество безразличия производителя образует гиперповерхность равного выпуска конечного продукта. В частном случае набора факторов затрат производства «капитал-труд», множество безразличия образует линию равного выпуска или изокванту.

Изокванта, или кривая постоянного (равного) продукта (isoquant) – это кривая, представляющая бесконечное множество факторов производства (ресурсов), обеспечивающих одинаковый выпуск продукции [11, c. 166].  

Изокванты обладают следующими свойствами.

1. Изокванты не пересекаются. Это свойство обусловлено свойством единственности производственной функции, т.е. единственностью преобразования факторов производства в получаемый продукт. 

2. Изокванта Q(Y) разделяет экономическую область  на две области d и u . Точкам области u соответствует большее количество получаемой продукта, чем на изокванте Q(Y). Это свойство изокванты является следствием монотонности ПФ f(x1, x2, …, xn) в экономической области . Любая изокванта, которая соответствует выпуску продукта большему, чем Y, лежит в области u. Любая изокванта, которая соответствует выпуску продукта меньшему, чем Y, лежит в области d.

3. Область d примыкает к нулю положительного ортанта . Это является следствием непрерывности производственной функции f(x1, x2, …, xn) и принадлежностью нулевого технологического процесса технологическому множеству.

4. Изокванты не пересекаются с осями координат. Действительно, по первому свойству ПФ, нулевая изокванта Q(0) совпадает с осями координат. Первое свойство изоквант делает невозможным пересечение двух изоквант Q(Y)и Q(0), если Y > 0.

Вдоль изокванты выпуск конечного продукта постоянный, то есть прирост выпуска отсутствует. 

Математически это означает, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю: 



.



Соответственно для набора факторов затрат производства «труд – капитал» последнее выражение принимает следующий вид:



.



В частном случае двух факторов затрат производства изокванта задается следующим образом: 

На рис. 1.3 представлены изокванты Q(Y) для случая двух факторов затрат производства «труд – капитал», представляющие собой непрерывные линии на плоскости KL.



Рис. 1.3. Семейство изоквант {Q(Yi)} производственной функции f(K, L) на плоскости  заданное семейством плоскостей постоянного уровня производства конечного продукта {Yi}.

Изокванты более удаленные от нулевой точки (точки бездействия), характеризуются более высокими уровнями выпуска продукции.

Уравнение изокванты, определяющее связь между затратами факторов труда и капитала, которые необходимы для производства заданного количества конечного продукта, имеет следующий вид:



.

		

В экономической области изокванты всегда имеют отрицательный наклон - увеличение одного фактора затрат производства должно быть скомпенсировано уменьшением другого фактора.

Математически условие отрицательности наклона изокванты в экономической области выглядит так:



.



Положительный наклон изокванты Q(Y) позволял бы поддерживать постоянным уровень производства Q при переменном снижении затрат двух факторов K и L , что противоречит условию монотонности роста производственной функции  в экономической области .

Изокванты могут иметь различную конфигурацию: линейную, жесткой дополняемости, непрерывной замещаемости, ломаной изокванты (рис. 1.4).



Рис. 1.4. Возможные конфигурации изокванты

Линейная изокванта (рис. 1.4, а) предполагает совершенную замещаемость производственных ресурсов, так что данный выпуск продукции может быть получен с помощью либо труда, либо только капитала, либо с использованием бесконечно возможных комбинаций того и другого ресурса. Такой процесс производства описывается линейной функцией производства, имеющей вид:



,    



где а и b – технологически необходимые расходы соответственно труда и  капитала на единицу продукции.

 Изокванта, представленная на рис. 1.4, б, характерна для случая жесткой дополняемости ресурсов. Пропорции факторов производства строго фиксированы, так что применение определенного количества труда всегда требует определенного количества капитала. Такой процесс производста характеризуется леонтьевской производственной функцией, имеющий вид:



,

   где а и b – технологически необходимые расходы соответственно труда и  капитала на единицу продукции.

На рис. 1.4, в показана ломаная изокванта, предполагающая ограниченную возможность замещения ресурсов (лишь в точках излома) и наличие лишь нескольких методов производства. 

На рис. 1.4, г представлена изокванта, предполагающая возможность непрерывной замещаемости ресурсов в определенных границах, за пределами которых замещение одного фактора другим, технически невозможно. Такой процесс производства характериуется производственной функцие Кобба-Дугласа, которая имеет вид:



	

	

	Где А, a и b – положительные константы, причем 

Производитель, меняя используемые технологии, может варьировать пропорцию между количеством потребляемых факторов затрат производства и при этом поддерживать постоянный уровень производства конечного продукта. При перемещении точки вдоль изокванты происходит непрерывное замещение факторов затрат производства друг другом. Увеличение затрат фактора K приводит к уменьшению затрат фактора труда L при постоянном уровне производства конечного продукта Q. Обратная ситуация происходит при уменьшении затрат капитала при условии сохранения уровня выпуска конечного продукта.

Это приводит к необходимости введения нового понятия – предельной нормы замещения i - ого фактора затрат производства  j - ым фактором.

1.3.2. Предельная норма технического замещения

Изокванта наглядно представляет взаимозаменяемость факторов производства: за данным объемом продукции можно эффективно произвести при различных сочетаниях труда и капитала (различной капиталовооруженности труда). В какой пропорции один из факторов производства можно заменить другим, зависит от исходной капиталовооруженности труда. 

Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS (marginal rate of technical substitution), которая показывает, на сколько единиц можно уменьшить один из факторов производства при увеличении другого на единицу, сохраняя выпуск неизменным.

Предельная норма замещения i – ого фактора затрат производства j – ым фактором  определяется следующим образом:







Предельная норма технического замещения труда капиталом:







Предельная норма технического замещения капитала трудом:







	Чтобы при изменении количества используемых факторов производства выпуск оставался неизменным, количество труда и капитала должно изменяться в разных направлениях. Если количество капитала сокращается (, то количество труда должно увеличиваться (). Поэтому соотношения  или  всегда отрицательные. Между тем предельная норма технического замещения представляет собой  просто пропорцию, в которой один фактор производства может быть замещен другим, и, как таковая, есть величина всегда положительная. Отсюда следует, что предельная норма технического замещения равна соотношению изменения одного фактора на изменение другого фактора производства, взятому с обратным знаком. 

	Величина МRТS факторов производства определяется их предельной производительностью. В этом можно убедиться на основе следующих рассуждений. При увеличении количества труда на  выпуск возрастает на , а уменьшение объема капитала на  снижает его на . Следовательно, увеличение количества применяемого труда полностью компенсируется сокращением объема капитала, если выполняется следующее неравенство:

	

		                 (1.19)

	

	MRTS может интерпретирована как численное значение тангенса наклона изокванты (. Величина и динамика MRTS характеризуют степень взаимозаменяемости факторов производства. 

	Допустим, что существует какой-нибудь производственный процесс, в котором труд и капитал совершенно взаимозаменяемые, так что всех работников можно заменить капиталом или использовать только работников, заменив ими капитал. Данной процесс зарактеризуется линейной производственной функцией:

	

	

	

где а и b – технологически необходимые расходы соответственно труда и  капитала на единицу продукции.               

	Представим данную функцию в виде: 

	

	

	          

	Как уже говорилось выше данная производственная функция описывается картой линейных изоквант (рис. 1.4, а), имеющих неизменный угол наклона, численное значение тангенса которого равно отношению  Иными словами,     для производственной функции с совершенной взаимозаменяемостью ресурсов неизменна. 

Определим предельную норму замещения капитала трудом для производственной функции Кубба-Дугласа:







В некоторых видах хозяйственной деятельности труд и капитал вообще не могут заменяться друг другом и должны использоваться в фиксированных пропорциях. В этом случае технология производства отображается производственной функцией Леонтьева:



,



где а и b – технологически необходимые расходы соответственно труда и  капитала на единицу продукции.

При технологии Леонтьева MRTS=0.

Многим производственным функциям свойственно скачкообразное изменение MRTS. Такие функции описываются ломанными изоквантами (рис.1.4, в). Как уже упоминалось выше, они отражают ограниченное количество способов производства заданного объема выпуска и характеризуют сочетание различных способов производства, при которых возможен выпуск данного объема продукции.  Таким образом, при любом сочетании способов производства MRTS будет оставаться неизменной. 

	Многие экономисты считают, что возможности замещения факторов в большинстве производственных процессов имеют характер скорее дискретный, чем непрерывный. Следовательно, ломанные изокванты более реалистичны, чем гладкие. Одна гладкие изокванты приближенно отражают форму ломанных изоквант, и это приближение тем точнее, чем больше число способов производства, позволяющих произвести заданный объем выпуска. Поэтому анализ производственных функций с гладкими изоквантами дает возможность выявить основные закономерности процесса производства, не прибегая при этом к сложному математическому аппарату. 

	Важной характеристикой производственной функции является показатель эластичности замещения. Коэффициент эластичности () показывает, на сколько процентов должна измениться капиталовооруженность труда, т.е. соотношение между капиталом и трудом, чтобы при неизменном выпуске предельная норма технического замещения изменилась на один процент: 

	

		                                     (1.24)

	

	Поскольку вдоль каждой изокванты отношения  и MRTS меняются в одном и том же направлении, снижаются при увеличении количества труда в способах производства и возрастают при увеличении капитала (рис. 1.5), показатель  всегда положителен. Он может варьироваться от бесконечности (для линейной производственной функции) до нуля (для леонтьевской производственной функции).  Для производственной функции Кобба-Дугласса характерна постоянная (равная 1) эластичность замещения. Данный коэффициент позволяет соизмерять степень взаимозаменяемости ресурсов для различных производственных процессов. 



Рис. 1.5. Графическая интерпретация предельной нормы замещения фактора труда фактором капитала производственной функции f(K, L).

Величина предельной нормы замещения труда капиталом равна по модулю отношению приращения капитала dK к приращению труда dL. В экономической области  изокванты имеют отрицательный наклон из-за отрицательного углового коэффициента касательной А’B’ к изокванте. Следовательно, предельная норма замещения труда капиталом по модулю равна угловому коэффициенту касательной к изокванте:.

1.3.3. Однородность производственной функции и эффект масштаба производства

	Зависимость прироста выпуска продукции от увеличения всех производственных факторов является одной из важнейших характеристик производственного процесса фирмы в долгосрочном периоде. При рассмотрении производственной функции часто исходят из  того, что при увеличении объема применяемых факторов производства пропорционально возрастает и объем производства. Однако на практике это бывает далеко не всегда. 

	Часто (но не обязательно всегда) при увеличении масштабов относительно мелкого производства выпуск растет опережающими темпами по сравнению с увеличением факторов производства. В таком случае говорят, имеет место возрастающая отдача от масштаба. 

	Затем, по мере дальнейшего роста объемов производства, отдача от масштаба может равняться приросту факторов производства. Это случай постоянный отдачи от масштаба. 

	Наконец, достигнув какого-то уровня, отдача от масштаба замедляется по сравнению с увеличением объемов применяемых факторов производства. Это – убывающая отдача от масштаба. 

	Для оценки отдачи от масштаба используют понятие однородности. Производственная функция называется однородной, если при увеличении всех факторов производства в k раз объем выпуска увеличивается в  раз. Здесь t – показатель степени однородности. Таким образом, производственная функция  является однородной в степени t, если:

		

	Если t=1, то функция однородна в первой степени, а производство демонстрирует постоянную отдачу от масштаба. В этом случае говорят, что производственная функция линейно-однородная.

	Если t>1, то имеет место возрастающая отдача от масштаба.

	Если t<1 – убывающая отдача от масштаба. 

	Рассмотрим понятие отдачи от масштаба с помощью графика (рис.1.6)

	

	Рис. 1.6. Отдача от масштаба

	Когда производственный процесс характеризуется возрастающей отдаче от масштаба (отрезок 0А), изокванты становятся ближе друг к другу. Это означает, что при пропорциональном увеличении труда (5, 10, 15 и т.д.) и капитала (1, 2 , 3  и т.д.) объем производства возрастает ускоряющимися темпами.

	При убывающей отдаче от масштаба (отрезок АВ), напротив, изокванты располагаются все дальше друг от друга, так как требуется все большее и большее количество факторов производства для увеличения объемов производства. 

	При постоянной отдаче от масштаба (рис.1.7) изокванты распо.......................