Временные ряды в эконометрических исследованиях

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
   «Тверской государственный технический университет»
   (ТвГТУ)
Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
ИДПО



КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по дисциплине «Эконометрика»
на тему: «Временные ряды в эконометрических исследованиях»




Выполнила: студентка 3-го курса






Тверь, 2015


Содержание
Введение………………………………………………………………………...……3
 Аналитическая часть………………………………………………….......…..5
 Построение трендовой модели регрессии……………………..…....5
 Анализ временных рядов……………………………………...……...8
 Обнаружение автокорреляции остатков на основе статистики Дарбина-Уотсона……………………………………….……….…...16
 Проектная часть………………………………………………………….…..19
  2.1.   Информационно-методическое обеспечение эконометрического исследования…………………………………………………………….…...19
            2.2.    Пример эконометрического исследования………………………...21
Заключение………………………………………………….………………………29
Список использованных источников………………………….…………........…..30


Введение
     Временной ряд, в свою очередь, это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждое значение временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов. В свою очередь  модели, построенные по временным данным, представляют модели временных рядов. Уровень (период) временного ряда складывается из следующих основных компонентов:
 трендовой компоненты, характеризующей основную тенденцию ряда (Т);
 циклической компоненты, характеризующей циклические колебания изучаемого явления (S);
 случайной компоненты, которая является результатом воздействия множества случайных факторов (Е).
     При различных сочетаниях этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать разные формы.
     Большинство временных экономических показателей имеют тенденцию, которая характеризует совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако, в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. В свою очередь изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой бизнес-цикла, в которой находится страна.
     Данный курсовой проект так же будет описывать основные этапы анализа моделей временных рядов.
     .  Целью курсового проекта является освещение таких вопросов как:
 построение трендовой модели регрессии;
 анализ адекватности модели;
 МНК (метод наименьших квадратов);
 анализ временных рядов при наличии периодических колебаний;
 тестирование случайных отклонений посредством статистики Дарбина – Уотсона.
     



















 Аналитическая часть
 Построение трендовой модели регрессии
     Для начала приведем пример простой линейной модели регрессии.  Изучим зависимость переменной Y от одной независимой переменной (фактора) X. Разберем классическую линейную модель. Такая модель в простейшем случае имеет вид:
Yj = ? + ? · Xj + ?j,			            (1)
     Модель является линейной по параметрам.
 Xj измерены без ошибок, не являются случайными величинами;
 M(?j) = 0;
 D(?j) = ? 2 для всех j;
 cov(?j, ?k) = 0, j 6 ? k;
 ?j имеют нормальное распределение.
    Отсюда следует, что случайные величины Yj независимы и имеют нормальное распределение со средним ? + ? · Xj и дисперсией ? 2
    В нашей модели есть три параметра ?, ? и ?2, которые необходимо оценить [2, с. 30].
    Далее рассмотрим метод наименьших квадратов:
     Для оценки параметров ? и ? мы применим МНК, описанный в предыдущем параграфе. Таким образом, нам необходимо минимизировать выражение:
Наша классическая линейная модель имеет вид:
Yj =                                                           (2)
Тогда Q примет вид: 
                                       (3)
Далее 
                                                       (4)
Syx,S2x  вычисляются по формулам:
                                              (5)
                                        (6)
     Затем необходимо осуществить некоторое преобразование выражений для упрощения дальнейшего исследования. 
     Обозначим:
                                              (7)
                                    (8)
     Далее, сделав несложные преобразования, получаем:
               (10)
     То есть:
                              (11)

     Аналогично получаем:
                 (12)

     Дополнительно в качестве оценки дисперсии можно получить следующее выражение [3, с. 152]:
                     (13)
     Одной из важнейших эконометрических задач, является проверка адекватности модели.
     Проверка адекватности модели направлена на то, чтобы узнать насколько хорошо модель описывает поведение изучаемой нами величины Y, то есть, насколько хорошо объясняется изменение Y с помощью влияния X.
     Величина R2 называется коэффициентом детерминации. Он позволяет выявить долю объясненной дисперсии величины Y за счет линейного влияния фактора Х. Для выявления R принято пользоваться следующим соотношением:
                                                   (14)
     Чем ближе R2 к 1, тем лучше модель описывает влияние фактора X. Это, в свою очередь, говорит об адекватности модели.
R2 также можно получить с использованием полной и объясненной суммы квадратов через следующее соотношения [3, с. 234]:
 полная сумма квадратов
                                        (15)
      - объясненная сумма квадратов
                                        (16)
     - получаем коэффициент детерминации: 
                                                    (17)



 Анализ временных рядов
     Временным рядом называется упорядоченная во времени последовательность численных показателей ((yi,ti),i=1,2,...,n), характеризующих уровни развития изучаемого явления в последовательные моменты или периоды времени.
     При исследовании экономического временного ряда его обычно представляют в виде совокупности трех составляющих:
 долговременной тенденции;
 периодических колебаний;
 случайных колебаний.
     Различным образом объединяя эти компоненты, можно получить разные модели временного ряда (Yt\):
 аддитивную (Yt=Tt+St+?t);
 мультипликативную (Yt=TtSt?t);
 смешанную (Yt=TtSt+?t).
Здесь:
(Tt) - тенденция,
(St) - сезонный компонент,
(?t) - случайный компонент
     Основная задача эконометрического исследования временного ряда заключается в выявлении и придании количественного выражения составляющим его отдельным компонентам.
     Корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда называется автокорреляцией уровней временного ряда.
     Теснота автокорреляционной связи между уровнями ряда определяется с помощью коэффициентов автокорреляции (r?). А функция от сдвига (?), (f(?)=r?), называется автокорреляционной функцией (ACF), а график ее называется коррелограммой [5, с. 112].
     Так же при анализе временного ряда применяют следующие методы и показатели: 
 Проверка адекватности.
     Основывается на анализе ряда остатков: (et=yt-yt^). Модель считается Оценка точности
     Заключается в оценке близости адекватной, если остатки: 
     -являются случайными. Проверка заключается в установлении факта отсутствия или наличия тенденции остатков. Для этой цели может использоваться критерий серий;
     -распределены по нормальному закону. Проверить это можно с тестов, например Харки-Бера или графически построив гистограмму;
     -имеют равное нулю среднее значение (e=0). Осуществляется с помощью критерия Стьюдента. Гипотеза о равенстве нулю (e=0) отвергается, если выполняется условие:tp=|e?|1n-1?nt=1(et-e?)2?n?>t1-?,n-1;
     -независимы между собой. Под независимостью ряда остатков понимается отсутствие в нем автокорреляции, т. е. отсутствует зависимость каждого значения ряда от предыдущих значений. Для проверки ряда остатков на отсутствие автокорреляции уровней остатков используется критерий Дарбина-Уотсона или тест Бреуша-Годфри.
     -модельных значений тенденции к фактическим уровням ряда и осуществляется с помощью вычисления таких показателей, как:
     -дисперсия остатков;
     -средняя ошибка аппроксимации;
     -коэффициент детерминации R2.
     Основными целями исследования временных рядов являются:
 Краткое (сжатое) описание характерных особенностей ряда;
 Подбор статистической модели, описывающей временной ряд;
 Предсказание будущих значений на основе прошлых наблюдений;
 Управление процессом, порождающим временной ряд.
     На практике эти и подобные цели достижимы далеко не всегда и далеко не в полной мере. Часто этому препятствует недостаточный объем наблюдений из-за ограниченного времени наблюдений. Еще чаще – изменяющаяся с течением времени статистическая структура временного ряда [5, с. 132].
     Обычно при практическом анализе временных рядов последовательно проходят следующие этапы:
 графическое представление и описание поведения временного рада;
 выделение и удаление закономерных составляющих временного рада, зависящих от времени: тренда, сезонных и циклических составляющих;
 выделение и удаление низко- или высокочастотных составляющих процесса (фильтрация);
 исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления перечисленных выше составляющих;
 построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка ее адекватности;
 прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом;
 исследование взаимодействий между различными временными рядами.
     Для решения этих задач существует большое количество различных методов. Из них наиболее распространенными являются следующие:
 Корреляционный анализ, позволяющий выявить существенные периодические зависимости и их лаги (задержки) внутри одного процесса (автокорреляция) или между несколькими процессами (кросскорреляция);
 Спектральный анализ, позволяющий находить периодические и квазипериодические составляющие временного ряда;
 Сглаживание и фильтрация, предназначенные для преобразования временных рядов с целью удаления из них высокочастотных или сезонных колебаний;
 Модели авторегрессии и скользящего среднего, которые оказываются особенно полезными для описания и прогнозирования процессов, проявляющих однородные колебания вокруг среднего значения;
 Прогнозирование, позволяющее на основе подобранной модели поведения временного рада предсказывать его значения в будущем [4, с. 243].

Модели временных рядов:
     Линейная модель:
	                                        (18)
			
где 	а0, а1 – коэффициенты,	t – время.
В качестве единицы времени может быть час, день (сутки), неделя, месяц, квартал или год. Модель, несмотря на свою простоту, оказывается полезной во многих реальных задачах. Если нелинейный характер тренда очевиден, то может подойти одна из следующих моделей:
Полиномиальная:
                               (19) 
     где значение степени полинома п в практических задачах редко превышает 5;
Логарифмическая:
                                                  (20)

     Эта модель чаще всего применяется для данных, имеющих тенденцию сохранять постоянные темпы прироста;

Логистическая:
                                                 (21)

Гомперца:
 где                               (22)
     
     Две последние модели задают кривые тренда S-образной формы. Они соответствуют процессам с постепенно возрастающими темпами роста в начальной стадии и постепенно затухающими темпами роста в конце. Необходимость подобных моделей обусловлена невозможностью многих экономических процессов продолжительное время развиваться с постоянными темпами роста или по полиномиальным моделям, в связи с их довольно быстрым ростом (или уменьшением).
     При прогнозировании тренд используют в первую очередь для долговременных прогнозов. Точность краткосрочных прогнозов, основанных только на подобранной кривой тренда, как правило, недостаточна. 
     Для оценки и удаления  трендов из временных рядов чаще всего используется метод наименьших квадратов [8, с. 145].
     Для временных рядов характерна взаимная зависимость его членов (по крайней мере, не далеко отстоящих по времени) и это является существенным отличием от обычного регрессионного анализа, для которого все наблюдения предполагаются  независимыми. Тем не менее, оценки тренда и в этих условиях обычно оказываются разумными, если выбрана адекватная модель тренда и если среди наблюдений нет больших выбросов. Так, при наличии заметной зависимости между членами временного ряда оценки дисперсии, основанные на остаточной сумме квадратов, дают неправильные результаты. Неправильными оказываются и доверительные интервалы для коэффициентов модели, и т.д. В лучшем случае их можно рассматривать как очень приближенные.
     Это положение может быть частично исправлено, если применять модифицированные алгоритмы метода наименьших квадратов, такие как взвешенный метод наименьших квадратов. Однако для этих методов требуется дополнительная информация о том, как меняется дисперсия наблюдений или их корреляция. Если же такая информация недоступна, исследователям приходится применять классический метод наименьших квадратов, несмотря на указанные недостатки [8, с. 150].
Цель анализа временных рядов обычно заключается в построении математической модели ряда, с помощью которой можно объяснить его поведение и осуществить прогноз на определенный период времени. Анализ временных рядов включает следующие основные этапы:
 Построение и изучение графика 
     Анализ временного ряда обычно начинается с построения и изучения его графика.
     Если нестационарность временного ряда очевидна, то первым делом надо выделить и удалить нестационарную составляющую ряда. Процесс удаления тренда и других компонент ряда, приводящих к нарушению стационарности, может проходить в несколько этапов. На каждом из них рассматривается ряд остатков, полученный в результате вычитания из исходного ряда подобранной модели тренда, или результат разностных и других преобразований ряда. Кроме графиков, признаками нестационарности временного ряда могут служить не стремящаяся к нулю автокорреляционная функция (за исключением очень больших значений лагов). 
 Подбор модели для временного ряда
     После того, как исходный процесс максимально приближен к стационарному, можно приступить к подбору различных моделей полученного процесса. Цель этого этапа – описание и учет в дальнейшем анализе корреляционной структуры рассматриваемого процесса. При этом на практике чаще всего используются параметрические модели авторегрессии-скользящего среднего (ARIMA-модели) 
     Модель может считаться подобранной, если остаточная компонента ряда является процессом типа «белого шума», когда остатки распределены по нормальному закону с выборочным средним равным 0. После подбора модели обычно выполняются:
 оценка дисперсии остатков, которая в дальнейшем может быть использована для построения доверительных интервалов прогноза;
 анализ остатков с целью проверки адекватности модели.
 Прогнозирование и интерполяция
    Последним этапом анализа временного ряда может быть прогнозирование его будущих (экстраполяция) или восстановление пропущенных (интерполяция) значений и указания точности этого прогноза на базе подобранной модели. Не всегда удается хорошо подобрать математическую модель для  временного ряда. Неоднозначность подбора модели может наблюдаться как на этапе выделения детерминированной компоненты ряда, так и при выборе структуры ряда остатков. Поэтому исследователи довольно часто прибегают к методу нескольких прогнозов, сделанных с помощью разных моделей.
     При анализе временных рядов обычно используются следующие методы:
 графические методы представления временных рядов и их сопутствующих числовых характеристик;
 методы сведения к стационарным процессам: удаление тренда, модели скользящего среднего и авторегрессии;
 методы исследования внутренних связей между элементами временных рядов [10,с. 165].
     Если говорить о графических исследованиях, то они играют лишь вспомогательную роль, позволяя лучше понять локализацию и концентрацию данных, их закон распределения.
Роль графических методов при анализе временных рядов совершенно иная. Дело в том, что табличное представление временного ряда и описательные статистики чаще всего не позволяют понять характер процесса, в то время как по графику временного ряда можно сделать довольно много выводов. В дальнейшем они могут быть проверены и уточнены с помощью расчетов.
     При анализе графиков можно достаточно уверенно определить:
 наличие тренда и его характер;
 наличие сезонных и циклических компонент;
 степень плавности или прерывистости изменений последовательных значений ряда после устранения тренда. По этому показателю можно судить о характере и величине корреляции между соседними элементами ряда.
     В современном мире уровень анализа временных рядов предполагает использование той или иной компьютерной программы для построения их графиков и всего последующего анализа. 
     При анализе временных рядов часто используются вспомогательные графики для числовых характеристик ряда:
 график выборочной автокорреляционной функции (коррелограммы) с доверительной зоной (трубкой) для нулевой автокорреляционной функции;
 график выборочной частной автокорреляционной функции с доверительной зоной для нулевой частной автокорреляционной функции;
 график периодограммы.
     Первые два из этих графиков позволяют судить о связи (зависимости) соседних значений временного рада, они используются при подборе параметрических моделей авторегрессии и скользящего среднего. График периодограммы позволяет судить о наличии гармонических составляющих во временном ряде [10, с. 172].
 Обнаружение автокорреляции остатков на основе статистики Дарбина-Уотсона
     Одним из основных критериев при исследовании моделей в эконометрике является критерий Дарбина-Уотсона. Его же принято считать DW-критерием. Критерий Дарбина-Уотсона это  статистический критерий, используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей. Рассчитывается критерий по следующей формуле: 
        (23)
где P1 – коэффициент автокорреляции первого порядка.
     В случае отсутствия автокорреляции  DW=2, при положительной автокорреляции DW стремится к нулю, а при отрицательной к 4.
     На практике применение критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины??с теоретическими значениями??и??для заданного числа наблюдений?, числа?независимых переменных?модели??и?уровня значимости?.
      Если?, то?гипотеза?о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция);
      Если?, то гипотеза не отвергается;
      Если?, то нет достаточных оснований для принятия решений.
     Когда расчётное значение??превышает 2, то с??и??сравнивается не сам коэффициент?, а выражение?.
     Также с помощью данного критерия выявляют наличие?коинтеграции?между двумя?временными рядами. В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью?метода Монте-Карло?были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают.
     Существует несколько недостатков критерия Дарбина -Уотсона, таких как:
      Неприменимость к моделям?авторегрессии, а также к моделям с?гетероскедастичностью условной дисперсии?и?GARCH-моделям.
      Неспособность выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.
      Даёт?достоверные?результаты только для больших?выборок.
      Не подходит для моделей без свободного члена (для них статистика, аналогичная?, была рассчитана Fairbrother).
      Дисперсия коэффициентов будет расти, если??имеет распределение, отличающееся от?нормального.
     Критерий Дарбина-Уотсона неприменим для моделей?авторегрессии, так как он для подобного рода моделей может принимать значение, близкое к двум, даже при наличии автокорелляции в остатках. Для этих целей используется?-критерий Дарбина.
                                                       (24)
     где
      ?- число наблюдений в модели;
      ?- оценка дисперсии коэффициента при лаговой результативной переменной?.
     Для?панельных данных?используется немного видоизменённый критерий Дарбина-Уотсона:
                                                                  (25)
     В отличие от критерия Дарбина-Уотсона для временных рядов, в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности для панелей с большим количеством индивидуумов. [7, с. 201].
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
 Проектная часть
2.1 Информационно-методическое обеспечение эконометрического исследования
     Проектная часть представляет собой решение задачи связанной с тематикой курсового проекта с использованием представленного теоретического материала.
 Выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней
      Рассматривается средний уровень из определенного числа первых по счету уровней ряда, затем – из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, продвигаясь на один срок.
     Скользящая средняя - это динамическая средняя, которая последовательно рассчитывается при передвижении на один интервал при заданной продолжительности периода. Если, предположим, продолжительность периода равна 3, то скользящая средняя рассчитываются следующим образом:
y ?_1=(y_1+y_2+y_3)/3; y ?_2=(y_2+y_3+y_4)/3; ?y ?_3^1=((y_2 ) ?+(y_4 ) ?)/2;?_
     При четных периодах скользящей средней можно центрировать данные, т.е. определять среднюю из найденных средних. К примеру, если скользящая исчисляется с продолжительностью периода, равной 2, то центрированные средние можно определить так:
?y ?_1^1=((y_1 ) ?+(y_4 ) ?)/2;?_ ?y ?_2^1=((y_2 ) ?+(y_3 ) ?)/2;?_ ?y ?_3^1=((y_3 ) ?+(y_4 ) ?)/2;?_
     Первую рассчитанную центрированную относят ко второму периоду, вторую - к третьему, третью - к четвертому и т.д. По сравнению с фактическим, сглаженный ряд становится короче на (m - 1)/2, где m - число уровней интервала.
     
     
 Оценка сезонной компоненты
     Следующим этапом задачи является определение сезонной компоненты. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле.
 Аналитическое выравнивание трендовой компоненты
     Фактические уровни ряда заменяются плавно изменяющимися уровнями, полученными из уравнения регрессии . При аналитическом выравнивании используются разные виды трендовых моделей.
     С помощью MSExcel можно получить автоматическое решение.
 Оценка качества
     Для оценки данной модели необходимо воспользоваться коэффициентом детерминации, в данном случае через сумму квадратов абсолютных ошибок:

     Необходимо произвести проверку адекватности модели  и произвести проверку статической значимости (F-критерий Фишера): 
,
     Далее необходимо сделать прогноз по аддитивной модели. Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент.
     Данный подход  необходимо применять для 2-х видов статических данных, после этого необходимо произвести их сравнение.




2.2. Пример эконометрического исследования

      На основе статистических данных по показателям таблицы 3 проводится эконометрическое исследования в соответствии с методикой п.2.1.
     Данные примера:  По   статистическим   данным,   описывающим   объем   спроса фирмы в Тверской области в течение 4-х лет, построим модели   временных   рядов,   описывающих динамику спроса фирм. 
     Таблица 3
     Исходные данные задачи о 2-х фирмах
№ квартала
Спрос фирмы
1
60
2
100
3
120
4
39
5
75
6
119
7
139
8
44
9
89
10
160
11
199
12
60
13
90
14
200
15
260
16
80
     


 Выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней
     Необходимо выравнить исходный уровень ряда методом скользящей средней. Расчетные данные представлены в таблице 4.
     Таблица 4
     Выравнивание исходного уровня ряда методом скользящей средней
t
yt
Скользящая средняя
Центрированная скользящая средняя
Оценка сезонной компоненты
1
60
-
-
-
2
100
79.75
-
-
3
120
83.5
81.63
38.38
4
39
88.25
85.88
-46.88
5
75
93
90.63
-15.63
6
119
94.25
93.63
25.38
7
139
97.75
96
43
8
44
108
102.88
-58.88
9
89
123
115.5
-26.5
10
160
127
125
35
11
199
127.25
127.13
71.88
12
60
137.25
132.25
-72.25
13
90
152.5
144.88
-54.88
14
200
157.5
155
45
15
260
-
-
-
16
80
-
-
-

     Изобразим графически выровненный и фактический уровни ряда (рис. 1).
     
     
     Рисунок 1. Выравнивание методом скользящей средней
     
     Рисунок 1 наглядно показывает, что наблюдается тенденция к увеличению объема спроса фирмы  с каждым кварталом
     
 Оценка сезонной компоненты
      Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый период оценки сезонной компоненты Sj. Сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4. Расчет оценки сезонной компоненты представлен в таблице 5.
     
     
     
     
     
     
     
     Таблица 5
     Расчет оценки сезонной компоненты
Показатели
1
2
3
4
1
-
-
38.38
-46.88
2
-15.63
25.38
43
-58.88
3
-26.5
35
71.88
-72.25
4
-54.88
45
-
-
Всего за период
-97
105.38
153.25
-178
Средняя оценка сезонной компоненты
-32.33
35.13
51.08
-59.33
Скорректированная сезонная компонента, Si
-30.97
36.49
52.45
-57.97
     
     Для данной модели имеем: 
     -32.333 + 35.125 + 51.083 -59.333 = -5.458 
     Корректирующий коэффициент: k=-5.458/4 = -1.365 
     Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты Si и заносим полученные данные в таблицу. 
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
 Аналитическое выравнивание трендовой компоненты
С помощью MSExcel получаем автоматическое решение (см. рис 2).


Рисунок 2. Итоги для данных фирмы

Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид:
     y = 63,1 + 6,061х1; R2 = 0,21
     Коэффициенты регрессии b0 = 63,1 ;b1 = 6,061
     Система уравнений МНК: 
     {?(a_0 n + a_1?t = ?y @a_0?t + a_1?t^2  = ?y*t )?
     Для наших данных система уравнений имеет вид: 
     16a0 + 136a1 = 1834;
     136a0 + 1496a1  = 17780.08;
     Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение. 
     Получаем a0 = 6.44, a1 = 59.85 
     Результат аналитического выравнивания следующие: Т=59,848+6,444t 
     

 Оценка качества
     Подставляя в уравнение: Т=59,848+6,444t, значения t = 1,...,16, найдем уровни T для каждого момента времени (таблица 6).
     Таблица 6
     Расчетная таблица показателей
t
yt
Si
yt - Si
T
T + Si
E = yt - (T + Si)
E2
1
60
-30.97
90.97
66.29
35.32
24.68
608.93
2
100
36.49
63.51
72.74
109.23
-9.23
85.12
3
120
52.45
67.55
79.18
131.63
-11.63
135.23
4
39
-57.97
96.97
85.63
27.66
11.34
128.67
5
75
-30.97
105.97
92.07
61.1
13.9
193.18
6
119
36.49
82.51
98.51
135
-16
256.12
7
139
52.45
86.55
104.96
157.41
-18.41
338.79
8
44
-57.97
101.97
111.4
53.43
-9.43
89
9
89
-30.97
119.97
117.85
86.88
2.12
4.5
10
160
36.49
123.51
124.29
160.78
-0.78
0.61
11
199
52.45
146.55
130.74
183.18
15.82
250.15
12
60
-57.97
117.97
137.18
79.21
-19.21
369.08
13
90
-30.97
120.97
143.62
112.66
-22.66
513.29
14
200
36.49
163.51
150.07
186.56
13.44
180.67
15
260
52.45
207.55
156.51
208.96
51.04
2604.95
16
80
-57.97
137.97
162.96
104.99
-24.99
624.45







6382.76

     Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. 
     Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. 

Среднее значение:

Таблица 7
Расчет данных для получения R^2
t
y
(y-ycp)2
1
60
2983.89
2
100
213.89
3
120
28.89
4
39
5719.14
5
75
1570.14
6
119
19.14
7
139
594.14
8
44
4987.89
9
89
656.64
10
160
2058.89
11
199
7119.14
12
60
2983.89
13
90
606.39
14
200
7288.89
15
260
21133.89
16
80
1198.89
136
1834
59163.75


     Следовательно, можно сделать вывод, что аддитивная модель объясняет 89% общей вариации уровней временного ряда. 
     Проверка адекватности модели данным наблюдения: 
,
где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1). 
Fkp = 4.6 
     Так как F >Fkp, то уравнение статистически  значимо. 




















     

Заключение
     Основной целью курсового проекта было исследование проблем построения моделей временных рядов, их анализа а так же их применение в эконометрических исследованиях. 
     В данной курсовой работе мы рассмотрели многие аспекты проблематики применения временных рядов в эконометрических исследованиях. Было изучено построение трендовой модели регрессии, а так же проверки качества построенной модели. Была исследована проблема анализа временных рядов с разных сторон, основные критерии качества модели временных рядов. 
     Таким образом, основные тематики и цели данного курсового проекта были отражены в следующих вопросах:
 построение трендовой модели регрессии
 анализ адекватности модели
 МНК (метод наименьших квадратов)
 анализ временных рядов при наличии периодических колебаний
 тестирование случайных отклонений посредством статистики Дарбина – Уотсона
     Так же были описаны и исследованы основные виды моделей временных рядов, а так же проверка адекватности модели временного ряда.
      В проектной части был рассчитан пример задания с построением модели временных рядов посредством расчетов, а так же с использованием автоматического решения средствами Excel. Был использован метод наименьших квадратов, была проверенна адекватность модели. Тематика данной курсовой работы актуальна в повседневных задачах. С помощью данных эконометрических исследований можно прогнозировать показатели того или иного предприятия. В нашем случае мы спрогнозировани уход фирмы с рынка и время через которое она его покинет.


Список использованных источников
 Эконометрика [Текст]: учебник / Елисеева, И.И., Курышева, С.В., Нерадовская, Ю.В., [и др.] ; под ред. И.И. Елисеевой - М.: Проспект, 2009. - 288 с. - (66641-13)  (У; Э 40)
 Валентинов, В.А. Эконометрика [Текст]: учебник для вузов по спец. "Мат. методы в экономике" и др. экон. спец. - М.: Дашков и К, 2010. - 448 с. - (84266-30)  (У; В 15)
 Яновский, Л.П. Введение в эконометрику [Текст]: учеб. пособие для вузов по напр. "Экономика" / Яновский, Л.П., Буховец, А.Г. - М.: КноРус, 2011. - 254, [1] с. - (88489-4)  (У; Я 64)
 Айвазян, С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики[Текст]: учебник для студентов экон. спец. вузов / Айвазян, С.А., Мхитарян, В.С. ; Гос. ун-т; Высш. шк. экон. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с. - (6428-1)  (519; А 36)
 Доугерти, К. Введение в эконометрику[Текст]: учебник для экон. спец. вузов;пер. с англ. / Моск. гос. ун-т - М.: ИНФРА-М, 1999. - 402 с. - (3528-1)  (У; Д 71)
 Валентинов, В.А. Эконометрика [Текст]: практикум - М.: Дашков и К, 2010. - 435 с. - (84265-12)  (У; В 15)
 Магнус, Я.Р., Катышев, П.К., Пересецкий, А.А. Эконометрика [Текст]: начальный курс;учебник для вузов по экон. спец. - М.: Дело, 2005. - 503 с. - (71756-2)  (У; М 12)
 Минзов, А.С. Эконометрика [Электронный ресурс]: учеб. пособие для студентов экон. спец. гуманит. вузов / Моск. фин.-юрид. акад. - М.: МФЮА. - Сервер. - (65626-1)  (У; М 61)
 Эконометрика [Текст]: учебник / Елисеева, И.И., Курышева, С.В., Нерадовская, Ю.В., [и др.] ; под ред. И.И. Елисеевой - М.: Проспект, 2009. - 288 с. - (66641-13)  (У; Э 40)



2


.......................