Вибрационные воздействия в щёточно-коллекторном узле

     1 Вибрационные воздействия в щёточно-коллекторном узле
     
     Особенность функционирования щёточно-коллекторного узла тяговых электродвигателей заключается в многообразии воздействующих факторов, часть которых обусловлена электрической нагрузкой, другая — механическими причинами. В итоге этот узел ТЭД является одним из наименее надежных элементов (см. рис 1.1), а поэтому диагностические процедуры но определению его работоспособности на моделях, учитывающие многообразие эксплуатационных воздействий, представляют практический интерес. При этом первостепенной задачей, как правило, является определение параметров воздействующих факторов и соответствующих реакций на стабильность контакта, процессы коммутации и интенсивность износа щеток или коллектора. Из воздействующих на щеточно-коллекторный узел факторов наименее изучены вибрации, поэтому их анализ является первостепенным.
     Щеточно-коллекторный узел ТЭД является электромеханической системой. Механические воздействия на такую систему целесообразно разделить на 3 группы. Первая группа -         кинематические - обусловлены внешними и внутренними факторами. Внешние кинематические воздействия в основном определяются вибрациями корпуса ТЭД, на который опирается коллектор и к которому крепятся щеткодержатели и их элементы. Внутренние кинематические воздействия вызваны радиальными биениями коллектора.
     Вторая группа воздействий - силовые - вызываются силами трения щёток о коллектор и о боковые поверхности щеткодержателей, а также спецификой взаимодействия щёток и коллектора, обусловленных его конструкцией в виде лам елей и таю ров между ними.
     Третья группа механических факторов является параметрической, поскольку определяется механическими свойствами щёткодержателей и элементов их крепления к корпусу ТЭД.
     Вибрации щёток, вызываемые кинематическими и силовыми факторами, в итоге приводят к искажениям физических процессов коммутации из-за нарушения стабильности контакта, искажениями процессов токораспределения и другими вторичными эффектами. Для изучения характеристик вибраций щёток и их спектральных характеристик проведены эксперименты на ТЭД типа НБ-418к6 и НБ-508. В качестве датчиков вибрации применялись пьезоэлектрические ускорениемеры, массой 3 тр., которые устанавливались на набегающей и сбегающей щетках с помощью жестких изоляционных пластин, что позволило произвести измерение радиальных ускорений вибрации щеток Z ?_Щ при работе под полной электрической нагрузкой и в условиях вибрационных воздействий. Параметры спектров вибрации получены с применением спектроанализатора, работающего в реальном масштабе времени. Диапазон рассматриваемых частот составил 0 - 12500Гц. Эксперименты проводились в соответствии с теорией факторного анализа по плану 2^N. При этом производилось варьирование частоты вращения якоря, статического нажатия на щетки P_Щ и ускорений вибрации испытуемых двигателей - W. Для обобщения результатов в пределах каждой терции использовались уравнения регрессии вида 
     
     Z ?_Щ (f_i )=A_Щ+B_W X_W+C_P X_P+D_PW X_W X_P            (1.1) 
                          
     Где X_W=(W-50)/50 –фактор, учитывающий ускорения щёток из-за внешних вибрационных воздействий;X_P=(P_Щ-33)/5 -фактор, учитывающий статическое нажатие не щётку;W –модуль внешних вибраций ТЭД; P_Щ-нажатие на щётки;  A_Щ,B_W,C_P,D_PW-коэффициенты значимости;i-номер терции или частотного диапазона.
     При исследованиях каждому сочетанию факторов X_W и X_P по плану эксперимента 2^N соответствовала серия из 10 и более опытов, в каждом из которых производилось варьирование частоты вращения якоря в наиболее вероятном диапазоне при работе на подвижном составе - от 200 до 1000 об/мин. В результате были определены средние значения вибрации щеток на каждой фиксируемой частоте, а затем коэффициенты  A_Щ,B_W,C_P,D_PW уравнений регрессии (1.1). Полученные результаты представлены на рис 1.1, 1.2 в виде спектров амплитуд абсолютных ускорений вибрации щеток и в виде спектров коэффициентов А A_Щ,B_W,C_P,D_PW, характеризующих, согласно теории факторного анализа, значимость воздействующих факторов P_Щ и W и их совместного действия  (произведение PW).  Кроме этого, спектры коэффициентов значимости  представлены в таблице 1.1.
     Представленные результаты экспериментов позволяют сделать выводы:
     •величина абсолютных ускорений вибрации щеток превосходит в несколько раз величину ускорений вибрации ТЭД;
     •максимальные, значения ускорений вибрации щёток наблюдаются на частоте, соответствующей взаимодействию коллекторных пластин и щёток — 1000-10000Гц;
     
      Рисунок 1.1 – Спектры радиальных ускорений вибрации набегающей щетки при различных нажатиях Р и ускорениях внешней вибрации W
     Рисунок 1.2 – Спектры коэффициентов значимости для набегающей щетки
     
Таблица 1.1 – Коэффициенты регрессии между ускорениями на набегающей щетке, нажатием и ускорением вибрации двигателя.
     
     
     •внешние вибрации вызывают увеличение ускорений вибрации щеток на вcём рассмотренном диапазоне частот (0-12500 Гц) - согласно рис 1.2 и таблице 1.1 коэффициент значимостиB_W при любых частотах имеет значимое и положительное значение; 
     •статические усилия нажимного элемента приводят к снижению абсолютных ускорений вибрации щеток; наиболее значимо влияние указанных усилий на высоких частотах - 4 - 5 кГц, поскольку коэффициент значимости C_P уравнений (1.1) в указанном диапазоне частот - отрицательное число и превосходит по модулю остальные коэффициенты. 
     Кроме этого, на вибрационных диагностических моделях проведены эксперименты по исследованию неровностей коллектора, которые характеризуют внутренние кинематические воздействия. Необходимо отметить, что измерения неровностей коллектора имеет особенности, вызванные его конструкцией. Неровности коллектора можно охарактеризовать по двум признакам. Первое это отклонения поверхности коллектора от окружности Z_O. Второе - радиальные отклонения соседних лам елей - Z_Л. Суммарные отклонения неровностей коллектора можно представить в виде их суммы:
     
     Z_К=Z_O+Z_Л                       (1.2)
                   
     Для измерения указанных величин применялись датчики профиля коллектора собственного изготовления и измерительные системы других авторов. Наиболее просто и эффективно устройство для исследования профиля коллектора можно выполнить на базе пластинчатого прогибомера согласно рис 1.3. Предлагаемое приспособление может быть успешно применено в любых условиях, в том числе и при диагностировании ТЭД в условиях депо. Электронная часть устройства (на рис 1.3 не показана) может быть реализована в виде модуля сопряжения с интерфейсами персональных компьютеров. Эксперименты показали, что обеспечить чувствительность датчика профиля коллектора, равную 1 В/мкм не представляет сложностей. Применение указанного устройства позволяет получать диаграммы профиля коллектора и определять «динамику» их изменения. Например, на рис 1.4 показаны диаграммы отклонений профиля коллектора одного и того же ТЭД от окружности, при работе на вибрационной диагностической модели с воспроизведением токовой нагрузки и вибрационных воздействий в виде: квазипериодических вибраций (эквивалентный пробег 10000км);  форсированных режимов вибрации ТЭД (амплитуда 20g,частота 30 Гц) в объёме 10 и 40 млн. циклов, (измерениия проводились при одной и той же температуре коллектора).
     Однако подученные геометрические характеристики поверхности определяют в основном качество технологического процесса обточки коллектора после ремонта, или его изнашивания за счет работы на подвижном составе, но с точки зрения кинематических воздействий на щётки отсутствие отклонений геометрических неровностей является условием необходимым, но недостаточным.
     Одна из причин этого - зазор в якорных подшипниках. Из-за его наличия имеет место неопределенность движения оси якоря по отношению к оси двигателя, за счет чего щетки получают дополнительные кинематические и силовые возмущения. Зазор в якорных подшипниках изменяется и зависит от многих причин, но одной из наиболее важных является вибрация ТЭД, которая способствует ускоренному увеличению зазора.
     
     
      
     Рисунок 1.3 – Схема изменения профиля коллектора
     Рисунок 1.4 – Геометрические отклонения профиля коллектора при различной наработке
Соответствующие экспериментальные данные по этому вопросу (рис 1.5), полученные одновременно с исследованиями изменения профиля коллектора, показывают, что при вибрационных воздействиях скорость увеличения зазора в якорных подшипниках на порядок превышает скорость его изменения без вибрационных воздействий.
     Кроме этого внутренние кинематические воздействия на щётки могут быть вызваны деформациями якоря и коллектора из-за воздействия внешних вибраций и температурных напряжений. Исследования, выполненные Мельниковым Е.Н. [2] показали, что стрела динамического прогиба вала якоря ТЭД соизмерима с воздушным зазором магнитной системы. Экспериментально достаточно сложно определить долю кинематических воздействий из - за зазоров в подшипниках и из - за деформаций коллектора, поэтому окончательное суждение о кинематических воздействиях на щётки дают эксперименты, основанные на бесконтактных способах измерения относительных перемещений щеткодержателя и поверхности коллектора. Для этого в работе применялся токовихревой бесконтактный датчик от носительных   перемещений [1]  который позволил получить диаграммы профиля коллектора в требуемом рабочем диапазоне частоты вращения и ускорений внешних вибраций. Выборки полученных результатов представлены на рис 1.6. Сравнение данных на рис 1.4 и рис 1.6 показывает, что при воздействиях вибраций и при вращении якоря кинематические воздействия на щётки со стороны коллектора превосходят неровности коллектора в несколько раз. 
     
     
      Рисунок 1.5 – Графики изменения зазора в якорных подшипниках в зависимости от продолжительности воздействия вибрации
     
     Для количественной оценке влияния внешних вибраций W(m/c)  частоты вращения коллектора n_K (об/мин), а также температуры поверхности коллектора ?_K проведена серия экспериментов с использованием факторного анализа [3]. Уравнение регрессии, характеризующее стандарт кинематических воздействий на щётки S_(ZK ) (мкм)  при воздействиях указанных факторов имеет вид
     
     S_(ZK )=10+0,96W+0,052n_K-0,28?_K+0,0012n_K ?_K      (1.3) 
                      
     В дополнении к этому характеристики кинематических воздействий коллектора можно охарактеризовать в виде трансформанты Фурье F. Абсолютные значения указанной функции, полученные применительно к отклонениям профиля коллектора за один оборот якоря и измеренными при различной наработке и при различных значениях ускорения вибрации, представлены на рис 1.7, 1.8. Представленные данные показывают, что в процессе износа коллектора (рис 1.7) изменяется частотный состав возмущений, поскольку трансформанта Фурье, характеризующая спектр возмущений смещается в сторону высоких частот. Вибрационные воздействия также изменяют спектр кинематических возмущений, что особенно отчётливо отражено на рис 1.8 при сравнении трансформант Фурье для кинематических воздействий на щётки, полученных при различных ускорениях вибрации ТЭД.
      Представленные данные характеризуют в основном кинематические воздействия, обусловленные отклонениями коллектора от окружности. Однако эксперименты на диагностических моделях дают возможность изучения физических процессов в щёточно-коллекторном узле, обусловленных кинематическими воздействиями из-за радиальных отклонений ламелей Z_Л. Однако решение данного вопроса целесообразно проводить совместно с анализом электромагнитных процессов коммутации, и не учитывая при этом в полном объеме проблемы эксплуатационной диагностики.
     
     Рисунок 1.6 – Кинематические  отклонения неровностей коллектора
     
     Рисунок 1.7 – Преобразования Фурье для геометрических  неровностей коллектора после воздействия квазипериодических и непрерывных вибрационных воздействий
     
     Рисунок 1.8 – Преобразования Фурье для кинематических неровностей коллектора при различных ускорениях вибрации ТЭД
     2 Параметрические характеристики элементов        шёточно-коллекторного узла.
     
     Известно, что усилия нажатия на щетки определяют как механические, так и электрические свойства скользящего контакта [4,5], поэтому основное требование, предъявляемое к конструкциям щёткодержателей - стабильность усилий нажатия. Однако при этом необходимо учитывать особенности щёточно - коллекторного узла ТЭД как механической системы, в которой имеет место внутренние взаимодействия элементов. Для исследования указанных взаимодействий на диагностических моделях МИИТа проводились экспериментальные исследования по заказам МПС, НЭВЗ, "Электроугли" в виде сравнительных испытаний щеткодержателей различных конструкций, а именно: серийных щеткодержателей завода НЭВЗ для тяговых электродвигателей типа НБ-418к6, НБ-508, с рычажными нажимными элементами; опытных щеткодержателей завода НЭВЗ с рулонными пружинами; щеткодержателей со вставными рулонными пружинами фирмы "Морганайт", которые можно модифицировать конструированием накладки, передающей нажимное усилие от пружины к щетке [6]. Испытаниям подвергались выборки щёткодержателей объемом от 10 до 20 шт., что позволило применять вероятностные методы при оценке результатов исследований. Оценка взаимодействий элементов щёткодержателей между собой выполнялась путём определения статических характеристик щёткодержателей в виде зависимости силы нажатия от высоты щётки Р_Щ (h_Щ). Для получения указанных характеристик применялась диагностическая модель, согласно кинематической схемы на рис 2.1.
     Особенности характеристик щёткодержателей Р_Щ (h_Щ), выявленных на диагностических моделях заключаются в следующем.
     
     
     Рисунок 2.1 – Диагностическая модель для определения  статических характеристик щеткодержателей тяговых         электродвигателей
     
     Статические характеристики обладают свойствами «гистерезиса». Изменение усилий нажатия, предусмотренным для этого регулировочным устройством, приводит к изменениям только абсолютных значений силы нажатия, но не устраняет «гистерезиса» (рис 2.2, где П-1,П-2,П-3 - положения регулировочного винта).
     Следующая особенность зависимостей Р_Щ (h_Щ) - изменение в процессе выработки ресурса. На рис 2.3 и рис. 2.4 показаны усреднённые статические  характеристики серийных щёткодержателей и средние квадратические отклонения этой же характеристики до и после проведения ресурсных испытаний ТЭД НБ-508 на вибрационной диагностической модели в полном объёме. Как следует из рисунка при уменьшении высоты щёток из-за их износа, нажимные усилия щёткодержателей с выработанным ресурсом будут меньшими по отношению к началу эксплуатации. Разность указанных характеристик может достигать 30% (рис.2.3). С другой стороны, нажимные элементы «прирабатываются» - средние   квадратические отклонения нажимных усилий после, проведения испытаний уменьшились по отношению начальным.
     Рисунок 2.2 – Гистерезис статических характеристик щеткодержателей при различной регулировке
     Рисунок 2.3 – Усредненные статические характеристики щеткодержателей при различных наработках
     Рисунок 2.4 – Средние квадратические отклонения усилий нажатия при различной наработке
     Причина уменьшения усилий нажатия в основном объясняется старением нажимных элементов из-за усталостных явлений, которые вызваны динамическими напряжениями из-за вибрационных воздействий. Усталостные характеристики нажимных элементов, были получены по результатам ресурсных испытаний на диагностической модели, представленной на рис 2.42. При усталостных испытаниях воспроизводились вибрации, сообщаемые щеткодержателям со стороны остова и со стороны коллектора. Согласно общепринятой методики проведения усталостных испытаний [7] производилось ступенчатое регулирование величины динамических напряжений в пружинах нажимных элементов через каждый миллион циклов нагружения. Соответственно и через каждый миллион циклов производилось определение величины нажатия на щетки. Сравнение полученных результатов для различных типов нажимных элементов из рулонных пружин представлено на рис 2.5.
     Дальнейшие сравнительные исследования характеристик нажимных элементов заключались в определении зависимостей усилий нажатия от конструктивных особенностей щеткодержателей и самих нажимных элементов. В частности на рисунках 2.6—2.9 представлены доверительные интервалы статических характеристик щёткодержателей с нажимными элементами отечественного и зарубежного производства. При этом характеристики определены индивидуально для элементарных щеток. Схема передачи усилий от нажимного элемента к щеткам показана на рисунках 2.6— 2.9. Из этого следует, что усилия нажатия на элементарные щетки отличаются, причем разность нажатий на элементарные щетки достигает 10 Н, т.е. соизмерима с суммарным нажатием на щетки. 
     Рисунок 2.5 – Графики изменения механических напряжений и нажимных усилий на щетки при ресурсных испытаниях нажимных элементов 
     Рисунок 2.6 – Статические характеристики серийного щеткодержателя щеткодержателя НЭВЗ
      Рисунок 2.7 – Статическое характеристики щеткодержателя НЭВЗ с рулонными пружинами
     Рисунок 2.8 – Статические характеристики щеткодержателя со вставной рулонной пружиной фирмы «Морганайт»
      
      
     Рисунок 2.9 – Статические характеристики щеткодержателей со вставными пружинами «Морганайт» при различных вариантах передачи нажимного усилия
     Объясняется этот эффект наличием статической неопределенности при передаче усилий от нажимного элемента к щеткам через накладки. Так, если накладки жесткие, то, как правило, имеет место наибольшая разность усилий на элементарные щетки. В связи с этим заслуживает внимания факт более равномерного по отношению к другим конструкциям, распределения нажимных усилий на элементарные щётки у серийных рычажных щёткодержателей завода НЭВЗ. Усилия нажатия у таких конструкций индивидуальны для каждой элементарной щётки.
     Представленные данные, во-первых показывают преимущества диагностических моделей ТЭД, которые раскрывают сущность явлений, а во-вторых показывают, что строго обеспечить стабильность нажатия на щётки практически невозможно.
     3 Частотные характеристики  щёточно-коллекторного узла как механической системы
     
     Конструкциям механической части щеточно-коллекторного узла ТЭД соответствует кинематическая схема, представленная на рис 3.1. Основные элементы системы: коллектор, щетка, накладка, нажимной элемент и корпус щеткодержателя. Система «подвешена» к остову с помощью электроизоляционных пальцев. Щетки «поднимаются» поверхностью коллектора в радиальном направлении, чем обеспечивается нажимное усилие, и движутся по его неровностям. Система многовходовая, поскольку испытывает кинематические возмущения со стороны коллектора и остова, а с другой стороны силовые возмущения, обусловленные тангенциальными силами трения щеток о коллектор и о боковые поверхности щёткодержателей. Соединение элементов системы между собой выполнено в виде упругих и диссипативных связей. Например, пальцы щеткодержателей на схеме представлены в виде упруго-диссипативных элементов жесткостью Ж_KZ и коэффициентом сопротивления B_KZ в радиальном направлении, и Ж_KX, B_KX в тангенциальном направлениях, соответственно. Нажимному элементу соответствует нелинейная упруго-диссипативная связь с параметрами ?Жн?_Z, ?Вн?_Z. Взаимодействие нажимного элемента и щётки происходит посредством накладки, которая имеет радиальные параметры жёсткости и сопротивления - ?Жp?_Z, ?Bp?_Z и, соответственно, тангенциальные параметры ?Жp?_X, ?Bp?_X. Щетки ТЭД обычно составные, но изданном этапе их целесообразно представить в виде одномассового тела, массой Мщ, моментом инерции Jщ, которое имеет 3 степени свободы: радиальное направление Zщ, тангенциальное направление Xщ, угловое ?_Щ. Остальные элементы системы, как следует из рис 3.1, имеют по 2 степени свободы в радиальном и тангенциальном направлениях Z_Н, Х_Н (нажимной элемент), Z_K, Х_K, (корпус щёткодержателя). Указанные силовые факторы в итоге приводят к многообразию усилий, которые испытывают щётки со стороны коллектора и щёткодержателей (рис 3.2).
     Рисунок 3.1 – Кинематическая схема щеточно-коллекторного узла
     
      Мщ – масса щетки:
      Мн – приведенная масса нажимного элемента;
      Мк – приведенная масса корпуса щеткодержателя 
      Жpz – радиальная жесткость накладки;
      Жpx – тангенциальная жесткость накладки;
      Жнz – жесткость нажимного элемента;
      Жкх – тангенциальная жесткость пальцев;
      Жкz – радиальная жесткость пальцев 
      Bpz – коэффициент радиального сопротивления накладки;
       Вpx – коэффициент тангенциального сопротивления накладки;
       Bнz – коэффициент сопротивления накладки;
       Вкz – коэффициент радиального сопротивления пальцев;
       Вкх – коэффициент тангенциального сопротивления пальцев;
       Вщх–коэффициент сопротивления боковых поверхностей щеток;
       Жщх – контактная жесткость боковых поверхностей;
       Fст – предварительный натяг нажимного элемента;
       Fк – сила трения щетка-коллектор;
       Fб – сила трения щетка – корпус  щеткодержателя. 
     
     Рисунок 3.2 – Усилия, действующие на щетки
     
     Диссипация механической энергии в рассматриваемой системе проявляется в виде сил вязкого трения в пружинах и пальцах и в виде сил сухого трения при относительных перемещениях щёток относительно коллектора и корпуса щеткодержателя. При учёте диссипативных сил особую проблему представляют силы сухого трения. Значения указанных сил обычно определяется при относительно медленном перемещении тел. Однако при вибрационных воздействиях относительные перемещения элементов рассматриваемой системы могут наблюдаться в широком диапазоне, который лежит в диапазоне до 10 кГц. В таких условиях обычно рассматриваются эффективные коэффициенты сухого трения, которые в общем случае зависят от частоты вибрационных воздействий [8]. Объяснение данного эффекта рассматривается в виброреологии. Особенно сложно учесть характер сухого трения при множестве усилий, сообщаемых щёткам (рис 3.2). В связи с этим при исследованиях частотных свойств механической части щёточно-коллекторного узла в условиях вибрационных диагностических моделей рассматривались конструктивные варианты, как с силами сухого трения, так и без них. Очевидно, что окончательные выводы по данному вопросу могут дать исследования, которые является целью данного раздела работы
     Математическая модель системы на рис 3.1 может быть получена на основании уравнения Лагранжа второго рода
     d/dt (?T/(?q ?_i ))-?T/(?q_i )+?Ф/(?q ?_i )+?П/(?q_i )=Q_i
     T, Ф, П-кинетическая, диссипативная, потенциальная энергия системы, соответственно; q_i-обобщённые координаты;Q_i-обобщённые силы,i-1..7степени свободы.
     В рассматриваемой системе связи щётки с боковыми поверхностями щёткодержателей и с поверхностью коллектора определяются механическими свойствами контактируемых поверхностей, которые в свою очередь, определяются модулями упругости и пластичностью материалов. Однако указанные деформации существенно меньше по отношению к деформациям упругих элементов, поэтому при составлении уравнения движения системы, деформации контактных поверхностей не учитываются.
     Применительно к рассматриваемому случаю выражения для энергий - T, Ф, П будут
     
      "T="  "1" /"2"  ("M" _"Щ"  ?"Z"  ?_"Щ" ?^"2"  "+" "M" _"Щ"  ?"X"  ?_"Щ" ?^"2"  "+" "J" _"Щ"  ?"?"  ?_"Щ" ?^"2"  "+" "M" _"Н"  ?"Z"  ?_"H" ?^"2"  "+" "M" _"Н"  ?"X"  ?_"H" ?^"2"  "+" "M" _"K"  ?"Z"  ?_"K" ?^"2"  "+" "M" _"K"  ?"X"  ?_"K" ?^"2"  )        (3.1)
             
     П=1/2 [?(Ж_PZ (Z_Щ+Z_КЛ-Z_Н )^2+Ж_PX (X_Щ-?h??_Щ-X_H )^2+@+Ж_HZ (Z_Н-Z_К )^2+Ж_HX (X_H-X_K )^2+@+Ж_KZ (Z_K-Z_O )^2+Ж_KX (X_K-X_O )^2 )]             (3.2)
            
     Ф=1/2 [?(Ж_PZ (Z ?_Щ+Z ?_КЛ-Z ?_Н )^2+Ж_PX (X ?_Щ-?h? ??_Щ-X ?_H )^2+@+Ж_HZ (Z ?_Н-Z ?_К )^2+Ж_HX (X ?_H-X ?_K )^2+@+Ж_KZ (Z ?_K-Z ?_O )^2+Ж_KX (X ?_K-X ?_O )^2 )    ]      (3.3)
     
     
     
     На основании представленных выражений (3.1)-(3.3) определяются инерционные, диссипативные и упругие силы системы:
     силы инерции:
     
     ? ?((d )/dt (?T/(?"Z"  ?_"Щ"  ))="M" _"Щ"  Z ?_Щ  ;&d/dt (?y/(?"X"  ?_"Щ"  ))="M" _"Щ"  X ?_Щ;&(d )/dt (?y/(?"?"  ?_"Щ"  ))="J" _"Щ"  ? ?_Щ  ; @(d )/dt (?T/(?"Z"  ?_"Н"  ))="M" _"Н"  Z ?_Н  ;&(d )/dt (?T/(?"X"  ?_"H"  ))="M" _"Н"  X ?_Н  ;& @(d )/dt (?T/(?"Z"  ?_"К"  ))="M" _"К"  Z ?_Н  ;&(d )/dt (?T/(?"X"  ?_"К"  ))="M" _"К"  X ?_К  ;& )}  (3.4)                     
     
     Диссипативные силы 
     ? ?(?(?Ф/(?Z ?_щ )=B_PZ Z ?_Щ-B_PZ Z ?_Н+B_PZ Z ?_КЛ@?Ф/(?X ?_щ )=B_PX X ?_Щ-B_PX ?h ? ??_щ-B_PX X ?_H@?(?Ф/(??_Щ )=-B_PX ?hX?_Щ+B_PX ?h^2  ??_щ+B_PX ?hX?_H@?Ф/(?Z_Н )=-B_PZ Z_Щ-B_HZ Z_K-B_PZ Z_КЛ+Z_Н (B_PZ+B_HZ )@?Ф/(?X_Н )=?-B?_PX X_Щ+B_PX h?_Щ+(B_PX+B_НX ) ?X_Н-B?_НX Z_К ))@?(?Ф/(?Z_K )=?-B?_НZ Z_Н+(B_HZ+B_КZ ) Z_К-B_КZ Z_О@?Ф/(?X_К )=B_HX X_H-B_КX X_O+(B_HX+B_КX ) X_K ))}        (3.5)                          
     
     
     Силы упругости:
     ? ?(?(?П/(?Z_щ )=Ж_PZ Z_Щ-Ж_PZ Z_Н+Ж_PZ Z_КЛ@?П/(?X_щ )=Ж_PX X_Щ-Ж_PX ?h ??_щ-Ж_PX X_H@?(?П/(??_Щ )=-Ж_PX ?hX?_Щ+Ж_PX ?h^2  ??_щ+Ж_PX ?hX?_H@?П/(?Z_Н )=-Ж_PZ Z_Щ-Ж_HZ Z_K-Ж_PZ Z_КЛ+Z_Н (Ж_PZ+Ж_HZ )@?П/(?X_Н )=?-Ж?_PX X_Щ+Ж_PX h?_Щ+(Ж_PX+Ж_НX ) ?X_Н-Ж?_НX Z_К ))@?(?П/(?Z_K )=?-Ж?_НZ Z_Н+(Ж_HZ+Ж_КZ ) Z_К-Ж_КZ Z_О@?П/(?X_К )=Ж_КX X_К-Ж_КX X_O ))}       (3.6)                          
     Полученные выражения позволяют охарактеризовать движение элементов системы в виде системы дифференциальных уравнений, которую удобно представить в матричной форме:
     М ?q ?  ?+B ?q ?  ?+Ж ?q=Q+Q ?                            (3.7)
     
     Где q матрицы  обобщённых перемещений, скоростей и ускорений
     
     q=|?(Z_Щ@X_Щ@?(?_щ@Z_Н@?(X_H@Z_К@X_К )))|          q ?  ?=|?(Z ?_Щ@X ?_Щ@?(? ?_щ@Z ?_Н@?(X ?_H@Z ?_К@X ?_К )))|        q ?  ?=|?(Z ?_Щ@X ?_Щ@?(? ?_щ@Z ?_Н@?(X ?_H@Z ?_К@X ?_К )))|                          (3.8)
     
     M ? - инерционная матрица:
     M ?=|?(M_Щ@0@?(0@0@?(0@0@0)))  ?(0@M_Щ@?(0@0@?(0@0@0)))   ?(0@0@?(J_Щ@0@?(0@0@0)))   ?(0@0@?(0@M_Н@?(0@0@0)))  ?(0@0@?(0@0@?(M_Н@0@0)))  ?(0@0@?(0@0@?(0@M_К@0)))   ?(0@0@?(0@0@?(0@0@M_К )))|                    (3.9)
     
     
     B ? – матрица диссипаций:
       B ?=|-?(B_PZ@0@?(0@B_PZ@?(0@0@0)))      ?(0@B_PX@?(-B_PX h@0@?(?-B?_PX@0@0)))      ?(0@-B_PX h@?(  B_PX h^2@0@?(B_PX h@0@0)))     ?(-B_PZ@0@?(0@(B_PZ+B_НZ )@?(0@?-B?_НZ@0)))    ?(0@?-B?_PX@?(B_PX h@0@?((B_PX+B_НX )@0@-B_НX )))    ?(0@0@?(0@?-B?_НZ@?(0@(B_HZ+B_KZ )@0)))    ?(0@0@?(0@0@?(-B_НX@0@(B_HX+B_KX ) )))|    (3.10)
      
     
     
     
     Ж ? - матрица жёсткостей:
     
       Ж ?=|-?(Ж_PZ@0@?(0@Ж_PZ@?(0@0@0)))      ?(0@Ж_PX@?(-Ж_PX h@0@?(?-Ж?_PX@0@0)))      ?(0@-Ж_PX h@?(  Ж_PX h^2@0@?(Ж_PX h@0@0)))     ?(-Ж_PZ@0@?(0@(Ж_PZ+Ж_НZ )@?(0@?-Ж?_НZ@0)))    ?(0@?-Ж?_PX@?(Ж_PX h@0@?((Ж_PX+Ж_НX )@0@-Ж_НX )))    ?(0@0@?(0@?-Ж?_НZ@?(0@(Ж_HZ+Ж_KZ )@0)))    ?(0@0@?(0@0@?(-Ж_НX@0@(Ж_HX+Ж_KX ) )))|(3.11)
 
     
     Q- матирица кинематических возмущений, передаваемых посредством упругих связей
     
     Q=Е |?(-Ж_PZ Z_КЛ@0@?(0@Ж_PZ Z_КЛ@?(0@0@0)))|+Е |?(0@0@?(0@0@?(0@Ж_КZ Z_О@0)))|+Е |?(0@0@?(0@0@?(0@0@Ж_КX X_О )))|                (3.12)                     
     Матрица кинематических возмущений, передаваемых посредством диссипативных связей с коллектором и остовом
      Q ?=Е |?(-B_PZ Z ?_КЛ@0@?(0@B_PZ Z ?_КЛ@?(0@0@0)))|+Е |?(0@0@?(0@0@?(0@B_КZ Z ?_О@0)))|+Е |?(0@0@?(0@0@?(0@0@B_КX X ?_О )))|                 (3.13)                    
     
     Е -единичная матрица.
     Дифференциальные уравнения (3.7) характеризуют общие свойства щёточно-коллекторного узла ТЭД, как механической системы. Для получения результатов при решении уравнений необходимо ставить конкретные задачи, в которых необходимо учитывать особенности кинематических возмущений со стороны коллектора, рассмотренные в разделе 1, а также особенности, вызванные наличием зазоров и нелинейных связей между элементами, например, нелинейных связей нажимного элемента и щетки (см. 4.2).
      
     Рисунок 3.3 – Характеристики механических связей щетки с коллектором и стенками щеткодержателейе
     Первое, что требуется при проведении диагностики - определение частотных свойств системы, характеризующих её реакцию на кинематические воздействия с различной частотой. Если система линейна и на неё воздействует процесс, характеризуемый случайной стационарной функцией, то, как известно [9], соотношения спектральной плотности на входе (кинематические возмущения коллектора) SK(co) и на выходе (колебания щётки) S_Щ (?) будут
     S_Щ (?)=S_К (?) ?^2 (?),                           (3.14)
     где ?(?)-частотная характеристика системы.
     
     Однако рассматриваемая система нелинейная. Например, механические связи щёток и поверхностей щёткодержателей можно представить в виде зависимостей на рис 3.3.
     
     Учёт нелинейных связей усложняет процесс исследования данной системы. Однако оценить значимость указанных нелинейностей необходимо. Для этого, в данной работе применялся метод статистической линеаризации [8], основанный на представлении системы в виде структурной схемы, (рис 3.4), которая учитывает взаимодействие всех элементов, в том числе и взаимодействие элементарных щёток. Соответственно, при этом порядок системы (3.7) удваивается.
     
     Рисунок 3.4 – Структурная схема механических связей щеточно -  коллекторного узла
     
     При статистической линеаризации входные сигналы на элементы системы следует представить в виде суммы: математического ожидания m(t) и флуктуации x(t), а реальные временные зависимости между входными и выходным и сигналам
     y=?(x)
     заменяют приближёнными 
     u=?+K_i x(t)                               (3.15)
     где ?- полезный сигнал; K_i -статистический коэффициент линеаризации по случайной составляющей.
     Полезный сигнал ? и коэффициент линеаризации K_i нелинейных элементов системы можно определить из условия сохранения полезного сигнала и уровня флуктуации на выходе, для чего необходимо положить
    [y-?+K_i x(t)]^2   ?min                       (3.16)
     Решение последнего уравнения относительно K_i дано  в [8]
     
    K_i=1/(S_x^2 ) ?_(-?)^??(x-m_x )  ?(x)f(x)dx                       (3.17)
     где f(x)-плотность вероятности входного сигнала; S_x^2-дисперсия.
     Применительно к нелинейному звену, характеризующему движение щётки между боковыми поверхностями щёткодержателей (рис 3.3) выражение даёт результат
     K_i=Ж[1-СФ(?/S_x )]                               (3.18)
     где Ж-жёсткость связи; Ф(?/S_x )=1/?2? ?_0^(?/S_x )??e^(-t^2/2) dt?; С=2/?2?;   S_x-среднее квадратическое отклонение.
     
     Для расчёта частотных механических характеристик системы с учётом изложенного метол я линеаризации использовался стандартный набор подпрограмм языка FORTRAN, которые позволяют получать амплитудно-частотные характеристики системы и спектральные плотности, кинематических параметров как линейных, так и нелинейных систем. Кроме указанных подпрограмм автором применялась собственная программа, реализованная на языке PASKAL for WINDOWS. При этом  частотная характеристика системы ? ?(j?)  представлена в виде произведения матриц
     ? ?(j?)=(-?^2 M ?+j?B ?+Ж ? )^(-1) (Q+j?Q ? )           (3.19)                         
     Расчёты частотных характеристик были выполнены как для линейных, гак и для нелинейных систем. В качестве параметров матриц M ?, Ж ? использовались значения, полученные на реальных щёткодержателях, а параметры матрицы диссипаций B ? составляли 10% относительно критических значений. Результаты расчётов в виде модулей частотных характеристик различных конструкций щёткодержателей представлены на рис 3.5—3.8 в сравнении с экспериментальными амплитудно-частотными характеристиками, полученными на диагностической модели щёточно-коллекторного узла, рассмотренной в разделе 1.4 (рис 2.42). Полученные, данные показывают на адекватность рассматриваемой математической модели механической части щёточно-коллекторного узла. Кроме этого, расчёты показали, что учёт нелинейных связей можно не производить, поскольку частотные характеристики линейной и нелинейной систем практически одни и те же. В дополнении к этому, совпадение экспериментальных и теоретических частотных характеристик, подтверждает гипотезу о реологических свойствах рассматриваемой системы, согласно которой при вибрационных воздействиях силы сухого трения в системе практически отсутствуют.
     Полученные частотные характеристики дают возможность сравнения различных конструктивных вариантов, но не отражают стабильность контакта между щётками и коллектором. Поэтому решение системы уравнений (3.7) более целесообразно выполнять во временной области используя широко применяемый метод решения дифференциальных уравнений - метод Рунге-Кутга. При решении уравнений указанным методом, имеется возможность учитывать внутренние и внешние кинематические возмущения с целью сравнения различных конструктивных вариантов и параметров щеткодержателей. В качестве примера решения уравнения колебаний щёток можно представить графики радиальных перемещений щёток и коллектора соответствующие различной частоте внутренних кинематических воздействий - рис 3.9. В представленном примере показано, что при частотах возмущений свыше 500 Гц наблюдается отрыв щеток. Однако ещё более наглядно результаты решения системы, дифференциальных уравнений (3.7) можно представить в виде амплитуд отрыва как максимальной разности радиальных перемещений щеток и коллектора. Зависимость амплитуды отрыва от частоты кинематических воздействий представляет собой амплитудно-частотную характеристику скользящею контакта
     
     Z_Щ-Z_Кл=?(f)                                 (3.20)                          
      Рисунок 3.5 – АЧХ серийного щеткодержателя НЭВЗ для ТЭД НБ-418кб
     Рисунок 3.6 – АЧХ щеткодержателя НЭВЗ с рулонными пружинами для ТЭД НБ-418кб
     Рисунок 3.7 – АЧХ щеткодержателя с рулонными пружинами фирмы   «Морганайт»  (жесткие накладки)
     Рисунок 3.8 – АЧХ щеткодержателя с рулонными пружинами фирмы  «Морганайт» (упругие накладки)
     
     Представление данных в таком виде дает возможность анализировать, каким образом параметры системы, представленной на рис 3.1, оказывают влияние на амплитуды отрыва, а, следовательно, возможно найти оптимальный набор параметров, при котором отрыв будет минимальным. Пример амплитудно-частотных характеристик скользящего контакта показан на рис 3.10, где для сравнения представлены зависимости, полученные при различных усилиях предварительного нажатия на щётки и различной жесткости нажимного элемента. Из представленных данных следует, что при увеличении частоты кинематических воздействии со стороны коллектора амплитуды отрыва могут неограниченно возрастать - щётки движутся только по вершинам неровностей коллектора. В данных условиях вероят.......................