Требования к информации о собственных значениях и собственных векторов матриц

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ	2
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ	3
1.1 Собственные числа, собственные векторы матрицы	3
1.2 Метод А. Н. Крылова	6
ГЛАВА 2. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ	9




ВВЕДЕНИЕ
В различных случаях возникают разные требования к информации о собственных значениях и собственных векторов матриц, и это порождает множество проблем и приёмов решения этой задачи. Как известно, универсального алгоритма, который способен обеспечить эффективное решение не существует.
Вычисление собственных значений и собственных векторов – одна из тех сложных вычислительных задач, с которой часто приходится сталкиваться инженеру или научному работнику.
Собственные числа и собственные векторы являются очень важными характеристиками, которые отражают в себе существенные стороны линейных моделей. Поэтому дальнейшее расширение процесса математических моделей приведет к тому, что владение методами решения проблемы собственных значений станет неотъемлемым элементом инженерного образования. 
В задачах вычисления собственных чисел и собственных векторов матрицы можно выделить две группы: полная проблема собственных значений  (поиск всех собственных чисел и соответствующих им собственных векторов) и частичная проблема собственных значений (вычисление одного или нескольких собственных чисел и собственных векторов).
В данной дипломной работе речь пойдет о двух методах. Первый метод – это метод А. Н. Крылова (1863-1945). Его метод относится к решению полной проблемы собственных значений. В 1931 году он один из первых предложил довольно удобный способ раскрытия определителя.  


ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 
 Общие сведения
Введем ряд определений для лучшего понимания материала, который изложен в данной работе.
Определение 1. Линейное пространство L над полем P действительных или комплексных чисел называется нормированным в том случае, если каждому элементу x?L сопоставлено неотрицательное вещественное число ?x?, называемое нормой этого элемента. Для рассматриваемого числа ?x? справедливы следующие аксиомы:
 ?x+y???x?+?y? для ?x,y?L;
 ??x?=|?|  ?x? для любых x?L и ??P;
 ?x?>0, если x?0; ?x?=0 ?x?0.
Тем самым каждое нормированное пространство мы можем рассматривать как метрическое пространство, в котором метрика p(x,y) определяется следующим соотношением:
p(x,y)=?x-y?.
Определение 2. Банаховым пространством B называется нормированное пространство, полное относительно метрики.
Определение 3. Гильбертовым пространством называется множество H элементов f_1,f_2, f_3, …, f_n,  обладающее следующими свойствами:
 H – это линейное пространство, это означает что в H определены действия сложения элементов, а также умножения их на действительные и комплексные числа.
 В линейном пространстве введена числовая операция ?(f?_1,f_2) от двух аргументов f_1 и f_2, называемая скалярным произведением и которая удовлетворяет следующим аксиомам:
  (?f_(1,) f_2 )=?(f_(1,) f_2 ) для любого числа ?;
  (f_1+f_2, f_3)=?(f?_1,f_3)+?(f?_2,f_3);
  ?(f?_1,f_2)=?(?(f?_2,f_1);)
  ?(f?_1,f_1)>0 при  f_1?0; ?(f?_1,f_1)=0?f_1?0;
 Линейное пространство H значится как полное метрическое относительно расстояния   p?(f?_1,f_2)= ?f_1-f_2 ?, а норма любого элемента f_3?H определяется как квадратный корень из скалярного произведения:
?f_3 ?= ? ?(f?_3,f_3)?^(1/2).
Следующим шагом перейдем к основному понятию – спектр линейного оператора.
Для начала рассмотрим уравнение:
Af=?f,
Где A –линейный оператор, в гильбертовом пространстве H, f?H,  ? – число.
В изучении линейных операторов, действующих в гильбертовом или банаховом пространствах важной задачей является отыскание элементов, которые свое направление сохраняют под действием оператора, т.е. элементов, удовлетворяющих уравнению(). Каждый элемент f неравный нулю называется собственным вектором оператора A, а ? – собственным числом. 
По данным сведениям возьмем некоторое собственное число (?.) ? Решения уравнения Af=? ?f образуют подпространство H_? ? , которое называется собственным подпространством, отвечающим собственному числу ? ?, а его размерность dimH_? ?  в свою очередь называется кратностью собственного числа ? ?. Тем самым, если dimH_? ? =1, то собственное число ? ? будет называться простым.
Предположим, что для некоторого числа ? оператор A-?E имеет обратный R_? (A)=?(A-?E)?^(-1). При чем  оператор R_? (A) называется резольвентным (разрешающим) оператором для оператора A.





    





1.2 Собственные числа, собственные векторы матрицы
Для примера рассмотрим матрицу n-го порядка:
А=(?(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )).
Собственные значения  ?_(i )  (i=(1,n) ?) квадратной матрицы A есть действительные или комплексные числа, удовлетворяющие следующему условию:
(A-??E) X ?=0, 
где E – единичная матрица, X ?={x_1,x_2,…,x_n } – собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению ?.
Матрица A-??E называется характеристической матрицей матрицы A. Так как в матрице ??E по главной диагонали стоят ?, а все остальные элементы равны нулю, следовательно, характеристическая матрица имеет вид:
C=A-??E=[?(a_11-?&a_12&…&a_1n@a_21&a_22-?&…&a_21@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn-?)].
Определитель этой матрицы называется характеристическим определителем и равен:
C=det?(A-??E)=|?(a_11-?&a_12&…&a_1n@a_21&a_22-?&…&a_21@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn-?)|.
В развёрнутом виде он является многочленом n-ой степени относительно ?, так как при вычислении этого определителя произведение элементов главной диагонали дает многочлен со старшим членом ?(-1)?^n ?^n, то есть 
det?(A-??E)=?(-1)?^n [?^n-p_1 ?^(n-1)+p_2 ?^(n-2)-…+?(-1)?^n p_n ].
и называется характеристическим многочленом. Корни ?_1, ?_2, …, ?_m этого многочлена – собственные значения или характеристические  числа матрицы A. Числа p_1, p_2, …, p_n называются коэффициентами характеристического многочлена.
Число ? называется собственным значением, а ненулевой вектор X собственным вектором квадратной матрицы A, если они связаны между собой соотношением
AX=?X,
это означает, что произведение матрицы A на вектор X, а также произведение характеристического числа ? на вектор X есть один и тот же вектор. Каждому собственному значению ?_1 матрицы соответствует свой собственный вектор X_i (i=1,2,…, n).
Собственный вектор, отвечающий максимальному собственному значению, называется главным собственным вектором.
Таким образом, для вычисления собственных векторов и собственных значений матриц было бы правильно использовать вычислительные средства и современные программные продукты. Однако, при отсутствии вычислительных мощностей, приближенное значение главного собственного вектора можно получить, сложив элементы каждой строки и делением каждой суммы на сумму элементов всей матрицы.
Для определения координат собственного вектора составляется характеристическое уравнение:
(A-?E)X=0.
Переписав его в векторном виде и выполнив умножение, получим систему линейных однородных уравнений:
{?((a_11-?) x_1+a_12 x_2+a_13 x+…+a_1n x_n   =0@a_21 x_1+(a_22-?) x_2+a_23 x_3+…+a_2n x_n=0@a_31 x_1+a_32 x_2+(a_33-?) x_3+…+a_3n x_n=0@…@a_n1 x_1+a_n2 x_2+a_n3 x_3+…+(a_nn-?) x_n=0.)?
Определитель этой системы равен нулю, т.к. из этого условия были определены собственные значения матрицы A. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений. Ее можно решить с точностью до постоянного множителя (как систему однородных уравнений). Следовательно, решив эту систему, мы найдем все координаты собственного вектора X. Подставляя в систему однородных уравнений поочередно ?_1, ?_2, …, ?_n, получаем n собственных векторов.


1.2 Метод А. Н. Крылова

Вычисление собственных значений
    Согласно тождеству Гамильтона – Кели, матрица A удовлетворяет своему характеристическому уравнению, из этого следует:

A^n-p_1 A^(n-1)-p_2 A^(n-2)-…-p_(n-1) A-p_n E=0.
(1)
    Далее возьмем произвольный нулевой вектор y ?_0=(?(y_10@?@y_n0 )) и умножим обе части равенства (1) на y ?_0:

A^n y ?_0-p_1 A^(n-1) y ?_0-p_2 A^(n-2) y ?_0-…-p_(n-1) Ay ?_0-p_n y ?_0=0 ?.
(2)
    Затем положим:

y ?_k=A^k y ?_0,  k=1, 2, …, n,
(3)
тем самым равенство(1) приобретает вид:

y ?_n-p_1 y ?_(n-1)-p_2 y ?_(n-2)-…-p_(n-1) y ?_1-p_n y ?_0=0 ?,
(4)
где  y ?_k=(?(y_1k@?@y_nk ))  k=0, 1, … , n.
    Также используя рекуррентную формулу удобно находить векторы y ?_k:

y ?_k=Ay ?_(k-1)  ,  k=1, 2, …, n.
(5)
    Из этого следует, что векторное равенство (4) эквивалентно системе линейных алгебраических уравнений:

p_1 y_(i,n-1)+p_2 y_(i,n-2)+…+p_n y_(i,1)+p_n y_(i,0)=y_in
(6)
i=1, 2, …, n.
    Из данной системы можно найти неизвестные значения p_1, p_2, …, p_n, которые определяют коэффициенты характеристического уравнения. В итоге можно сделать вывод: если векторы y ?_k  ,  k=0, 1, …, n-1 являются линейно независимые, то система (6) будет иметь единственное решение, если эти векторы окажутся линейно зависимыми, то  можно изменить начальный вектор y ?_0.
Нахождение собственных векторов
    Для простоты ограничимся случаем, когда характеристический многочлен 

D(?)=?^n-p_1 ?^(n-1)-p_2 ?^(n-2)-…-p_(n-1) ?-p_n
(7)
    Имеет различные корни ?_1, ?_2, …, ?_n, которые будем считать уже найденными из характеристического уравнения. Разложим вектор y ?_0,  использовавшийся при вычислении собственных значений, по собственным векторам (x_1  ) ?,  (x_2 ) ?, …,(x_n ) ? матрицы  А:

y ?_0=c_1 (x_1 ) ?+c_2 (x_2 ) ?+…+c_n (x_n ) ?,
(8)
где c_i?0,  i=(1,..,n) ?- некоторые коэффициенты.  Важно учитывать, что:
A(x_i ) ?=?_i (x_i ) ?,
A^2 (x_i ) ?=?_i^2 (x_i ) ?,

? ? ? ?
(9)
A^(n-1) (x_i ) ?=?_i^(n-1) (x_i ) ?,
где i=(1,..,n) ?.
    Исходя из этого, получим:
    y ?_1=c_1 ?_1 (x_1 ) ?+c_2 ?_2 (x_2 ) ?+…+c_n ?_n (x_n ) ?,
y ?_2=c_1 ?_1^2 (x_1 ) ?+c_2 ?_2^2 (x_2 ) ?+…+c_n ?_n^2 (x_n ) ?,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
(10)
y ?_(n-1)=c_1 ?_1^(n-1) (x_1 ) ?+c_2 ?_2^(n-1) (x_2 ) ?+…+c_n ?_n^(n-1) (x_n ) ?.
    Пусть 

Q_i (?)=?^(n-1)+q_(1,i) ?^(n-2)+…+q_(n-1,i),
(11)
    Произвольная система многочленов. Составляя линейную комбинацию векторов y ?_(n-1), y ?_(n-2), …,y ?_0 с коэффициентами из (11) в силу соотношений (8) и (10) находим:

y ?_(n-1)+q_(1,i) y ?_(n-2)+…+q_(n-1,i) y ?_0=c_1 Q_i (?_1 ) (x_1 ) ?+c_2 Q_i (?_2 ) (x_2 ) ?+…+c_n Q_i (?_n ) (x_n ) ?.
(12)
    Если положить:

Q_i (?)=D(?)/(?-?_i ),
(13)
то
Q_i (?_j )={?(0,  j?i@D^' (?_i )?0,  j=i).?
    Формула (12) примет вид:

c_i Q_i (?_i ) (x_i ) ?=y ?_(n-1)+q_(1,i) y ?_(n-2)+…+q_(n-1,i) y ?_0.
(14)
    Коэффициенты q_(j,i) j=(1,..,n-1) ? могут быть определены по схеме Горнера.


q_(0,i)=1, q_(j,i)=?_i q_(j-1,i)-p_j
(15)
    Таким образом, формула (14), в которой коэффициенты вычисляются по формуле (15) определяется собственным вектором (x_i ) ?, отвечающий собственному значению ?_i, с точностью до числового множителя.
     

ГЛАВА 2. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ
Пример №1:
Дана матрица:
    (?(2,2&1&0,5&2@1&1,3&2&1@0,5&2&0,5&1,6@2&1&1,6&2)).
    Найдём методом Крылова собственные значения
    Для начала выберем начальный вектор:
    (y_0 ) ?=(?(0@0@0@0)),
тогда
    (y_1 ) ?=(?(2,2@1@0,5@2)), (y_2 ) ?=A*(y_1 ) ?=(?(10,09@6,5@6,55@10,2)), (y_3 ) ?=A*(y_2 ) ?=(?(52,373@41,84@37,64@57,56)), 
    (y_4 ) ?=A*(y_3 ) ?=(?(291,0006@239,605@220,7825@321,93)).
    Таким образом, система для нахождения p_1,p_2,p_3,p_4 имеет вид:
    {?(52,373p_1+10,09p_2+2,2p_3+p_4=291,0006@41,84p_1+6,5p_2+p_3=239,605@37,64p_1+6,55p_2+0,5p_3=220,7825@57,56p_1+10,2p_2+2p_3=321,93)?
    Данную СЛАУ можно решить точными методами, такими как метод Гаусса или метод Крамера.  После решения системы одним из точных методов, получим:
    p_1=6,  p_2=0,2,  p_3=-12,735,  p_4=2,7616.
    Тогда характеристическое уравнение для матрицы А будет выглядеть следующим образом:
    ?^4-6?^3-0,2?^2+12,735?-2,7616=0.
    Корнями будут являться следующие числа:
    ?_1=-1,4201,  ?_2=0,02226,  ?_3=1,5454,  ?_4=5,652.
Также метод Крылова позволяет найти собственные векторы матрицы А. Воспользуемся формулами (35) и (34) для всех собственных значений.
?_1=-1,4201
q_01=1, 
q_11=(-1,4201)?1-6=-7,4201
q_21=(-1,4201)?(-7,4201)-0,2=10,3372
q_31=(-1,4201)?10,3372-(-12,735)=-1,9447
(x_1 ) ?=(y_3 ) ?-7,4201(y_2 ) ?+10,3372(y_1 ) ?-1,9447(y_0 ) ?=(?(-1,6986@3,9466@-5,793@2,5494))
(x_2 ) ?=(y_3 ) ?-5,7774(y_2 ) ?-1,4862(y_1 ) ?-12,4041(y_0 ) ?=(?(3,2138@2,8009@-0,9449@-4,3416))
(x_3 ) ?=(y_3 ) ?-4,4546(y_2 ) ?-7,0842(y_1 ) ?+1,787(y_0 ) ?=(?(-6,372@5,801@4,9204@-2,0451))
(x_4 ) ?=(y_3 ) ?-0,348(y_2 ) ?-2,1667(y_1 ) ?+0,4886(y_0 ) ?=(?(44,5838@37,4115@34,2774@49,6773))
Если каждый из векторов (x_1,) ?  (x_2, ) ?  (x_3,  ) ?(x_4 ) ? нормировать на его длину, то тогда приходим к ортогональной системе собственных векторов матрицы А.
(x_1 ) ?=(?(-0,222@0,5159@-0,7573@0,3333))   (x_2 ) ?=(?(0,5219@0,4549@-0,1534@-0,7051))   (x_3 ) ?=(?(-0,6289@0,5726@0,4857@-0,2019))   (x_4 ) ?=(?(0,5317@0,4462@0,4088@0,5925))



    


ЗАКЛЮЧЕНИЕ
    В данной работе изложен наиболее известный методы вычисления собственных значений и собственных векторов. Рассмотренный метод дает решение полной проблемы собственных значений, включая  предварительное вычисление коэффициентов характеристического полином, которое осуществляется различными средствами, минуя вычисления многочисленных миноров.
    Метод Крылова оказался достаточно эффективным для достижения поставленных целей.
    В данной работе в полном объеме произведено описание метода А.Н. Крылова. Приведен подробный пример для нахождения собственных значений и собственных векторов. Также приведена программная реализация. 
    



      2
      
      
.......................