Теоретическое определение энергосиловых параметров формообразования неравнопроходных прямоугольных тройников из особо – и сверхтонкостенных трубных заготовок

Введение.
    В конструкциях летательных аппаратов (ЛА) применяются воздушные трубопроводы различного назначения, в которых не маловажную роль играет тройник, предназначенный для разделения потока рабочей среды. Тройники ЛА относятся к разряду особотонкостенных и сверхтонкостенных деталей ( – особотонкостенные;     > 130 – сверхтонкостенные, гдеD – диаметр трубной заготовки; t – толщина стенки трубной заготовки).Из-за больших диаметров и минимально допустимой при этом толщины стенки, а также ввиду необходимости изготовления деталей с ресурсом, приближенным к ресурсу планера, получение тройников требуемого качества является затруднительным.
    В производстве ЛА большой объем занимают заготовительно-штамповочные работы. При мелкосерийном и единичном производстве из за частой сменяемостью изделия и не большими сроками изготовления наиболее предпочтительнымявляется способ изготовления тройников эластичной средой из труб в закрытой матрице.В процессе формообразования на трубную заготовку действуют внутреннее давление наполнителя, усилие подпора отвода и усилие осевого сжатия. Для получения качественных деталей нужно иметь возможность определять силовые параметры формообразования и выдерживать оптимальные соотношения между ними. В случае неверного соотношения между усилиями возможно появление браковочных признаков: гофрообразование на поверхности основной трубы, смятие стенки или отрыв дна отвода.
    Цель работы. Теоретическое определение энергосиловых параметров формообразования неравнопроходных прямоугольных тройников из особо – и сверхтонкостенных трубных заготовок и сопоставление результатов теоретического расчета с данными эксперимента.
Результаты работы доложены на Студенческой научной конференции ВГУИТ в 2018г.

1. Обзор методов формообразования тонкостенных тройников.
1.1. Требования по ресурсу, предъявляемые к тройникам, и их конструктивные особенности.
    В последние годы появление новых видов авиационной техники – широкофюзеляжных пассажирских аэробусов, крупнотоннажных транспортных самолётов повлекло за собой увеличение протяжённости трубопроводных систем на изделии до 10-12 км, повышение рабочих давлений в системах до 0,7-1,8 МПа, увеличение числа трубопроводов на одном изделии до 6-8 тысяч, увеличение общей номенклатуры деталей из труб на отдельных предприятиях до 25-30 тысяч наименований [3]. Всё это вызывает высокие требования к качеству, надёжности, технологичности и ресурсу выпускаемых изделий.
    Долговечность тонкостенных трубопроводов, работающих в условиях температурных перепадов от – 60°Сдо + 300°С и испытывающих сложное циклическое нагружение, зависит от целого ряда конструктивно- технологических факторов. С другой стороны, ресурс трубопровода должен быть приближен к техническому ресурсу основных конструкций планера [4] и составлять 30000 часов [5], что соответствует, примерно, 170000 циклам нагруженийдо величины рабочих напряжений, возникающих в конструкциях в ходе эксплуатации изделия.[6] 
    В настоящее время на машиностроительных предприятиях общепринятой является штампосварная конструкция сложных трубопроводных элементов диаметром 50-120мм. Технология изготовления этих элементов штамповкой из листа на падающих молотах с последующей ручной сваркой двух половин (рис.1.1) обуславливает пониженный ресурс и избыточную толщину стенки трубопровода уже на стадии его изготовления.
    Опыт эксплуатации штампосварных трубопроводов, выполненных ручной  аргонодуговой  сваркой,  показал, что в  процессе длительной эксплуатации возможно  образование  сквозных трещин  усталостного  характера  по границам продольных сварных швов. Поэтому можно считать, что работоспособность трубопроводов, в основном, определяется долговечностью продольных сварных соединений.
     Повышение ресурса трубопровода может достигаться или путём исключения из конструкции штампованных элементов, выполненных ручной сваркой, или путём увеличения толщины стенки. Однако увеличение толщины приводит к увеличению массы трубопроводного элемента, а, следовательно, и всего изделия. Поэтому на предприятиях отрасли все более широкое распространение получает формообразование деталей из трубных заготовок.
    В настоящее время промышленность получает цельнотянутые тонкостенные трубы со значительной овальностью сечения и разнотолщинностью стенок. Так, например, трубы из титановых сплавов, согласно ОСТ 1.90050-72, имеют отклонения диаметров = ? 1,0 %, а трубы из алюминиевых сплавов имеют отклонения, превышающие допустимые в 10 ? 20 раз [8], что влечет за собой ряд трудностей при отработке технологии формообразования унифицированных элементов на специализированном оборудовании, а также при освоении автоматической сварки кольцевых стыков. 
    Исследования формообразования тонкостенных трубопроводных элементов позволили сделать вывод о возможности применения в качестве заготовок цельнотянутых, прямошовных с прокатанным швом, или раскатанных труб [9]. 
     Установлено, что значительному повышению ресурса при одновременном снижении полётного веса изделий способствует применение при сборке трубопроводов в трассу унифицированных элементов. Для сокращения до минимума применение штампосварных элементов, выполненных ручной сваркой, ОАО «НИАТ» совместно с ОАО «АК им. С.В. Илюшина» и НИИСУ проведена работа по унификации и нормализации элементов трубопроводов. Были разработаны руководящие материалы КТМ-476-83 «Высокоресурсный трубопровод из унифицированных элементов (конструкция, технология, оборудование)», предназначенные для конструкторов и технологов, занимающихся проектированием, конструктивно-технологической отработкой, изготовлением и контролем трубопроводных систем. 
     Анализ разработок показал, что высокоресурсный облегчённый трубопровод может быть скомпонован из крайне ограниченного числа типовых элементов.
1.2. Анализ существующих способов и устройств для формообразования  неравнопроходных тройников.
    В настоящее время в заготовительно-штамповочном производстве машиностроения изготовление неравнопроходных тройников осуществляется в основном следующими способами (табл.1.3): отбортовкой овального отверстия, выполненного в стенке заготовки; гидромеханической штамповкой трубной заготовки, штамповка с применением  эластичного  наполнителя. Применяется также штамповка двух половин тройника на падающих молотах с последующей обрезкой, подгонкой и сваркой, а также непосредственно приварка отвода к основной трубе.
	Способ формовки отбортовкой применяется для изготовления тонкостенных тройников больших диаметров (от 50 до 500мм) и заключается в отбортовке овального отверстия, выполненного в стенке заготовки. Отбортовку производят протяжкой инструментального пуансона в матрицу специального штампа (рис.1.3). На предприятиях авиационной промышленности, данным 
способом, формообразование отводов неравнопроходных тройников произво-

Таблица 1.1
Унифицированные элементы трубопровода
№ п/п
Эскиз типового представителя
Элементы трубопроводов
№ п/п
Эскиз типового представителя
Элементы трубопроводов
1

Патрубок прямолинейный из сварных, раскатных и цельнотянутых труб
5

Тройник из трубной заготовки
2

Патрубок крутоизогнутый с одним прямым участком из трубной заготовки
6

Труба с отбортовкой


Патрубок крутоизогнутый с двумя прямыми участками из трубной заготовки
7

Патрубок сферический из листа
4

Патрубок ступенчатый из трубной заготовки
8

Переходник из труб и листа





Рис.1.2 Неравнопроходный прямоугольный тройник-унифицированный 
            трубопроводный элемент для разделения рабочей среды.

-диаметр наружный основной трубы;
-диаметр внутренний основной трубы;
-диаметр наружный отвода;
-диаметр внутренний отвода;
-длина тройника;
-высота отвода;
-толщина стенки отвода.



Таблица 1.2
Классификация тройников

D2/D1
Вид образующей

Прямолинейная
Выпуклая
Вогнутая
Ступенчатая






<1





=1





>1








Таблица 1.3

Технологические процессы формообразования тройников

№ п/п
Способ формообразования отводов
Достоинства
Недостатки
1
Отбортовка протяжкой

Простота технологической оснастки. Применение универсального оборудования
Недостаточная для применения автоматической сварки высота отвода. Значительное утонение стенки отвода (до 50%).
2
Отбортовкараскатником

Простота технологической оснастки. Применение универсального оборудования.
Недостаточная для применения автоматической сварки высота отвода. Значительное утонение стенки отвода (до 50%).
3
Гидромеханическая штамповка

Высота отвода, достаточная для применения автоматической сварки. Высокое качество получаемых тройников. Минимальная разнотолщинность стенки.
Сложность герметизации торцов особотонкостенных трубных заготовок.
4
Формовка эластичным наполнителем

Высота отвода, достаточная для применения автоматической сварки. Высокое качество получаемых тройников. Минимальная разнотолщинность стенки.
Сложность регулировки внутреннего давления эластичного наполнителя при формообразовании.








Рис.1.3. Формовка тройников отбортовкой.

        1 – матрица; 2 – шток гидроцилиндра; 3 – пуансон;
        4 – трубная заготовка; 5 – оправка.
        
        

дятна универсальном гидравлическом прессе РYЕ-100 на трубах наружными диаметрами от 50мм до =355мм, толщиной стенки от =0,8мм до =2,0мм с высотой отвода  5 ? 10мм и наружными диаметрами отводов отмм до мм [6]. Длина трубной заготовки при этом способе не ограничена, но расстояние «» от торца трубы до оси отвода должно быть в диапазоне  и  (рис.1.3). Полученная таким способом высота борта отвода тройника не  позволяет применить автоматическую сварку при сборке трубопроводных систем. Восновном  применяется  ручная сварка, что значительно снижает ресурс сварных  соединений [10].  Иногда  для  получения  требуемой  высоты  отбортовки  процесс ведется в два  перехода с промежуточной термообработкой. 
    На зарубежных заводах процесс формообразования отводов отбортовкой осуществляют по-разному. Японскими учеными предложен станок для изготовления разветвленного патрубка. Трубу с предварительно обработанным отверстием крепят в станке. Изнутри в трубу вводят пуансон для отбортовки отверстия и соединяют его с резьбовым стержнем, ввозимым через отверстие. Зону отвода нагревают седлообразным индуктором ВЧ. При включении гидроцилиндра пуансон, укрепленный на ползуне, поднимается и отбортовывает отверстие.
    Российскими учеными был предложен способ изготовления отвода на трубной заготовке с помощью вращающегося коническо-цилиндрического 
раскатника, которому придают возвратно-поступательное движение, что позволяет регулировать усилие деформации. Предварительно на трубной заготовке 1 получают овальное отверстие. Коническо-цилиндрическому  раскатнику  2  сообщают  возвратно-поступательное   движение  вдоль большей  оси овального отверстия. 
    Описанные способы получения неравнопроходных тройников отличаются простотой технологической оснастки и возможностью применения универсального оборудования. Однако значительное утонение стенки отвода (до 30?50%), а также ограниченная высота отбортовки сдерживают внедрение способа формовки отбортовкой при изготовлении особотонкостенных тройников в качестве унифицированных элементов высокоресурсного трубопровода.
    При изготовлении неравнопроходных тройников широкое распространение получила формовка гидравлической штамповкой трубных заготовок методом осевого сжатия с оказанием противодавления на отвод с последующей обрезкой дна. Большая работа по изучению этого метода была проведена в ЛГТУ им. Калинина под руководством проф. К.Н.Богоявленского [14?19].Пуансоны осевого сжатия 1 и 6 должны перемещаться навстречу другу с одинаковой скоростью относительно матрицы. На торцах пуансонов имеются треугольные кольцевые выступы, которые уплотняют заготовку после их вдавливания. Один или оба пуансона имеют канал для подвода жидкости во внутрь заготовки.
    Штамповку тройника производят следующим образом. К торцам трубной заготовки подводят пуансоны осевого сжатия и заполняют рабочей жидкостью. Под действием осевого усилия  пуансоны своими выступами вдавливаются в торцы заготовки, создавая герметичное соединение. Под действием давления жидкости  от насоса высокого давления и усилия  от пуансонов осевого сжатия материал заготовки переходит в пластическое состояние. Стенка трубы прогибается в полость отвода, а затем наблюдается течение металла с образованием отвода высотой , при этом длина исходной заготовки уменьшается на величину . Было установлено, что для успешного протекания процесса важно определенное соотношение между усилием осевой осадки и внутренним давлением. При недостаточном усилии и чрезмерном давлении в зоне отвода происходит утонение стенки, что может привести ее к разрушению. С другой стороны, при недостаточном внутреннем давлении может произойти потеря устойчивости в виде образования гофров.
    Для исключения разрыва вершины отвода  используют дополнительный боковой подпор пуансоном усилием , который создает противодавление, перемещаясь по мере увеличения высоты отвода.В процессе штамповки он ограничивает действие внутреннего давления qна вершину отвода, уменьшая опасные растягивающие напряжения.
    Значительный вклад в развитие технологии гидравлической штамповки тройников внес коллектив авторов из ВНИИПТХимнефтеаппаратуры [20?24]. Проведена работа по дальнейшему совершенствованию гидромеханической штамповки тройников за счет создания более рациональной схемы формообразования и использования устройства, обеспечивающего регулирование в процессе штамповки давления жидкости в полости деформируемой детали. Предложен способ гидромеханической штамповки одновременно двух тройников из одной трубной заготовки (рис.1.6). Установлено, что данный способ позволяет снизить неравномерность деформации по толщине стенки, как в продольной, так и в поперечной плоскостях симметрии. Процесс штамповки сопровождается более интенсивным ростом высоты отвода. Как показали поведенные эксперименты, потребное давление жидкости в процессе деформирования трубной заготовки должно непрерывно возрастать.
    Обзор работ в области гидравлической штамповки тройников позволяет сделать следующие выводы:
К преимуществам процесса относятся 
повышение коэффициента использования металла до 0,8 ? 0,9; возможность применения одного и того же инструмента при формообразовании деталей разных толщин; большинство применяемых тройников может быть отштамповано за один переход с высотой отвода (1,0 ? 1,2) , где  - наружный диаметр трубы-заготовки, трудоемкость при этом уменьшается в 3 ? 4 раза; точность наружного контура отштампованных деталей – IT12 ?IT14;
применение тройников, полученных методом гидромеханической штамповки, повышает циклическую долговечность и эксплуатационную надежность трубопроводов; достигается хорошее качество поверхности тройников.
    В то же время, представляет сложность герметизация торцов особотонкостенной трубной заготовки при использовании внутренних давлений свыше 100МПа. Несмотря на то, что в настоящее время имеются надежные способы и оснастка для уплотнения торцов [29,30], все они распространяются на трубные заготовки с относительной толщиной стенки  0,04 – 0,05.
    Уплотнение особотонкостенных заготовок представляет существенную трудность. Это обстоятельство ограничивает применение гидромеханической штамповки тройников с использованием жидкости высокого давления при создании особотонкостенного трубопровода.
    Наиболее целесообразной в этом отношении является формовка тройников из трубной заготовки эластичным наполнителем с одновременным осевым сжатием заготовки.
    На основе многочисленных исследований было выяснено, что для успешного осуществления процесса штамповки тройников с приложением внутреннего давления эластичного наполнителя необходимо, соблюдать следующие требования: на контактных поверхностях заготовки и матрицы должна быть смазка оптимальной вязкости; материал эластичного наполнителя выбирается на основании зависимости между твердостью эластомера и давлением при формообразовании; должно быть обеспечено оптимальное состояние контактных поверхностей эластичного наполнителя и заготовки.
    Коэффициент трения между эластичным наполнителем и стенками детали, напротив, должен быть наивысшим. Поскольку новый материал затягивается в полость отвода штампа под действием сил трения, возникающих между эластомером и внутренней поверхностью трубы, можно достичь большей окружной деформации без разрушения, чем при гидравлической формовке тройников.
    Во избежание возникновения утолщения основной трубы тройника в зоне, противолежащей отводу необходимо, чтобы заготовка с торцов имела технологические скосы.
    Таким образом, из всего многообразия способов формообразования неравнопроходных особотонкостенных тройников эластичными средами и устройств их реализующих, следует отдать предпочтение штамповке с регулируемым давлением эластичного наполнителя в процессе формообразования. Поэтому необходимо разработать такие способы и устройства, которые позволят получать качественные неравнопроходные тройники с увеличенной высотой отвода, т.е обеспечивающие точное соответствие между смещаемыми объемами эластичного наполнителя и материала трубной заготовки. Долговечность эластичного наполнителя при этом должна быть достаточной для условий мелкосерийного производства.
    Для достижения  поставленнойцели определены следующие задачи:
1. получить математическое описание геометрии неравнопроходного тройника;
2. построить математическую модель кинематики пластического течения;
3. определить энергосиловые параметры формообразования;
4.построить номограммы для нахождения энергосиловых параметров формообразования неравнопроходных прямоугольных тройников и сопоставить теоретические данные с результатами эксперимента.
2Описание геометрии прямоугольного неравнопроходного тройника.
     Геометрические размеры тройника показаны на рис.2.1. При моделировании  геометрии будем рассматривать одну четвертую часть тройника, в переделах которой выделим пять зон (рис. 2.2)  Геометрию исходной трубной заготовки (зоны III,IV,V) будем описывать в цилиндрической системе координат  (). Цилиндрический отросток (зона I) описывается в цилиндрической системе координат (). Для описания геометрии переходной зоны II, представляющей собой объемную криволинейную поверхность двойной кривизны, введем специальные криволинейные координаты ().
     Рассмотрим систему координат , которая получена посредством поворота системы относительно оси  на угол  (рис. 2.3.).
     В плоскости  переходная зона тройника представляет собой часть окружности радиусом , которая расположена между точками  и 
(рис. 2.4).Точка  является точкой касания окружности радиусом  с образующей цилиндрической поверхности отвода радиусом , а точка  – точкой касания окружности радиусом  с кривой, являющейся линией пересечения плоскости  с цилиндрической поверхностью основной трубы радиусом . 
     

Рис.2.1 Геометрическиепараметры тройника

Рис.2.2 Одна четвертая часть тройника.



Рис.2.3 Связь между координатами  и 



Рис.2.4 Границы переходной зоны II в сечении плоскостью 
     Входе вычислений можно получить зависимости для  и  в принятых системах координат которые позволяют установить границы выделенных зон тройника и при дальнейшем анализе формообразования дают возможность определить кинематически возможное поле скоростей и энергосиловые параметры данного процесса:
в зоне I

(2.21)
в зоне II
                                     (2.22)
в зоне III
                   (2.23)
в зоне IV

						(2.24)

в зоне V

						(2.25)
2.1Определение кинематики пластического течения при штамповке тройников из трубчатых заготовок в разъемных матрицах.
	Поля скоростей в указанных на рис.2.2 зонах должны удовлетворять условию несжимаемости, кинематическим краевым условиям и условиям неразрывности нормальных и касательных компонент скорости на границах между зонами.
	Примем, что при формообразовании тройника пластическая деформация происходит только в зонах II, III, IV, а зоны Iи Vдвижутся как жесткое целое вдоль осей  и  соответственно.
Зона I
Условие несжимаемости в зоне Iимеет вид
,   (2.26)
а краевые условияопределяются соотношениями
                                       (2.27)
	Зависимости (2.26), (2.27) и принятое допущение об отсутствии деформаций в данной зоне будут выполнены при следующем поле скоростей
(2.28)
где  - некоторая константа, подлежащая определению.
Зона V
Для зоны Vусловие несжимаемости и краевые условия выражаются соотношениями
(2.29)
                                      (2.30)
где  - скорость перемещения пуансона осевого сжатия, действующего на торцевую поверхность основной трубы тройника.
	С целью упрощения математических выкладок примем, что

Условия (2.29), (2.30), а также допущение об отсутствии деформаций в этой зоне будут выполнены, если принять
                                            (2.31)
Зона II
Условие несжимаемости в зоне IIв системе криволинейныхортогональных
координат   имеет следующий вид
,                             (2.32)
где  - коэффициент Ламе, зависящий от взаимосвязи декартовых  и криволинейных  координат точки.
	Краевые условия:
                                (2.33)
     Кроме этого, на границе с зоной Iдолжны выполняться условия неразрывности нормальной и касательной компонент скорости 
при                                 (2.34)
Примем, что в данной зоне компоненты поля скоростей определяются соотношениями 

Компоненту  найдем из (2.32)
,
тогда                                         

С целью определения функции  используется краевое условие (2.33)



Тогда                                       
В итоге для зоны  II  имеем
,   ,                            (2.35)
Функция  будет определена в ходе дальнейшего моделирования кинематики в зоне III.
Зона III
Условие несжимаемости в этой зоне аналогично (2.29), а краевые условия имеют вид                                                                     (2.36)
Также должны выполнятся условия неразрывности нормальной и касательной компоненты скорости на границах зоны III с зонами II иV.
На границах между зонами IIи IIIнепрерывность нормальной и касательной компонент скорости будет обеспечена при выполнении соотношений 
                (2.37)
                                    (2.38)

	Аналогичные условия для границы между зонами IIIи V имеют вид
                                         (2.39)
                                           (2.40)
Условие (2.38) будет выполнено, если принять
,                                      (2.41)
Выполнив замену (2.20) приближенным соотношением 
,
получаем                                                                                   (2.42)
Используя (2.41), (2.42) и (2.19), имеем 
                     (2.43)
Для зависимостей (2.43) условия (2.36), (2.39) и (2.40) выполняются. Компоненту скорости  найдем из условия несжимаемости (2.29), которое представляем в следующем виде
                                    (2.44)
Из (2.44) и (2.43), получаем


или                                        

Функцию  определяем из краевого условия (2.36)

следовательно                      
В итоге получаем                                        (2.45)
     Найдем функцию , которая содержится в соотношениях (2.35) для зоны II.  Из (2.37) и (2.41) получаем
        (2.46)
В правой части (2.46) вырази м функции от  и  через функции от .
Из (2.12) находим 
                                           (2.47)
Тогда                                                (2.48)
Из (2.18) следует

Заменяя левую часть данной зависимости приближенным выражением

получаем                     (2.49)
Используя (2.46) – (2.48) и (2.49), имеем

Тогда функцию  можно представить в следующем виде
                         (2.50)
Используя (2.50) и (2.34), определяем неизвестную константу :
                                                      (2.51)
ЗонаIV
     В данной зоне условие несжимаемости имеет вид (2.29), а краевые условия определяются соотношениями
                                   (2.52)

Совместно с (2.52) должны выполнятся условия неразрывности на границах с зонами IIIи V.
Граница зон III и IV:          при                      (2.53)
Граница зон IV и V:            при                       (2.54)
Условия (2.52) ? (2.54) будут выполнены, если принять
                              (2.55)

Для определения компоненты  используем (2.44)



Функцию  найдем из условия (2.52) 

следовательно

Таким образом
        (2.56)
     Собирая полученные результаты по формулам (2.28), (2.31), (2.35), (2.43), (2.45), (2.50), (2.51) (2.55), (2.56) получаем следующее кинематически возможное поле скоростей пластического течения при формообразовании неравнопроходного тонкостенного тройника [53]:
в зоне I:                               (2.57)
в зоне II       (2.58)
в зоне Ш: 
                        (2.59)
в зоне IV:
(2.60)
в зоне V:


3Определение усилий формообразования тройников в разъемных
матрицах.
     К энергосиловым параметрам формообразования тройниковв разъемных матрицах относятся: усилие осевого сжатия , усилие подпора отвода  и внутреннее давление наполнителя  (рис.3.1)
	Величина  должна определятся из условия устойчивости сжатия трубной заготовки [54]. На данном этапе будем считать, что параметр  известен.

3.1. Определение усилия подпора отвода.
Величину  необходимо находить из условия, чтобы в процессе формообразования в отводе тройника не возникало пластических деформаций. Для определения  рассмотрим схему сил, действующих на отсеченную часть отвода (рис.3.2).
Из уравнения равновесия 

составленном для отсеченной части отвода

находим осевое напряжение в стенке отвода тройника
                                      (3.1)
Толщина стенки  тонкостенного тройника существенно меньше радиуса отвода . Поэтому в (3.1) можно пренебречь слагаемыми, содержащими величину  Окончательно получаем
                                      (3.2)
Отвод будет находиться в упругом состоянии при условии
?                                                     (3.3)



Рис. 3.1 Расчетная схема процесса формообразования прямоугольного 
               неравнопроходного тройника в разъемных матрицах:

               1 – трубная заготовка;
               2 – полуматрица;
3 – пуансон подпора отвода;
               4 – отвод;
5 – пуансон осевого сжатия.





Рис.3.2 Равновесие отсеченной части отвода.
где  - предел текучести при сдвиге.
Из (3.2) и (3.3) получаем зависимость для определения 
                                      (3.4)

3.2. Определение усилия осевого сжатия.
Усилие  найдем из уравнения баланса мощностей 
                                      (3.5)
где    - мощность, развиваемая усилием осевого сжатия;
 - мощность пластической деформации;
 - мощность силы трения;
 - мощность усилия подпора отвода ;
 - мощность усилия , необходимого для создания давления 
При определении  и  будем рассматривать  часть тройника.

3.2.1. Определение мощности пластической деформации.
	Мощность пластической деформации определяется по формуле
                                                  (3.6)
где  - интенсивность скоростей деформаций сдвига;
 - компонента тензора скорости деформации;
 - объем пластической области.
	Согласно ранее принятому полю скоростей (2.57) – (2.61), пластическая деформация происходит в зонах II, и III и IV тройника.
Для зон III и IV в цилиндрической системе координат :


                      (3.7)
                           (3.8)

При вычислении (3.6) возникает необходимость определения интегралов от иррациональных функций вида
.
С целью получения решения в аналитическом виде будем использовать следующие приближенные соотношения
 - верхняя интегральная оценка,
 - нижняя интегральная оценка,
 - комбинированная интегральная 
оценка                                                 (3.9)
В зоне III находим компоненты тензора скоростей деформаций, используя (3.7) и (2.58):
;
;

;
;
;
.
Координата  изменяется в интервале
.
Для тонкостенного тройника «. Поэтому с целью упрощения решения можно принять . Тогда из (3.8) находим:
   (3.10)
Принимая , Выражение (3.10) можно записать в виде
             (3.11)
     При интегрировании по объему зоны III в пределах данной зоны необходимо выделить две области: III.1 и III.2 (рис.3.3)
	На основании определенных ранее границ зоны III по (2.22) имеем:
в области III.1 при 			
в области III.2 при 			,





.







Рис.3.3 Разделение зоны III на две области.



где                                
С целью упрощения вычислений примем, как и ранее
.
Поэтому интеграл в (3.6) примет вид

где ,  - объемы областей III.1 и III.2 соответственно.
Пусть,следовательно,  , .
При этом (3.11) принимает вид
.
1) при          		,
						,
2) при      					,
				,
Тогда        ,                       (3.12)
где              

	Перед вычислением (3.12) найдем угол . Для определения  используем ранее полученную взаимосвязь (2.18) между углами  и , которая справедлива для границы между зонами II и III:

Углу  соответствует угол .
Тогда получаем

 или

Используя численное интегрирование, определяем на основании (3.12) функцию
,
где                                                 
     график  представлен на рис.3.4. Зависимость  хорошо аппроксимируется степенной функцией
,
График, которой также показан на рис.3.4. 
Тогда
                          (3.13)
	В зоне IV находим компоненты тензора скоростей деформаций, используя (3.7) и (2.60):
,
,
,











Рис.3.4 График зависимостей  и 



,
,

Интенсивность скоростей деформаций сдвига


    (3.14)

Используя (3.6), (3.9), (3.14), имеем
.          (3.15)
	В системе криволинейных ортогональных координат ,, поле скоростей, описывающее пластическое течение в зоне II, имеет вид (2.58), а компоненты тензора скоростей деформаций равны
;     ;      ;
.
Координата  изменяется в интервале . В связи с тем, что  можно принять .
Тогда
;; ; .     (3.16)
	Дифференциал объема в системе координат  равен

где  и  - коэффициенты Ляме.
Величины  и  соответственно равны:, а  равен
                          (3.17)
	Связь декартовых  и криволинейных  координат определяется соотношениями 


                 (3.18)


Подставив (3.18) в (3.17) и выполнив упрощения, находим
.
	Используя зависимость для , аналогичную (3.8), и соотношения (3.16), получаем
.
Тогда
,     (3.19)
где         (из 2.13).
     Аналитическое вычисление (3.19) чрезвычайно сложно, поэтому необходимо использовать численное интегрирование.
     Тогда для определения  можно использовать зависимость 
     ,                                          (3.20)
где                       ;
;
;
График зависимости  представлен на рис.3.5.
	Из рис.3.5 следует, что зависимость  близка к линейной. Поэтому для практических расчетов ее можно с достаточно высокой точностью аппроксимировать линейной функцией

	Тогда (3.20) представляется в следующем виде
                           (3.21)
	Суммируя полученные соотношения (3.13), (3.15) и (3.21), получаем выражение для мощности пластической деформации

	+				(3.22)












Рис.3.5 График зависимостей  и 




3.2.2. Определение мощности, затрачиваемой на преодоление 
контактного трения.
Мощность силы контактного трения равна
,                                                   (3.23)
где       - напряжение трения;
 - модуль вектора скорости на контактной поверхности;
 - площадь контактной поверхности.
	Для определения напряжения  используем закон трения Кулона
,
где       - нормальное напряжение на контактной поверхности;
 - коэффициент трения.
	При малой толщине стенки тройника можно принять
.
Тогда (3.23) принимает следующий вид
                                              (3.24)
В зоне I   отличной от нуля является только скорость  и мощность силы трения определяется в соответствии с (3.24) выражением

или                                           ,                              (3.25)
где  определяется выражением (2.15), входящим в неравенство (2.20) для границы зоны I.
	Подставляя в (3.25) приближенное соотношение 
,

получаем                 (3.26)
Для вычисления второго интеграла в (3.26) используем численное интегрирование, введя в рассмотрение интеграл
.
Зависимость  с достаточно высокой степенью точности может быть аппроксимирована степенной функцией

В итоге получаем, что (3.26) будет иметь вид 
        (3.27)
В зоне II только . Поэтому

(3.28)
В этом случае также применяем численное интегрирование. Введем в рассмотрение интеграл

Зависимость  можно аппроксимировать степенной функцией

Тогда (3.28) примет вид
                 (3.29)
В зоне III  модуль вектора скорости на контактной поверхности определяется соотношением
,
где            ,
.
В итоге имеем
.
Тогда
                            (3.30)

При вычислении интеграла (3.30) нужно учитывать, что

при             
а при         
где             
Окончательно интеграл (3.30) имеет вид

            +   (3.31)
Выполним замену переменных в (3.31).
Пусть        следовательно,
1)     при      

2)    при     

После замены переменных интеграл (3.31) принимает вид

+ (3.32).
Введем в рассмотрение выражение

Зависимость  с высокой точностью можно аппроксимировать линейной функцией

Тогда (3.32) перепишем в виде
                     (3.33)
В зоне IVкомпоненты вектора скорости на контактной поверхности равны:
;        
Модуль вектора скорости на контактной поверхности определяется соотношениями 

Тогда мощность силы трения имеет вид
    (3.34)
Используя такую же замену переменных, как и для зоны III, получаем

Используя численное интегрирование, находим
=0,943
Тогда (3.34) принимает вид
                           (3.35)

Зона V
В зоне V не равна нулю только скорость .
Поэтому                 .
Тогда
                      (3.36)

Используя зависимости (3.27), (3.29), (3.33), (3.35) и (3.36), окончательно имеем
+
+
(3.37)

3.2.3. Определение мощности для создания внутреннего давления иподпора отвода.
     Посредством приложения усилия  в тройнике создается внутренние давление .
     
Точка приложения силы  перемещается со скоростью . Используя эти данные, находим
                                 (3.38)
Согласно принятой кинематике точка приложения силы  движется со скоростью , а подпор при деформировании  части тройника осуществляет сила 
Тогда
                                          (3.39)
Подставив в (3.39) зависимость (3.4), получаем
                               (3.40)
Скорость перемещения точки приложения усилия  равна .
Поэтому


,
где величина  определяется по (3.5).
	При вычислении  с использованием (3.5) нужно учесть, что под действием силы  деформируется  часть тройника, а полученные формулы для и справедливы для части. Поэтому в (3.5) зависимости для  и  необходимо умножить на 2.
Используя (3........................