Способы решения уравнений в целых числах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (РИНХ)»
ТАГАНРОГСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А. П. ЧЕХОВА
(филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ростовский государственный 
экономический университет (РИНХ)»

	
      ФАКУЛЬТЕТ ФИЗИКИ, МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ



НЕКОТОРЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ


Курсовая работа 
по алгебре 
студентки 2 курса очной формы обучения 
Филипповой Елены Андреевны
Педагогическое образование
специальность (направление подготовки)
Профиль «Математика» и «Физика»
Научный руководитель
кандидат физико-математических наук, доцент
Забеглов Александр Валерьевич



Дата сдачи «____» ______________ 20___г.

Дата защиты «____» ______________ 20___г.

Оценка ____________________

Научный руководитель ___________________ /_________________/



Таганрог 
2014
Оглавление
1. Введение. Историческая справка.	3
2. Диофaнтовы урaвнeния первой степени.	4
Однородные уравнения	4
Общие линейные уравнения	5
3. Способы решения  уравнений в целых числах.	8
Способ перебора вариантов:	8
Алгоритм Евклида:	9
Представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей.	12
Разложение на множители:	15
Метод остатков	16
Примеры	18
Заключение	21
Список литературы	23















1. Введение. Историческая справка.
     Рассвет древнегреческой науки в IV - III вв. до н.э.  к началу новой эры сменился постепенным спадом в связи с завоеванием Римом Греции , а затем и начавшимся распадом Римской Империи. На фоне этих событий вспыхивает новая звезда. В III в. Новой эры появляется сочинение «Арифметика» александрийского математика Диофанта. 
   Данный трактат  в античной математике занимает особое место  большей частью по своему содержанию. В своем произведении Диофант рассмотрел разнообразные задачи по теории чисел и их решения. Автором был использован не геометрический подход, принятый у древних греков - решения Диофанта предвосхищают алгебраические и теоретико-числовые методы. Для анализа подобного рода при рассмотрении задач, предусматривающих решение в целых числах,  стал применяться термин «диофантов». Не было замечено ни одной попытки создания систематической теории для решения таких задач самим Диофантом.
     Диофантов анализ сегодня представляет собой обширную, достаточно сложную область теории чисел, которой посвящены многие научные работы. Но лишь для линейных уравнений разработана  полная теория разработана. Неизвестен (а, может, и не существует) общий метод решения уравнений второй и более высокой степеней. Огромнейшие трудности может предоставить анализ даже простейшего нелинейного диофантова уравнения. Уравнение такого вида может иметь бесконечное множество решений, может обладать произвольным конечным числом решений, а может вообще не иметь решений. Множество таких уравнений  упорно сопротивляется любым попыткам найти их решение или доказать, что такое решение невозможно.



2. Диофaнтовы урaвнeния первой степени.
     Уравнение с несколькими неизвестными вида а1х1 + ... + аnхn = с, где (известные) коэффициенты а1,..., аn и с — целые числа, а неизвестные х1, …xn также являются целыми числами называется линейным диофантовым уравнением. К решению таких уравнений объединяются различные текстовые задачи, в которых число объектов этого или любого рода высказывают неизвестные величины, и потому являются натуральными (или неотрицательными целыми) числами.
     Традиционным разделом элементарной математики является теория решения подобных уравнений. В этой теории необходимо проводить рассуждения, основанные на определенных понятиях теории чисел и связанных в четкую логическую конструкцию без сложных и громоздких формул. Подробное решение для такого класса задач с достаточно четко изображенным методом получения ответа можно дать в рамках этой теории. 
               Однородные уравнения
     Уравнения вида   ах + by = 0, все члены которых являются одночленами первой степени называются однородными линейными уравнениями.
     Если коэффициенты а и b  имеют общий делитель к, то обе части уравнения ах + by = 0 можно сократить на к. Поэтому, будем считать, что числа а и b — взаимно простые.
     Пример: Рассмотрим уравнение  20x + 27y = 0 (1),
     коэффициенты которого а = 20 = 22 · 5 и b = 27 = 33  являются взаимно простыми целыми числами.
     Перепишем уравнение (1) в виде:    22 · 5 · х = - 33· у   (2).
     Левая часть уравнения (2) делится на 22 · 5. Значит и правая часть, равная левой, должна делиться на 22 · 5, это возможно только тогда, когда неизвестная у делится на 22 · 5:
     у = 22 · 5· n= 20n  (3),  где  n Z.
     Аналогичные рассуждения применимы и к правой части уравнения (2). Правая часть делится на  33. Значит и левая часть, равная правой, должна делиться на 33, это возможно только тогда, когда неизвестная х делится на 33:
     x =  33 · m = 27m  (4),  где m Z.
     Равенства (3) и (4) по сути включают новые целочисленные неизвестные n, m,  вместо основных неизвестных х, у. Для новых неизвестных уравнение (2) принимает вид: n = -m. Множество решений этого уравнения состоит из бесконечного количества пар:
      (-3; 3), (-2; 2), (-1; 1), (0; 0), (1; -1), (2; -2), (3; -3), ...
     Значит, данному  уравнению удовлетворяют все пары вида (-р; р), где р — любое целое число, и только они. Переменная р является своеобразным «номером» решения в этих формулах.
     Возвращаясь к главным неизвестным х и у, мы получим, что множество решений уравнения (2) можно записать в виде: хр = 27р, ур = -20р, где р — любое целое число.
     Из приведенного решения уравнения (2) видно, что оно абсолютно не зависит от точных значений коэффициентов а и b и не изменится, если вместо чисел а = 20, b = 27 рассмотреть любые взаимно простые числа. Значит, справедлива следующая теорема, дающая абсолютное решение диофантовых уравнений вида ах + by = 0.
     Теорема 1. В случае если числа а и b — взаимно простые, то уравнение ах + by = 0 обладает  бесконечно большим количеством решений в целых числах, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством целых чисел Z (то есть могут быть занумерованы целыми числами) и описываются формулой: хп = bn, yn = -an, где n  Z — «номер» решения.
Общие линейные уравнения
     Рассмотрим диофантовы уравнения вида ах + by = с.
     Уравнение такого вида может и не иметь целочисленных решений. Бесспорно, предположим, что уравнение ах + by = с имеет решение. Если коэффициенты а и b имеют общий делитель d > 1, то число ах + by, стоящее в левой части, можно разделить без остатка на d. Значит и правую часть уравнения, то есть свободный член с, можно разделить без остатка на d. Другими словами, справедлива следующая теорема.
     Теорема 2. В случае если наибольший общий делитель d коэффициентов а и b больше 1, а независимый член с не делится на d, то уравнение ах + by = с не имеет решений в целых числах.
     Рассмотрим  такие уравнения вида ах + by = с, в которых независимый член с делится на d = НОД(а; b). После того, как мы разделим обе части уравнения на d,  получим уравнение того же вида, но уже со взаимно простыми коэффициентами при неизвестных. 
     В таком случае исходя из  теоремы 2, видно, что  нет преград к тому, чтобы уравнение располагало целочисленными решениями. Но из этого не обязательно следует, что решения должны быть.
     Однако на самом деле ответ на данный вопрос носит положительный характер.
     Теорема 3. Каждое уравнение ах + by = с, где НОД(а; b) = 1, имеет хотя бы одно решение в целых числах.
     Рассматривая более сложные задачи, в качестве простого следствия из теоремы 3 была получена еще одна важная теорема. 
     Теорема 4. В случае если числа а и b — целые, то множество значений функции f(x; y) = ax + by от двух целочисленных аргументов х и у сходится с множеством чисел, кратных d = НОД(а; b), то есть с множеством {..., —2d, —d, 0, d, 2d, ...}.
     Доказательство: Так как d = НОД(а; b), числа а и b можно записать в виде: а = da', b = db' и  числа а', b' — взаимно простые. Тогда f(x; у) = d •(а'х + bу). Исходя из теоремы 3, любое целое число n можно показать в виде а'х + b'у. Значит, множество чисел, которые могут быть записаны в виде ах + by, есть {..., -2d, -d, 0, d, 2d, ...}.
     Доказательство этой теоремы дает удобный способ нахождения частного решения для конкретных уравнений вида ах + by = с (если а и b взаимно простые целые числа):
     1) необходимо сформировать две последовательности чисел:
     -..., -2а, -а, 0, а, 2а, ... и   -..., -2b, -b, 0, b, 2b, ...
     (обычно довольно выписать по несколько членов в обе стороны), и разместить их друг под другом так, чтобы положительные члены одной стояли под отрицательными членами другой;
     2) потом в уме находить всевозможные суммы пар членов этих последовательностей, пока не найдем пару, дающую в сумме с.
     Рассмотрим уравнение 2х - 5у = 1. Выпишем ряды чисел, кратных коэффициентам а = 2 и b = -5:
     -6,   -4,   -2,  0,   2,    4,     6
     15,  10,  5,    0,   -5,  -10,  -15
     Из  таблицы ясно, что второе число из первой строки (-4), соответствующее х = -2, и третье число из второй строки (5), соответствующее у = -1, и дают в сумме 1. Значит, уравнение 2х- 5у = 1 имеет частное решение х0 = -2, у0 = -1. Для получения верного равенства, эту пару находят проще, просто подставляя в начальное уравнение в уме небольшие числа.  Обычно так поступают для простых уравнений.  
       В ряде случаев необходимо выписывать довольно много (несколько десятков) членов последовательностей ах и by. В такой ситуации, этот прием не очень удобен, поскольку требует больших затрат времени. Тогда, рекомендуют использовать алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя коэффициентов а и b.



                    3. Способы решения  уравнений в целых числах.
     Диофантовы  уравнения также называют уравнениями в целых числах. 
     Уравнениями в целых числах называются алгебраические уравнения с двумя и более неизвестными переменными и целыми коэффициентами.
     Решениями подобного уравнения считаются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих  данному уравнению.
     При решении уравнений в целых и натуральных числах можно использовать следующие методы:
 способ перебора вариантов
 применение алгоритма Евклида
 представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей
 разложения на множители
 метод остатков
 метод бесконечного спуска
Рассмотрим каждый из этих методов.
Способ перебора вариантов:
Пример: В аквариуме живут морские звезды и осьминоги.  У морских звезд по 5 ног, а у осьминогов по 8. Всего насчитывается 39 конечностей. Сколько животных в аквариуме? 
Решение:  Пусть x – количество морских звезд в аквариуме, y – количество осьминогов. Тогда у всех морских звезд по 5x ног, а у осьминогов по 8y ног. Составим уравнение: 5x + 8y = 39.
     Количество животных не может выражаться отрицательным или нецелым числом. Значит, если x – целое неотрицательное число, то и 
y=(39-5x)/8 должно быть целым неотрицательным числом, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5x делилось без остатка на 8. Обычный перебор вариантов показывает, что это возможно только при x = 3, тогда y = 3.
Ответ: (3; 3)
 Алгоритм Евклида:
     Не раскладывая натуральные числа a и b на простые множители, можно найти НОД натуральных чисел a и b, , применив для этого процесс деления с остатком.  Для этого надо разделить большее из  этих чисел на меньшее, потом меньшее из чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и повторять данный процесс  пока не произойдет деление без остатка. Последний отличный от нуля остаток и есть НОД (a, b).
     Для доказательства этого утверждения, представим описанный процесс в виде следующей цепочки равенств: если a>b, то
     a = bq0 + r1
	b = r1q1 + r2
          r1 = r2q2 + r3				  (1)
	. . . . . . . . . . . . 
	rn – 1 = rnqn
	Здесь r1, . . . , rn  - положительные остатки, убывающие с возрастанием номера. Из первого равенства следует, что общий делитель чисел a и b  делит r1 и общий делитель b и r1 делит a, значит НОД (a,b) = НОД (b, r1) = НОД (r1, r2) = … = НОД (rn -1, rn)= НОД (rn, 0) = rn. 
	Этим доказывается утверждение. Этот способ нахождения НОД называется методом последовательного деления с остатком или алгоритм Евклида, так как он был изложен именно в его «Началах».
Вернемся к системе (1). Из первого равенства, выразив остаток r1 через a и b, получим r1 = a – bq0. Продолжая данный процесс, мы можем выразить все остатки через a и b  и получить r1 = a – bq0. Подставляя его во второе равенство, найдём r2 = b(1 + q0q1) – aq1. Продолжая этот процесс дальше, мы сможем выразить все остатки через a и b, в том числе и последний: rn = Aa + Bb. В результате  доказывается предложение: если d – наибольший общий делитель натуральных чисел a и b, то найдутся такие целые числа A и B, что d = Aa + Bb. Отметим, что коэффициенты A и B имеют разные знаки; если НОД (a,b) = 1, то Aa + Bb = 1. Как найти числа A и B, видно из алгоритма Евклида.
	Рассмотрим  решение линейного уравнения с двумя неизвестными. Такое уравнение имеет вид:
     ax + by = c					 (2)
	Здесь возможны два случая: либо число c  делится на d = НОД(a,b), либо нет.
- Рассматривая первый случай, обе части уравнения делят на d и сводят задачу к решению в целых числах уравнения a1x + b1y = c1, коэффициенты которого  a1 = a/d и  b1 = b/d взаимно просты.
-  Рассматривая второй случай, заметим, что уравнение не имеет целочисленных решений: при каких угодно целых x и y число ax + by делиться на d и поэтому не может равняться числу c, которое не делится на d.
	Значит, мы ограничиваемся случаем, когда в уравнении (2) коэффициенты a и b взаимно просты. На этом основании  найдутся такие целые числа х0 и у0, что ax0 + by0 = 1, откуда пара (сх0, су0) удовлетворяет уравнению (2). Вместе с ней уравнению (2) удовлетворяет бесконечное множество пар (х, у) целых чисел, которые находятся по формулам:
	х = сх0 + bt,		y = cy0 – at.					(3)
	Здесь t – произвольное целое число. Легко показать, что уравнение ах + by = c не имеет других целочисленных решений. Решение, записанное в виде (3), называется общим решением уравнения (2). Его частное решение можно получить, подставив вместо t конкретное целое число.
Пример:  Найти   целочисленные решения уравнения 2x + 5y = 17. 
Решение:   Применив к числам 2 и 5 алгоритм Евклида, получим  2 · 3 - 5 = 1. Значит,  пара    сх0 = 3 · 17,   су0 = - 1 ·17  удовлетворяет уравнению  2х + 5у = 17. Получаем  общее  решение  исходного  уравнения  таким: 
x = 51 + 5t,  у = - 17 - 2t, где t принимает любые целые значения. Несомненно, неотрицательные решения отвечают тем t, для которых выполняются неравенства
        
Отсюда найдём   – 51/5 ? t ? - 17/2,  .
Числа -10, -9 удовлетворяют этим неравенствам.  Соответствующие частные решения запишутся в виде пар: (1,3), (6, 1).
Пример:
Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник задел корзину, обгоняя женщину,  и разбились все яйца. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько было в корзине яиц. Она ответила, что не знает число яиц, но при раскладе их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, каждый раз одно яйцо остается лишним, а при раскладе по 7, лишних яиц не остается. Сколько яиц на базар несла крестьянка?
Решение:
Пусть х – число яиц. Так как х – 1 делится на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, то оно делится на их НОК, равное 60. Поэтому, х имеет вид 60у + 1. Значит, чтобы ответить на вопрос задачи нужно решить уравнение 60у + 1 = 7z в натуральных числах. С помощью алгоритма Евклида находим у0 = -2, z0 = - 17, отсюда следует, что все целочисленные решения уравнения имеют вид у = -2 + 7t,  z = -17 + 60t, где t – произвольное  целое число. Наименьшее положительное решение получаем при t = 1. В этом случае у = 5, z = 43. Получаем, что крестьянка несла на базар 301 яйцо. Ответ можно было бы найти и подбором. Для этого достаточно перебрать числа 1,  61,  121,  181, 241,  301 и выбрать из них делящееся на 7.
     Теорема 5.  В случае если числа а и b — взаимно простые, то уравнение ах + by = с имеет нескончаемо много решений в целых числах, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством целых чисел Z (то есть могут быть занумерованы целыми числами) и описываются формулой: хn = х0 + bn, yn = y0 - an, где n  Z — «номер» решения, а х0, у0 — частное решение (которое существует в силу теоремы 3).
     Необходимо отметить, что в данном методе решения уравнений вида ах + by = с частное решение ищут только для того, чтобы свести дело к однородному уравнению. 
Представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей.
     Данный  метод решения диофантовых уравнений первой степени по своей сути не слишком отличается от ранее рассмотренного, но он связан  с непрерывными или цепными дробями.
	Вновь обратимся к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (1) вытекает, что дробь  можно записать как сумму целой части и правильной дроби: . Но   , и на основании второго равенства той же системы имеем . Поэтому,  
.
 Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получат  знаменатель qn.
     В результате представляют обыкновенную дробь в следующем виде:  

     В Германии такие дроби получили название – цепные дроби. Эйлер назвал дроби такого вида непрерывными. Поэтому за этими дробями и сохранились оба названия. Из - за объемности развёрнутой записи цепной дроби применяют компактную запись [q0; q1, q2, …,qn].  Если эту дробь оборвать на знаменателе qк, то останется дробь [q0; q1, q2, …,qк].  Обращая ее в обыкновенную, получим . Это выражение называют k-й подходящей дробью для исходной цепной дроби. Подходящие дроби вычисляются следующим образом:
;          ;              и т. д.
     Вообще, имеют место рекуррентные соотношения
Рк+1 = qк+1 · Рк + Рк-1    и    Qк+1 = qк+1 · Qк + Qк-1    
Для любого к = 1, 2, 3, … n   имеет место формула:
 Рк-1 Qк  - РкQк-1  = (-1)к.
       Используем свойства цепных дробей для решения уравнения ах + by = с. Коэффициенты а и b взаимно просты. Разложим  в цепную дробь. При этом =.
Поскольку обе дроби не сократимы, то а = Рn,   b = Qn. 
Учитывая, что Рк-1 Qк  - РкQк-1  = (-1)к, имеем  Рn-1b  - aQn-1  = (-1)n.
Умножив обе части этого равенства на  (-1)nс, получим 
(-1)nс Рn-1b  + (-1)n+1с aQn-1  = с    или   (-1)n+1с Qn-1a  + (-1)nс Рn-1b  = с, откуда видно, что пара чисел  х0= (-1)n+1с Qn-1,             у0 =  (-1)nс Рn-1   представляет собой решение  уравнения ах + by = с. Т. о. общее решение запишется  в виде: 
          х = (-1)n+1 с Qn-1 + bt,             у =  (-1)n с Рn-1  - at,  где  t принимает целые значения.
Пример:  Рассмотрим уравнение 17х + 13у = 5. 
, значит  n = 2, . Получаем  х0 = -5·3 = - 15, у0 = 4·5 = 20.
Общее решение имеет вид х = -15 + 13t,  у = 20 - 17t.
Пример: Рассмотрим уравнение 63х - 100у = 90. 
= [1; 1, 1, 2, 2, 1, 3], т. е. n = 7,  Р6 = 27,  Q6 = 17, 
поэтому  х = 90·27 +100t,     у = 90·17 + 63t. 
Пример:
Представить дробь 40/31 в виде цепной.
Решение:
[1;  3,  2,  4]
	Положительные моменты применения цепных дробей заключаются в том, что ни с какой системой счисления их свойства не связаны. Но из – за того, что  для них нет удобных правил выполнения арифметических действий, то масштабного применения на практике цепные дроби не получили. 
     Единые подходы к решению нелинейных диофантовых уравнений довольно трудны. Но рассмотрим некоторые уравнения и простые способы их решения.
Разложение на множители:
     Путем группировки слагаемых и вынесения общих множителей первоначальное уравнение приводится к виду, когда в левой части уравнения стоит произведение сомножителей, содержащих неизвестные, а в правой стоит некоторое число. Рассматриваются все делители числа, стоящего в правой части уравнения. Проводится исследование, в котором каждый сомножитель, стоящий в правой части уравнения приравнивается к соответствующему делителю числа, стоящего в правой части уравнения.
Пример:  Решить в целых числах уравнение x + y = xy.
Решение: 1) Перенесем все элементы уравнения влево и прибавим к обеим частям полученного уравнения (–1): x + y – xy – 1 = – 1
При группировке первого – четвертого и второго – третьего слагаемых и вынесении общих множителей, получим уравнение: (x - 1)(y - 1) = 1
2) Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1).
3) Записав соответствующие системы уравнений и решив их, получим решение начального уравнения. Ответ: (0,0) и (2,2).
               Метод остатков
     Этот способ базируется на исследовании вероятных остатков  от деления на некоторое фиксированное натуральное число левой и правой частей уравнения.
     Проанализируем примеры, которые раскрывают суть этого  способа.
Пример:  Решить в целых числах уравнение x2 + 1 = 3y.
Решение: 1) Обратим внимание на то, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y.
2) Выясним,  какие остатки может иметь при делении на три левая часть данного уравнения.
     По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2.
     Если х = 3k, то правая часть уравнения на 3 не делится.
     Если х = 3k+1, то x2 + 1= (3k+1)2+1=3m+2, значит, опять левая часть на 3 не делится.
     Если х = 3k+2, то x2 + 1= (3k+2)2+1=3m+2, значит, и в этом случае левая часть уравнения не делится на 3.
     Исходя из всего этого, получаем, что ни при каких целых х левая часть уравнения не делится на 3, притом, что левая часть уравнения делится на 3 при любых значениях переменной y. Значит, уравнение в целых числах решений не имеет.
Пример:  Решить в целых числах x? - 3y? - 9z? = 0.
Решение: 1) Несомненно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0).
     2) Обнаружим, есть ли у уравнения другие решения. Для этого преобразуем уравнение к виду:  x? = 3y? + 9z?. ………………….. (3)
     В силу того, что правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая обязана делится на три, значит, так как 3 - число простое, х делится на 3, т. е. х = 3k, подставим это выражение в уравнение (3): 27k3 = 3y? + 9z?, откуда
9k3 = y? + 3z? ……………………..(4)
следовательно, y? делится на 3 и y = 3m. 
Подставим приобретенное выражение в уравнение (4): 9k3 = 27m? + 3z?, откуда
3k3 = 9m? + z? ……………………….(5)
     Из этого уравнения будет следовать, что z3 делится на 3, и z = 3n. Подставив это выражение в (5), получим, что k3 должно делиться на 3.
     Итак, получаем, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, значит,  сколько бы раз мы не делили их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Нуль будет единственным целым числом, удовлетворяющим этому условию, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.
      



Примеры
   Решить в целых числах  уравнение   5х - 8у = 19      (1).

1 способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.
 а и b взаимно-простые числа, значит уравнение (1) имеет решение в целых числах х и у. НОД(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: х0 = 7; у0 =2.
Получаем, что пара чисел (7;2) - частное решение уравнения (1).
Значит, выполняется равенство: 5 ·7 – 8 ·2 = 19  (2).
Для того, чтобы записать все остальные решения, имея это решение,  вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у - 2) = 0.
Отсюда х - 7 =   .     Из этого равенства видно, что число (х – 7) будет целым только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Значит, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n  Z.
Поэтому все целые решения исходного уравнения можно записать в виде:
х = 7 + 8n,  у = 2 + 5n, где n  Z.
2 способ. Решение уравнения относительно одного неизвестного.
Это уравнение решают  относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х - 8у = 19 , отсюда    х = .
Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим эти числа вместо у.
Если у = 0, то х = ,              
Если у =1, то х = ,
Если у = 2, то х =  Z.
Если у =3, то х = ,
Если у = 4 то х = 
Значит, частным решением является пара (7;2).
Тогда общее решение: х = 7 + 8n,  у = 2 + 5n, где n  Z.
3 способ. Геометрический.
План решения.
1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.
2. Запишем частное решение уравнения (1).
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1.

Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие
 -ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов.
На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли  - ю часть окружности, так что х· = у + .
Итак, х0 = 5, у0= 3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.
2. Частное решение уравнения (1): х0 = 19 ·5 = 95,  у0 =19· 3 = 57 .
3. Общее решение уравнения (1): х = 95 + 8n,  у = 57 + 5n,  n  Z.
4 способ.  Универсальный способ поиска частного решения. 
5х - 8у = 19      (1).
     Для решения применим алгоритм Евклида. Нам известно, что для любых двух натуральных чисел а, b, таких, что НОД(а,b) = 1 существуют целые числа х, у такие, что ах + bу = 1.
План решения:
1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.
2. Затем найдем частное решение уравнения (1) по правилу 2.
3. Запишем общее решение данного уравнения (1).
1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.
8 = 5·1 + 3.
5 = 3·1 + 2 
3 = 2·1 + 1.
Из этого равенства выразим 1.   1 = 3 - 2·1 = 3 - (5 - 3 ·1)·1 = 3 - 5·1 + 3·1 = 
 = 3 · 2 - 5· 1 = (8 - 5·1)·2 - 5·1 =  8·2 - 5·2 - 5·1 = 5·(-3) - 8·(-2).
Итак, m = -3, n = -2.
2. Частное решение уравнения (1): х0 = 19m; у0 =19n.
Отсюда получим: х0 =19 ·(-3) = -57, у0 =19 ·(-2) = - 38. 
Пара (-57; -38) - частное решение (1).
3. Общее решение уравнения (1) х = -57 +8n,  у = -38 + 5n,  n  Z.





Заключение
     В ходе работы над темой «диофантовы уравнения», было замечено  множество интереснейших фактов, связанных с решением уравнений в целых числах. Решение уравнений в целых числах является очень увлекательной задачей. Множество способов решения конкретных диофантовых уравнений было накоплено с древнейших времён, однако, общие приёмы их исследования появились только в нашем веке. В работе были рассмотрены лишь линейные диофантовы уравнения  ах + bу = с.  Интересным фактом является то, что диофантовыми уравнениями являются теорема Пифагора и теорема Ферма. И, если теорема Пифагора доказана много лет назад, то сейчас перед математиками задача состоит в доказательстве положения, носящего название «великого 	предложения» 	или 	теоремы	 Ферма, в которой говорится, что
сумма одинаковых степеней двух целых чисел не может быть той же степенью какого-либо третьего целого числа. Исключение составляет лишь вторая степень, для которой это возможно. Тот же неуспех ожидает вас и при подыскании и примеров для четвёртой, пятой, шестой и т.д. степеней. Это и утверждает 	«великое 	предложение	 Ферма».
С тех пор, как была высказана эта теорема, прошло три столетия, но найти её доказательства математикам  до сих пор не удалось.
Весьма интересным является тот факт, что неуловимое доказательство теоремы Ферма, по-видимому, однажды уже было найдено, но затем вновь утрачено. 
     Гениальный математик XVIIв., автор теоремы, Пьер Ферма, утверждал, что её доказательство ему известно.  Сопроводив интересной припиской, он записал своё «великое предложение» в виде заметки на полях сочинения Диофанта: «Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предложения, но здесь мало 	места, 	чтобы 	его 	привести».
В связи с тем, что следов этого доказательства не удалось найти нив одной бумаге, ни в одной переписке Ферма, то его последователям пришлось идти самостоятельным путём. Результатами этих усилий являются: доказательство теоремы Ферма для третьей и четвертой степеней, предоставленное Эйлером (1797); доказательство теоремы Ферма для пятой степени предоставленное Лежандром (1823); доказательство теоремы Ферма  для седьмой степени предоставили  Ламе и Лебег (1840). В 1849 году эта теорема была доказана для широкой группы степеней и для всех показателей, меньших ста, Куммером. Эти работы очень сильно выходят за пределы той области математики, которая была знакома Ферма, и является загадочным тот факт, что он смог разыскать общее доказательство своего «великого предложения». 
     Раздел математики «Решение уравнений в целых числах» является разделом, мимо которого не прошёл ни один крупный математик. Достаточно яркий отпечаток в этой интереснейшей истории оставили Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев.















Список литературы
1 «Диофантовы уравнения» Справочное пособие к решению задач Базылев Д.Ф. Мн.: НТЦ «АПИ», 2004г
2. Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики. - М.: «Наука», 2004 г. - 256 с. 
3. . Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М.: «Наука», 2003 г. - 68 с. 
4.  Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. – М. «Высшая школа», 2003 г. – 372 с. 
5.  Михелович  Ш.Х. Теория чисел. - М.: «Высшая школа», 2003 г. - 260 с.
6. Малинин В. А. Подготовка учащихся 9-11 классов к математическим олимпиадам. Задачи с целыми числами. – Н. Новгород, 2000 
7. Виноградов И. М. Основы теории чисел. -  М.:  «Наука», 2004 г. – 44 с.
8. Выгодский М. Я.  Справочник по элементарной математике. – Москва, 1974.


14





.......................