Главная / Образцы дипломных работ

Методы решения тригонометрических уравнений

Внимание: Акция! Курсовая работа, Реферат или Отчет по практике за 10 рублей!
Только в текущем месяце у Вас есть шанс получить курсовую работу, реферат или отчет по практике за 10 рублей по вашим требованиям и методичке!
Все, что необходимо - это закрепить заявку (внести аванс) за консультацию по написанию предстоящей дипломной работе, ВКР или магистерской диссертации.
Нет ничего страшного, если дипломная работа, магистерская диссертация или диплом ВКР будет защищаться не в этом году.
Вы можете оформить заявку в рамках акции уже сегодня и как только получите задание на дипломную работу, сообщить нам об этом. Оплаченная сумма будет заморожена на необходимый вам период.
В бланке заказа в поле "Дополнительная информация" следует указать "Курсовая, реферат или отчет за 10 рублей"
Не упустите шанс сэкономить несколько тысяч рублей!
Подробности у специалистов нашей компании.

Код работы:	W007258
Тема:	Методы решения тригонометрических уравнений

Содержание

Зарегистрировано №______

« ___» __________2017г.

________ _______________

подпись (расшифровка подписи)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ Государственное АВТОНОМНОЕ образовательное учреждение Высшего образования

« БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(НИУ «БелГУ»)

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Факультет математики и естественнонаучного образования

Кафедра математики

Методы решения тригонометрических уравнений

Курсовая работа

студентки очной формы обучения

направления подготовки 44.03.01 Педагогическое образование

профиль Математика

3 курса группы 02041502

Букиной Веры Олеговны

Допущена к защите

«___»_________________2017 г.

________ ____________________

Подпись (расшифровка подписи)

Научный руководитель:

Доц. А.Г. Есин

Оценка______________________

«___»____________2017 г.

________ ____________________

Подпись (расшифровка подписи)

БЕЛГОРОД 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………..…3

ГЛАВА I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ………………………………………………………………..…….5

Элементарные тригонометрические уравнения…………………….5

Введение вспомогательного аргумента……………………………...7

Схема решения тригонометрических уравнений……………………7

Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений……………………………………..10

Разложение на множители…………………………………………...12

Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму……………………………..13

Решение уравнений с применением формул понижения степени...13

Решение уравнений с применением формул тройного аргумента..14

Равенство одноименных тригонометрических функций…………..14

Домножение на некоторую тригонометрическую функцию………15

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим…….18

Отбор корней………………………………………………………….23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….27

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………..……….28

ВВЕДЕНИЕ

Тригонометрия – от греческого «измерение треугольников». Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Однако первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим ученым. Например, 12-я и 13-я теоремы второй книги НачалЕвклида(конец 4–3 в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Во 2 в. до н.э. астроном Гиппарх из Никеи (180–125 до н.э.) составил таблицу для определения соотношений между элементами треугольников.

Развитию аналитической теории тригонометрических функций содействовали И. Ньютон и Л. Эйлер. Основоположником этой теории следует считать Л. Эйлера. Он придал всей тригонометрии современный вид. Дальнейшее развитие теории было положено в XIX в. Н. И. Лобачевским и другими учёными.

Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Еще древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения. Часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.

Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических - бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

ГЛАВА I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Элементарные тригонометрические уравнения

Элементарные тригонометрические уравнения - это уравнения вида , где - одна из тригонометрических функций: , , .

Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению удовлетворяют следующие значения: , , , и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения , где , такова:

Здесь может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) называют параметром. Записывают обычно , подчеркивая тем самым, что параметр принимать любые целые значения.

Решения уравнения , где , находятся по формуле:

Уравнение решается применяя формулу:

а уравнение - по формуле :

Особо отметим некоторые частные случаи элементраных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:

При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:

Теорема Если - основной период функции , то число является основным периодом функции .

Периоды функций и называются соизмеримыми, если существуют натуральные числа и , что .

Теорема Если периодические функции и , имеют соизмеримые и , то они имеют общий период , который является периодом функций , , .

В теореме говорится о том, что является периодом функции , , , и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций и - , а основной период их произведения - .

1.2. Введение вспомогательного аргумента

Стандартным путем преобразования выражений вида является следующий прием: пусть - угол, задаваемый равенствами , . Для любых и такой угол существует. Таким образом . Если , или , , , в других случаях .

1.3. Схема решения тригонометрических уравнений

Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:

решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения - преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип - не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага - замены переменных - превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.

Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.

Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения ответ может быть записан следующим образом:

1) в виде двух серий: , , ;

2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий: , ;

3) поскольку , то ответ можно записать в виде , . (В дальнейшем наличие параметра , , или в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. Исключения будут оговариваться.

Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).

Например, при справедливо равенство . Следовательно, в двух первых случаях, если , мы можем заменить на .

Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения .)

Рассмотрим пример иллюстрирующий сказанное.

Пример Решить уравнение .

Решение. Наиболее очевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два: и . Решая каждое из них и объединяя полученные ответы, найдем .

Другой путь. Поскольку , то, заменяя и по формулам понижения степени. После небольших преобразований получим , откуда .

На первый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако, если возьмем, например, , то окажется, что , т.е. уравнение имеет решение , в то время как первый способ нас приводит к ответу . "Увидеть" и доказать равенство не так просто.

Ответ. .

1.4. Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений

Будем рассматривать арифметическую прогрессию, бесконечно простирающуюся в обе стороны. Члены этой прогресссии можно разбить на две группы членов, располагающиеся вправо и влево от некоторого члена, называемого центральным или нулевым членом прогрессии.

Фиксируя один из членов бесконечной прогрессиии нулевым номером, мы должны будем вести двойную нумерацию для всех оставшихся членов: положительную для членов, расположенных вправо, и отрицательную для членов, расположенных влево от нулевого.

В общем случае, если разность прогрессии , нулевой член , формула для любого (-го) члена бесконечной арифметической прогрессии представляет вид:

Преобразования формулы для любого члена бесконечной арифметической прогрессии

1. Если к нулевому члену прибавить или отнять разность прогрессии , то от этого прогрессия не изменится, а только переместится нулевой член, т.е. изменится нумерация членов.

2. Если коэффициент при переменной величине умножить на , то от этого произойдет лишь перестановка правой и левой групп членов.

3. Если последовательных членов бесконечной прогрессии

например , , , ..., , сделать центральными членами прогрессий с одинаковой разностью, равной :

то прогрессия и ряд прогрессий выражают собой одни и те же числа.

Пример Ряд может быть заменен следующими тремя рядами: , , .

4. Если бесконечных прогрессий с одинаковой разностью имеют центральными членами числа, образующие арифметическую прогрессию с разностью , то эти рядов могут быть заменены одной прогрессией с разностью , и с центральным членом, равным любому из центральных членов данных прогрессий, т.е. если

то эти прогрессий объединяются в одну:

Пример , , , обе объединяются в одну группу , так как .

Для преобразования групп, имеющих общие решения, в группы, общих решений не имеющие данные группы разлагают на группы с общим периодом, а затем стремяться объединить получившиеся группы, исключив повторяющиеся.

1.5. Разложение на множители

Метод разложения на множетели заключается в следующем: если

то всякое решение уравнения является решение совокупности уравнений

Обратное утверждение, вообще говоря неверно: не всякое решение совокупности является решением уравнения. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений могут не входить в область определения функции .

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Пример Решить уравнение .

Решение. Применим формулу, получим равносильное уравнение

Ответ. .

Пример Решить уравнение .

Решение. В данном случае, прежде чем применять формулы суммы тригонометрических функций, следует использовать формулу приведения . В итоге получим равносильное уравнение

Ответ. , .

1.6. Решение уравнений приобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

При решении ряда уравнений применяются формулы.

Пример Решить уравнение

Решение. Применив формулу, получим равносильное уравнение:

Ответ. , .

Пример Решить уравнение .

Решение. Применив формулу, получим равносильное уравнение:

Ответ. .

1.7. Решение уравнений с применением формул понижения степени

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы.

Пример Решить уравнение .

Решение. Применяя формулу, получим равносильное уравнение.

Ответ. ; .

1.8. Решение уравнений с примененнием формул тройного аргумента

Пример Решить уравнение .

Решение. Применим формулу, получим уравнение

Ответ. ; .

1.9. Равенство одноименных тригонометрических функций

Пример Решить уравнение .

Решение.

Ответ. , .

Пример Решить уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение.

Ответ. .

Пример Известно, что и удовлетворяют уравнению

Найти сумму .

Решение. Из уравнения следует, что

Ответ. .

1.10. Домножение на некоторую тригонометрическую функцию

Рассмотрим суммы вида

Данные суммы можно преобразовать в произведение, домножив и разделив их на , тогда получим

Указанный прием может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений, однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление посторонних корней. Приведем обобщение данных формул:

Пример Решить уравнение .

Решение. Видно, что множество является решением исходного уравнения. Поэтому умножение левой и правой части уравнения на не приведет к появлению лишних корней.

Имеем .

Ответ. ; .

Пример Решить уравнение .

Решение. Домножим левую и правую части уравнения на и применив формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, пролучим

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , откуда и .

Так как корни уравнения не являются корнями уравнения, то из полученных множеств решений следует исключить . Значит во множестве нужно исключить .

Ответ. и , .

Пример Решить уравнение .

Решение. Преобразуем выражение :

Уравнение запишется в виде:

Принимая , получаем . , . Следовательно

Ответ. .

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим

Сводящиеся к квадратным

Если уравнение имеет вид то замена приводит его к квадратному, поскольку .

Если вместо слагаемого будет , то нужная замена будет .

Уравнение сводится к квадратному уравнению представлением как . Легко проверить, что при которых , не являются корнями уравнения, и, сделав замену , уравнение сводится к квадратному.

Пример Решить уравнение .

Решение. Перенесем в левую часть, заменим ее на , и выразим через и .

После упрощений получим: . Разделим почленно на , сделаем замену : Возвращаясь к , найдем .

Уравнения, однородные относительно ,

Рассмотрим уравнение вида:

где , , , ..., , -действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения степени одночленов равны , т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна . Такое уравнение называется однородным относительно и , а число называется показателем однородности.

Ясно, что если , то уравнение примет вид:

решениями которого являются значения , при которых , т. е. числа , . Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.

Если же , то эти числа не являются корнями уравнения.

При получим: , и левая часть уравнения принимает значение .

Итак, при , и , поэтому можно разделить обе части уравнения на . В результате получаем уравнение:

которое, подстановкой легко сводится к алгебраическому:

Однородные уравнения с показателем однородности 1. При имеем уравнение .

Если , то это уравнение равносильно уравнению , , откуда , .

Пример Решите уравнение .

Решение. Это уравнение однородное первой степени . Разделим обе его части на получим: , , , .

Ответ. .

Пример При получим однородное уравнение вида

Решение.

Если , тогда разделим обе части уравнения на , получим уравнение , которое подстановкой легко приводится к квадратному: . Если , то уравнение имеет действительные корни , . Исходное уравнение будет иметь две группы решений: , , .

Если , то уравнение не имеет решений.

Пример Решите уравнение .

Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на , получим: . Пусть , тогда , , . , , ; , , .

Ответ. .

К уравнению вида сводится уравнение

Для этого достаточно воспользоваться тождеством

В частности, уравнение сводится к однородному, если заменить на , тогда получим равносильное уравнение:

Пример Решите уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение к однородному:

Разделим обе части уравнения на , получим уравнение: Пусть , тогда приходим к квадратному уравнению:

, , , , .

Ответ. .

Пример Решите уравнение .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения:

, ,

Пусть , тогда получим , , .

Ответ. .

Уравнения, решаемые с помощью тождеств

Полезно знать следующие формулы:

Пример Решить уравнение .

Решение.

Ответ.

Предлагаем не сами формулы, а способ их вывода:

следовательно,

Аналогично, .

Пример Решить уравнение .

Решение. Преобразуем выражение :

Уравнение запишется в виде:

Принимая , получаем . , .

Ответ. .

1.12. ОТБОР КОРНЕЙ

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведем решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления посторонних корней и методы «борьбы» с ними.

Пример Найти ближайший к числу корень уравнения

Решение.

Подставляя последовательно в формулу вместо переменной выписанные выше серии решений уравнений, отыщем для каждой из них , а затем сравним полученные минимальные между собой.

Ясно, что достигается при , то есть .

б)

в).

г).

Выберем минимальное из чисел , . Сразу ясно, что и что . Оталось сравнить и . Предположим, что

Последнее неравенство - верное, а все сделанные переходы - равносильные. Поэтому верно исходное неравенство. Обоснуем равносильность переходов (*) и (**) (равносильность остальных переходов следует из общих свойств числовых неравнств). В случае преобраования (*), достаточно заметить, что числа и расположен на участке монотонного возрастания функции . В случае перехода (**) формула справедлива, так как .

Ответ. .

Пример Найти корни уравнения: .

Решение этого уравнения распадается на два этапа: 1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей; 2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию . При этом заботится об условии нет необходимости. Все значения , удовлетворяющие возведенному в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.

Первый шаг нас приводит к уравнению , откуда .

Теперь надо определить, при каких будет . Для этого достаточно для рассмотреть значения , , , т. е. «обойти один раз круг», поскольку дальше значения косинуса начнут повторяться, получившиеся углы будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную .

Ответ. , .

Итак, основная схема отбора корней состоит в следующем. Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций входящих в уравнение. На этом периоде отбираются корни, а затем оставшиеся корни периодически продолжаются.

Пример Решить уравнение:

Решение. Уравнение равносильно смешанной системе:

Но - не годится.

Ответ. .

Раскрывая знак модуля получаем более громоздное решение. А ответ в этом случае принимает вид:

Ответ. .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе были рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, причем, как специфические, характерные только для тригонометрических уравнений, так и общие функциональные методы решения уравнений, применительно к тригонометрическим уравнениям.

Указано, что при решении тригонометрических уравнений широко используются тождества, выражающие соотношение между тригонометрическими функциями одного и разных аргументов. Для успешного решения уравнений необходимо знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений, значение тригонометрических функций для основных углов и значение обратных тригонометрических функций, универсальные правила решения уравнений. Рассмотрено решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим.

Результаты данной творческой работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке творческих работ, при составлении факультативных курсов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к Единому государственному экзамену.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Стройк Д. Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1984г.

Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике». М., «Наука», 1982г.

Г. И. Глейзер История математики в школе. Москва «Просвещение» 1983г.

Сост. Гряда Н. Н. и др. Обобщающее повторение в системе подготовки к ЕГЭ по теме «Тригонометрические уравнения», Армавир, 2005г.

Челомбитько В. П. «Математика: весь курс. Теория, задачи, решения». М., «Эксмо», 2009г........................

Для получения полной версии работы нажмите на кнопку "Узнать цену"

Узнать цену

Каталог работ

Похожие работы: