Аналитические решения одного класса уравнений с полиномиальными коэффициентами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЛМЫЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Б.Б. ГОРОДОВИКОВА»

Кафедра алгебры и анализа



ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА БАКАЛАВРА "Аналитические решения одного класса уравнений с полиномиальными коэффициентами"



			      ВКР бакалавра выполнена

		  студенткой 4 курса

					   направления 02.03.01 Математика и

		      компьютерные науки

				      Манджиевой Намсой Олеговной

			  Научный руководитель:

				         кандидат физико-математических

            наук, доцент

        		           Кочетков В.К.  _______

  		        «Допущена к защите»

		    		        Зав. кафедрой алгебры и анализа

					кандидат физико-математических

	   наук, доцент

				____________В.И. Копейко

		    «____» июня 2017 г.



Элиста 2017г.

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Основные понятия и утверждения вспомогательного характера, используемые в выпускной квалификационной работе. 4

§1.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. 4

§1.2. Классификация особых точек. 8

Глава 2. Свойства решений третьего и пятого уравнений класса P. 11

§2.1 Свойства решений третьего и пятого уравнений класса P. 11

§2.2 Свойство решений пятого уравнения класса P. 16 

§2.3. Обобщение условий на параметры уравнений класса P. 19

Глава 3. Пятое уравнение класса P 27

   §3.1. Предварительные замечания 27

   §3.2. Характер решений уравнения  в окрестности особых точек. 30

   §3.3. Общее представление решений уравнения 33

   §3.4. Уравнение  в случае 36

   §3.5. Уравнение  в случае 39

   §3.6. Уравнение (  и специальные уравнения математической физики. 47

Заключение51

Список используемой литературы 52



 





Введение.

В выпускной работе теоретической основой являются теория функций комплексного переменного и аналитическая теория дифференциальных уравнений. В частности, методы теории функций комплексного переменного являются средством исследования в аналитической теории дифференциальных уравнений, в силу того, что в большинстве случаев решениями дифференциальных уравнений являются аналитические функции комплексного переменного. 

В выпускной работе указывается, что в большинстве случаев решения дифференциальных уравнений не выражаются через элементарные функции или через их конечную комбинацию. В некоторых случаях представление решения в виде интеграла от элементарных функций рассматривается как решение дифференциального уравнения. Заметим, что интегралы от элементарных функций не всегда являются элементарными функциями.

Выше указанные проблемы интегрирования дифференциального уравнения способствовали к исследованию свойств решений дифференциальных уравнений по самому виду дифференциальных уравнений не находя само решение дифференциального уравнения.















Глава 1. Основные понятия и утверждения вспомогательного характера, используемые в выпускной квалификационной работе.

§1.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.

Уравнение первого порядка имеет вид    .

В этом параграфе рассматривается уравнение, разрешенное относительно производной, записывая его в нормальной форме

                                                                                                 (1)

Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (1), , определена на некотором подмножестве А вещественной плоскости . Функцию , определенную в интервале (a, b), мы будем называть решением уравнения (1) в этом интервале,  если:

1) существует производная  для всех значений  из интервала (a, b) (отсюда следует, что решение  представляет собою функцию, непрерывную во всей области определения);

2) функция  обращает уравнение (1) в тождество

                                               ,                                            (2)

справедливое для всех значений  из интервала (a, b). Это означает, что при любом  из интервала (a, b) точка ( принадлежит множеству .

Задача Коши. Одной из главных задач в теории дифференциальных уравнений является так называемая задача Коши. Для уравнения (2)



задача Коши, или начальная задача, определяется следующим образом: среди всех решений уравнения (1) найти такое решение

                                                                                                                (3)

в котором функция  приобретает заданное числовое значение  при заданном числовом значении  независимой переменной , т.е.



где  и  - заданные числа, так что решение (3) удовлетворяет условию

                                                                                               (4)

При этом число  называется начальным значением искомой функции, а число  - начальным значением независимой переменной. В целом же числа  и  называются начальными данными решения (3), а условие (4) - начальным условием этого решения.

Общее решение. Дифференциальное уравнение (1) может иметь бесконечное множество решений. Семейство решений уравнения (1), зависящее от одной произвольной постоянной 

                                                                                                            (5)

называют обычно общим решением этого уравнения. Геометрически оно представляет собою семейство интегральных кривых на плоскости , зависящее от одного параметра  причем уравнение этого семейства разрешено относительно . При каждом значении произвольной постоянной (параметра)  (из числа допустимых) формула (5) дает решение (интегральную кривую) уравнения (1).

Формула (5) позволяет, вообще говоря, решать задачу Коши для уравнения (1), т.е. находить решение, удовлетворяющее заданному начальному условию  за счет выбора соответствующего значения произвольной постоянной .

С этой целью подставляют в формулу (5) вместо  числа , решают полученное уравнение  относительно  и подставляют найденное значение  в формулу (5), в результате чего получают искомое решение в виде .

Однако при этом в общем случае не гарантируется ни разрешимость уравнения  относительно , ни единственность найденного решения задачи Коши. Чтобы гарантировать и то и другое, нужно наложить на функцию  некоторые ограничения, при которых формула (5) была бы пригодна для решения задачи Коши с произвольными начальными данными  из некоторой области  изменения переменных , и чтобы это решение было единственным.

Ниже мы даем определение общего уравнения (1) в области  изменения переменных .

В качестве области  мы будем разбирать некоторую область на плоскости (, через каждую точку которой проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (1), так что в каждой точке ( области  имеет место существование и единственность решения задачи Коши для уравнения (1). При этом область  есть либо все множество точек существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (1), либо его часть. 

Функцию

                                                                                                  (6)

определенную в некоторой области изменения переменных , имеющую непрерывную частную производную по независимой переменной , будем называть общим решением уравнения (1) в области , если равенство (6) разрешимо относительно произвольной постоянной  в области  , так что при любых значениях , принадлежащих области ,  равенством (6) определяется значение  по формуле 

                                                                                                            (7)

и, если функция (6) является решением уравнения (1) при всех значениях произвольной постоянной , доставляемых формулой (7), когда точка  пробегает область . 

Суть этого определения состоит в следующем. Пусть дано семейство кривых F, расположенных в  и зависящих от одного параметра . Если про каждую кривую из F известно, что она является интегральной кривой уравнения (1) и все кривые из F в их совокупности покрывают , то F есть общее решение уравнения (1) в области 

Формула общего решения (6) дает возможность за счет выбора соответствующего значения произвольной постоянной  решить любую задачу Коши для уравнения (1) в области  т.е. найти решение уравнения (1), определяемое начальными данными , причем ( - любая точка области 

Для нахождения этого решения поступаем, как указано выше. Подставим в формулу (6) вместо   начальные данные :



Найдем отсюда



Подставим это значение  в формулу (7). Получим

                                                                                                        (7' )

Это и есть искомое решение. Других решений с начальными данными  нет.

Иногда в формуле общего решения (7) роль произвольной постоянной  играет начальное значение , искомой функции  при некотором фиксированном значении  аргумента , так что формула (7) принимает следующий вид:



Такая форма записи общего решения называется общим решением в форме Коши.



§1.2. Классификация особых точек.

В данном параграфе рассмотрим особые точки произвольных аналитических функций.

Определение 1. Функция  называется дифференцируемой в точке , если в этой точке существует конечная производная, то есть существует конечный предел .

Определение 2. Функция  является регулярной (голоморфной, однозначной аналитической) в точке , если существует окрестность этой точки, в которой функция  дифференцируема.

Определение 3. Функция  является регулярной в области D комплексной плоскости , если она является регулярной в каждой точке области D.

Теорема 1. Для того чтобы функция  была регулярной в области D комплексной плоскости , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось какое-либо одно из условий:

А) функция  имеет производную  в каждой точке области;

Б) если  где  и  - две действительные функции действительных переменных ,  и  являются дважды дифференцируемыми функциями, удовлетворяющими дифференциальному уравнению Лапласа и связанными друг с другом уравнениями Коши-Римана, Даламбера-Эйлера



Определение 4. Точка  называется особой точкой функции , если в ней нарушается дифференцируемость.

Определение 5. Если при обходе вокруг точки  по любому замкнутому контуру исходят из некоторого значения в данной точке,  то возвращаясь в положение данной точки с тем же значением, то особая точка  называется особой точкой однозначного характера. (устранимая точка, полюс, существенно особая точка).

Определение 6. Если при n – кратном обходе вокруг точки  приходят к различным значениям  в этой точке, то особая точка  называется особой точкой n – го порядка (критическая алгебраическая точка, критический полюс).

Определение 7. Если при обходе вокруг точки  приходят к различным значениям  в этой точке, то особая точка  называется особой точкой многозначного характера.

Определение 8. Если в проколотой окрестности точки  функция  имеет разложение вида



то особая точка  называется устранимой особой точкой.

Определение 9. Если в проколотой окрестности точки  функция  имеет разложение вида



то  особая точка  называется полюсом k-ого порядка.

Определение 10. Если в проколотой окрестности точки  функция  имеет разложение вида



то особая точка  называется существенно особой точкой.

Определение 11. Если в проколотой окрестности точки  функция  имеет разложение вида



то особая точка  называется критической алгебраической точкой.

Определение 12. Если в проколотой окрестности точки  функция  имеет разложение вида



то особая точка  называется критическим полюсом.

















Глава 2. Свойства решений третьего и пятого уравнений класса P.

§2.1 Свойства решений третьего и пятого уравнений класса P.

	Укажем некоторые свойства, присущие решениям третьего уравнения класса P

	                     		      

	и решениям пятого уравнения класса P

	 .    	                

	Далее считаем . В этом случае, без ограничения общности, можно положить  ,   . Тогда эквивалентная уравнению (1) система имеет вид

	                          	                            

	 

	Если из системы (3) исключить , то получим уравнение (1). Так как выражается рационально через  , то  не имеет подвижных критических точек. Найдем уравнение, определяющее функцию .

	Исключая  из системы (3), получим 

	                                                                               

	где

	 

	В уравнении (4) положим

	                                                                                  

	тогда уравнение (4) преобразуется в 

	                             

	Сравнивая уравнения (2) и (6) и учитывая соотношения (3) и (5), получим следующую теорему.

	Теорема 1. Если  - решение уравнения (1) при некоторых значениях параметров  такое, что

	                                                                     

                                                                      

будет решением уравнения (2) при

          

Повторяя аналогичные рассуждения относительно уравнения (2), убеждается в справедливости следующего утверждения.

Теорема 2. Пусть  – решение уравнения (2) при некоторых значениях параметров такое, что

                                               

тогда функция 

                                                             

будет решением уравнения (1) при 

            

Уравнения (7), (10) рассматриваются так.  Обозначим 

                                             

и подставим значение  из (8) в (11), тогда имеем место.

Теорема 3. Пусть  – решение уравнения (1) при некоторых значениях параметров , тогда функция 

                                                               

будет решением уравнения (1) при 



                                                                                                                       

Аналогично для уравнения (2) положим 

                  

Подставим значение  из (11) в (8), тогда справедлива.

Теорема 4. Пусть  –  решение уравнения (2) при некоторых значениях параметров , тогда функция



будет решением уравнения (2) при 

                                     

	                                 

	                                    .

	Нетрудно установить, что в формулах (14) и (17) соответственно

	                              

	в силу предположения (7),  и

	         

	в силу предположения (10), и  если  либо , если . Справедливы аналогичные теоремы об общем решении, т.е. если - общее решение уравнения (1) для значений параметров , то , определяемое (8), будет общим решением уравнения (2) для параметров (9), и  будет общим решением уравнения (1) для параметров (15). Если же -общее решение уравнения (2) для некоторых значений параметров определяемое (11), будет общим решением уравнения (1) для параметров (12), и  , определяемое (17), будет общим решением уравнения (2) для значений параметров (18).

	Из соотношений (8)-(12) видно, что каждое решение (1) порождает два решения уравнения (2), и обратно, каждое решение уравнения (2) порождает четыре решения уравнения (1). Это свойство может быть использовано для построения рациональных решений уравнений (1) и (2). Прежде всего заметим, что для построения рациональных решений уравнений (1) и (2) достаточно построить их либо для (1), либо для (2).  Это следует из теорем 1 и 2.

	Построим рациональные решения для уравнения (1). Непосредственные вычисления показывают, что любое рациональное решение уравнения (1) имеет вид 

	                                                ,

	где  и  - полиномы степени . Легко видно, что в случае  уравнение (1) имеет рациональные решения вида

	

	Если в качестве  возьмем  то, согласно теореме 3, получим 

	

	где

	                   

	 

	Аналогично находятся решения , , . . .

Пример. Пусть  при тогда, согласно (8), принимаем два решения уравнения (2) 

       

       

Решения  и порождают решения  и  уравнения (1) согласно (11).

Возьмем одно из значений .

                     

По  снова строим два решения уравнения (2)

     



 порождает, например, такое решение (1)



при 



§2.2 Свойство решений пятого уравнения класса P.

Рассмотрим пятое уравнение класса P

   (1)

где  — постоянные. Если , то уравнение (1) интегрируется в элементарных функциях. Ниже будем считать, что .

Вместе с уравнением (1) проанализируем систему дифференциальных уравнений      

 

	          		       (2)

где  постоянные.

Если из системы (2) исключить , то получим

						       (3)

где

 

Положив в уравнении (3)

                                                                                         (4)

получим уравнение (1) при 

Следовательно, система (2) эквивалентна уравнению (1) с точностью до преобразования (4).

Из первого уравнения системы (2) и соотношения (4) следует, что функция  не имеет подвижных критических точек. Уравнение, определяющее , имеет вид

                                               (5)

где

.

Функция   относительно   имеет два полюса  Тогда, в уравнении (5) положим

                                                                                                       (6)

тогда уравнение (5) преобразуется в

        (7)

где



                                                                              (8)

Таким образом, определяя  через  из первого уравнения системы (2) и учитывая произведенные преобразования (4) и (6), получим следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть  - решение уравнения (1) при некоторых значениях параметров  такое, что

                                         (9)

Тогда функция

                                                            (10)

будет решением уравнения (1) при 

 

  ,                           (11)

Замечание . Для уравнения (1) справедливо свойство. Пусть  - решение уравнения (1), тогда функция  также является решением.

Следовательно, имеет место

Теорема 2. Пусть  -  решение уравнения (1) такое, что

                                      (12)

Тогда функция

                                                            (13)

будет решением уравнения (1) при

                                                (14)

Согласно,  и  соответственно при условиях

                                                    (15)

Решения уравнения (1), для которых  и , порождают соответственно решение  при  и решение   при . Далее мы исключаем из рассмотрения решения уравнения (1), для которых либо , либо .

Соотношения (10), (13) могут быть использованы для построения рациональных решений уравнения (1). Действительно, согласно, любое рациональное решение уравнения (1) при  имеет вид

                                                                            (16)

где  — некоторые постоянные, ) и  многочлены соответственно степени . 

В случае ,  уравнение (1) может иметь рациональные решения лишь следующего вида:

,                                            (17)

,                     (18)

                            (19)

Решение  (17)  удовлетворяет условию (9). Для решения (18) условие (9) выполнено при  либо при , если  Решение (19) удовлетворяет условию (9) при  либо при, если.

Если в формуле (10) в качестве начального решения возьмем решение (17), то последовательно получим



при 



при 

Аналогично строятся рациональные решения при начальных функциях (18) и (19).



§2.3. Обобщение условий на параметры уравнений класса P.

Известно, что при некоторых условиях на параметры II—VI уравнения класса P имеют однопараметрические семейства решений, которые выражаются через классические трансцендентные функции. Для второго уравнения класса P — это функции Эйри, для третьего, четвертого и пятого уравнений — соответственно функции Бесселя, Вебера— Эрмита, Уиттекера. Шестое уравнение класса P  имеет однопараметрическое семейство решений, выражающееся через решения гипергеометрического уравнения.

В настоящей работе найдем новые условия на параметры II—V уравнений класса P, при которых эти уравнения имеют однопараметрические семейства решений. Эти семейства доставляются общими решениями уравнений вида

,                                                      (1)

для которых выполняется теорема Фукса об отсутствии подвижных многозначных особых точек, и специальным образом связаны с известными однопараметрическими семействами.

1. В работе найдено соотношение между решениями второго уравнения класса P

,                                                                                  (2)

при различных значениях параметров. Оно имеет вид

                                                                              (3)

где  у определяется из уравнения

.                                                                             (2')

Дифференцируя  (3) в силу (2) и (2') соответственно, находим

                                                                                   (4)

и

                                                                                    (5)

при условии . Заметим, что при . Формула (4) позволяет по известному решению уравнения (2) строить решения этого уравнения при новых значениях параметров. В качестве исходных решений возьмем решения однопараметрического семейства. Это семейство доставляется общим решением уравнения

                                                                                      (6)

при 2 = — 1. Для определения уравнения, задающего однопараметрическое семейство, подставим (5) в (6), причем значение у " имеем из (2'). Получим уравнение

                                                                                (7)

все решения которого являются решениями уравнения (2) при 

Очевидно, решения уравнения (7) в силу (6) выражаются через решения уравнения (6) по формуле



и, следовательно, через функции Эйри.

С помощью алгоритма (4) и (5), исходя из решений уравнения (7), построим однопараметрическое семейство решений уравнения (2) при 2  и аналогично для всех  , . Если воспользоваться свойством нечетности решений уравнения (2) относительно параметра, , то убедимся в справедливости следующего утверждения.

Теорема 1. Уравнение (2) при всех , , имеет однопараметрические семейства решений, порождаемые общим решением уравнений вида (1).

Заметим, что уравнение (2) имеет рациональные решения тогда и только тогда, когда  целое.

2. Для третьего уравнения класса P

                                          (8) доказана.

Теорема 2. Пусть  решение уравнения (8) при некоторых

фиксированных значениях параметров    причем

  Тогда функция

                                         (9)

будет решением уравнения ( 8 ) при

,       

											     (10)

,     

Если в качестве исходных решений взять решения из однопараметрического класса, порождаемого уравнением

  					     (11)

при условии  , то после первого шага применения алгоритма (9), (10) получим уравнение вида (1) при  , где

,        

 											     (12)

 

Все решения полученного уравнения являются одновременно решениями уравнения (8) при условии

   . 					     (13)

Аналогично уравнению (2) нетрудно получить условия на параметры уравнения (8), при которых последнее имеет однопараметрические семейства решений. Справедлива

Теорема 3. Уравнение ( 8 ) при всех значениях параметров

    					     (14)

имеет однопараметрические семейства решений.

Доказательство теоремы легко получается при помощи индукции.

Действительно, если в (14) п=0 либо / г = 1 , то уравнение (8) имеет однопараметрические семейства, порождаемые соответственно уравнениями (11) и (1) с коэффициентами (12). Допустим, что уравнение (8)  имеет однопараметрическое семейство решений при значениях параметров

  .  						     (15)

Тогда подставим эти решения в алгоритм (9) и значение р из (15) в соотношение (10). Исключив произвольный параметр а из полученных соотношений, найдем, что построенное семейство решений будет доставлять решения уравнения (8) при . Это и доказывает теорему 3.

В силу формул (9), (11) все решения из однопараметрических семейств рационально выражаются через функции Бесселя.

В работе определена связь между решениями уравнения (8) при  и пятым уравнением класса P в случае . Согласно формулам (8) и (9), приведенные однопараметрические семейства решений уравнения (8) порождают соответствующие однопараметрические семейства решений пятого уравнения класса P в случае .

3. Четвертое уравнение класса P

 			     (16)

можно представить в виде эквивалентной системы 



                                                                                                              (17)    

                                                                    где    

Если из системы (17) исключить и, то получим уравнение (16). Если же из (17) исключить , то получим относительно и вновь уравнение (16), но при значениях параметров

                 	     (18)

Следовательно, система (17) доставляет алгоритм

                                                     (19) с помощью которого можно по известному решению  =  строить новые решения уравнения (16) при значениях параметров (18).  Заметим, что из системы (17)

.                                                   (20)

Уравнение (16) имеет однопараметрический класс решений, доставляемый уравнением

                                                                          (21) при условии

.                                       (22)

Если в качестве исходных решений брать решения уравнения (21) при условии (22), причем  то после первого шага применения алгоритма (18), (20) получим, что все решения уравнения

                                   (23) являются решениями уравнения (16) при  - произвольный параметр. Следующий шаг применения алгоритма (18), (20) приводит к уравнению вида (1) при  n=3, все решения которого являются одновременно решениями уравнения (16) при

.                          (24)

Например, решения уравнения

           (25) доставляют решения уравнения (16) при.

Согласно соотношениям (19), (21), решения из однопараметрических семейств рационально выражаются через функции Вебера -Эрмита.

4. Для пятого уравнения класса P

   (26)  в работе  доказана.

Теорема 4. Пусть w = w(z) - решение уравнения (26) при такое, что

,                                        (27) где  Тогда функция

                                                                              (28) будет решением уравнения (26) при значениях параметров



 											     (29)               



Пятое уравнение класса P (26) имеет однопараметрический класс решений, доставляемый уравнением

                                                       (30) при условии

                                                                                      (31)

Для получения однопараметрических семейств решений уравнения (26) в качестве исходных решений берем решения уравнения (30) при условии (31), причем ветви коэффициентов уравнения (30) выбираем так, чтобы для алгоритма (28), (29) выполнялось условие (27). Очевидно это всегда можно сделать.

Пример. Если в качестве исходных решений уравнения (26) взять решения уравнения

                                                                      при условии , а в алгоритме (28) взять следующие ветви коэффициентов: , то получим уравнение

               при все решения которого являются одновременно решениями уравнения (26) и рационально выражаются через функции Уиттекера.

























































Глава 3. Пятое уравнение класса P

§3.1. Предварительные замечания

  Пятое уравнение класса P имеет вид



где  - постоянные параметры. В общем случае уравнение () не интегрируются в известных классических трансцендентных функциях. Однако если постоянные уравнения  подчинены некоторым условиям, то оно может быть проинтегрировано: 1)в элементарных 
функциях; 2)либо может иметь однопараметрическое семейство решений, выражающееся через классические трансцендентные функции; 3)либо наконец, решения, выражающиеся через трансцендентные функции, -решения третьего уравнения класса P.

Действительно, положив в () , получим 
   	    (1.1)
Уравнение (1.1) в случае  приводится к виду 

                                 		        	    (1.2) Уравнение (1.2) принадлежит к классу уравнений первого порядка с однозначными  интегралами и может быть проинтегрировано в элементарных функциях.

Ниже рассмотрим проинтегрированные случаи уравнения (), т.е. будем считать, что либо  Заметим: уравнение () инвариантно относительно преобразований

                     			    (1.3)

                     

Покажем, что уравнение () может иметь однопараметрический класс решений, представляющий собой общее решение некоторого уравнения Риккати.

Пусть

                              				    (1.4)

есть уравнение, все решения которого являются одновременно решениями уравнения  (). Подставляя (1.4) в () и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, после элементарных упрощений получаем систему 

                                                           					  (1.5а)

                                                                             		  	  (1.5б)

                                                               					  (1.5в)             					     				  	   (1.5г)

              (1.5д)

               (1.5е)

Исключив из (1.5д)  и (1.5е) величину , с учетом (1.5а) и (1.5б) найдем 

					                           	 	     (1.6)

Из уравнений (1.5а)-(1.5г) имеем 

                                                                                               (1.7)

Из (1.6) и (1.7) находим 

				                               (1.8)

Подставляя (1.7) и (1.8) в (1.5д), получаем выражение, определяющее связь между параметрами  при которой все решения уравнения (1.4) с коэффициентами (1.7) и (1.8) являются одновременно решениями уравнения (). Это выражение имеет вид

			                                     (1.9)

Следовательно, если выполнено условие (1.9), то любое решение уравнения 

	              (1.10)

будет решением уравнения (). В частности, если , то уравнение () имеет семейство решений      	

     (1.11)

Из (1.11) видно, что если  , то  - трансцендентная особая точка для решений уравнения (1.10) и следовательно, ().

Если , то в (1.10) положим 



				.                                (1.12)

Тогда относительно  получим вырожденное гипергеометрическое уравнение

				                             (1.13)

где   

Уравнение (1.13) может быть сведено к уравнению Уиттекера , причем  при условии, что  - решение уравнения.

§3.2. Характер решений уравнения  в окрестности особых точек.

Любое решение уравнения , для которого уравнения полюс или точка регулярности, представляет собой мероморфную функцию. Указаны необходимые и достаточные условия существования решений уравнения 

Необходимые условия существования голоморфного в  решения. Подставляя в  разложение                                                                           

                                                                                    (2.1)

и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  получаем систему уравнений   



                           ,



где  - многочлен от  параметров уравнения и коэффициентов 

Возможны два случая: 1); 2).

Пусть . Если  и для любого  величина , то ряд (2.1) - существует, причем все его коэффициенты однозначно выражаются через параметры .

Если же , но есть такое для которого то для существования ряда (2.1)  нужно потребовать, чтобы . В этом случае ряд (2.1) будет содержать один произвольный коэффициент 

Если , то для существования ряда (2.1) надо, чтобы . Коэффициент и в этом случае остается произвольным.

Пусть . Тогда в свою очередь возможны два случая; а); б).

Пусть . Для существования ряда (2.1) нужно, чтобы . Предположим, что это условие выполнено. Тогда для определения остальных коэффициентов имеем систему 




Если  то . Если же , то коэффициент остается произвольным, а все остальные однозначно выражаются через коэффициент и параметры 

Пусть . Для определения коэффициентов имеем систему





Если и такое, что , то ряд (2.1) существует, причем все его коэффициенты однозначно выражаются через параметры уравнения 

Если же такое, что для некоторого  имеем , то для существования ряда (2.1) необходимо, чтобы и в этом случае ряд (2.1) будет содержать произвольный коэффициент 

Если , то для существования ряда (2.1) необходимо, чтобы . Этот случай был рассмотрен выше.

Необходимое условие существования полярного в решения. Пусть 

                                       (2.2)

есть формальное разложение решения уравнения в окрестности . Подставляя (2.2) в убеждаемся в том, что первое необходимое условие существования ряда (2.2) - условие . Если , то второе необходимое условие существования полярного в решения - условие , где  - целое число, являющееся порядком полюса. При выполнении этих условий формальный ряд (2.2) существует и содержит произвольный коэффициент 

Аналогично можно установить необходимое условие существования решений уравнения , имеющих в алгебраическую особую точку , а также исследовать неподвижную особую точку 

Пусть - подвижный полюс решения . Тогда в окрестности 

                                                      (2.3)

при этом   - произвольная постоянная,  и все , однозначно выражаются через , и параметры уравнения .

Если , то в окрестности 

                                             (2.4)

где  - произвольная постоянная; все однозначно выражаются через 

Пусть . Тогда в окрестности 

                                                              (2.5)

Если то и коэффициент определяется из уравнения . Если же  то  и коэффициент остается произвольным.

Предположим, что  Подставим ряд 

                                                        (2.6)

в уравнение  . Тогда если , то  и коэффициент определяется из уравнения . Если же  и коэффициент  удовлетворяет уравнению  = -. Если то уравнение  интегрируется в квадратурах.

Сходимость полученных выше рядов во всех случаях их существования можно доказать так, как это делалось для уравнения  т.е. достаточно рассмотреть эквивалентную уравнению   систему

                                                                    

												    (2.7)



При этом  функция  связана с преобразованием

                                                                                       (2.8)



§3.3. Общее представ.......................