Создание учебно-методического комплекса по изучению аксиоматического метода в средней школе на уроках геометрии и факультативах

Введение к работе

Современные концепции гуманизации образования ориентируют школу на максимальное развитие и реализацию творческих возможностей учащихся, что требует серьезного изменения содержания образования. Приобретаемые учащимися знания должны отличаться не только востребованностью их в дальнейшей жизни и практической деятельности, но и способствовать интеллектуальному развитию учащихся.

Воспитание и обучение правильно формируют развивающуюся личность лишь тогда, когда педагог организует деятельность ребенка по усвоению человеческого опыта. То есть, обучение в школе должно в сокращенной форме воспроизводить действительный процесс рождения и становления знаний. В этом случае школьники будут осуществлять мыслительные действия, аналогичные тем, посредством которых эти продукты духовной культуры вырабатывались исторически " С точки зрения зарождения, развития и становления математического знания математическая деятельность не сводится лишь к воспроизведению полученных кем-то знаний, а включает в себя процесс поиска, открытия новых фактов и закономерностей». В школьной геометрии в решении этих проблем важную роль играет аксиоматический метод.

Вопросы, связанные с этим методом, всегда были в центре внимания математиков. Зародившись в трудах древнегреческих ученых и обобщенный в "Началах" Евклида, аксиоматический метод получил развитие в работах Герона Александрийского ( I в. до н.э. - I в. н.э. ), Порфирия Сирийского ( III в.), Паппа Александрийского ( III в.), Прокла ( V в. ) и других комментаторов "Начал". В средние века аксиоматическому методу были посвящены работы ученых Востока: ал-Джаухари, Сабит ибн Корры, ан-Найру-зи, Ибн ал-Хайсама, ал-Бируни, Омара Хайама и др. Особое развитие аксиоматический метод получил в период Возрождения, когда его стали применять к другим областям знания - физике, этике, юридическим наукам. Несмотря на то, что проблема строгого обоснования геометрии на аксиоматической основе была независимо друг от друга решена на рубеже XIX и XX веков в трудах М.Пиери, Д.Гильберта и В.Ф.Кагана, вопросы, связанные с аксиоматическим методом, остались в центре внимания методической мысли. Нужна ли аксиоматика в школе Если да, то в каком объеме Эти вопросы вот уже на протяжении многих лет остаются открытыми.

Решение проблемы аксиоматического построения школьного курса геометрии в отечественной школе мы находим в учебниках М. Е. Ващенко-Захарченко, С.Е.Гурьева, А.Ю.Давидова, А.П.Киселева, А.Н.Колмогорова, Н.Н.Никитина, А. В. Погорелова, В.А.Гусева, в работах авторских коллективов Л.С. Атанасяна ( В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина); А.Д.Александрова (А.Л.Вернер, В.И. Рыжик); Г.П.Бевза (В.Г.Бевз, Н.Г.Владимирова); В.Г.Болтянского (М.Б.Волович, А. Д. Семушин); В. М. Клопско-го (3. А. Скопец, М. И.Ягодовский); А.Н.Колмогорова (А.Ф.Семенович, Р.С.Черкасов); В.Н.Руденко, Г. А.Бахурина и др.

Курс школьной математики должен быть таким, чтобы он прежде всего побуждал учащихся к постановке вопросов, выдвижению гипотез, создавал бы условия для эффективных поисков. Организация обучения должна обеспечивать не только усвоение программных геометрических знаний и умений, но и способствовать разностороннему развитию личности учащихся, в частности, развитию познавательных способностей, самостоятельности и творческого подхода к учению.

Цель исследования - создание учебно-методического комплекса по изучению аксиоматического метода в средней школе на уроках геометрии и факультативах, направленного на повышение качества знаний и уровня учебно-познавательной деятельности учащихся.

Объектом нашего исследования является процесс геометрической подготовки учащихся 7-9 классов.

Предметом исследования - аксиоматический метод в школьном курсе планиметрии и пути формирования у учащихся умений продуктивно использовать его при изучении геометрии.

Исходя из цели исследования, на основе анализа проблемы и результатов констатирующего эксперимента нами было выдвинута следующая гипотеза: если разработать учебно-методический комплекс, направленный на изучение основ аксиоматики в школьном курсе геометрии, и целенаправленно использовать его в предметном обучении или внеклассной работе по математике, то можно реализовать широкие возможности аксиоматического метода. Это будет стимулировать развитие мышления учащихся, их познавательных способностей и самостоятельности, что не только повысит эффективность обучения, улучшит качество получаемых геометрических знаний и умений, но и будет способствовать формированию научного мировоззрения обучаемых.

В ходе работы необходимо было решить задачи:

1. Рассмотреть различные подходы к применению аксиоматического метода в курсе геометрии и его значение в познании окружающего мира и обучении.

2. Выделить исходные методологические и психологические основы изучения аксиоматического метода в школе, определить его значение в решении образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения.

3. Обосновать и разработать теоретические основы изучения аксиоматического метода в школьном курсе планиметрии.

4. Определить оптимальные условия изучения основ аксиоматики в обучении геометрии.

5. Построить методическую систему изучения аксиоматического метода: разработать программу, учебные, методические и дидактические материалы, обеспечивающие изучение основ акси матики на уроках геометрии и факультативах. 6. Экспериментально проверить эффективность разработанного нового учебно-методического комплекса. Методологическую основу исследования составили психолого-педагогические и методико-математические труды, относящиеся к теме нашей работы, государственные документы по образованию, учебные программы по математике для средней школы.

Исторические подходы к аксиоматическому построению геометрии

АКСИОМАТИКА - система аксиом вместе с основными объектами (вещами) и основными отношениями между ними [92,с.12]. Под АКСИОМОЙ понимают высказывание некоторой теории, принимаемое при дедуктивном построении этой теории без доказательства, то есть принимаемое как исходное, отправное для доказательств других положений этой теории (теорем, греческое ) В переводе с греческого аксиома (а ш/хата) - истина, достойная признания [145,с.100]. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД - способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) - аксиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории (теоремы) должны выводится чисто логическим путем, посредством доказательств.

Аксиоматический метод - важнейший научный инструмент познания мира [162,с.10]. Большинство направлений современной математики, теоретическая механика, ряд разделов физики строятся на его основе. В самой математике аксиоматический метод дает логически стройное построение научной теории. Аксиоматически построенная математическая теория находит многократное приложение как в самой математике, так и в естествознании, потому что выводы такой теории справедливы в любом случае, где выполняется эта аксиоматика. Современная точка зрения на аксиоматическое построение какой-либо теории следующая.

1) Выбираются основные (первичные) понятия и отношения данной теории, которые не определяются.так как дальнейший процесс определения более сложных понятий должен иметь начало.

2) выделяются некоторые первичные утверждения - аксиомы, устанавливающие связь между первичными понятиями и отношениями и принимаемые без доказательства. Неизбежность введения системы аксиом обусловлена тем, что при доказательстве любой теоремы приходится опираться на уже доказанные факты, для которых в свою очередь можно выделить более простые и так далее. В результате получается набор утверждений - система аксиом, с помощью которой можно доказать все положения данной теории1. 3) все новые понятия, вводимые в данной теории, определяются через первичные понятия или через ранее определенные понятия и отношения; все новые утверждения теории (теоремы) доказываются на основе ранее введенных понятий и аксиом (или предшествующих теорем). Правила вывода одних истинных предложений из других в рамках данной теории не исследуются, а являются предметом математической логики [ 98,с.404]. Кроме того, в любой аксиоматике подразумеваются известными правила грамматики, натуральные числа и т. п. Аксиоматика, в которой используется только такой необходимый минимум, называется ЗАМКНУТОЙ ( ИСЧЕРПЫВАЮЩЕЙ ). В такой аксиоматике ничто не предполагается известным заранее. Если же при изложении аксиом известным или само собой понятным считается понятие какой-либо другой теории сверх необходимого для формулировок минимума, то аксиоматика называется НЕЗАМКНУТОЙ [11,с.636]. Такие системы аксиом очень удобны, но они не дают исчерпывающих оснований геометрии, так как подразумевают знание других теорий. Например, школьная аксиоматика использует вещественные числа и некоторые другие понятия, поэтому она не является замкнутой.

Важнейшим требованием к системе аксиом является ее НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ. Выводы из данных аксиом не должны приводить к возникновению двух взаимно исключающих утверждений. Противоречивая аксиоматика не может служить основой для построения содержательной теории, теряет свою ценность для познания реальной действительности, отраженной в математической модели. Доказательство непротиворечивости системы аксиом сводится к доказательству существования хотя бы одной ее реализации [116,с.180], то есть к указанию некоторого непустого множества, в котором для конкретных неопределяемых объектов и отношений выполнены все аксиомы данной теории. Однако этот способ позволяет лишь свести вопрос о непротиворечивости данной теории к вопросу о непротиворечивости какой-либо другой теории. Строгое доказательство, как показал австрийский математик К.Гедель, вообще говоря, невозможно. Но, используя несколько модифицированную логику, удается строго доказать непротиворечивость почти всех математических теорий [98,с.405].

Применение аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы

Несмотря на недостатки и достаточно сложное в методическом плане изложение, "Начала" Евклида до конца XVIII в. оставались почти единственным источником геометрического познания. Главная причина этого заключена прежде всего в высоком достоинстве творения древнегреческого ученого. Знание "Начал" было неотъемлемой частью классического образования, так как, по мнению педагогов, геометрия способствовала развитию и укреплению дисциплины ума. В педагогической литературе того времени "Начала" сопоставлялись с Библией, что придавало творению Евклида облик неоспоримого авторитета.

Во второй половине XVIII в. образование охватило широкие слои населения, поэтому назрела необходимость разработки более доступных учебных пособий по геометрии. Результатом работы в этом направлении стало появление так называемых школьных изданий "Начал" Евклида. Они выходили на разных языках и были снабжены дополнениями и пояснениями для учащихся. В школьный курс включались планиметрия и стереометрия, то есть первые шесть книг, Книга X и Книга XI "Начал". Были изданы учебные пособия по геометрии шотландских математиков Симеона (1687-1768) и Плейфера (1748-1819) в Англии, нидерландского ученого Лоренца (1853-1928) в Германии, Дешаля (1621-1678) во Франции. Французский математик Лежандр (1752-1833) переработал "Начала" в курс элементарной геометрии, а под руководством Лакруа (1765-1843) вышло пособие по углубленному изучению геометрии. На русском языке "Начала" выходили в переводе математика-педагога Курганова Н.Г.(1722-1796), ученого Петрушевского Ф.И.(1785-1848), математика Ващенко-Захарченко М.Е. (1825-1912), Мордухай-Болтовского Д. Д. (1876-1952).

В школьных изданиях "Начал" широко использовались арифметика и алгебра, был включен материал по измерению величин, некоторые формулировки аксиом и постулатов были упрощены. Так, вместо пятого постулата Евклида использовали теорему Плейфера :" Через данную точку Р можно провести лишь одну прямую, параллельную данной прямой 1", которая является эквивалентом постулата, но более проста по содержанию. Именно эта теорема используется в современных школьных курсах.

Традиционный принцип построения школьного курса геометрии по классической схеме Евклида - добиваться убедительных рассуждений, опираясь прежде всего на построение, а лишь затем на аксиомы. Этот принцип был положен в основу учебников геометрии А.П.Киселева. Исторический опыт "Начал", перенесенный автором в свои учебные пособия способствовал их огромной популярности на протяжении многих лет.

В "Началах" Евклида можно обнаружить истоки различных подходов к доказательству свойств геометрических фигур. По Евклиду, фигуры в геометрии существуют лишь тогда, когда они построены. Значит, два треугольника будут равны, если будет построен треугольник, равный первому и совпадающий со вторым. Именно такой подход к доказательству признаков равенства треугольников используется в учебнике А.Д.Александрова [7] и в различных изданиях учебных пособий А. В. Погорелова [114], [115], [118].

Но при доказательстве равенства треугольников Евклид пользуется их наложением, то есть интуитивным понятием движения, как мысленного переноса одного треугольника для совмещения его с другим. Возможность этого обусловлена Аксиомой 7 и Постулатом 4 "Начал" [ см. 106, с. 39-40]-. Такой подход к доказательству равенства фигур используется в учебниках А.П.Киселева [76] и Л.С.Атанасяна [41].

Доказательство равенства фигур в учебнике А.Н.Колмогорова [83] основано на указании перемещения, переводящего одну фигуру в другую, но признаки конгруэнтности треугольников в нем не доказываются. Способ доказательства равенства по такому пути дан в учебнике В.Г.Болтянского [27].

Традиционный школьный курс геометрии воспроизводит содержание первых книг "Начал" - формулировка предложений, а нередко и элементы их доказательств. Тем не менее, более глубокий анализ школьных учебников показывает, что они все дальше уходят от идей Евклида.

Концепция изучения аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы

Геометрия призвана достичь некоторые важные цели, которые стоят перед школьным образованием на современном этапе. Одна из них состоит в тренировке и гармоничном развитии мыслительных способностей учащихся. " Человечество не нашло лучшего способа развития интеллектуальных и творческих способностей человека, чем при помощи математики" [ 144, с.7]. Тренировочная цель геометрии - основная. Кроме того, геометрия, как никакой другой школьный предмет, способствует эстетическому развитию учащихся. Она прививает умение ценить интеллектуальные достижения человечества. История развития геометрии - это история культуры, история идей, которая часто остается за пределами школьного образования, в котором предпочтение отдается истории сражений и реформ.

Геометрия как наука зародилась на основе аксиоматики. Эта же традиция сохранилась и в современном школьном курсе, но, как показывает практика, изучению аксиоматического метода не уделяется должного внимания.

На Конференции учителей математики ( Орел, 1995 г., март) было проведено анкетирование, которое выявило следующее. По мнению большинства опрошенных учителей, аксиоматический метод придает строгость школьному курсу геометрии и дает основу для доказательств, "развивает логическое мышление, учит детей рассуждать, делать выводы " ( учитель шк. 39 Вельская Л.А.). Но при его применении возникает много проблем. Основные трудности, с которыми сталкиваются учителя, работающие по учебнику А.В.Погорелова "Геометрия 7-11", - это то, что аксиоматический метод "очень рано вводится" (учитель шк. 4 Абрамова Г.С). Учащиеся не всегда могут правильно использовать аксиоматику при решении задач ( учитель школы-лицея 1 Дмитриева Т.М.), "особенно трудно идет работа по решению задач с помощью аксиом стереометрии методом от противного" (учитель школы-лицея 1 Царева С. А. ). Все это происходит потому, что "учащиеся должны доказывать "вещи", которые им кажутся очевидными ( без всякого доказательства)" ( учитель шк. 15 Черникова Т.И.). На первых этапах изучения геометрии учителю трудно убедить учащихся, не знакомых с аксиоматическим методом, в необходимости таких доказательств, приучить обосновывать каждый шаг, ссылаясь на соответствующую аксиому или теорему. Часто эти трудности сохраняйся и к концу изучения курса планиметрии. Поэтому большинство учителей ( 73% принявших участие в опросе ) отметили необходимость знакомства учащихся с аксиоматическим методом.

Достоинством применения аксиоматики в школьном курсе учителя отметили развитие логического мышления учащихся. Аксиоматический метод может выступать не только как средство обоснованного рассуждения, но и как средство получения знания, так как при аксиоматическом построении какой-либо теории доказанное утверждение можно считать истиной. Но всего этого можно было бы достичь и без применения аксиоматики, тем более, что такое изложение школьной геометрии влечет за собой много трудностей. Нельзя забывать, что знания - это результат прежде всего опыта и наглядности, а не чисто логических рассуждений, которые в школе будут не по силам даже хорошо подготовленным учащимся.

Аксиоматическое изложение геометрии сложилось исторически. Поэтому главным в обучении должно стать не развитие теории из готовой аксиоматики, а процесс создания такой аксиоматики. Аксиомы геометрии достаточно понятны, но, самое главное, они позволяют перейти к неевклидовым геометриям. Занимаясь вопросами аксиоматики на протяжении более двух тысяч лет, человечество в итоге сделало скачок в познании объективной реальности. Об этом, конечно, учащиеся должны знать

Одна из важнейших задач школьного курса математики - формирование научного мировоззрения. Включение в программу школьного курса геометрии в 9 классе вопросов, связанных с аксиоматикой носит информативный характер. Но сама по себе информация не может сформировать мировоззрение: многие выпускники школ все равно представляют неевклидову геометрию плодом ума некоторых математиков. Естественно, за то время, которое отводится программой на изучение этого материала, воспитать научное мировоззрение нельзя, однако после изучения такого курса вряд ли учащиеся будут считать евклидову геометрию единственно возможной моделью окружающей нас действительности. Главная сущность аксиоматического построения состоит в возможности различных интерпретаций геометрии. "Аксиоматический метод в геометрии позволяет окружить его такими важными идеями, знакомство с которыми повышает и значение самого метода" [157, с.219].

Федеральное агенство по образованию РФ Саратовский государственный университет

имени Н.Г. Чернышевского





Кафедра математики и

методики её преподования









аксиоматический метод



курсовая работа





























г. Саратов 2009 г.


содержание



	Введение.	3

	1. Основные понятия аксиоматической теории.	4

	1.1.Основные этапы развития аксиоматического метода в науке.	4

	1.2.Понятие аксиоматической теории.	7	

	1.3.Как возникают аксиоматические теории.	10

	2. Примеры аксиоматических теорий.	12

	Заключение.	16

	Список используемых источников.	17


введение



Аксиоматический метод – фундаментальнейший метод организации и умножения научного знания в самых разных его областях – сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории развития науки. Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удаётся пользоваться аксиоматическим методом, т.е., когда наука принимает характер аксиоматической теории. Более того, развитие науки в двадцатом столетии показало, что математика выделяется в системе наук именно тем, что она, по существу, единственная, использующая аксиоматический метод чрезвычайно широко, и что этот метод в значительной мере обуславливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.

Целью данной курсовой работы является изучение применения аксиоматического метода к решению математических задач.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемых источников.

Во введении описана актуальность темы, сформулирована цель, дана структура курсовой работы.

В первой главе даны основные этапы развития аксиоматического метода и основные понятия аксиоматической теории. Намечен курс дальнейшего исследования.

Во второй главе описывается построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля.

В заключении сформулированы основные выводы к работе.


1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ



1.1 Основные этапы развития аксиоматического метода в науке



Формирование современного понимания существа аксиоматического метода происходило на протяжении более чем двухтысячелетней истории развития науки.

Истинное начало науки о геометрических фигурах и телах, конечно же, теряется в глубине тысячелетий. Начальное оформление первых геометрических представлений обычно связывают с древнейшими культурами Вавилона и Египта (3-2 тысячелетия до н.э.). С VII века до н.э. начинается пириод развития геометрии трудами греческих учёных. Пифагорейская школа в VI-V веках до н.э. продолжила геометрические исследования. Её основоположник Пифагор (560-470 или 580-500 г.г. до н.э.) в молодости около двадцати лет учился мудрости в Египте, ещё десяти – в Вавилоне. Несомненно, что в школе Пифагора геометрия сделала первые шаги от узкопрактических утилитарных задач, от геометрии измерения участков земли к обобщениям, абстракциям и рассуждениям.

Величайший философ античности Платон (428-348 г.г. до н.э.) создатель Академии, по-видимому, первым отчётливо поставил задачу построения всего научного знания вообще и геометрии в частности дедуктивным образом. Трактаты и учебники по геометрии появились ещё до Платона – известны руководства Гиппократа Хиосского, Демокрита, Февдия. но лишь Платон потребовал, чтобы во главу всякой отрасли знания были поставлены понятия и положения, из которых всё остальные, что к этой отрасли относятся должно вытекать кА их следствия. Но эта постановка у Платона всё же весьма расплывчата и контуры её лишь угадываются из всего его учения, построенного на полумистической базе.

Гениальный ученик Платона великий Аристотель (384-322 г.г. до н.э.), перешагнул через мистические догмы Платона, выявил его рациональные требования научного обоснования всякого знания всякой научной деятельности. Он охватил почти все достигнутые для его времени отрасли знания, стал основоположником научного метода и многих наук. Наука, по Аристотелю, представляет собой последовательность предложений, относящихся к некоторой области. Среди этих предложений имеются основные, которые настолько очевидны, что не требуют доказательств. Это – аксиомы. Остальные предложения должны быть выведены из них. Это – теоремы. Эта научная доктрина Аристотеля была принята как руководство к действию, прежде всего, математики. И когда примерно полстолетия спустя появился гениальный труд Евклида «Начала», то в его структуре явно просматривалась печать схемы Аристотеля. 

Более 2000 лет «Начала» служили единственным руководством, по которому учились геометрии юноши и взрослые в странах запада и востока. Это была первая в истории человечества поистине научная книга: в ней геометрия была представлена как аксиоматическая теория, исходя из тех принципов, формулировки которых восходили к Аристотелю и Платону.

Наибольший интерес исследователей евклидовой системы обоснования геометрии на протяжении многих веков вызывал V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороной с которой эта сумма меньше двух прямых. Пространственность его формулировки толкала исследователей на то, чтобы доказать его, вывести из остальных постулатов и аксиом и тем самым исключить его из числа постулатов. Такие исследования велись в элленическую эпоху (Посидоний, I в до н.э., Санкери, XVIII в., Ламберт, XVIII в.). Это была эпоха Евклида в истории обоснования геометрии, эпоха его продолжателей и усовершенствователей, период наивно-аксиоматического построения геометрии. В начале XIX века вместе с безуспешными попытками доказательства V постулата она подходит к концу. Она рождала из себя выдающееся открытие – новое понимание оснований геометрии и новый шаг в понимании сути аксиоматического метода.

11 февраля 1826 г. в заседании Физико-математического факультета Казанского университета профессор Н.И. Лобачевский (1792-1856 г.г.) сообщил об открытие: V постулат Евклида лежит в основе теории параллельных прямых. Значения открытия Лобачевского неизмеримо велико для геометрии. Во-первых, он «закрыл» проблему V постулата, стоявшую перед геометрами 2000 лет, доказав, что V постулат логически не зависит от остальных аксиом геометрии, т.е. не является их необходимым следствием. Во-вторых, V постулат потому именно не вытекает из остальных постулатов, что наряду с геометрией Евклида, в которой этот постулат верен, возможна другая «воображаемая», геометрия, в которой V постулат не выполняется. В-третьих, открытие Лобачевского дало новый взгляд на суть аксиоматического метода, который получил своё дальнейшее развитие. Аксиомы – это вовсе не самоочевидные истины. Это – утверждения о каких-то первоначальных понятиях, принимаемые без доказательств и кладущиеся в основе теории, из которых все дальнейшие утверждения теории логически выводятся. Истинно то, что может быть логически доказано (выведено) из принятых аксиом. И, в-четвёртых, открытие новой, как её обычно называют, неевклидовой геометрии положило конец существовавшеё до Лобачевского точке зрения, согласно которой евклидова геометрия представлялась единственно мыслимым учением о пространстве.

К концу 60-х годов XIX века, когда идеи Лобачевского были уяснены и признаны основной массой математиков и те приступили к их дальнейшему развитию, с новой силой встала проблема аксиоматического построения геометрии. К концу XIX и в начале XX века было опубликовано много работ на эту тему. Наибольшую популярность получило сочинение немецкого математика Д. Гильберта «Основания геометрии», вышедшие в 1899 году. В этой книге Гильберт привёл полную систему аксиом евклидовой геометрии, т.е. такой набор основных предложений, из которых все остальные утверждения геометрии могут быть доказаны логическим путём, доказал противоречивость этой системы и независимость некоторых аксиом от остальных аксиом системы. С выходом в свет этой книги вопрос о логическом обосновании геометрии фактически был закрыт. Более того, были окончательно осознаны те идеи и принципы, которые характеризуют суть аксиоматического подхода к обоснованию геометрии, а также суть аксиоматического метода вообще. Было принято, что значит построить аксиоматическую теорию и на какие вопросы при этом необходимо дать ответы. Это вопросы, связанные с непротиворечивостью, полнотой и категоричностью этой теории и независимостью её системы аксиом. Различные системы аксиом, исходящие из различных первоначальных понятий, строились как до выхода книги Гильберта (М. Пашем в 1882 году), так и после её выхода, вплоть до начала 20-х годов (Г. Вейлем в 1916 году). Этим был завершён второй этап развития аксиоматического обоснования геометрии абстрактно-аксиоматическое построение геометрии.

Геометрические исследования, начатые Лобачевским, привели к тому, что в начале XX века было сформировано фундаментальнейшее понятие современной математики – понятие (математического или геометрического) пространства как некой совокупности однородных объектов произвольной природы (точек, векторов, фигур, функций и т.п.), взаимное отношения между которыми удовлетворяют той или иной системе аксиом. Такое понимание позволило геометрическим идеям, оплодотворённым аксиоматическим методом, проникнуть во многие области математики, физики и других наук. При этом и сама геометрия стала развиваться всё шире, математика становилась всё более единой наукой, а границы её многообразных областей, в том числе и геометрии, становились всё менее чёткими. Поистине цементным раствором, соединившим прочнейшими связями основания всех областей математики, явилась в XX веке математическая логика. С её помощью был исследован сам процесс доказательства, процесс вывода теорем из аксиом. Тем самым аксиоматический метод получил дальнейшее своё развитие и достиг в определённом смысле вершины. Аксиоматические теории сами стали точными математическими объектами, названными формальными системами, и стали изучаться математическими методами, стала строиться теория также математических теорий (теория формальных систем), называемая метатеорией. Это направление было начато в работах Гильберта и получило название метода формализации и обоснования математики. В рамках метатеории геометрии были доказаны непротиворечивость, категоричность, полнота и разрешимость аксиоматической теории евклидовой геометрии, а также и геометрии Лобачевского. Можно сказать, что в XX веке состоялся третий этап развития аксиоматического метода.



1.2 Понятие аксиоматической теории



Исторический процесс развития взглядов на существо математики как науки привел к формированию фундаментальной концепции аксиоматического метода и понятия аксиоматической теории. Суть их состоит в следующем. Выбирается ряд первоначальных понятий, которые не определяются и используются без объяснения их смысла. Вместе с тем, все другие понятия, которые будут использоваться, должны быть строго определены через первоначальные неопределённые понятия и через понятия, смысл которых был определён раньше. Высказывания, определяющее таким способом значение понятия, называется определением, а само понятие, смысл которого определён, носит название определяемого понятия. Евклид сделал попытку строго определить все первоначальные понятия геометрии: точки, прямой, плоскости и т.д. Но совершенно ясно, что эти понятия должны определяться через какие-то другие, те в свою очередь, должны опираться на следующие понятия, и так далее, так что процесс бесконечен. Таким образом, первоначальные понятия аксиоматической теории не определяются.

Совершенно аналогична ситуация и с утверждениями о первоначальных и об определяемых понятиях. Невозможно доказать все истинные утверждения об этих понятиях, потому что при доказательстве нужно опираться на какие-то предыдущие утверждения, при их доказательстве, в свою очередь, - на следующие, и так без конца. Поэтому и здесь необходимо выделить некоторые утверждения и объявить их истинными. Такие утверждения, принимаемые без доказательства, называются аксиомами аксиоматической теории. Совокупность аксиом обозначается буквой . Вопрос о том, какие утверждения о первоначальных понятиях выбираются в качестве аксиом, заслуживает специального рассмотрения. Евклид в качестве пяти своих аксиом (постулатов) выбрал наиболее, на его взгляд, очевидные утверждения о точках и прямых, т.е. такие утверждения, которые многократно подтверждались практическим опытом человечества.

Итак, после того, как система аксиом аксиоматической теории выбрана, приступают к развитию самой аксиоматической теории. Для этого, исходя из выбранной системы аксиом, пользуясь правилами логического умозаключения, выводятся новые утверждения о первоначальных понятиях, а также об определяемых понятиях. Получаемые утверждения называются теоремами данной аксиоматической теории. 

Можно более точно сформировать понятие теоремы аксиоматической теории и её доказательства. Доказательством утверждения С, сформулированного в терминах данной теории, называется конечная последовательность В1, В2, …, В5 высказываний теории, в которой каждое высказывание есть либо аксиома, либо оно получено из одного или более предыдущих высказываний данной последовательности по логическим правилам вывода, а последнее высказывание В5 есть утверждение С. При этом, С называется теоремой или доказуемым утверждением аксиоматической теории. Обозначение: |- С. Каждая аксиома аксиоматической теории является её теоремой доказательство аксиомы есть одноэлементная последовательность, состоящая из неё самой.

Важным является следующее обобщение понятия теоремы. Пусть Г – конечное множество высказываний некоторой аксиоматической теории. Утверждение С теории, называется выводами из Г (обозначается Г |-), если существует конечная последовательность высказываний В1, В2, …, В5, называемая выводом С из Г, каждое высказывание которой является либо аксиомой, либо высказыванием из Г, либо получено из одного или более предыдущих высказываний этой последовательности по какому-либо из правил вывода рассматриваемой теории, а последнее высказывание В5 есть утверждение С. Утверждение из множества Г называются гипотезами. В частном случае, когда Г=, вывод С из Г превращается в доказательство утверждения С, а С становится теоремой аксиоматической теории.

Итак, под аксиоматической теории, построенной на основе системы аксиом , понимается совокупность всех теорем, доказываемых, исходя из этой системы аксиом. Такую совокупность теорем обозначают Тh ().

Изложенный метод построения математической теории носит название аксиоматического или дедуктивного метода. Выбор системы аксиом есть дело условия: одно и тоже утверждение теории может быть аксиомой, если оно так выбрано, а может выступать в качестве теоремы, если выбор аксиом осуществлён по-иному. Итак, если в обыденной жизни за термином «аксиома» утвердился его изначальный смысл (в переводе с греческого «аксиома» означает «достойный признания), именно смысл самоочевидной, безусловной истины, то в математике, при построении аксиоматических теорий, аксиомы условны. Они «достойны признания» не сами по себе, не ввиду их самоочевидной истинности, а потому что на их основе строится та или иная аксиоматическая теория. При новом выборе системы аксиом прежние аксиомы становятся теоремами. Коротко говоря, аксиомы – это то, из чего выводятся теоремы, а теоремы – то, что выводится из аксиомы.

Суть аксиоматического построения математической теории состоит в том, что сначала выбирается ряд первоначальных понятий, который не определяются и используются без объяснения их смысла. Ранее, формулируется ряд первоначальных утверждений. Об этих первоначальных понятиях, которые принимаются без доказательства и которые называются аксиомами. Наконец, исходя из выбранной системы аксиом, доказывают новые утверждения о первоначальных понятиях, а также о понятиях, которые определяются в процессе развития аксиоматической теории. Эти доказываемые утверждения называются теоремами, а совокупность всех теорем, выводимых (доказываемых) из данной системы аксиом, называется аксиоматической теорией, построенной на базе этой системы аксиом.



1.3 Как возникают аксиоматические теории



Можно указать два пути, по которым происходило становление тех или иных аксиоматических теорий, известных в математике. 

Первый путь состоит в том, что та или иная математическая теория, достигнув достаточн.......................