Содержание и анализ изложения обратных тригонометрических функций в различных школьных учебниках.

Оглавление
Введение	3
Глава 1. Основные теоретические положения	6
1.1. Содержание и анализ изложения обратных тригонометрических функций в различных школьных учебниках	6
1.2. Общетеоретические основы темы                                                                «Обратные тригонометрические функции»	9
1.3. Определение обратных тригонометрических функций	15
1.4.Тригонометрические операции над аркфункциями,                                             соотношения между аркфункциями	24
1.4.1.Соотношения между аркфункциями	26
1.4.2.  Выполнение обратных тригонометрических операций над                                                                     тригонометрическими функциями	31
1.5.Формулы сложенияобратных тригонометрических функций	34
1.5.1. Формулы сложения через данную аркфункцию	34
1.5.2.Формулы сложения аркфункций от произвольных  аргументов	36
Глава 2.  Решение задач по теме	42
«Обратные тригонометрические функции»	42
2.1. Задачи, предполагаемые в школьных учебниках	42
2.2. Задачи, содержащиеся в материалах ЕГЭ	55
2.3.Конспект урока на тему                                                                                             «Обратные тригонометрические функции» в 11 классе	63
2.4.Варианты контрольной работы по теме                                                                                                 «Обратные тригонометрические функции» в 11 классе	67
2.5.Календарно – тематическое планирование занятий                                        по теме «Тригонометрические функции» в 10 классе	69
Заключение	72
Список использованной литературы	73




Введение

     В древние времена тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, строительного дела и землемерия, иными словами она носила чисто геометрический характер и представляла, в основном, «исчисление хорд». Со временем в нее начали включаться некоторые аналитические моменты. В первой половине XVIIIвека произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции. Это имеет не только математико-исторический, но и методико-педагогический интерес.
     В настоящее время изучению тригонометрических функций, а именно как функций числового аргумента, уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры и начал анализа. Теория обратных тригонометрических функций является своего рода «зеркальным» отражением теории тригонометрических функций и содержит довольно много интересных задач.
     Опыт преподавания показывает, что учащиеся весьма слабо оперируют с обратными тригонометрическими функциями. Более того, ученики чисто психологически робеют перед ними.
     Все вышеизложенное обуславливает актуальностьвыбора темывыпускной квалификационной работы. 
     Кроме того, большие трудности при изучении темы «Обратные тригонометрические функции» в школьном курсе возникают из-за несоответствия между достаточно большим объемом содержания и относительно небольшим количеством часов, выделенным на изучение данной темы. Таким образом, проблемаэтой исследовательской работы состоит в необходимости устранения этого несоответствия за счет тщательного отбора содержания и разработки эффективных методов изложения данного материала. 
     Объектомисследования является процесс изучения функциональной линии в курсе старшей школы.  Предметисследования – методика изучения обратных тригонометрических функций в курсе алгебры и начала анализа в 10-11 классах.
     Таким образом,цельюданной квалификационной работы является изучение общих методических положений, на которые нужно обратить внимание при изложении темы: «Обратные тригонометрические функции» в курсе алгебры и математического анализа. 
     Для решения проблемы исследования и достижения цели реализуются следующие задачи:
 Изучение методической литературы по выбранной теме;
 Проведение логико-дидактического анализа изложения рассмотренной  темы в современных школьных учебниках;
 Систематизировать и обобщить изложенный материал;
 Разработка конспекта урока по теме«Обратные тригонометрические функции» в 11 классе.
 Разработка календарно – тематического планирования по теме «Обратные тригонометрические функции» в 10 классе.
 Разработка вариантов контрольной работы по теме «Обратные тригонометрические функции» в 11 классе.
     Для достижения цели работы и решения выше поставленных  задач были использованы следующие методы:
 Изучение программ, учебных пособий, методических материалов касающихся обратных тригонометрических функций;
 Сопоставительный анализ школьных учебников различных авторов;
     Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. 
     В первой главе рассмотрены основные определения  и свойства обратных тригонометрических функций, а так же методика их изучения.
     Вторая глава выпускной квалификационной работы посвящена решению задач, обобщению и анализу теоретико-методического материала, разработке конспекта урока по теме «Обратные тригонометрические функции», созданию тематического планирования по данной теме и разработке вариантов контрольной работы по теме «Обратные тригонометрические функции».
     Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы определяется тем, что в ней разработаны и проверены учебные материалы для преподавания темы «Обратные тригонометрические функции». Подобраны системы задач по указанной теме. Разработаны методические рекомендации для учителей по организации обучения по представленному материалу.Материал данной выпускной квалификационной  работы может быть использован учителями школ при изложении темы «Обратные тригонометрические функции» в курсе алгебры и математического анализа в 10-11 классах.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

Глава 1. Основные теоретические положения
 .Содержание и анализ изложения обратных тригонометрических функций в различных школьных учебниках

     Рассмотрим содержание материала по изучению обратных тригонометрических функций, изложенного в различных учебниках по математике в
 10-11 классах средней школы, с целью его сравнения, анализа и формирования наиболее приемлемой методики изучения данной темы в школьном курсе математики. 
     В учебнике [14] курс изучения математики в 10 классе начинается с изучения главы «Тригонометрические функции». Здесь автор вводит понятие числовой окружности на координатной плоскости, понятие синус, косинус, тангенс, котангенс, основные тригонометрические соотношения связанные с ними. Формулы приведения вводятся после изучения тригонометрических функций углового аргумента. Далее рассматриваются свойства и графики тригонометрических функций. Во второй главе «Тригонометрические уравнения» вводятся понятия арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Отдельно тема «Обратные тригонометрические функции» не рассматривается. 
     В учебнике [10] курс изучения математики в 10 классе начинается с изучения главы «Тригонометрические функции». Сначала рассматриваются тригонометрические функции числового аргумента и основные формулы тригонометрии. Затем рассматриваются основные тригонометрические функции, их графики и свойства. После этого в теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» вводятся понятия арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и приводятся примеры на вычисление их значений. Отдельно тема «Обратные тригонометрические функции» не рассматривается.
     В учебнике [2] обратные тригонометрические функции рассматриваются в седьмой главе «Тригонометрические функции». Здесь автор рассматривает область определения, множество значений, четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций. Далее перечисляются свойства тригонометрических функций и строятся их графики. После этого переходят к изучению обратных тригонометрических функций. Данная тема рассматривается как дополнительный, более сложный материал. 
     В начале вводится определение функции y=arcsin?xчерез определение арксинуса числа, а затем рассматриваются ее свойства и график. Также доказывается утверждение, что функция y=arcsin?x  является обратной к функции y=sin?x,  рассматриваемой на отрезке -?/2?x??/2. Аналогично рассматриваются функции y=?xи y=?x. 
     Стоит отметить, что учебник [2] содержит много дидактических материалов, как простых, так и более сложных. Данное обстоятельство дает учителю возможность варьировать задания  для организации  дифференцированного и индивидуального обучения учащихся. 
     С точки зрения изложения теоретического материала, можно сказать, что данный учебник подходит для самостоятельного изучения. 
     Учебник [4] предназначен для углубленного изучения математики в общеобразовательных учреждениях. Курс изучения математики в 10 классе завершается главой «Тригонометрические функции». Здесь автор вводит понятие координатной окружности, понятие синуса и косинуса числового аргумента, понятие тангенса и котангенса числового аргумента. Далее рассматриваются свойства и графики тригонометрических функций, вводятся формулы сложения и приведения. Затем следует тема «Дифференцирование тригонометрических функций». Понятие арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс вводятся при решении тригонометрических уравнений и неравенств. 
     Автор учебника [4] отдельно выделяет тему «Обратные тригонометрические функции». В начале рассматриваются определения, свойства и графики обратных тригонометрических функций. Затем переходят к вычислению пределов, связанных с обратными тригонометрическими функциями и дифференцированию обратных тригонометрических функций. После этого определяют некоторые тождества для этих функций. И в заключение данной темы рассматривают уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции. 
     Стоит отметить, что учебник [4] содержит много примеров и большое количество задач, как простых, так и более сложных. Это, естественно, способствует быстрому изучению материала, рассмотренные в учебнике примеры помогают в усвоении новых знаний, а задачи – в закреплении. С точки зрения изложения теоретического материала можно сказать, что этот учебник подходит для углубления знаний учащихся по теме «Обратные тригонометрические функции». 
















1.2.Общетеоретические основы темы«Обратные тригонометрические функции»

    Обратимость функции. В ходе исследования различных функций неоднократно решались такие задачи: вычислить значение функции f по заданному значению x_0аргумента. Часто приходится рассматривать и обратную задачу: найти значение y_0.
     Пример 1. Пусть f(x)=kx+b(k?0). Чтобы найти значение аргумента x, при которыхf(x)=y_0, надо решить уравнение f(x)=y_0, т.е. уравнение kx+b=y_0. Решая  его, находим, что при любом y_0 оно имеет единственное решение x=y_(0-b)/k. 
     Пример 2. Для функции f(x)=x^2 уравнение f(x)=y_0 при y_0>0 имеет два решения: x_1=?(y_0 ), x_2=-?(y_0 )(Если y_0=0, решение одно: x_0=0.)
     Определение 1[10, с.237]. Функцию, принимающую каждое свое значение  в единственной точке области определения, называют обратимой.
     Таким образом, при k?0 функция f(x)=kx+b обратима, а функция  f(x)=x^2 (определенная на всей числовой прямой) не является обратимой. 
     Замечание. Из определения обратимой функции сразу следует, что если f обратима, а число a принадлежит области определения E(f), то уравнение f(x)=a имеет решение и притом только одно. 
     2. Обратная функция.  Пусть f-произвольная обратимая функция. Для любого числа y_0 из ее области значения E(f) имеется в точности одно значение x_0, принадлежащее определения D(f), такое, что I(x_0 )=y_0. Поставим в соответствие каждому  y_0 это значение x_0, получим новую функцию  с областью определения E(f) и областью значения D(f). Например, для обратимой функции f(x)=kx+b  (k?0) значение новой функции  в произвольной точке y_0 задается формулой 
      .
     Выбирая для аргумента функции  привычное обозначение x, находим, что
     . 
     Если функция  в каждой точке x области значения обратимой функции f принимает такое значение y, что f(x)=x, то говорят, что функция 
-обратная функция к f [10, с.237].
     Как показано выше, функцией, обратной к функции 
f(x)=kx+b  (k?0), является функция (x)=(x-b)/k.
     Сравним две функции y=f(x)  и y=(x), их графики изображены на рисунке 1, 2. Оба они определены на отрезке [a;b] и имеют областью своих значений отрезок [c;d]  есть только одно значение x_0 из отрезка [a;b], такое, что f(x)=y_0. Геометрическое указанное выше свойство означает следующее: любая горизонтальная прямая, пересекающая ось y между точками cи d, пересекает график функции y=f(x) только в одной точке. 
      
     Рис.1
     
      
     Рис.2
     Вторая функция этим свойством не обладает: например, для значенияy_1прямая ?y=y?_1пересекает график функции y=(x) в трех точках. Значит, в первом случае при каждом фиксированном y_0 из отрезка [c;d] уравнение f(x)=y_0 имеет только один корень x_1, а во втором случае при некоторых y, например, при ?y=y?_1 уравнение ?(x)=y?_1имеет более одного корня.
     Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения y_0 уравнение f(x)=y_0 имеет относительно x единственный корень, то говорят, что функция fобратима[14, с.92].
     Так, функция y=f(x), график которой изображен на рисунке 1,  обратима, а функция y=(x), график которой изображен на рисунке 2, не обратима. 
     Если функция y=f(x) обратима, то, выразим xиз формулы y=f(x) и поменяв затем xи yместами, получим обратную функцию.
     Сравнивая графики y=f(x) и y=(x), замечаем, что y=f(x) – возрастающая функция (и у нее есть обратная функция), тогда как y=(x) не является ни возрастающей, ни убывающей (и у нее нет обратной функции). Возрастание или убывание функции обеспечивает существование обратной функции.
     Теорема[14, с.92].Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке X  и областью ее значения является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (убывает) на Y.
     Пример 3. Доказать, что функцияy=2x-1обратима, и найти ее обратную функцию.
     Доказательство.Функция y=2x-1 возрастает на всей числовой прямой, значит, у нее есть обратная функция. Чтобы найти обратную функцию, надо из формулы y=2x-1 выразить x. Получим x=(y+1)/2. Поменяв x и y местами, получим x=(y+1)/2. Это и есть искомая обратная функция. 
     Что и требовалось доказать.
     Если точка (x;y)принадлежит графику функции y=f(x), то точка (y;x) принадлежит графику обратной функции. Поэтому график обратной функции получается из графика функции y=f(x) с помощью преобразования плоскости xy, переводящего точку (y;x) в точку (x;y). Этим преобразованием является симметрия относительно прямой y=x.
     Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой  y=x(Рис.3)[14, с.92].
     
      
     Рис.3 
     Если задан график обратимой функции f, то график функции , обратной кf, нетрудно построить, пользуясь следующим утверждением:
     Графики функции f и обратной к ней функции g симметричны относительно прямой y=x[10, с.237].
     Докажем это свойство. Заметим, что по графику функции f можно найти числовое значение обратной к f функции  в произвольной точке a. Для этого нужно взять точку с координатой a не на горизонтальной оси (как это обычно делается), а на вертикальной. Из определения обратной функции следует, что значение равно b (Рис.4).
     
      
     Рис. 4
     Таким образом, если считать, что выбрана несколько необычная система координат (аргумент откладывается на вертикальной оси, а значение функции – на горизонтальной), то можно сказать, что график обратной к f функции– это график функции f (построенной в обычной системе координат).Для  того чтобы изобразить график  в привычной системе координат, надо отразить графикf относительно прямой y=x (Рис.5).
      
     Рис. 5
     Если функция  – обратная к функции f, то функция  обратима и обратной к ней является функция f. Поэтому говорят, что функции fи взаимно обратны[10 с.238].
     Теорема (об обратной функции)[10 с.239].Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к fфункция , определена в области значений f, также является возрастающей (соответственно убывающей).
     Доказательство.Предположим для определенности, что функция f возростающая. Обратимость функции f – очевидное следствие теоремы о корне. Поэтому остается доказать, что функция  обратная к f, возрастает на множестве E(f).
     Пусть x_1иx_2 – произвольные значения из E(f), такие что x_2>x_1, и пусть y_1=(x_1) , y_2=(x_2) . 
По определению обратной функции x_1=f(y_1)и x_2=f(y_2). 
     Воспользовавшись тем условием, что f – возрастающая функция, находим, что допущение y_1?y_2 приводит к выводу ?f(y?_1)?f(y_2)т.е. x_1?x_2.Это противоречит предположению x_2>x_1 . Поэтому y_2>y_1, т.е. из условия x_2>x_1 следует, что .  Что и требовалось доказать. 











1.3.Определение обратных тригонометрических функций
     
     Обратные тригонометрические функции изучаются в 10-11 классах как дополнительный, более сложный материал. Он не является обязательным для изучения и рассматривается при наличии времени или предлагается для самостоятельной работы учащимся, интересующимся математикой. Как например, в учебнике [2] материал дается как дополнительный. Более подробно тема изучается в учебнике [4]. В учебнике [4] изучаются не только определение, свойства, но и дифференцирование обратных тригонометрических функций, вычисление пределов, а так же уравнения и неравенства. 
     1.Теорема о корне[10].Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число a – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень в промежутке I.
     Доказательство. Рассмотрим возрастающую функцию f (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию в промежутке I существует такое число b, что f(b)=a. Покажем, что b – единственный корень уравнения f(x)=a.
      Допустим, что на промежутке I  есть еще число  c?b, такое, что f(c)=a. Тогда cb. Но функция f возрастает на промежутке I, поэтому соответственно либо f(c)f(b). Это противоречит равенству f(c)=f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение неверно и в промежутке I, кроме числа b, других корней уравнения f(x)=a нет.
     Что и требовалось доказать.
     Пример 1. Решить уравнение x^3+x=2.
     Решение. Функция f(x)=x^3+x возрастает на R (это сумма двух возрастающих функций). Поэтому уравнение f(x)=2 имеет не более одного корня. Легко видеть, что корнем является x=1.
     Ответ: 1.
      Арксинус.Как вы знаете, функция синус возрастает на отрезке [-?/2;?/2] и принимает все значения от -1 до 1. Таким образом, по теореме о корне для любого числа a, такого, что |a|?1, в промежутке [-?/( 2);?/2] существует единственный корень b уравнения sin??x=a?. Это число b называется арксинусом числа a и обозначается arcsin?a.
     Определение 1[10].Арксинусом числа a называется такое число из отрезка [-?/2;?/2], синус которого равен a.
     Функция, обратная синусу, называется арксинусом.
     y=arcsin??x?sin??y=x? ?-?/2?arcsin??x??  ?/2.
     Покажем, что функция y=arcsin?x является обратной к функции y=sin?x, рассматриваемой на отрезке  -?/2?x??/2 .
     Рассмотрим уравнение sin??x=y?, где y – заданное число из отрезка -10 имеем .
     Таким образом, получаем: 
arcsin??x=? {?(arccos???(1-x^2 ), если 0?x?1;?@-arccos???(1-x^2 ), ?  если-1?x?0.)?(1)
     Область определения есть сегмент [-1; 1] согласно равенству  (1), законсоответствия можно выразить следующим образом: 
arccos???(1-x^2 )=? {?(arcsin?x, если 0?x?1;@-arcsin??x,? если-1?x?0.)?.
 Аналогично установим, что при  0?x?1 имеем: 
,  если же -1?x?0,       
то . 
     Таким образом, имеем окончательно: 
arccos??x=? {?(?arcsin ?(1-x^2 )???, если 0?x?1;?@ ?-arcsin??(1-x^2 ), если-1?x?0.)?
 Выражение арктангенса через арккосинус [15].
Из соотношения  при x?0имеем:
.
     Если же x<0, то .
     Итак,
     
 Выражение арккосинуса через арктангенс [15].
     Если 0