Понятие производной, рассмотреть систему ее изучения в учебниках средней школы, охарактеризовать особенности изложения материала

      Введение 
      Основным понятием в нашей курсовой работе будет являться понятие производной.
      Актуальность данной темы состоит в том, что в школьном курсе математики она входит в раздел математического анализа, и является одной из важнейших тем в курсе математики в старших классах, так как само явление производной имеет широкое применение в геометрии, алгебре, физике и экономике и позволяет решать многие задачи.
      В первой главе курсовой работы речь пойдет о понятии производной, ее истории и областях ее применения. 
      Во второй главе мы изложим рекомендации по изучению данной темы, проанализируем упражнения и разработаем урок по теме производная.
      Цель курсовой работы – раскрыть понятие производной, рассмотреть систему ее изучения в учебниках средней школы, охарактеризовать особенности изложения материала.
      Задачи: изучить литературу по данной теме, основные понятия по теме производная, составить урок по данной теме, провести анализ системы упражнений.
      Объект исследования: процесс обучения курсу «Алгебра и начала анализа».
      Предмет исследования: методика обучения учащихся исследованию производной.
      Методы исследования: анализ научно-методической литературы; изучение нормативных документов.

      Глава 1. Теоретическая основа темы «Применение производной» курса алгебры и начал анализа 10 – 11 классов
 Краткие исторические сведения

      Обозначения y ' и f ' (x) и для производной ввёл Лагранж.
      Сам термин «производная» впервые встречается у француза Луа Арбогаста в его книге «Вычисление производных», опубликованной в Париже в 1800 г. Этим термином сразу же стал пользоваться и Лагранж. Термин этот быстро вошёл в общий обиход, а Коши, используя начальную букву этого термина, стал обозначать производную символом Dy или Df(x).
      Терминология Ньютона (флюэнты, флюксии) и его символы производной утратили своё значение. Лишь в физике и механике в некоторых случаях обозначают точками над буквами производные по времени.
      Первый печатный курс дифференциального исчисления вышел в свет в Париже в 1696 г. под заглавием «Анализ бесконечно малых». Его автор Г. Ф. Де Лопиталь за основу этой книги взял рукопись Иоганна Бернулли, одного из ближайших сотрудников Лейбница. Вот почему этот курс следует рассматривать как типичное произведение школы Лейбница.
      В первой же главе своей книги Лопиталь требует, «чтобы величина, увеличенная или уменьшенная на другую бесконечно малую величину, могла быть рассматриваема как неизменившаяся». Тут бесконечно малая рассматривается как нуль, её можно отбрасывать. Это один из фундаментальных принципов исчисления бесконечно малых Лейбница, ныне отвергнутый наукой. Этим принципом пользуется Лопиталь и при установлении формул дифференцирования.    
      В первый период разработки математического анализа основоположники этой теории не могли достаточно чётко и ясно обосновать принципы этой теории и поэтому искали подтверждения правильности теории в согласованности математических выводов с опытом, с практикой при решении задач механики и астрономии.
      Однако простая проверка гипотезы на практике не даёт абсолютной уверенности в её непогрешимости. Достаточно одного факта, не согласующегося с данной гипотезой, как она будет опровергнута. Вот почему на последующих этапах перед математиками возникла проблема строгого математического обоснования теории математического анализа.
      В настоящее время «дифференцирование» понимают как вычисление дифференциалов функций, так и нахождение производных функций. Это своего рода недостаток терминалогии, ибо дифференциал и производная – это не тождественные понятия. Под дифференциалом функции ныне понимают произведение производной на приращение аргумента: dy= y ' (x) ? x, или dy= y ' (x) d x, так как d x= ? x.
      Лишь со времён Коши, впервые ясно определившего производную как предел отношения приращения функции ? y к приращению аргумента ? x при ?x  ? 0, понятие производной стало фундаментальным в дифференциальном исчислении, а понятие дифференциала определяется на основе производной.
      В математике производную применяют для:
       Исследования функции на монотонность, экстремумы.
       Нахождения касательной к графику.
       Нахождения наибольших, наименьших значений функций.
       Нахождения дифференциала для приближенных вычислений.
       Для доказательства неравенств
      1.2.Теоретическая карта по данной теме 
      
      Определение производной:
      1?. Производной функции f(x) в точке x_0 называется предел отношения приращения ?x аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: (lim)?(?x?0)??(?f(x))/?x?=?f'(x?_0) (читается: «эф штрих от x_0»).
      2?. Из определения производно следует, что функция может иметь производную в точке x_0 только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки x_0, включая эту точку.
      3?. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.
      Заметим, однако, что обратное утверждение является неверным.
      Например, функция f(x)=|x?-? 1?| непрерывна на ?]-?, +??[, но в точке х=1 производной не имеет: можно показать что (                                          lim)?(?x?0)??(?f(x))/?x?={?(1 при ?x>0,@-1 при ?x<0,)?
т.е. данная функция не имеет предела предела при ?x, стремящемся к нулю.
      4?. Нахождение производной f'(x) от данной функции f(x) называется дифференцированием этой функции.
      5?. Вычисление производно функции y=f(x) производится по общему правилу дифференцирования:
      
      а) дают аргументу x приращение ?x и, подставив вместо x значение x+?x, находят значение функции:
      y+?y=f(x+?x);
      б) находят приращение функции, вычитая из значения функции f(x+?x) ее первоначальное значение:
      ?y=f(x+?x)-f(x); 
      в) делят приращение функции ?y на приращение значения аргумента ?x, т.е. составляют отношение:
      ?y/?x=(f(x+?x)-f(x))/?x
      г) находят предел этого отношения при ?x?0:
      (lim)?(?x?0)???y/?x?=(lim)?(?x?0)  (f(x+?x)-f(x))/?x.
      Найденный предел и есть производная от функции y=f(x).
Производная суммы:
      1?. Пусть u и v – две функции, определенные на одном и том же промежутке. Тогда производная суммы этих функций равна сумме их производных, т.е.
      (u(x)+v(x))^'=u^' (x)+v^' (x).
      2?. Методом математической индукции доказывается, что эта формула справедлива для любого конечного числа слагаемых:
      (u_1+u_2+…+u_k )^'=?u'?_1+?u'?_2+…+?u'?_k.
      3?. Производная постоянной равна нулю: (C)^'=0, где C=const.
Производная произведения:
      1?. Производная произведения двух функции u и v вычисляется по формуле
      (uv)^'=u^' v+uv'
в предположении, что производные u' и v' существуют.
      2?. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
      (kf(x))^'=kf^' (x).
Производная частного:
      1?. Если функции u и v имеют в точке x производные и если       v(x)?0, то в этой точке существует производная их частного u/v, которая вычисляется по формуле
      (u/v)^'=(u^' v-uv')/v^2 .
Производная степенной функции:
      1?. Производная степенной функции x^k, где k?Q, x>0, равна произведению показателя k  на степень x^(k-1), т.е.
      (x^k )^'=kx^(k-1).                                                         (1)
      2?. Заметим, что если k?Z, то формула (1) справедлива при всех значениях x??]-?, +??[, кроме x=0. если же при этом k>1, то формула (1) справедлива при любом x.
      3?. Из формулы (1) вытекают, в частности, формулы для нахождения производных функций y=1/x  и y=?x.
      При k=-1 и k=1/2 получаем:
      (1/x)^'=(x^(-1) )^'=(-1) x^(-2)=-1/x^2   (x?0);                          (2)
      (?x)^'=(x^(1/2) )^'=1/2 x^(1/2-1)=1/(2? x?^(-1/2) )=1/(2?x) (x>0).                       (3)
      Производная сложной функции:
      1?. Производная от сложной функции h(x)=g(f(x)) находится по формуле
      h^' (x)=g^' (f(x)) f^' (x),
т.е. производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.
      Применение производной к приближенным вычислениям:
      1?. Согласно определению производно функции f в точке x_0 имеем
      f^' (x_0 )=(lim)?(?x?0)??(?f(x_0))/?x?.
      Отсюда следует, что для всех достаточно малых ?x справедливо приближенное равенство (?f(x_0))/?x?(?f(x_0))/?x, т.е.
      ?f(x_0)?f^' (x_0)?x.                                             (1)
      Эта формула является основной для простейших приближенных вычислений.
      2?. Выражение f^' (x_0)?x называется главной частью приращения функции (или дифференциалом функции) и обозначается dy; таким образом,
      dy=f^' (x_0)?x.                                                 (2)
      3?. Если рассматривать функцию y=x, на основании формулы (2) имеем dy=y^' ?x=?x. Так как y=x, то dy=dx=?x, т.е. дифференциал аргумента равен его приращению. Тогда формулу (2) можно переписать в виде:
      dy=f^' (x_0 )dx.                                                 (3)
      4?. Рассматривая в качестве f(x) функцию ?(n&x), на основании формулы (1) можно получить следующее приближенное равенство:
      ?(n&x_0+?x)??(n&x_0 )+?(n&x_0 )/?nx?_0  ?x при x_0?0,                           (4)
      где  ?(n&x_0 )/?nx?_0 =f^' (x_0).
      Касательная к графику функции:
      1?. Касательной к кривой в данной точке M называется предельное положение секущей NM, когда точка N стремится вдоль криво к точке M(рис. 1).
      
      
      
      
      
                                         y 
                                                  N
                                                       N_1
                                                0                     x
                                      M   N_2                                                     
                                                  Рис. 1
      2?. Используя это определение, найдем угловой коэффициент касательно к кривой в данной точке. Пусть через точку M(x;y) кривой, представляющей собой график функции y=f(x), непрерывной в некоторой окрестности это точки (включающее точку M), проведена секущая MN_1, образующая с положительным направлением оси Ox угол ?.
      
      
      
      
      
      
                                                  Рис. 2
      Тогда из треугольника MN_1 N можно найти угловой коэффициент этой секущей: tg?=?y/?x. При стремлении точки N_1 по криво к точке M секущая MN_1 поворачивается вокруг точки M, причем угол ?стремится к углу ? между касательной MT и положительным направлением оси Ox. в соответствии с определением касательной получаем
      k=tg?=(lim)?(?x?0)???y/?x=f^' (x)?.                                      (1)
      Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания. В этом заключается геометрический смысл производной.
      3?. Уравнение касательной к кривой y=f(x) в заданной точке имеет вид
      y-y_0=f^' (x_0 )(x-x_0),                                         (2)
где (x_0; y_0) – координаты точки касания, (x;y) – текущие координаты, т.е. координаты любой точки, принадлежащей касательной, а f^' (x_0 )=k=tg? - угловой коэффициент касательной.
      Скорость и ускорение в данный момент времени:
      1?. Пусть точка движется прямолинейно по закону s=s(t), где s - перемещение точки за время t, отчитываемое от начального момента времени. Этот закон называют законом движения. Выберем какой-либо момент времени t_0 и рассмотрим промежуток времени ?t от момента t_0 до момента t=t_0+?t. За этот промежуток времени точка переместится на величину [t_0,  t_0+?t] составляет
      v_ср=?s/?t=(s(t_0+?t)-s(t_0))/?t.
      С уменьшением ?t средняя скорость все точнее характеризует скорость точки в данный момент времени t_0. Поэтому целесообразно определить мгновенную скорость v(t_0) в момент времени t_0 как предел средней скорости v_ср при условии, что ?t стремится к нуля, т.е.
      v(t_0)=(lim)?(?t?0)??(s(t_0+?t)-s?(t?_0))/?t=s^' (t_0 ).?
      Итак, мгновенная скорость точки в данный момент времени равна значению производной от закона движения. В этом состоит физический смысл производной.
      2?. Очевидно, что мгновенная скорость v(t) также является функцией времени. Поэтому можно рассмотреть скорость изменения скорости движения, т.е. ускорение прямолинейного движения точки:
      a(t)=v^' (t)=(s^' (t))^'=s^'' (t).
      Итак, ускорение точки в данный момент времени равно значению второй производной от закона движения. В этом состоит физический смысл второй производной.
      Применение производно к нахождению промежутков монотонности функции:
      1?. Теорема. Если производная функции f в точке x_0 положительна, то функция f возрастает в некоторой окрестности этой точки. Если производная функции f в точке x_0 отрицательна, то функция f убывает в некоторой окрестности этой точки.
      
      
      

      
      
      
                                                                  
                    Рис. 3                                                          Рис. 4
      2?. На рис. 3 и 4 графически иллюстрируется возрастание и убывание функции в зависимости от знака ее производной в окрестности данной точки x_0. Функция, график которой изображен на рис. 3, возрастает в окрестности точки x_0, так как f^' (x_0 )=tg?>0; функция, график которой изображен на рис. 4, убывает в окрестности точки x_0, поскольку f^' (x_0 )=tg?<0.
      3?. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале. Теорема. Если функция f имеет положительную производную в каждой точке интервала ?]a, b?[, то функция возрастает на этом интервале. Если функция f имеет отрицательную производную в каждой точке интервала  ?]a, b?[, то функция убывает на этом интервале.
      4?. Отметим также, что если функция f монотонна на интервале  ?]a, b?[ и непрерывна в точках a и b, то она монотонна и на отрезке [a, b].
      Критические точки функции, ее максимумы и минимумы:
      1?. Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.
      2?. Точка x_0 из области определения функции f называется точкой минимума этой функции, если найдется ? – окрестность ?]x_0-?, x_0+??[ точки x_0, что для всех x?x_0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)>f(x_0).
      3?. Точка x_0 из области определения функции f называется точкой максимума этой функции, если найдется такая ? – окрестность ?]x_0-?, x_0+??[ точки x_0, что для всех x?x_0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)0 на интервале ]x_0, b[ (т. е. производная меняет знак минуса на плюс), то x_0 - точка минимума функции f(x);
      - если f^' (x)>0 на интервале ]a, x_0 [ и f^' (x_0)<0 на интервале ]x_0, b[ (т. е. производная меняет знак плюса на минус), то x_0 - точка максимума функции f(x).
            y
      
      
      
      
             0     a     x_1    x_2      x_3   x_4    b                   x
                                                 Рис. 5
      Общая схема исследования функции:
      1?. Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме.
 Найти область определения функции.
       Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.
       Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат. Иногда для уточнения построения графика следует найти дополнительно две-три дополнительные точки.
 Найти производную функции и ее критические точки.
 Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
       Построить график функции, используя полученные результаты исследования.
      Задачи на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции:
      1?. На рис. 6 изображен график некоторой функции f, определенной на отрезке [a, b]. В точке x_2 функция имеет максимум, а в точках x_1 и x_3 - минимумы. Своего наименьшего значения, как это видно из рисунка, функция достигает в точке x_3 – точке наименьшего из минимумов. Наибольшее значение функция принимает на конце отрезка в точке b, в которой функция не имеет экстремума (так как справа от точки b функция не определена).
      2?. Для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции, дифференцируемой в данном промежутке функции, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка, а затем из всех полученных таким образом чисел выбрать наименьшее и наибольшее.
                        y
      
      
      
           a    x_1       0    x_2                  x_3         b     x
      Рис. 6
      
      Производные тригонометрических функций:
      1?. Производные тригонометрических функций находятся по следующим формулам:
      (sin?x )^'=cos?x,   ?(cos??x)'=-sin?x,
      (tgx)^'=1/(?cos?^2 x),  (ctgx)^'=-1/(?sin?^2 x).
      Каждая из этих формул справедлива в любой точке области определения соответствующей функции.
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      1.3 Анализ стандарта образования и учебников по данной теме
      
      Анализ основных понятий начал анализа в базовом курсе математики
      При изучении элементов анализа в школе основное внимание уделяется двум понятиям: производной и первообразной. Это связано с широким использованием этих понятий как в школьной математике, так и в физике. В математике производная активно используется при исследовании функции, первообразная при вычислении площадей криволинейных фигур. 
Сначала перечислим все новые понятия анализа вводимые к курсе математики старшей общеобразовательной школы. В Большой Советской энциклопедии написано: «Математический анализ - наука работающая с исследованием функций; дифференциальное и интегральное исчисление - наука исследующая интервальные и дифференциальный функции, а также решающая дифференциальные и интегральные уравнения». С одной стороны, понятие функции является «ключевым», с другой стороны, есть требование дифференциальных и интегральных исчислений
      Проведем сравнительный анализ самых популярных в учебников старшей общеобразовательной школы — это учебники авторов Мордковича А.Г. «Алгебра и начала анализа. 10-11 классы» (учебник) и Никольского С.М. и др. «Алгебра и начала анализа. 11 класс». Результаты анализа представлены в таблице 1.
      
      
      


      
      
      Таблица 1.
      Сравнительный анализ учебников по теме «Производная»
      Категории для сравнения
      Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. 
      Никольский С.М. и др. Алгебра и начала анализа. 11 класс. 
      Место введения понятия производной (в 10 классе в начале курса или 11 классе, отсюда вывод о методическом значении темы.
      Производная вводится во 2 полугодии 10 класса.
      Производная вводится в 1 полугодии 11 класса, поэтому производная обобщает и систематизирует свойства различных функций – тригонометрических, логарифмических, степенных и др.
      Математические понятия, используемые для введения понятия производной
      Для введения понятия производная вводятся понятия предела последовательности, геометрическая прогрессия, предел функции. Данные понятия очень тщательно разобраны и приводится множество примеров для отработки навыков решения задач.
      Изучение темы «Производная» начинается с введения понятия приращения функции и формулировки правила его вычисления. Потом рассматриваются дифференцируемые функции. При помощи предела дается определение дифференцируемой функции в точке. На примере доказываются дифференцируемости функций.
      Методические особенности введения определения «производной»
      Рассматривают две различные задачи, физическую и геометрическую, процесс решения которых как раз и приводит к возникновению новой математической модели.
      Сначала рассматриваются задачи с решениями на приращение функции, основываясь на этом вводится определение производной.
      Методические особенности введения геометрического смысла производной функции
      Именно с геометрического смысла и начинается эта тема. Представлены графики и полное описание. Сформулировано в форме задач с решениями.
      Все объяснение дается на наглядных примерах.
      Методические особенности изучения применения производной при исследовании функции
      В учебнике описан алгоритм исследования функций: 1. Найти производную функции; 2. Найти стационарные и критические точки; 3. Определить знаки производной на получившихся промежутках; 4. Опираясь на теоремы сделать соответствующие выводы о монотонности функции и экстремумах.
      В учебнике дается множество теорем по данной теме. Явный алгоритм не представлен.
      
      По нашему мнению, в учебнике Мордковича А.Г. теоретический материал по введению понятий математического анализа предложен на доступном уровне, ученики могут самостоятельно знакомиться с материалом, разбирать примеры, которые предложены в учебники, и опираясь на них решать задачи, предлагаемые в задачнике. Задачи предложены разноуровневые и в достаточно большом количестве, решать которые в полном объеме просто не хватает времени. С другой стороны, у учителя всегда есть возможность дополнительно позаниматься со школьниками или наиболее успешным по математике школьникам предложить дополнительную работу на уроке и в домашнем задании. 
Учебник Никольского и др. рассчитан на обучение на базовом и профильном уровнях, что позволяет успешно организовать работу с учащимися различного уровня подготовки. Но существует вопрос: можно ли написать одинаково доступным языком для школьников как базового, так и профильного уровня? В целом, учебник написан доступным для учащихся языком, содержит большое количество примеров к изучаемым формулам и основным задачам. Учебник содержит материал для дополнительного повторения.
      
      
      
      
      
      Глава 2. Методические рекомендации по изучению темы «Применение производной» в курсе алгебры и начал анализа 10 – 11 классов
 Общие методические рекомендации
      
      Обратимся к методическим рекомендациям методистов по изучению элементов анализа. Так Мордкович А.Г. рекомендует перед изучением понятия производной необходимо выполнить следующие действия:
       повторить вопросы, связанных с линейной функцией и элементарными функциями, что объясняется основной идеей дифференциального исчисления (представлением о линейной в малой окрестности некоторой точки функции);
       отработать понятия приращения функции и приращения аргумента, что может быть иллюстрировано графиками функций;
       выработать у обучающихся твердых навыков в их нахождении;
       выяснить геометрический смысл отношения приращения функции к приращению аргумента, ввод понятия касательной к кривой как предельного положения секущей.
      После того как это будет отработано, можно переходить к введению понятия производной. Успешной будет связка понятия с основной проблемой дифференциального исчисления, т. к. с проблемой исследования процесса изменения функции. К тому же нужно знать правила, позволяющие данный процесс облегчить. Для изучения геометрического смысла производной, нужно осуществить повтор материала по линейной функции, ее угловому коэффициенту, понятия производной, а также уже рассмотренные задачи про мгновенную скорость, касательную к графику функции. Для этого Мордкович А.Г. считает полезными задания следующих типов:
       Найдите производную функции;
       Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x_0;
       Найдите производную функции.
      Данные задачи покажут необходимость изучения нового понятия – понятия производной, а кроме того выполнят и дидактическую функцию по подготовке обучающихся к осознанию понятия производная.
Цукерман В. В. утверждает, что для изучения темы «Применение производной к исследованию функций» необходимы знания некоторых определений и теорем, изучавшихся раньше. По ходу решения задач обучающиеся должны будут находить производную функции, использовать известные графики с целью построения графиков других функций. Исследование функций, особенно нахождение промежутков возрастания и убывания, является одним из основных способов применения производной в школьном курсе алгебры и начал анализа. С целью подготовки к осознанному усвоению признака возрастания и убывания функции рекомендовано рассмотреть обучающимися геометрические иллюстрации графиков функций с разным характером изменения и касательных в точках, принадлежащих к промежуткам возрастания и убывания. В ходе анализа расположения касательных по отношению к оси абсцисс (угол наклона) и определения таким образом знаков значений производной, обучающихся нужно подвести к самостоятельной формулировке необходимых признаков.
Материал по теории темы «Критические точки функции, ее максимумы и минимумы» – это основа для получения общего метода решения класса задач на нахождение экстремумов функций. Этап, на котором идет рассмотрение общей схемы исследования функции, отличается тем, что учащиеся еще не владеют методом нахождения точек экстремума. На уроке по данной теме идет рассмотрение необходимого признака экстремума (теорема Ферма) и достаточного признака максимума и минимума. В итоге изучения темы каждый ученик должен получить умение по нахождению экстремумов функций. Доказательство признаков максимума и минимума функции необходимо проводить с привлечением учащихся. Внутренние точки области определения функции, где она будет равна нулю или не существует, называются критическими точками данной функции. Они выполняют важную роль в процессе построения графика функции, т.к. лишь они могут быть точками экстремума функции.
      При рассмотрении темы по нахождению наибольшего и наименьшего значений функции, рекомендовано уделить внимание следующему факту:
наибольшее (наименьшее) значение функции не есть максимум (минимум) функции. Решение практических задач часто сведено к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсе анализа ученики доказывают теорему Вейерштрасса, утверждающую, что непрерывная на отрезке [a, b] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение, т.е. существуют точки отрезка [a, b], где f принимает наибольшее и наименьшее на [a, b] значения. С целью нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, необходимо провести вычисление значения функции во всех ее критических точках и на концах отрезка, затем из полученных результатов выбрать наибольшее и наименьшее.
             Для закрепления полученных знаний полезны следующие типы упражнений:
       Исследуйте функцию и постройте ее график;
       Определите промежутки монотонности и точки экстремума функции.
      Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что изучение применения производной к исследованию функций имеет огромное значение для многих классов функций, а также реализует связи между предметами (физика).
      Непосредственно к математическому анализу имеют отношения следующие требования к базовому уровню подготовки учащихся:
       сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;
       сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа.
      Первый пункт обращает нас к исследованиям явлений окружающего мира с помощью математического анализа, в частности, использование производной, первообразной и интеграла в физике. Второй пункт показывает, что в соответствии с ним, ядром содержания математического анализ так и останутся производная, первообразная и интеграл, поскольку они и являются основополагающими понятиями анализа. Многообразие возможно лишь в способе подачи данных понятий учащимся. 
      









  Анализ системы упражнений

      Пример 1. Найти промежутки монотонности функции:
      f(x)=5x^2-3x+1
      Решение: данная функция определена на всей числовой прямой. Находим производную: f^' (x)=10x-3. Так как f^' (x)<0 при                   x<0,3 и f^' (x)>0 при x>0,3, то в промежутке ]-?;0,3] функция убывает, а в промежутке [0,3;+?[ - возрастает (точка x=0,3 включается в промежутки монотонности, поскольку в этой точке функция определена и непрерывна; см. п. 4^0 стр. 12 главы 1 пункт 1.2)
      
      Пример 2. Найти f^' (x), если f(x)=x+5.
      Решение: f^' (x)=(x+5)^'=(x)^'+(5)^'=1+0=1
      
      Пример 3. Найти скорость и ускорение точки, движущейся по квадратичному закону x(t)=pt^2+qt+r.
      Решение: имеем v(t)=x^' (t)=2pt+q, a(t)=v^' (t)=2p, т.е. ускорение при движении по квадратичному закону является постоянным.
      Можно доказать и обратное утверждение: если при прямолинейном движении точки ускорение постоянно, то движение происходит по квадратичному закону x(t)=pt^2+qt+r, где коэффициент при t^2численно равен половине ускорения, т.е. p=a/2.
      
      Пример 4. Дана функция y=4x^2-6x. Найти ее критические точки, промежутки монотонности, точки экстремума.
      Решение: имеем y^'=8x-6;8x-6=0;x=3/4 - критическая точка. Так как y'<0 на ]-?, 3/4[ и y'>0 на ]3/4,+?[, то в промежутке ]-?, 3/4] функция убывает, а в промежутке [3/4,+?[ - возрастает. В точке x=3/4 функция непрерывна, а производная в этой точке меняет знак с минуса на плюс. Таким образом, x=3/4 - точка минимума. Находим значение функции при x=3/4: y_min=4?(9/16)-6?(3/4)=-9/4.
      
      Пример 5. Исследовать функцию y=1/4 x^4-1/3 x^3-x^2 и построить ее график.
      Решение: воспользуемся общей схемой исследования функции (см. с.14 главы 1, п.1.2 нашей курсовой работы).
       Здесь D(f)=R.
       Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
       Найдем точки пересечения графика с осью Ox(т.е. корни функции): 1/4 x^4-1/3 x^3-x^2=0?3x^4-4x^3-12x^2=0?x^2 (3x^2-4x-12)=0?x_(1, 2)=0,  x_3?-1,4,  x_4?2,8.
      Возьмем также две дополнительные точки: например, f(1)=-13/12,  f(3)=9/4.
 Находим производную:
f^' (x)=x^3-x^2-2x=x(x^2-x-2)=(x+1)x(x-2).
      Приравнять производную нулю, получим критические точки: x=-1,  x=0,  x=2.
       Найденные критические точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка ]-?, -1[,  ]-1, 0[,  ]0, 2[ и ]2,+?[.
      Составим таблицу:
x
]-?, -1[
-1
]-1, 0[
0
]0, 2[
2
]2, +?[
f^' (x)
-
0
+
0
-
0
+
f(x)
?¦(убыв.)
(-5/12)¦min
?¦(возр.)
0¦max
?¦(убыв.)
(-8/3)¦min
?¦(возр.)
      В первой строке таблицы в порядке возрастания расположены критические точки функции и ограниченные ими промежутки; во второй – отмечены знаки производной в этих промежутках. В третьей строке сделаны выводы о изменении функции и характере ее критических точек, а также вычислены значения функции в точках экстремума.
 Используя результаты исследования, строим график функции:

                                     y

                                                                                   3
                               -1,4             0          1       2   2,8        x     
                                         -13/12
  Разработка урока по данной теме

Урок 1.
      Тема. Производная сложной функции. 
      Цель: вывести правила дифференцирования сложной функции.
      Ход урока
 Изучение нового материала.
 Производная сложной функции.

       Рассмотрим функцию: Z=h(x), где h(x)=?(1-x^2 ).
      Пусть требуется по заданному x вычислить соответствующее значение Z функции.
      1-й этап. Сначала вычислим значение подкоренного выражения при заданном x: y=f(x), где f(x)=1-x^2.
      2-й этап. Затем вычисляем Z=g(y), где g(y)=?y.
      Итак,  функция f переводит x в y, а функция g переводит y в Z.
Покажем это графически (рис. 7):





                 y                                                                   z
                                                                                               z=?y
                    1                                                                 1                                                       
        -1    0         1      y1-x^2       x                             0       1                         y

[-1; 1]  ?  [0; 1]                              Рис. 7                           [0; 1]  ?  [0;1]
   (x)             (y)                                                                        (y)           (z)

      Имеем последовательное выполнение двух отображений. В этом случае говорят, что h есть сложная функция, составленная из функций g и h, и пишут: h(x)=g(f(x)).
f(x) – внутренняя функция, g(x) – внешняя функция.
       Область определения сложной функции g(f(x)) – это множество всех тех значений x из области определения функции f(x), для которых y=f(x) входит в область определения функции g(y) (см. рис. 7 для функции y=?(1-x^2 ).
      Для функции f(x)=1-x^2 естественная область определения – все действительные числа. У функции g(y)=?y область определения – множество [0; +?]. Поэтому надо выбрать такие значения x, для которых выполняется неравенство y?0, т. е. 1-x^2?0. Имеем: -1