Систематизация теоретического материала, касающегося последовательностей и рядов, и изучение бесконечных произведений как нового математического понятия

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..4
Глава 1. Основные сведения по темам: «Прогрессия», «Числовые последовательности», «Ряды»……………………………………………………7
1.1 Прогрессия…………………………………………………………………….7
1.1.1	Исторические сведения……………………………………………………...7
1.1.2	Последовательности…………………………………………………………9
1.1.3	Арифметическая и геометрическая прогрессия………………………….11
1.2	Числовые последовательности…………………………………………….13
1.2.1 Определение  числовой последовательности и свойства……………….13
1.2.2	Предел числовой последовательности……………………………………14
1.2.3	Теоремы о пределе сходящихся последовательностей…………………..17
1.3	Числовые ряды……………………………………………………………...21
1.2.1	Основные свойства сходящихся рядов…………………………………...24
1.2.3	Условия сходимости положительных рядов……………………………..26
1.2.4	Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница…………………………..30
Глава 2. Бесконечные произведения……………………………………………32
2.1	Определение бесконечных произведений. Примеры…………………….32
2.2	Свойства бесконечных произведений. Критерий Коши сходимости бесконечных произведений……………………………………………………..33
2.3	Связь бесконечных произведений с рядами (теоремы)………………….35
Глава 3. Практическое применение теории бесконечных произведений……39
3.1 Задачи: вычисление бесконечных произведений………………………….39
3.2 Задачи: доказательство основных фактов………………………………….41
3.3 Задачи: исследование сходимости бесконечных произведений………….45
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….49
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………………50
Приложение А……………………………………………………………………52

    














    ВВЕДЕНИЕ
     
     В математике мы сталкиваемся с бесконечными процессами, которые характеризуются такими математическими величинами как, например «последовательность», «прогрессия», «ряд», «бесконечные произведения». Именно эти понятия будут рассматриваться в данной работе.
     Еще с древних времен бесконечные последовательности являлись неотъемлемой частью математических понятий. В Древней Греции в работах таких ученых, как Евдокс, Евклид, Архимед, можно встретить понятие бесконечных сумм. Нахождение этих сумм связано с методом исчерпывания, который активно применялся в Древней Греции для нахождения площадей и объемов тел, для нахождения длины кривой и т.д.
     Одним из наиболее простых примеров бесконечных последовательностей является прогрессия. Понятие «прогрессия» чаще всего встречается в школьной математике. Впервые оно изучается в 9 классе. Именно здесь закладывается представление о бесконечном, о последовательности, о ряде, о сумме ряда. 
     Ряд – одно из важных понятий математического анализа, который дает возможность решать многие задачи: решать вопрос о сходимости ряда, находить сумму ряда, интегрировать дифференциальные уравнения, находить приближения функции, раскладывать элементарные функции в ряд, представлять функций в виде суммы простых гармонических колебаний, составлять таблицы логарифмов и тригонометрических функций и т.д. Только в XVII в., как самостоятельное понятие, ряд встречается в работах Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница по решению алгебраических и дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие ряды получили в работах Якоба и Иоганна Бернулли, Леонарда Эйлера, Жан ЛеронД’Аламбера, Жозефа Луи Лагранжа и др. Так же понятие рядов, но уже более строгое, встречается в трудах Карла Фридриха Гаусса, Бернарда Больцано, Огюстена Луи Коши, Петера Дирихле, Карла Вейерштрасса и др., через понятие предела в XIX в.
     Еще одним примером математического описания бесконечных процессов являются бесконечные произведения, теория которых разработана в математическом анализе. Теория бесконечных рядов непосредственно связанна с другими разделами математического анализа: с теорией рядов и интегралов. В данной работе приводятся теоретические сведения из «Бесконечных произведений», демонстрируется применение данной теории при решении задач, в которых вычисляются бесконечные произведения, задач, в которых доказывается сходимость или расходимость бесконечных произведений, задач из теории рядов, решаемых с применением аппарата бесконечных произведений.
     Объектом исследования являются ряды и бесконечные произведения, а также их применения.
     Предмет исследования – разделы математического анализа: теория пределов,  рядов, бесконечных произведений.
     Целью данной работы является систематизация теоретического материала, касающегося последовательностей и рядов, и изучениебесконечных произведений как нового математического понятия.
     Для достижения данной цели поставлены следующие задачи:
      подобрать и изучить  литературу по данной теме;
      систематизировать теоретические сведения по темам:«Прогрессии», «Ряды», «Бесконечные произведения»;
      применить теорию на практике при решении практических задач;
      разработать элективный курс по теме: «Математическое описание бесконечных процессов в реальном мире» для школьников 11 классов физико-математическго профиля.
     Работа насчитывает 66страниц, состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 15источников, приложение. 
     Первая глава посвящена рассмотрению основных фактов по темам: «Прогрессия», «Числовая последовательность», «Ряды». Представлена краткая историческая справка происхождения прогрессий, определения и основные формулы арифметической и геометрической прогрессии; основные определения, связанные с понятием «числовая последовательность», рассмотрено определение предела числовой последовательности, основные его свойства и теоремы; основные понятия по теме «Ряды», свойства и теоремы по данной теме.Теоретические сведения по данным разделам были примененыпри разработки элективного курса по теме: «Математическое описание бесконечных процессов в реальном мире» для школьников 11 классов физико-математического профиля (Приложение А).
     Вторая глава посвящена введению и изучению понятия бесконечного произведения; рассмотрению основных понятий, связанных с бесконечным произведением. В этой же главе рассматриваются основные свойства бесконечных произведений и теоремы, связывающие ряды и бесконечные произведения. 
     В третьей главе представлены самостоятельно решенные задачи по данной теме.Особое внимание уделено решению задач, в которых используется применение теории бесконечных произведений.
     Завершает работу элективный курс, связанный с темой выпускной квалификационной работы, который разработан для учащихся 11 классов физико-математического профиля.
     

    Глава 1. Основные сведения по темам: «Прогрессия», «Числовые последовательности», «Ряды»
     1.1 Прогрессия
      Исторические сведения
     Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Данным термином в математике называли любую последовательность чисел, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. 
     В настоящее время термин «прогрессия» в изначальном широком смысле не употребляется. Два основных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая, которые сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.
     Прогрессия- последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. 
     Примером арифметической прогрессии является натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… с первым членом равным 1 и разностью равной 1. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими. В развитие теории о прогрессиях внесли вклад ученые: Архимед, Пифагор и его ученики, французские математики Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириака, немецкие математики М. Штифель, Н.Шюке и К. Гаусс.
     В трудах Архимеда (ок. 287-212 гг. до н.э.) излагаются первые сведения о прогрессиях.
     Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию.
     Существует предание, что давным-давно жил индусский царь Шерам. Царь научился играть в шахматы, и его эта игра очень поразила своим разнообразием положений и остроумием. Тогда он приказал найти и привести того, кто изобрел эту игру, так как он хотел наградить его за нее. И когда ему привели изобретателя, царь предложил ему самому выбрать награду, и тот попросил за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зернышко. Царь Шерам был удивлен, но приказал выдать изобретателю зернышко. Затем тот попросил за вторую клетку два зернышка, за третью – 4 зернышка, за четвертую – 8 и так до 64-й клетки. 
     Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то лет за пять он смог бы рассчитаться. Зерен должно было бы получиться 18.446.744.073.709.551.615(Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать).
     Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.  В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:  1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).
     Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в).
     В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. 
     Пример задачи из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».
     Пифагор и последовательности.
     Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, они получали:
         -  последовательность (a_n) треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, ... ;
         -  последовательность (b_n) квадратных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ... ;
         -  последовательность (c_n)  пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35, ...
     В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры.                                 
      Общее   правило   для   суммирования   любой конечной   геометрической  прогрессии  встречается  в книге Н.   Шюке  «Наука о числах», увидевшей свет  в 1484 году.                                                        
     Величайший немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс (1777-1855) родился в городе Брауншвейг (Германия). Его отец, садовник и фонтанный мастер, славился искусством быстро и легко считать. Эта способность перешла к сыну, говорившему позднее, что он «умел считать раньше, чем говорить». Первый успех пришёл к Гауссу в 9 лет. Школьный учитель велел ученикам найти сумму целых чисел от 1 до 100. Он рассчитывал надолго занять учеников этой задачей. Но Гаусс мгновенно сообразил, как сгруппировать слагаемые, и выдал ответ: 1+2+3+4+…+98+99+100 =  (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101 ? 50 =5050.

      Последовательности
     Для получения представления о последовательности начнем выписывать положительные четные числа: 2, 4, 6, … . Очевидно, что на четвертом месте будет число 8, на пятом – 10, на сотом – 100. Таким образом, получаем последовательность, в которой любое натуральное положительное число можно указать, исходя из формулы 2n.
     Числа, составляющие последовательность, называются членами последовательности. Они записываются в виде букв с индексами, которые указывают их порядковый номер. Например, а_1,а_2,а_3 и т.д. Общий член последовательности обозначается: а_n и называют n-ый член последовательности. Саму последовательность обозначают в круглых скобка: (a_n)[9, с.138].
     В рассмотренной последовательности положительных натуральных чисел бесконечно много членов. Последовательности такого вида называются бесконечными.Но последовательность может содержать и конечное число членов, тогда она будет называться конечной последовательностью.
     Пример [9, с.139]. Пусть задана последовательность?(u?_n), в которой u_n=1, u_2=1, u_(n+1)=u_n+u_(n-1)  при n>2. То есть, последующий член последовательности равен сумме двух предыдущих:
     u_1=1,
     u_2=1,
     u_3=u_1+u_2=1+1=2,
     u_4=u_2+u_3=1+2=3,
     u_5=u_3+u_4=2+3=5,
     u_6=u_4+u_5=3+5=8 и т.д.
     Получаем последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, … . данная последовательность специально изучается в математике и носит название «последовательность Фибоначчи» - по имени итальянского математика XIII в. Леонарда Фибоначчи (Леонардо из Пизы). Члены данной последовательности называют числами Фибоначчи.
     
      Арифметическая и геометрическая прогрессия
     Арифметическая прогрессия.
     Определение.Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того числа d, называют арифметической прогрессией. Число d называют разностью прогрессии [10, с.145].
     (a_n) – арифметическая последовательность: a_n=a_(n-1)+d.
     Пример. Последовательность положительных четных чисел:2,4,6,8,… . Данная последовательность является арифметической прогрессией, т.к. каждый последующий член получается прибавлением к предыдущему d=2.
     Из определения арифметической прогрессии:
     а_1=а_1,
     а_2=а_1+d,
     a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d,
     a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d и т.д.
     Из данной прогрессии видно, что для любого члена с номером n, будет справедливо: a_n=a_1+(n-1)d. Данное равенство называется формулой n-го члена арифметической прогрессии.
     S_n=n(a_1+a_n )/2 – формула суммы первых n членов арифметической прогрессии. 
     Вывод данной формулы можно посмотреть в [10, с.151-152].
     Если задан первый член прогрессии и разность арифметической прогрессии, то формулы примет вид: S_n=(2a_1+d(n-1))/2 n.
     Геометрическая прогрессия.
     Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. Число q называют знаменателем прогрессии [10, с.156].
     (b_n) – геометрическая прогрессия: b_n=b_(n-1)?q. 
     Пример. Пусть задана последовательность 1, 2, 4, 8, 16, 32, … . Данная последовательность является геометрической прогрессией, т.к. последующий член получается умножением предыдущего на q=2.
     Из определения геометрической прогрессии:
     b_1=b_1,
     b_2=b_1?q,
     b_3=b_2?q=b_1?q?q=b_1?q^2,
     b_4=b_3?q=b_1?q^2?q=b_1?q^3 и т.д.
     Из данной прогрессии видно, что для любого члена с номером n, будет справедливо:b_n=b_1 q^(n-1). Данное равенство называется формулой n-го члена геометрической прогрессии.
     S_n=(b_1 (q^n-1))/(q-1) – формула суммы первых n членов геометрической прогрессии (q?1). 
     Вывод данной формулы можно посмотреть в [10, с.164-165].
     
      Числовые последовательности
     1.2.1 Определение  числовой последовательности и свойства
     Определение. Функцию y=f(x), x?N называется функцией натурального аргумента или числовой последовательностью [11, с.293].
     Обозначение:y=f(n)  или y_1,y_2, …, y_n, или (y_n ).
     Примеры:
      y_n=n^3
     1, 8, 27, …, n^3,… ;
      y_n=1
     1, 1,…,1,… ;
     y_n=С
     C, C,…,C,… - стационарная последовательность;
      y_n=3^n
     3, 9, 27, …, 3^n, … .
     
     Свойства числовых последовательностей [11, с.299-301]:
      Последовательность(y_n)называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого n? N выполняется неравенство y_n?М.
     y_n-ограничена сверху? ? M, ? n?N | y_n?M.
     Пример. 3, 9, 27, …, 3^n, … - последовательность ограничена сверху, в качестве верхней границы можно взять число 27.
      Последовательность(y_n)называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что для любого n? N выполняется неравенство y_n?m.
     y_n-ограничена снизу? ? m, ? n?N | y_n?m.
     Пример. 1, 8, 27, …, n^3,…  - последовательность ограничена снизу 1.
     Определение.Если последовательность ограничена сверху и снизу, то она называется ограниченной последовательностью.
     Пример. 1, 1/2, 1/3, …,  1/n,… -последовательность является ограниченной: M=1, m=0.
      Последовательность (y_n) называют возрастающей (убывающей), если каждый ее член, кроме первого, больше (меньше) предыдущего:
     y_1y_2>…>y_(n-1)>y_n>…).
     
     Примеры:
      1, 8, 27, …, n^3,…  - возрастающая;
      1, 1/2, 1/3, …,  1/n,…- убывающая.
     Определение. Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.
     
      Предел числовой последовательности
     Возьмем две последовательности:
     y_n=1, 1/2, 1/3, 1/4  …,  1/n,…и ?  x?_n=1, 8, 27, 64,…, n^3,… . 
     Изобразим члены этих последовательностей на числовой прямой:
     
     Мы видим, что члены последовательности  ?(y?_n) приближаются к точке 0, как бы «собираются» к ней, а у последовательности ?(x?_n) такого не наблюдается. В таких случаях говорят, что последовательность ?(y?_n)сходится, а последовательность ?(x?_n)расходится.
     Определение. Число b называется пределом последовательности?(y?_n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера [11, с.302].
     Обозначение: y_n?b или   lim?(n??)??y_n=b?.
     Основные пределы:
      lim?(n??)??1/n=0?
      lim?(n??)??q^n=0?, |q|<1
      |q|>1,lim?(n??)??q^n ? - не существует (такая последовательность y_n=q^n расходится).
     Пример. Найти предел последовательности:
      2, 3/2, 4/3, …,(n+1)/n, …
     lim?(n??)??(n+1)/n?=lim?(n??)??(n/n+1/n)=lim?(n??)??(1+1/n)=1? ?;
      1/2, 1/4, …, (1/2)^n,…
     lim?(n??)??(1/2)^n=0, q=1/2<1?.
     Определение.Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся; последовательность, не имеющая конечного предела, называется расходящейся. 
     Пример. Последовательность (y_n )=1/n – сходящаяся последовательность, т.к. ее предел равен 0 конечному числу; а последовательность y_n=q^n, |q|>1 – расходящаяся, т.к. не имеет предела.
     Определение. Сходящаяся к нулю последовательность называется бесконечно малой и имеет вид: ? ?>0 ? N_? N_n>N_? |y_n |0. Найдем N_? такое, что |y_n |N_?. |(-1)^n/n|1/?; N_?=[1/?]?
     Далее перечислены основные леммы о бесконечно малых последовательностях:
     Лемма 1. Сумма двух бесконечных малых последовательностей есть бесконечно малая.
     Лемма 2. Произведение бесконечно малой на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
     Лемма 3. Произведение бесконечно малой на постоянную есть бесконечно малая последовательность.
     Лемма 4. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая.
     Определение.Последовательность ?(y?_n) называется бесконечно большой, если ?A>0 ?N_A  ?n>N_A |y_n |>A. Обозначается: lim?(n??)??y_n=??.
     Пример. y_n=n^2. Доказать, что ?(y?_n) – бесконечно большая.
     Доказательство.
     ?Зададим A>0. Найдем N_A такое, что y_n>A ?n>N_A. n^2>A;n>?A; N_A=[?A]?
      Теоремы о пределе сходящихся последовательностей
     Как мы уже говорили, последовательность может сходиться, а может расходиться. В свою очередь сходящиеся последовательности обладают некоторыми свойствами.
     Далее представлены формулировки и доказательства некоторых свойств:
     1°. Сходящаяся последовательность имеет лишь единственный предел.
     Доказательство.
     ? Пусть?(y?_n)сходится. Предположим, что данная последовательность имеет два предела: lim?(n??)??y_n=a  и lim?(n??)??y_n=b? ?, a?b.
     Рассмотрим окрестности точек a и b:U_? (a)и U_? (b), где ?=(b-a)/2. Окрестности данных точек не пересекаются.
     Так как a=lim?(n??)??y_n ?, то для данного?>0 ?N_?  | ?n>N_?, y_n?U_? (a). Тогда получим, что в окрестности точки b разве лишь конечное число членов ?(y?_n), это противоречит тому, что b=lim?(n??)??y_n ?. 
     Получили, что наше предположение не верно. Значит, сходящаяся последовательность имеет единственный предел.?
     
     2°. Если последовательность сходится, то она ограничена.
     Доказательство.
     ?Пусть lim?(n??)??y_n=a?. Докажем, что (y_n ) ограничена, т.е. ?n>0 ?n|y_n |?M.
     ??>0 ?N_?  ?n>N_? |y_n-a|b.
     Доказательство.
     ?0b, ?n>N_??
     
     5°. Если (lim)?(n??)??y_n=a?, c>a, то, начиная с некоторого номера, все члены последовательности?(y?_n)a+?). Т.к. lim?(n??)??y_n=a?, a-?N_??
     
     6°. Если последовательность сходится и ?ny_n0, ?N_1, ?n>N_1 |x_n-a|N_2 |z_n-a|N,где N=max?{N_1, N_2}?a-?0 ?n_0 y_(n_0 )>b_0-?.
     Пусть n_01/4+1/4=1/2
     1/5+1/6+1/7+1/8>1/2
     1/(2^(k-1)+1)+…+1/2^k >1/2^k ?2^(k-1)=1/2
     S_(2^k )>1+1/2+1/2+…+1/2=1+k/2=(k+2)/2 ?(??(k??) ?)? ряд расходится.

     Критерий Больцано-Коши сходимости ряда.
     Теорема. Для того, чтобы числовой ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие, что для любого положительного числа ?>0 существует номер N, зависящий от ?, что для любого n большего этого номера и любого натурального p, ряд ?_(k=n+1)^(n+p)?a_k  не превосходит ?:
     ?_(n=1)^???a_n  сходится???>0,?N_?,? n>N_?, ? p?N | |?_(k=n+1)^(n+p)?a_k | ?0,?N_?, ? n,m >N_? |S_m-S_n |n, тогда m=n+p. Тогда |S_(n+p)-S_n |=|a_(n+1)+…+a_(n+p) |=|?_(k=n+1)^(n+p)?a_k |0.
     (Достаточность). Пусть ?(S?_n)ограничена сверху, т.е. ? nS_n?S. Т.о. ?(S?_n) возрастает и ограничена сверху ? сходится ? ряд сходится.?
     Признаки сравнения положительных рядов
     Теорема 1[15, с.17]. Пусть даны два положительных ряда ?_(n=1)^??a_n и ?_(n=1)^??b_n , ?na_n?b_n. Тогда, если ?_(n=1)^??b_n  сходится, то сходится и ?_(n=1)^??a_n ; если ?_(n=1)^??a_n  расходится, то расходится и ?_(n=1)^??b_n .
     Доказательство.
     ?Пусть ?_(n=1)^??a_n  – положительный ряд и ?na_n?b_n, где b_n-общий член сходящегося ряда ?_(n=1)^??b_n .
     Оценим A_n – n-ю частичные суммы данного ряда.A_n?B_n, где B_n- -я частичная сумма второго ряда, B=lim?(n??)??B_n ?.
     Получаем: ?(A?_n) – возрастает и ограничена сверху ??(A?_n) сходится ? ряд ?_(n=1)^??a_n  сходится.
     Пусть ряд ?_(n=1)^??a_n  расходится, тогда расходится ряд ?_(n=1)^??b_n , т.к., в противном случае, сходился бы ряд ?_(n=1)^??a_n ?
     Примеры:
      ?_(n=1)^??1/n^2 . a_n=1/n^2 <1/(n(n-1))=b_n, ? n?2. ?_(n=2)^??1/(n(n-1))=?_(n=2)^??b_n  – сходится ??_(n=1)^??a_n 
      ?_(n=1)^??1/?n. a_n=1/?n>1/n=b_n – расходится ??_(n=1)^??a_n  расходится.
     Теорема 2[15, с.18].Если ?_(n=1)^??a_n и ?_(n=1)^??b_n  положительные ряды и существует конечный и не равный нулю предел lim?(n??)??a_n/b_n ?, то оба ряда одновременно сходятся или расходятся.
     Доказательство.
     ? По определению предела c-?