Разработка теоретических и методических основ обучения учащихся функциональным зависимостям с помощью компьютерных средств

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ	2
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ЗАВИСИМОСТЯМ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРНЫХ СРЕДСТВ	9
1.1 Научно-теоретический анализ понятия «функциональная зависимость»	9
1.2 Визуализация и способы визуального представления функциональных зависимостей	23
1.3 Использование компьютерных средств в процессе обучения математике	50
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ЗАВИСИМОСТЯМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНЫХ СРЕДСТВ	62
2.1 Комплекс визуализированных задач по функциональной линии, решаемых с помощью программы Geogebra	62
2.2 Роль и место математической программы Geogebra в визуализации функциональных понятий 	78
2.3 Педагогический эксперимент и его результаты				        82
ЗАКЛЮЧЕНИЕ	93
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	 95
ПРИЛОЖЕНИЯ									      107





ВВЕДЕНИЕ
     Идею функциональной зависимости в школу, по мнению В.Л.Гончарова, насильно не притащишь: рано или поздно, она явится сама. Задача преподавателя – создать предпосылки для ее возникновения [53, с. 41]. Именно функциональная идея является сегодня главным направлением развития системы школьного математического образования, лишь на ее основе можно решать дидактические, развивающие и воспитательные задачи обучения математике.
     Проблемы обучения функциям всегда интересовали и ученых-математиков, и методистов, и учителей. Однако до настоящего времени исследования в этой области не нашли должного отражения в практике работы основной школы и, в частности, в обучении алгебре, поскольку:
     - не была правильно оценена значимость самого понятия «функция» для всего математического образования и формирования мышления и мировоззрения в целом;
     - не преодолены трудности, которые возникают у учащихся на уроках математики в процессе изучения основных свойств элементарных функций, уравнений, неравенств и их систем разными педагогическими приемами и методами;
     - не решены вопросы преемственности функционального содержания математического образования от начального звена до старших классов;
     - не раскрыто значение функции в реализации внутрипредметных связей в математическом материале.
     Исследования, проведенные ранее, и наш научно-теоретический анализ понятия функции позволяют констатировать тот факт, что полноценное формирование данного понятия поможет учащимся лучше осознать существующие взаимосвязи, выделить и обобщить существенные свойства зависимости между изменяющимися явлениями, найти их выражения (интерпретации) с помощью всевозможных правил, формул, таблиц, графиков, алгоритмов, моделей. На базе функционального подхода решать разнообразные задачи, развивать функциональное мышление, суть которого состоит в умении понять закономерность, закон, правило, зависимость явлений или процессов. Данные вопросы были и остаются в поле зрения многих выдающихся математиков: Евклида, Архимеда, Диофанта, Ариабхатта, Р. Декарта, И. Ньютона, Г. Лейбница, Г. Кантора, Р. Дедекинда, Н. Бурбаки [31], Ф. Клейна [88], М. Клайна [86] и др, в том числе и отечественных - JI. Эйлера [128], Н. И. Лобачевского [92], М. В. Остроградского, А. Н. Колмогорова [90], Л. С. Понтрягина [104], А. Н. Тихонова [117], А. Я. Хинчина [123], П. С. Александрова [8] и др., а также ряда известных методистов: М И. Башмакова [18], Н. Я. Виленкина [38], В. С. Владимирова [40], В. Л. Гончарова [53], В. А. Гусева [58], Г. В.Дорофеева. 
     Но сформировать у учащихся правильное и полное понятие функциональной зависимости довольно трудно, так как оно представляет собой математическую абстракцию высокого порядка, в которой взаимосвязи между элементами сложны и скрыты от глаза человека. Лишь открытие функциональной ассиметрии головного мозга, и в частности, правого (невербального - образного) полушария, позволило говорить о значении приобретения учащимися навыка «математического видения». В употребление вошел термин – «визуальное мышление», означающий оперирование образами. С момента открытия такого «математического зрения», появилась возможность активно и сознательно изучать многие непонятные абстрактные понятия, быстрее достигать результата при работе с функциями, уравнениями, неравенствами, системами уравнений и неравенств.
     Но развитие образного мышления на уроках математики, особенно алгебры, прежде всего, должно быть связано с графической интерпретацией математических понятий и требует постоянной апелляции к чертежам, схемам и пространственным моделям математических объектов. Вот почему одна из приоритетных задач школьного обучения сегодня – это повышение эффективности обучения математике за счет использования компьютерных средств, позволяющих быстро, точно и ярко исследовать сложные графические объекты (изображения), представленные на экране компьютера. Этой проблеме посвящен ряд публикаций следующих ученых: С.А.Абрамова [1], Е. П. Велихова [35], Б. С. Гершунского [51], Г. М. Клеймана [87], А. П. Ершова [68], Е. И. Машбица [96], В. М. Монахова [98], С.Пейперта [104], Ю. А. Первина, Е. В. Ашкинузе [16], JI. Г. Кузнецова [96], С. А.Степанова [116], М. А. Степанова и др.
     Содержание, формы и методы использования компьютерных средств на уроках алгебры в полной мере еще недостаточно изучены, соответствующие теоретические положения не устоялись, конкретные методики по практическому использованию отсутствуют, поэтому решение данной методической проблемы находится на стыке наук: математики, медицины, кибернетики, инженерной психологии и педагогики. Проведенный нами анализ психолого-педагогической и методической литературы, посвященный проблеме обучения функциональным зависимостям с помощью компьютерных средств в алгебре основной школы, позволяет констатировать, что в настоящее время: отсутствуют единые подходы к трактовкам понятий функция, компьютерные средства, каждый из авторов поясняет сущность этих понятий на частных примерах, раскрывающих лишь отдельные их аспекты.
     Сегодня большинство педагогов считают необходимым систематическое использование компьютера при изучении функциональных зависимостей на уроках математики, поскольку оно активизирует учебную деятельность, повышает эффективность обучения, развивает у учащихся визуальное, функциональное и исследовательское мышление, позволяет применять знания, полученные на уроках алгебры при изучении других предметов и в повседневной жизни. Однако практические шаги в этом направлении затруднены по причине отсутствия соответствующего методического, программного и технического обеспечения.
     Таким образом, противоречие между потребностью школьной практики в научно-обоснованной методике обучения функциональным зависимостям компьютерными средствами и ее фактическим состоянием определяет актуальность проблемы, которая состоит в поиске путей систематического применения компьютерной визуализации функциональных зависимостей в процессе усвоения знаний при обучении математике в основной школе.
     Цель исследования состоит в разработке теоретических и методических основ обучения учащихся функциональным зависимостям с помощью  компьютерных средств.
     Объектом исследования является процесс обучения алгебре в основной школе, а его предметом – визуализация функциональных зависимостей компьютерными средствами и ее дидактические возможности в обучении алгебре.
     Гипотеза исследования: если выделить и показать во всех взаимосвязях способы и приемы визуального представления функциональных зависимостей компьютерными средствами с учетом специфики предметного содержания школьной алгебры и познавательной деятельности учащихся, дать им характеристику, определить их место в процессе усвоения знаний и умений и разработать соответствующую методику проведения занятий, то это позволит повысить эффективность процесса обучения алгебре в основной школе.
     Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы потребовалось решить следующие основные задачи:
     1) дать научно-теоретический анализ эволюции развития функциональных зависимостей, определить взаимосвязь понятия функции и способов ее задания в математике;
     2) изучить и уточнить различные подходы к трактовке понятия функции в курсе математики в основной школе;
     3) выделить основные возможности использования компьютерных средств на уроках математики;
     4) провести отбор тем и задач курса алгебры, предполагающих эффективное использование компьютера;
     5) разработать методическое обеспечение для компьютерных исследований функциональных зависимостей при изучении алгебры в 7-9 классах.
     Для решения поставленных задач были использованы различные методы педагогического исследования:
     - изучение и анализ психолого-педагогической, методической и специальной литературы по данной проблеме;
     - анализ программ, учебников, учебных пособий по алгебре для общеобразовательных школ;
     - изучение и теоретическое осмысление передового опыта в аспекте рассматриваемой проблемы, анкетирование учителей математики и учащихся основных школ;
     - констатирующий, поисковый, обучающий эксперименты;
     - статистическая обработка и анализ проведенного эксперимента.
     Исследование проводилось поэтапно. На первом этапе осуществлялся анализ научной и методической литературы по проблеме обучения функциональным зависимостям с целью выявления и уточнения теоретических основ их использования в обучении алгебре. На втором этапе разрабатывались методические основы обучения функциональным зависимостям компьютерными средствами в процессе обучения алгебре в основной школе. 
     Во введении обосновывается актуальность исследования, определена проблема научного поиска, намечены задачи теоретического характера.
     В первой главе «Теоретические основы обучения учащихся функциональным зависимостям с использованием компьютерных средств» на основе научной и методической литературы дан теоретический анализ эволюции развития понятия функции и способов ее задания, уточнены сущность и понятие функция, определены приемы работы на компьютере, представлена и обоснована методика выбора программного обеспечения.
     Во второй главе «Методические аспекты обучения учащихся основной школы функциональным зависимостям с использованием компьютерных средств» раскрываются методические особенности компьютерных исследований различных функциональных зависимостей и приведена характеристика комплекса визуализированных дидактических материалов. Раскрыты методические особенности применения средств визуализации в процессе обучения понятиям функциональной линии в курсе алгебры. Описаны организация и проведение педагогического эксперимента для обоснования эффективности разработанной методики.  
     В заключении подводятся итоги проведенного исследования. 
     Основные теоретические положения и результаты исследования были представлены на межвузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов с международным участием «Молодежь, наука, творчество –2017» (Омск, 2017), студенческой научно-практической конференции «Человек и природа» (Омск, 2017, 2018), международном научно-практическом форуме студентов, аспирантов и молодых ученых «Современная математика и математическое образование в контексте развития края: проблемы и перспективы» (Красноярск, 2018).
     По результатам исследования автором опубликовано 5 статей в научных журналах.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ЗАВИСИМОСТЯМ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРНЫХ СРЕДСТВ
1.1. Научно-теоретический анализ понятия «функциональная зависимость»
     Большинство математических понятий прошло длительный путь развития. При этом в них вкладывался все более глубокий смысл. Они получали разнообразные приложения. Сложный путь прошло и понятие «Функция». С давнего времени оно находилось в поле зрения многих ученых и занимало центральное место всюду, где только встречается математическая мысль [8, 30].
     Используя историко-логический метод исследования, проследим путь развития представлений человека о функции. Прежде всего, отметим, что В.В.Лапицкий считает уместным говорить о функциональной зависимости становления субъекта и объекта познавательной деятельности от исторического совершенствования предметно-практического отношения [29], а потому правомерно ставить задачу реального осознания существующих взаимосвязей, которые необходимо знать учащемуся при решении задач, выделения и обобщения существенных свойств различных функциональных зависимостей, исследования эволюции их способов задания с помощью правил, формул, таблиц, графиков, алгоритмов, моделей. В связи с этим положением, анализируя идеи Н.Я.Виленкина [37, 38], Г. Вилейтнера [39], Г. И. Глейзера [54], И. Я. Депмана [66], М. Клайна [86], Э. Кольмана [89], А. М. Магомедова, Ф. М. Медведева [95], Е. Д. Цыдыповой, А. П. Юшкевича и других, выделим условно несколько этапов развития представлений человека о функциональных зависимостях:
- этап зарождения представлений о функциональных зависимостях;
- этап возникновения понятия функции;
- этап становления (развития) понятия функции;
- этап практических испытаний функциональных зависимостей;
- этап обобщения и совершенствования понятия функции;
- этап теоретического переосмысления понятия функции.
     Этап зарождения представлений о функциональных зависимостях включает в себя периоды, когда начинают формироваться три фундаментальных понятия – число, буквенное обозначение числа, фигура, когда развивается математика постоянных величин и зарождается буквенная символика, когда появляются функциональные «объекты-связки»: число - таблица, число - буква, кривая - класс кривых. В этот период:
  *  функция неявно содержится в простейших вычислениях, в правилах об измерении наиболее употребительных величин и в первых таблицах сложения, вычитания, умножения и деления (математическая культура Древнего Египта и Вавилона);
  *  наблюдается широкий запас функциональных соответствий: составление таблиц квадратов и кубов натуральных чисел; изучение зависимостей, задаваемых словесным описанием; описание поведения класса кривых; зачатки классификации задач на линейные, плоские и пространственные ( Евклид, Архимед, Аполлоний, Диофант и др.);
  *  составляются астрономические таблицы; предлагаются способы решения уравнений и задач на длину окружности, площадь круга и объемы геометрических тел ( Ариабхатта.аль-Беруни, Омар Хаям и др. );
  * впервые изображается интенсивность «качества величин» длинами отрезков, делается попытка классифицировать графики, а также указываются характерные свойства графиков; эти идеи намного обогнали тот уровень науки, так как тогда еще не умели выражать зависимость между величинами с помощью функции (Н. Орезм [103]).
     Итак, составление числовых таблиц и классификацию графиков функций можно отнести к первым представлениям о функциональных зависимостях, они явились продуктом длительного процесса исторического развития математики.
     Этап возникновения понятия функции – эпоха окончательного перехода от числовых конструкций к буквенной символике. В это время математика рассматривается как основной аппарат изучения физического мира, так как представления о законах природы складываются как законы функционального типа. Развивается весьма в зачаточной форме теория изучения величин и ее графическое представление. В этот период:
   *  создается система алгебраических обозначений, словесная алгебра постепенно заменяется буквенной, происходит расширение понятия числа, предлагаются способы решения уравнений третьей и четвертой степеней (Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и др.);
   *  на передний план выступает геометрическое представление-кривая аналитическая формула - лишь способ ее описания, удобный и полезный, но все же вспомогательный; функция мыслится не в виде формулы, разрешенной по отношению к одной из переменных, а в виде уравнения с несколькими переменными (Ферма, Нуччи, Декарт);
   *  делается упор на замену исходного геометрического образца другим аналитическим: х - абсцисса, у - ордината, используется символ f и записывается выражение в виде y = f(x) (И. Ньютон, 1665г.);
   *  вводится термин «функция», имеющий узкий смысл, касающийся только некоторых отрезков, зависящих от положения точки на кривой: ординаты, подкасательной, поднормали, радиуса кривизны (Г. В. Лейбниц, 1694 г.) [86].
     Этап становления (развития) понятия функции позволил ученым найти взаимосвязь между функцией и законом. К этому времени функция становится новым объектом – аналитической записью, которая позволяет сформулировать определение понятия самой функции: 
   *  дается определение функции как количества, составленного при помощи знаков математических операций: функция переменной величины есть количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных (И.Бернулли,1718 г.); 
   *  слово «количество» заменяется словом «аналитическое выражение»: функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо угодным образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количестве (Л-Эйлер,1748г.); 
   *  происходит расширение понятия функции – «кривая, начертанная свободным влечением руки», что означает: под функциональной зависимостью, выраженной в форме геометрических соотношений, скрывается геометрический объект, определяющий собой то, что можно назвать областью определения и областью значения функции; а также дальнейшее развитие определения, в котором уже содержалось в интуитивной форме идея о поэлементном соответствии между двумя множествами: когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых (Л. Эйлер,1755 г.) [39]. 
     Таким образом, дальнейшее развитие понятия функции, исследование ее свойств и привело к созданию математического анализа, основ дифференциального и интегрального исчисления. Но, следует заметить, что в это время математические понятия все же продолжали представлять собой не что иное, как абстракции конкретных переменных величин (координат) и зависимостей между ними (законов движения). 
     Этап практических испытаний функциональных зависимостей состоял в том, что аналитическое выражение подверглось серьезному практическому исследованию. В результате чего оказалось, что: 
   * всякая кривая может быть представлена в виде некоторого аналитического выражения, но образованного уже не степенным рядом, а тригонометрическим: функция задавалась единой формулой, хотя и содержала бесконечное множество членов (Д. Бернулли, Л.Эйлер, Ж. Даламбер); 
   *  сумма бесконечного ряда, состоящего из тригонометрических функций, может на разных участках выражаться различными формулами; при этом, главным является задание значений функций, а совершается ли это задание некоторой единой формулой или нет, несущественно (Ж. Фурье); 
   *  графиком суммы тригонометрического ряда может быть любая произвольная линия; переменная величина У называется функцией переменной величины X, если каждому значению величины X соответствует единственное определенное значение величины У (Л.Дирихле, Г. Ганкелъ, С. Лакруа, Н. И. Лобачевский) [37]. 
     Представление о функции, как о соответствии между элементами множеств, привело к «догадке» использования функций, которые могли бы быть записаны не только одной лишь формулой в явном виде, а также к рассмотрению различных геометрических интерпретаций функциональных зависимостей. 
     Этап обобщения и совершенствования понятия функции – этап, когда критическому анализу были подвергнуты такие понятия математического анализа, как предел функции, непрерывность, производная и т.п. В это время были даны определения, отличающиеся большой строгостью и общностью. Это позволило заметить, что функция и геометрические преобразования весьма близки друг к другу. Поэтому, аргумент и значение функции рассматриваются как элементы абстрактных множеств. В этот период: 
  *  понятие функции как причинного соответствия обшей природы получило впоследствии теоретико - множественную трактовку: если каждому элементу X множества А поставлен в соответствие некоторый элемент У множества В, то говорят, что на множестве А задана функция У = F(Х), или, что множество А отображено на множество В.В первом случае элемент X множества А называется значением аргумента, а элемент У множества В – значением функции; во-втором случае X – прообразом, У – образом (Г.Кантор,70 - е годы XIX в.); 
  *  вводится термин «отображение», который использовался ранее в геометрии, и подчеркивается сущность понятия функции как правила соответствия, что с определенной степенью достоверности доказывает: определение функции через переменную или отображение в качестве основных истоков имеет теоретико-числовые, алгебраические и точечно-множественные исследования ( Р. Дедекинд, 1887 г.); 
  *  соответствием между множеством А и множеством В называется тройка Г=(G,A,В),где G-есть график соответствия Г, А-область отправления. В-область прибытия соответствия: график F есть функциональный график, если для каждого х существует не более чем один объект, соответствующий этому к относительно F:иначе говоря, соответствие f=(F,A,B) есть функция, если для каждого х ,принадлежащего области отправления А соответствия f, соотношение (x,у) С F является функциональным по у; единственный предмет, соответствующий предмету х при соответствии f, называется значением функции f для элемента х из А и обозначается через f(x) или F(x) [38]. 
     Этап теоретического переосмысления понятия функции начался в связи с развитием и расширением области их применения, когда в материальном мире было открыто существование ряда «неизвестных» объектов и отношений, математические описания которых не сводились к чистому виду, к количественным отношениям и пространственным формам. Для многих приложений потребовались абстракции более высокого уровня, поэтому теория функций в настоящее время наполняется все более новым содержанием, ведь исследуются не только реальные объекты, но и свойства «мыслимых объектов». В связи с этим, в качестве одного из методов изучения поведения сложных динамических систем в кибернетике стал применяться функциональный принцип (подход), дающий возможность провести аналогию между сложной системой – человеком и менее сложной – машиной, что позволяет применить количественные методы математики к анализу сложных форм. Функциональный подход весьма перспективен, ибо он позволяет найти общее у человека и машины, и, таким образом, воссоздать, смоделировать поведение обучаемого через его деятельность. По этому поводу Ю.Т.Марков заметил, что особенностью функционального подхода является то, что он берет сложные объекты исследования и их отношения в совокупности с внешними факторами, а поэтому с самого начала ориентируется на целостный охват изучаемого явления или процесса. С точки зрения функционального подхода в центре внимания оказываются отношения и связи объекта. Абсолютизируясь, мы тем самым оставляем за собой право анализировать причинно-следственную структуру особенностей поведения иерархии строения систем в целом.
     Поэтому в настоящее время функциональная зависимость трактуется как форма устойчивой взаимосвязи между объективными явлениями и отображающими их величинами, при которой изменение одних явлений вызывает определенные количественные изменения других. Объективно, функциональная зависимость проявляется в виде законов и отношений, обладающих точной количественной определенностью. Они могут быть в принципе выражены в виде уравнений, объединяющих данные величины, или явления. Функциональная связь может характеризовать связь: между свойствами и состояниями материальных объектов; между самими объектами или системами в рамках целостной системы; между количественными законами; между абстрактными математическими величинами, множествами и структурами наряду с явлениями, в которых причинная связь выражается через объективные функциональные отношения. 
Различные подходы к трактовке понятия функции в курсе математики в основной школе
     В школьной математике функциональная зависимость используется в узком смысле, функция определяется чаще всего через соответствие. Пусть имеется множество X и множество У. Соответствие f:ХхУ, которое каждому элементу из X сопоставляется единственный элемент из У, называется функцией . Тройку (x, f, y) называют при этом отображением множества X в множество У и обозначают f:x*у. Обозначают функцию обычно буквами f, g, q и т. д. .Множество X называют при этом областью   определения функции, а множество У называется множеством значений функции или областью изменения. Элемент X из X называется переменной или  аргументом; элемент y = f(x) из У называют значением функции элемента х или образом элемента х при отображении f. В зависимости от природы множеств X и У получаются различные типы функций [35, с. 301-302]. 
     Взгляды современных математиков-исследователей на это понятие и все, что связано с ним, расходятся. Так Ф. М. Медведев [95] дает исчерпывающий анализ различных трактовок функции, подводя при этом итог, что не имеется единого термина для рассматриваемого понятия. Но наиболее употребляемы и распространены в равнозначных смыслах названия: форма, исполнение, действие, отображение, отношение, преобразование, правило, оператор, закон и некоторые другие. Выяснение места функциональной связи среди других форм связей  требует четкого уяснения ее содержания и логико - гносеологической роли, и только потом возможны перенос и адаптация в школьные учебники. По мнению А. М. Магомедева, в математике развитие понятия функции проходит ряд ступеней: функция как объект классического математического анализа, функционал и оператор в функциональном анализе, функтор в теории катастроф и функторов. В основе определения функции лежит фундаментальный признак соответствия, отображения одного множества на другое. В широком понимании функциональность есть связь соответствия. Наличие закономерных связей между аргументом и функцией и определяет специфику свойств функции. Понимание функциональности как соответствия объектов любого рода позволяет выяснить место этой категории в системе учения о закономерностях: функциональность как качественный аспект причинности: Функциональность и причинность находятся в отношении логического пересечения (или включения); функциональная связь позволяет расчленить явление для понимания его природы 
     В функциональном уравнении, в его физическом контексте, не содержится утверждений о входящих величинах (как о причине и следствии). Но если мы свяжем величинами конкретное явление и создадим соответствующие условия, а потом экспериментально получим это явление в действительности, то имеются все основания говорить, что причинность и функциональная связь находятся во внутренней динамической связи. Следовательно, изучение переменного аргумента представляет собой субстанциональную самодвижущуюся основу, которая обуславливает цель причинно-следственных отношений, когда происходит автоматический переход одних математических понятий в другие. Рассматривая движущуюся материю и ее универсальный и всеобщий характер-взаимосвязь и обусловленность явлений, можно заключить, что связь между предметами носит различный характер, но всегда она выступает как взаимозависимость, взаимообусловленность, поэтому в математику и вошли движение и диалектика. Значит, связь между объектами будет иметь место лишь тогда, когда в результате взаимоотношения объектов возникнет их движение, а в результате этого движения - изменение их свойств. Функциональная связь, в принципе, есть связь соответствия. Многие ученые отмечают, что «функциональность» – понятие многогранное, которое может означать: специальный класс объективных отношений (отношений взаимосвязи, простого следования, синхронного изменения); математический научно-исследовательский инструмент, служащий для количественных выражений самых разнообразных отношений; определенный способ деятельности, присущий какому-либо объекту. 
     Обращаясь к особенностям формирования понятия функции в школьном курсе математики и связанных с ним понятий о функциональных зависимостях, отметим, что понятие соответствия, отражающее интуитивное представление о соответствии между какого-либо рода объектами, как указывал Г.В.Дорофеев, было создано в математике с целью формирования понятия функции. Происхождение же термина «отношение» другое: «отношение» – это, прежде всего, отношение равенства или неравенства между объектами, т. е. понятие «отношение» не имеет внутренней связи с понятием функции, ни как с правилом соответствия, ни как с выражением, содержащим переменную. Но при формализации интуитивных понятий «соответствие» и «отношение» оказалось, что они имеют одинаковые математические модели - и то, и другое можно трактовать как множество пар, значит, в принципе, они совпадают [21] .
      Поэтому, с начала 80-х годов XX века в школьном курсе математики функция стала определяться через соответствие, а не через отношение. Так С.А. Теляковский отмечал, что определение функции через бинарное отношение предполагает наличие у учащегося достаточно высокой культуры абстрактного мышления. Владение этим подходом к понятию функции не является обязательным даже для математиков-специалистов по теории функций. 
     В диссертации Е.Д. Цыдыповой [125] приводится анализ определений понятия функции в школьных программах, а также различные точки зрения математиков-методистов, данные ими в разное время. При этом автор показывает всю сложность трактовки определения понятия функции и приводит известные определения функции в учебниках математики для средней школы П. С. Александрова, Ш. А . Алимова, М . И. Башмакова, А. П. Барсукова, А. Я. Блоха, С. Н. Бернштейна,А . Н. Колмогорова, А. П. Киселева, В. Т. Кузнецова, А. М. Маркушевича, Ю. Н. Макарычева.
     Анализ этих точек зрения показал, что для решения задач на функциональные зависимости ученик должен знать и понимать два основных полагающих определения числовой функции: 
1) Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у (х) При этом х называют независимой переменной или аргументом, а y зависимой переменной или функцией [5, с. 14]; 
2) Если числовое отношение R (декартово произведение-числовая плоскость) есть множество пар чисел, то числовая функция есть такое множество f пар чисел (х; у), что для любого числа х в этом множестве содержится не более одной пары (х; у) с первым элементом х [2, с. 30-31]. 
     Важность этих двух определений и их большое практическое значение сегодня очевидна при работе с элементарными функциями. 
     Элементарные функции теснее всего связаны с основными алгебраическими структурами-группами (R;+) и (R; •), проще говоря, с операциями сложения действительных чисел и умножения положительных действительных чисел. Чтобы выделить какой-либо класс функций, целесообразно указать некоторый базисный набор входящих в этот класс, и совокупность операций над функциями, не выходящих за пределы этого класса. Элементарными функциями называют функции следующего вида: 
- базисные элементарные функции, задаваемые выражениями: С, х, еx, Lnх, sinх, arcsinх, которые рассматриваются на всей области R, где они имеют значение; 
- функции вида f + g, f • g, f/g, где f и g-элементарные функции, a композиция f(g принадлежит тому же множеству элементарных функций. Элементарные функции связаны с гомоморфизмами и автоморфизмами групп, образующих числовую основу математического анализа. Поэтому включение этих функций в число базисных весьма обоснованно. Доказано, что множество элементарных функций сформировано не случайным, а закономерным образом. Одновременно удалось установить связи между различными подходами к базисным элементарным функциям [45, с. 83-101]. 
     Заканчивая среднюю школу, учащийся должен ясно представлять себе и умело применять все то, что связано с «элементарными функциями»: общие сведения об элементарных функциях; построение графиков элементарных функций; исследование свойств элементарных функций; простейшие методы геометрических преобразований с графиками элементарных функций; применение графиков элементарных функций при решении уравнений, неравенств и их систем, приложений. Поэтому становится понятно, что при существующей практике обучения алгебре, в которой больше всего преобладают «чистые» аналитические методы, невозможно повысить уровень качества знаний учащихся без графического представления математических объектов. 
     В последующих параграфах диссертации будет показано, что полное понимание учебного материала достигается учеником тогда, когда он не только изучает математический объект, но и «видит» его в общей структуре объектов. А раннее обращение ученика к классификации функциональных зависимостей позволит эффективно решать различной сложности уравнения, неравенства и т.п. 
     Кроме того, с первых шагов «прикосновения» к понятию «функция» школьник должен осознать, что уравнения, неравенства и их системы находятся в общей структуре понятий, приемов и методов обучения, что решение уравнений, неравенств и их систем целиком и полностью, прямо или косвенно, опирается на свойства элементарных функций (в машинном исполнении эти моменты взаимосвязаны между собой). Следовательно, учителю необходимо постоянно подчеркивать особенность функциональной связи между объектами.
     Тогда функциональная пропедевтика поможет сформировать у учащихся: представление об объекте и его роли; методы и приемы деятельности в процессе изучения темы. То есть, понятие функциональной зависимости будет использоваться с целью формирования деятельного компонента обучения. Психологические исследования убеждают нас, что учащиеся в возрасте 7-14 лет способны усвоить совершенно абстрактные понятия в форме конкретных операций, при этом сущность вводимых понятий может быть раскрыта только в процессе специального восприятия. В частности, определение понятия функции можно будет считать усвоенным учениками, если они умеют: узнавать и распознавать объекты, подходящие под определение понятия; приводить примеры объектов, охватываемых понятием; применять их при решении задач. А это станет возможным потому, что в функции, как подчеркивал Хинчин А. Я., воплощены и подвижность, и динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин. Качество подготовки, оканчивающих среднюю школу, в значительной степени измеряется тем, насколько твердо, полно и культурно учащиеся свыклись с этим важным понятием [48]. 
     Следовательно, сущность процесса усвоения учащимися понятия функциональной зависимости состоит в приобретении знаний и овладении умениями применять их при решении задач. К тому же практика показывает, что нельзя учить одному лишь определению функции, необходимо формировать системное усвоение понятий всем программным материалом, включающим в себя и историческое, и философское, и прикладное содержание, чтобы показать логико-генетическую связь понятия функции и различных ее наглядных интерпретаций. Поэтому, для правильного подведения учащегося под то или иное понятие функциональной зависимости необходимо учитывать в комплексе следующие факто.......................