Расширение, углубление знаний учащихся об определённом интеграле, его применениями в разных областях науки

ГЛАВА 1. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭЛЕКТИВНЫХ КУРСОВ ПО МАТЕМАТИКЕ
 . Цели организации элективных курсов по математике
Принципиальным положением организации школьного математического образования в настоящее время является дифференциация обучения математике – уровневая дифференциация и профильная дифференциация в старших классах средней школы.
Программа по математике для средней общеобразовательной школы, работающей по базисному учебному плану, предполагает формирование у школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры, как определённом методе познания мира. Но на данный момент содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Объём знаний, необходимый человеку, резко возрастает, в то время как количество отводимых часов для занятий сокращается. Математика как школьная дисциплина оставляет учащихся на рубеже прошлых веков и чрезвычайно мало знакомит с современными научными достижениями.
Одним из средств реализации требований программы и разрешения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов по математике.
Элективные курсы – обязательные для посещения курсы по выбору для старшеклассников, которые реализуются за счет школьного компонента.
Прилагательное «элективный» (Electus – латинский, Л. Крысин «Толковый словарь иноязычных слов», «Русский язык», М., 1998.) в переводе с латинского языка означает избранный, отобранный. Отсюда следует, что любой курс, названный в учебном плане «элективным» должен выбираться.
Элективные курсы играют важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы.
В соответствии с одобренной Минобразованием России «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» дифференциация содержания обучения в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трёх типов: базовых, профильных, элективных (с. 12).
Элективные же курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов.
Элективные курсы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников. Эта роль элективных курсов в системе профильного обучения определяет широкий спектр их функций и задач.
При этом предполагается, что элективные курсы должны способствовать внутрипрофильной специализации обучения, а так же для разработки учащимися собственного образовательного профильного маршрута, так как одной из основных задач, стоящих перед системой образования, является переориентация на подготовку человека, самостоятельно выбирающего индивидуальную траекторию развития в соответствии со своими способностями и возможностями, ответственно принимающего решения и эффективно действующего в современно меняющемся мире. Самостоятельность как ответственное, инициативное, независимое поведение – это основной вектор взросления молодых людей.
Элективные курсы должны быть содержательно и деятельно связаны с конкретным профилем, моделируя характерные для него учебные ситуации и проблемы.
Элективные курсы – обязательные для посещения курсы по выбору для старшеклассников, которые реализуются за счет школьного компонента и имеют следующие цели:
- развитие содержания базового курса математики, изучение которого в данной школе осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать на профильном уровне или получать дополнительную подготовку для сдачи ЕГЭ по математике;
- дополнение содержания профильного курса математики, выступают его надстройкой, что позволяет профильному курсу быть в полной мере углублённым;
- удовлетворение разнообразных познавательных интересов школьников, выходящих за рамки выбранного ими профиля, в различных сферах человеческой деятельности;
- развитие математического мышления, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами углублённого изучения математики.
Элективные курсы играют большую роль в совершенствовании школьного образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, а также варьировать объём и сложность изучаемого материла.
Значит, элективные курсы позволяют поддержать изучение математики как профильного предмета на заданном профильном уровне или служат для внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных траекторий школьников.
1.2. Типология элективных курсов
Курсы по выбору занимают важное место в системе профильного обучения на старшей ступени школы. В отличие от факультативных курсов, существующих ныне в школах, элективные курсы обязательны для посещения у старшеклассников. 
          Одной из целей профильного обучения является создание условий для дифференциации содержания обучения учащихся старших классов, что, в свою очередь, обеспечивает построение индивидуальных образовательных программ. Это может быть достигнуто при грамотном сочетании различных учебных курсов: базовых общеобразовательных, профильных общеобразовательных, элективных. Каждый из курсов этих трех типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения. Тем не менее, можно выделить систему задач, приоритетных для курсов каждого типа. 
         Базовые общеобразовательные курсы представляют курсы обязательные для изучения всем ученикам и ориентированы на завершение общеобразовательной подготовки учащихся. 
         Профильные курсы представляют углубленное изучение отдельных предметов, курсы повышенного уровня, и направлены, прежде всего, на подготовку выпускников школы к последующему профессиональному образованию. 
        Элективные курсы связаны в первую очередь с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого ученика. Именно они, по существу, и являются важным средством построения индивидуальных образовательных программ, т.к. в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Элективные курсы как бы «восполняют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении различных образовательных потребностей учеников старших классов. 
          Эта роль элективных курсов в системе профильного обучения определяет широкий спектр их функций и задач. 
          По назначению выделяют несколько типов элективных курсов.           Тип первый представляет собой некое дополнение к базовым профильным курсам, что обеспечивает изучение тех или иных учебных предметов на повышенном уровне. 
         Тип второй представляет собой курсы, ориентированные на интеграцию учебных предметов, они обеспечивают межпредметные связи. 
          Тип третий – это курсы, которые направлены на подготовку учеников к сдаче единого государственного экзамена или на подготовку к вступительным экзаменам в высшее учебное заведение по данному предмету.     Такие курсы, можно сказать, имеют «репетиторскую» направленность. 
         Тип четвертый – это курсы, предоставляющие возможности приобретения узкоспециализированных навыков, которые необходимы для определенной профессии. 
         Тип пятый - представляет собой курсы внепредметного характера, которые ориентированы на удовлетворение тех интересов учащихся, не связанных с рамками школьной программы, они предназначены для расширения кругозора ученика. [1]. 
Кроме приведенной классификации существует также классификация по связи с предметом. [1]:


Цель предметных курсов заключается в углублении и расширении знаний по предметам, входящих в базовый учебный план школы, включая: 
 - элективные курсы повышенного уровня, ориентированные на углубленное изучение предмета (могут иметь как тематическое, так и временное согласование с профильным учебным предметом); 
  - спецкурсы по выбору для углубленного изучения отдельных разделов профильного учебного предмета; 
  - элективные спецкурсы, в которых расширенно или углубленно изучаются отдельные разделы базового курса, не входящие в обязательную программу.          Особую группу предметных элективных курсов составляют репетиционные элективные курсы, задачами которых может являться:
  - устранение имеющихся «пробелов в знаниях» учащихся старших классов по предметам выбранного профиля за предыдущие годы; 
 - подготовка к сдаче единого государственного экзамена по предметам на базовом уровне по отдельным, наиболее трудным разделам школьных программ. 
          Введение элективных курсов, ориентированных на подготовку к сдаче единого государственного экзамена по предметам на профильном уровне, не допускается, так как школьные предметы профильного уровня предусматривают углубленное изучение этих предметов. 
        Целью межпредметных курсов по выбору является образование в сознании школьников межсистемных ассоциаций, которое в последствие приводит к серьезным изменениям психологии мышления: мышление становится более гибким, подвижным, что немаловажно для решения задач творческого характера. В качестве примера таких курсов могут служить работы: «Компьютерное моделирование», «Компьютерная графика», «Математические модели и методы в естествознании и технике» и т.д. Межпредметные курсы можно проводить также и в основной школе, с целью предпрофильной подготовки – оказание помощи ученикам в определении профиля обучения в старшей школе.  


Также, можно привести классификацию элективных курсов по содержанию [2]:
Типы элективных курсов
элективные курсы повышенного уровня, направленные на углубление математики (углублённое изучение математики).
элективные спецкурсы повышенного уровня, направленные на углубление отдельных тем основного курса математики, входящих в обязательную программу для изучения.
элективные спецкурсы повышенного уровня, направленные на углубление отдельных тем основного курса математики, не входящих в обязательную программу для изучения.
прикладные элективные курсы, направленные на знакомство учащегося с важными путями и методами применения знаний математики на практике.
элективные курсы, посвящённые изучению методов решения различных математических задач (уравнений, неравентсв и др.).	

          Подводя итоги по классификации типов элективных курсов, приведенных выше, можно сделать вывод, что элективные курсы могут охватить все направления обучения: одни курсы по выбору служат для углубленного изучения предмета, входящего в базисный учебный план; другие предназначены для создания у детей сознания того, что все изучаемые предметы могут быть связаны между собой; курсы третьего типа направлены на изучение предметов, не входящих в базисный учебный план. 
           Некоторые из этих курсов ориентированы на изучение путей и методов 
применения знаний математики на практике, другие посвящены изучению методов решения математических задач, но всех приведённых нами элективных курсов объединяет одно: удовлетворение потребностей и интересов школьников. 


1.3. Организация элективных курсов по математике
В настоящее время предлагается проводить элективные курсы начиная с 7 класса профильной школы. Группа учащихся создаётся из учащихся параллельных классов, возможно так же создание объединённых групп из учеников последовательных классов.
Для успешного проведения элективного курса необходимо, по возможности, внести их в школьное расписание, не допускать срывов и переносов занятий.
Проведение элективного курса требует высокого уровня профессиональной подготовки учителя. В ряде случаев для проведения элективных курсов приглашают преподавателей высших или средних специальных учебных заведений.
Выбор и посещение элективного курса по математике до 9 класса включительно производится свободно, а в 10–11 классах курсы обязательны для посещения. Требования к ученику такие же, как и в отношении любого учебного предмета: обязательное посещение занятий, выполнение домашних заданий, собранность, дисциплинированность в учёбе и др.
Обучение ведётся по программам, созданным самим учителем, по его так называемому авторскому проекту (Приложение 2).
Учитель, предлагающий курсы подобного содержания, должен уже на первом занятии увлечь своих учеников. В данном случае важна не только тема элективных курсов, но и время их проведения.
Но каждый учитель должен придерживаться ряда правил по организации элективного курса:
Требования к элективным курсам
· Избыточность (их должно быть много).
· Кратковременность (6–16 часов).
· Оригинальность содержания, названия.
· Курс должен заканчиваться определенным результатом (творческое сочинение, проект и др.).
· Нестандартность.
· Элективные курсы, как правило, носят авторский характер.
Определение учебной программы
Учебная программа – нормативный документ, в котором отражены цели, содержание, особенности оценки эффективности результатов процесса обучения конкретного учебного курса.
Структурные элементы программы элективных курсов:
1. Титульный лист.
2. Пояснительная записка.
3. Содержательная часть.
4. Методическая часть.
5. Приложение.
1. Титульный лист
2. Пояснительная записка
· Актуальность программы, обоснование необходимости программы (доводы о важности изучаемого компонента, недостаточность изучения в базовом курсе, соответствие возрасту, связь с наукой и др.).
· Цели и задачи программы (развитие интереса, оказание помощи в выборе профессии и др.), цель должна отражать результат (создать проект и др.).
· Обоснование отбора содержания его логике (элементы программы должны быть взаимосвязаны, должно быть выделено содержание).
· Указание внутрипредметных и межпредметных связей.
· Сведения об учащихся, на которых рассчитана программа.
· Характеристика временных и материальных ресурсов (программа предусматривает типовое оборудование, нуждается в экскурсиях и др.).
· Технические указания к тексту программы (для всех один текст, повышенного уровня – другой).
3. Содержательная часть
· Последовательный перечень тем с их кратким содержанием, указанием времени, необходимого на их изучение.
· Список демонстраций, практических и лабораторных работ, экскурсий.
4. Методическая часть
· Методические рекомендации.
· Требования к уровню знаний, умений и навыков, полученных в результате обучения.
· Развитие компетентности.
· Критерии эффективности реализации программы.
· Формы и методы контроля.
· Список рекомендуемой литературы.
5. Приложение
· Тематическое планирование.
· Дидактический материал.
· Дискеты с электронными презентациями.
6. Экспертиза программы
Экспертиза программы может проводиться на методсовете школьного муниципального уровня.
Итак, разработка элективного курса – это трудно, так как необходимо придерживаться ряда правил, а также иметь большой запас знаний и умений.
1.4. Требования к программам элективных курсов
         Чтобы реализовать возможности профильного обучения за счет элективных курсов необходимо, чтобы они соответствовали следующим требованиям: [2]  
 Набор курсов, предлагаемых на выбор, должен иметь вариативный характер, то есть их количество должно быть избыточным. 
 Разработанные 	элективные 	курсы 	должны 	соответствовать установленным правилам оформления программ. 
 Организация учебного процесса должна позволять ученикам менять наполнение индивидуального учебного плана элективными курсами не меньше, чем два раза за учебный год. 
 Содержание элективных курсов должно включать всю необходимую информацию, которое ознакомит учеников со способами деятельности, необходимыми для успешного освоения программы того или иного профиля. 
 Содержание элективных курсов может включать оригинальный материал, выходящий за рамки учебной программы, такая необходимость может быть создана для формирования у учеников интереса и укрепления положительной мотивации к тому или иному профилю. 
Важную роль в построении элективного курса имеет его структура. Выбор логической структуры курса определяется его целями, типологией и основным содержанием. 
Структура программы элективного курса должна содержать: 
Титульный лист. 
Пояснительная записка. 
Учебно-тематический план. 
Содержание курса. 
Методические рекомендации по изучению курса. 
Рекомендуемая литература. 

Титульный лист содержит:
 наименование учебного заведения; 
 информацию о том, где, когда и кем утверждена программа; 
 название элективного курса; 
 класс, на который рассчитан курс; 
 ФИО, должность автора (авторов) курса; 
 название населенного пункта; 
 год разработки курса. 

Пояснительная записка.
         В общем, в пояснительной записке, в первую очередь, дается обоснование актуальности предлагаемого курса, определяются цели, задачи, требования к знаниям учащихся, форма контроля. 
Пояснительная записка элективных курсов профильной школы должна содержать: 
1.  Аннотацию, в которойтребуется дать обоснование необходимости включения данного курса в учебную программу; аннотация должна содержать в себе название, основное содержание, для кого разрабатывался курс. Немаловажно краткость аннотации и доступность ее описания, так, чтобы у потребителя создалось полное представление: в чем привлекательность предлагаемого курса для учеников, учителей, которые могут пользоваться этим курсом, также для родителей учеников, которые также могут быть заинтересованы. 
          Для обоснования необходимости включения данного курса в учебную программу, желательно провести специальное педагогическое исследование. Педагогическое исследование может включать в себя наблюдение за школьниками, психолого-педагогический анализ деятельности учеников, рейтинговые оценки, предварительную диагностику интересов, склонностей, способностей и образовательных запросов учеников. Диагностику можно проводить на основе анкетирования, опроса, тестирования, эвристической беседы с учениками, родителями, учителями, руководителями школы.     
2) Указание на место и роль курса в профильном обучении. Важно показать 
занимаемое место элективного курса в учебной программе: какие межпредметные связи реализуются в процессе изучения элективных курсов, какие общеучебные и профильные умения и навыки при этом развиваются, какие условия создаются для роста познавательного интереса школьников, профессионального самоопределения. [3]   
         Новый курс следует вводить только в случае, если результаты предварительно проведенного мини-исследования однозначно показали необходимость введения курса в учебный план.  
          В пояснительной записке требуется также выделить, в чем заключается новизна разработанного курса, назвать преимущества данной программы в сравнении с другими, аналогичными данной, если таковые имеются. 
3) Цель и задачи элективного курса. 
Требуется также дать установленные цели курса – для чего он изучается, какие потребности субъектов учебного процесса (учеников, учителей, учебного сообщества) удовлетворяет; в программе указываются также задачи курса - это все необходимое для достижения целей. 
 Сроки реализации программы предполагает продолжительность курса и его этапы. 
 Основные позиции в отборе и структурирования материала. В этой части пояснительной записки идет обоснование нужности и полезности подобранного содержания, что подобранные информация и формы работы помогут в достижении желаемых результатов, устранении пробелов в знаниях. 
6) Методы и формы обучения. Методы и формы обучения непосредственно определяются в зависимости от профиля обучения, также должны учитываться индивидуальные и возрастные особенности школьников. В соответствии с этим, выделяют основные преимущества методики изучения курсов по выбору:
 обучение через опыт и сотрудничество; 
 учет индивидуальных особенностей и потребностей учеников; 
 интерактивность (работа в малых группах, тренинги, ролевые игры, метод проектов); 
 личностно-деятельный и субъективный подход, т.е. уделять большее внимание к личности ученика, а не целям учителя, точнее установить их равнозначные взаимодействия; 
          Методам поискового и исследовательского характера следует выделить значимое место. Такие методы наиболее полно развивают навыки самостоятельной работы, стимулируя также познавательную активность школьников; не будем забывать и о командном духе, его развитии. С этой целью в программу следует включить следующие формы работ: 
 групповые исследовательские работы, коллективное выполнение анализа для определения основных понятий, выделения проблемы, постановки целей и задач исследования; 
 публичные выступления по заданной проблеме; 
 работа в библиотеке, в компьютерном классе, использование электронных энциклопедий, справочников, поисковых серверов Интернет для подбора информации; 
 практические работы учеников у доски с параллельным комментированием учителя. 
 Предполагаемый результат есть ответ на вопрос: какие знания, умения, опыт будут получены; какие виды деятельности будут освоены. Результаты в первую очередь должны удовлетворить самих школьников на начальном этапе знакомства с курсом для обеспечения его привлекательности. 
 Систему форм контроля уровня достижении обучающихся и критерии оценки. Требуется разработка, как формы промежуточного контроля, так и формы зачетной работы по окончанию курса. Оценка может ставиться как в форме «зачтено/не зачтено», так и по шкале оценок.  
Контроль уровня достижения учеников может осуществляться наблюдением активности на уроках, анализом работ исследовательского и творческого характеров, результатов выполнения диагностических заданий из учебного пособия. Можно также использовать такие способы, как: анкетирование, тестирование и беседа с учениками. Оценивание промежуточных достижений очень важно, прежде всего, как инструмент усиления мотивации, а также своевременной коррекции деятельности, как школьников, так и учителя. 
Итоговая оценка может быть накопительной, то есть все результаты по выполнению предложенных заданий, оцениваемых в баллах, суммируются по окончанию всего курса. 
Учебно-тематическое планирование
          Учебно-тематический план должен давать общее представление о количестве часов, в том числе аудиторные работы, консультаций, самостоятельной работы.  
Учебно-тематический план можно представить в виде таблицы.

Тема 

                     Количество часов:                


         Формы                 контроля      


Всего 
Аудиторных 
(Лекция) 
Внеаудиторных 
(Практика) 







          К аудиторным часам относятся часы для занятия всей группой, осваивающей программу, с учителем в классной аудитории. Внеаудиторные часы отводятся на самостоятельную работу в школьной медиатеке, экскурсионные формы работы, консультации учителя (обратная связь по результатам самостоятельной работы). Все виды и формы работы, отводимые на внеаудиторную работу по реализации программы, должны найти свое отражение в соответствующем разделе пояснительной записки. Итоговым количеством часов по теме будет сумма аудиторных и внеаудиторных часов. Часы, отводимые на практическую деятельность, указывают в одной колонке, независимо от того, где и каким образом эта практическая деятельность будет организовываться. 
Содержание программы.  Под содержанием программы понимается список тем с примерным распределением времени по темам и их краткое описание.
Методические рекомендации по изучению курса также являются частью программы и представляют собой очень сжатое изложение рекомендуемых автором форм, методов и средств обучения. Работая с программами элективных курсов, содержащие методические рекомендации, следует понимать, что это именно рекомендации, не требования, которые предъявляются учителю. 
Рекомендуемая литература обычно дается в конце программы и представляется в виде общего списка либо отдельными списками для учителя и для обучающихся. При составлении таких списков следует принять во внимание доступность литературы для школы.  
           В программы традиционных учебных курсов включаются требования к уровню подготовки учащихся, иногда приводятся рекомендации по оцениванию знаний и умений обучающихся. Особенностью курсов по выбору является то, что ни знания, ни умения, приобретаемые учениками, формально не оцениваются. Но это вовсе не означает, что результаты учебной работы останутся без внимания учителя. Качественная оценка успехов школьника в освоении содержания курса должна быть всегда, так как в ней заложен огромный воспитательный и мотивационный потенциал. 



















Глава 2. Анализ учебников по алгебре и начала анализа по теме: «Приложения интегрального исчисления»

2.1. Анализ учебников по алгебре и начала анализа по теме: «Приложения интегрального исчисления»

   В вузовском курсе математического анализа рассматриваются различные подходы к понятию интеграла.
   Обратимся к анализу некоторых школьных учебников алгебры и начал анализа с точки зрения использования подходов к введению понятия интеграла.
   Анализ показывает, что в учебниках, как правило, используются два подхода к введению понятия определенного интеграла: интеграл как предел интегральных сумм и интеграл как приращение первообразной.
   Первый подход предполагает введение операции интегрирования как независимой операции, при этом интеграл определяется как предел последовательности, составленной из интегральных сумм. Рассматриваются конкретные задачи, например, задачи о площади под кривой; задачи о работе силы и др. Обобщив полученные результаты, переходят к определению интеграла как предела интегральных сумм.
   Идея этого метода является наглядной (используется геометрическая интерпретация — площадь криволинейной трапеции). Вместе с определением интеграла получают и способ его вычисления. Но на практике для вычисления интеграла используют формулу Ньютона — Лейбница, которую при данном подходе необходимо доказать.
Остановимся на некоторых учебниках «Алгебра и начала анализа»:
 Прежде чем рассмотреть анализ школьных учебников, заметим, что учебники Н. Я Виленкина С. М. Никольского, предназначенные для классов с углубленным изучением математики, по-другому подходят к изучению темы «Интеграл», чем в других учебниках.
   1) Учебник С. М. Никольского относится к серии учебников «МГУ школе». Учебники серии «МГУ — школе»таковы, что по им можно работать и курсов по выбору (элективных курсов) ученику предоставляется возможность изучить дополнительные вопросы как из учебника, так и не включенных в учебник. При этом следует учесть специфику профиля (математический, естественно-научный и т.д.).
   Учебник для 11 класса включает следующие вопросы программы: исследование функций и построение графиков; производная; интеграл; уравнения, и равенства их системы; кроме того, в учебнике для 10-11 классов содержится материал о комплексных числах, комбинаторики, элементах теории вероятности.
   Тема «Первообразная и интеграл» рассматривается в параграфе 6 с рассмотрения понятия первообразной. При этом автор опирается на конкретной физической задаче, а затем дает определение первообразной: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [а; b], если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F'(x)=f(x).Доказывается утверждение: ЕслиF(х)- одна из первообразных для функции f(x) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой G(x)=F(x)+C, где С?R. Через конкретные примеры автор подводит учащихся к индуктивному обобщению и приводит к табличным интегралам. Например: Если F — первообразная для f, а k иb — постоянные (k?0), то функция  1/kF(kx + b) - первообразная для f(kx+b).
(1/kF(kx + b))'=1/kF'(kx + b)k = f(kx+b)
???cos?(ax+b)?dx=(sin?(ax+b))/a+C;
     Подчеркивается, что при рассмотрении неопределенных интегралов подразумевается, что подынтегральная функция непрерывна на некотором интервале [a; b]. Также приводятся основные свойства неопределенного интеграла. На вычисление неопределенных интегралов с использованием табличных приводятся много примеров для закрепления (70 примеров).
     В следующем пункте, который отмечен звездочкой, рассматривается теоретический материал по основным методам интегрирования: замена переменной; интегрирование по частям с иллюстрацией решения типичных примеров. Это дает возможность ученику научиться решать типичные примеры вычисления неопределенных интегралов, что является основой для самостоятельного решения других примеров. Имеются различные типы интегралов на основные методы интегрирования(З0 примеров).
     Этим завершается рассмотрение темы «Неопределенный интеграл», остальное содержание раздела посвящено теме «Определенный интеграл», который занимает 26 страниц текста.
     2) Обратимся к учебнику Н. Я. Виленкина «Алгебра и математический анализ». Данный учебник предназначен для классов - с углубленным изучением математики. Как отмечают авторы учебника «излагаемый материал по объему несколько больше, чем предусмотрено Фундаментальным ядром содержания общего образования и требованиями ФГОС среднего общего образования. Отмеченные звездочкой пункты могут быть использованы для элективных курсов и курсов по выбору». [1]
     Уровень изложения материала соответствует повышенному уровню строгости и научности, но в то же время сочетается с использованием наглядных иллюстраций основных понятий. Кроме того, в учебнике уделяется большое внимание приложениям математики в физике, экономике, в социологии и т. д. Это способствуют достижению метапредметных результатов обучения.
     Интеграл рассматривается в седьмой главе «Интеграл и дифференциальные уравнения».
     Перед тем, как ввести понятие первообразной, автор систематизируют сведения по теме «Производная» в виде таблицы. Дальнейшее изложение материала почти ничем не отличается от учебника С. М. Никольского «Алгебра и начала анализа»: теорема о первообразной; основные свойства неопределенного интеграла; замена переменной в неопределенном интеграле. Отличие состоит разве что в том,что вводится специальный пункт «Непосредственное интегрирование». По сравнению с учебником С. М.
Никольского(100 примеров) приведено гораздо меньше примеров на вычисление неопределенного интеграла(всего 52 примера). Кроме того, примеры не классифицированы по типам. Тем не менее, имеющийся материал является достаточным для формирования у учащихся основных понятий и приемов решения задач по теме неопределенный интеграл.
     З) В учебнике А. Н. Колмогорова «Алгебра и начала анализа»[2]при введении интеграла рассматривается задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Автор приводит в учебнике два способа вычисления площади криволинейной трапеции: с помощью теоремы о площади криволинейной трапеции и с помощью интегральных сумм. Второй способ сводится к определению интеграла. С помощью интегральных сумм выводятся также формулы для вычисления объемов тел, работы переменной силы, а также нахождения массы стержня и центра масс.
     Для самостоятельного решения учащимся предлагается задача о нахождении кинетической энергии стержня и несколько задач на уже рассмотренные формулы. Причем задачи делятся на несколько уровней сложности, в том числе задачи повышенной трудности.
 В учебникеА. Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа»[3]при введении понятия «Определенный интеграл» рассматриваются задачи, приводящие к данному понятию, а именно задача о вычислении площади криволинейной трапеции, задача о вычислении массы стержня и задача о перемещении точки. Все три задачи имеют одну и ту же математическую модель. Далее дается математическое описание этой модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для непрерывной на отрезке [а; b] функции y=f(x):
1)разбивают отрезок [а; b] на n равных частей;
2)составляют сумму S_n=f(x_0)?x_0+f(x_1) ?x_1+…+ f(x_k) ?x_k+…+f(x_(n-1))?x_(n-1);
3)вычисляют lim?(n??)??S_n ?.
   Автор поясняет, что в курсе математического анализа доказывается, что такой предел существует, его называют определенным интегралом от функции y=f(x)по отрезку [а; b].
   В учебнике в физических приложениях интеграла приводятся те же задачи, что и при введении понятия интеграла, а именно задачи о массе стержня и перемещении точки.
 В учебнике М. И. Башмакова «Алгебра и начала анализа»[3]тема «Интеграл и его применение» выделена в отдельную главу. Автор дает следующее определение интеграла: «Пусть дана положительная функцияf; определенная на конечном отрезке [а; b]. Интегралом от функции f на отрезке [а; b] называется площадь её подграфика». Далее показывается, как вычислить эту площадь с помощью интегральных сумм и делается вывод, что интеграл равен пределу интегральных сумм. Иллюстрируется этот метод на задаче о нахождении объема лимона и нахождении работы по перемещению точки.
     Рассмотрены наиболее разнообразные примеры приложений интеграла в физике, в отличие от других учебников: задачи о работе силы, перемещении точки, о вычислении массы стержня, электрического заряда и нахождение давления воды на плотину приводятся в учебнике вместе с их теоретическим обоснованием (выводом). Без вывода представлены формулы нахождения работы по известной мощности и количества теплоты по известной теплоемкости. Имеются задачи для самостоятельного решения учащимися.
 В учебнике Ш. А. Алимова «Алгебра и начала анализа» [4]перед введением понятия интеграла рассматривается задача о нахождении площади криволинейной трапеции, где вычисление площади сводится к отысканию первообразной F(x) функции f(x). Разность F(b)- F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [а; b]. Далее автор рассматривает вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм, говорит о том, что такой способ приближенного вычисления интеграла требует громоздких вычислений и им пользуются в тех случаях, когда не удается найти первообразную функции. Задачи для самостоятельного решения однотипны и их очень мало.
     Таким образом, анализ теоретического и задачного материала по теме «Интегральное исчисление» в школьных учебниках показал, что наиболее удачным во всех отношениях(доступность, наглядность, научность, строгость, наличие системы задач), на мой взгляд, является учебник С. М. Никольского «Алгебра и начала анализа». Это послужило тому, что в качестве содержания разрабатываемого мною элективного курса в основном взяты задачи из этого источника.









Глава3. Разработка элективного курса «Приложение                 интегрального исчисления»
3.1.Пояснительная записка
В настоящеевремяведущаярольвматематикесостоитнетольковформированииалгоритмическогомышления,воспитанииумениядействоватьпозаданномуалгоритмуиконструироватьновые,ноиразвитиетворческойдеятельности,умениесамостоятельномыслить.Основнойучебнойдеятельностьюнаурокахматематикиявляетсяразвитиетворческойсторонымышления.Использованиевматематикенарядусестественнымматематическогоязыкадаётвозможностьразвиватьуучащихсячувствоточности,экономичности,информативностиречи,формироватьумениеточновыражатьмысли,о.......................