Проблема формирования у растущего человека умения решать линейные и квадратные уравнения с параметрами

ВВЕДЕНИЕ
     Проблема формирования у растущего человека умения решать линейные и квадратные уравнения с параметрами, как важного фактора при развитии исследовательских навыков у учащихся, является для современной школы одной из важных педагогических задач.
     Задачи с параметрами дают богатый материал для формирования логического мышления и математической культуры у школьников, предоставляют возможность для развития творческой деятельности учащихся. Это источник для настоящей исследовательской работы. Поэтому известен и понятен интерес экзаменационных комиссий ВУЗов к таким задачам – эта тема, на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание материала.
     Опыт вступительных экзаменов в ВУЗы, ОГЭ, ЕГЭ, показывает, что решение задач, содержащих параметры, вызывает большие затруднения у учащихся. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств уравнений, неравенств, функций и умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования. Кроме этого, при решении задач с параметрами у учащихся возникает психологический барьер, который обусловлен противоречивым характером параметра. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой – он может принимать различные значения. Этот факт очень точно отражает сущность тех сложностей, с которыми сталкиваются учащиеся.
     Поэтому знакомство с задачами с параметрами учителю не стоит проводить стихийно, пытаясь обучить всем способам решения, например, за два года. Считаю, что изучение таких задач будет плодотворным сразу после изучения темы «Уравнения». Таким образом, для учащихся будет обычным делом исследовать задачи с параметрами, а учителю контролировать знания по теме.
     Несмотря на то, что программа по математике средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибочно утверждать, что вопрос о решении таких задач никоим образом не освещается в рамках школьного курса математики. Достаточно вспомнить школьные уравнения вида: kx + b = 0, x2 = a, ax2 + bx + + c = 0, в которых k, a, b, c есть ни что иное, как параметры.
     Задачи с параметрами представляют большую ценность, так как при решении таких задач происходит повторение, систематизация и, как следствие, более глубокое усвоение программных вопросов школьного курса математики, приобретаются умения исследовательской работы, а непосредственное решение задач с параметрами помогает при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ и вступительным экзаменам в ВУЗы. Все это говорит об актуальности выбранной темы выпускной квалификационной работы.
     Также, вышесказанное позволяет обнаружить противоречие между потребностью детей к исследовательской работе, самостоятельности и необходимостью направляющего руководства их деятельностью со стороны взрослых.
     Проблема исследования: каковы педагогические условия обучения учащихся средней школы решению линейных и квадратных уравнений с параметрами в рамках изучения факультативного курса по математики?
     Цель исследования – реализация педагогических условий обучения учащихся средней школы решению линейных и квадратных уравнений с параметрами в процессе изучения факультативного курса по математике.
     Объектом исследования является процесс обучения математике учащихся 8 классов.
     Предмет исследования – процесс обучения учащихся 8 классов решению линейных и квадратных уравнений с параметрами в процессе изучения факультативного курса по математике.
     Гипотеза исследования: обучение учащихся средней школы решению линейных и квадратных уравнения с параметрами в процессе изучения факультативного курса по математике обеспечивается, если:
      учащиеся регулярно работают в рамках теории поэтапного формирования умственных действий, постепенно реализуя таким образом третий тип обучения;
      учащиеся самостоятельно составляют ориентировочную основу действий (ООД) по решению линейных и квадратных уравнений с параметрами;
      учащиеся самостоятельно выделяют приемы нахождения контрольных значений параметра;
      учащиеся осознанно осваивают умение решать линейные и квадратные уравнения с параметрами.
     В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой были определены следующие задачи:
      проанализировать учебно-методическую литературу по теме исследования и изучить основные положения теории поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина;
      реализовать на практике педагогические условия обучения учащихся средней школы решению линейных и квадратных уравнения с параметрами в процессе обучения;
      разработать факультативный курс «Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами», позволяющий учащимся самостоятельно составлять ООД и выделять приёмы нахождения контрольных значений параметра в линейных и квадратных уравнениях;
      провести экспериментальную проверку разработанных дидактических материалов и анализ полученных результатов.
     Методами исследования являются теоретический анализ, наблюдение, беседа, изучение письменных работ учащихся, эксперимент, регистрация, ранжирование, составление таблиц и диаграмм.
     Новизна данной работы заключается в разработке факультативного курса, способствующего учащимся самостоятельно строить ООД, а учителям – осуществлять обучение в рамках теории П.Я. Гальперина. 
     Практическая значимость – разработанный факультативный курс может быть использован учителем математики на факультативных занятиях и в процессе подготовки к ЕГЭ.
     Структура работы определяется поставленной целью и задачами исследования.
     Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав – теоретической и практической частей соответственно, заключения, списка использованных источников и приложения.
     

1	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ
1.1	Анализ учебно-методической литературы по проблеме исследования
     С темой «задачи с параметрами» учащиеся встречаются, в основном, изучая углубленный курс математики. Данная тематика актуальна для профильных классов.
     Но такие задачи могут присутствовать и в учебниках общеобразовательной школы, причем они не выносятся отдельной темой, а идут параллельно с другими темами алгебры. Такие задачи способны развивать глубину мышления и осмысленность изучения текущей темы. Таким образом, учитель может сам, в качестве дополнения, включать задачи с параметром в ход урока.
     Чтобы понять, на каком уровне даются задачи с параметрами в учебных заведениях, проанализируем действующие учебники курса алгебры 7-9 классов и выясним, насколько в них представлены задания, использующие понятие «параметр».
      Алгебра, 7 класс. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворов; под ред. С. А. Теляковского [22].
     При изучении уравнений представлено два задания с параметром (номера 238 и 245), целью которых является знакомство с данным понятием, рассмотрение его неоднозначности. Например: «При каких значениях коэффициента m уравнение mx = 5 имеет единственный корень; не имеет корней; имеет бесконечно много корней?». Также рассматриваются простейшие линейные уравнения, где коэффициентом при х является параметр, поэтому такие уравнения необходимо исследовать на количество корней  или принадлежность корня к целым числам.
     Также в данном учебнике (глава 2, «Функции», параграф 6, «Линейная функция») рассматривается прямая пропорциональность, где используют понятие «параметр», не вводя его в явном виде. А именно, выясняется расположение графика функции y=k/x в зависимости от коэффициента k, который и является параметром.
     Следующие задания с параметром предлагаются уже только в дополнительных заданиях к главе 6, «Система линейных уравнений». В номере 1140 требуется найти значение коэффициента, если известна пара значений переменных, являющихся решением данного уравнения.
     В номерах 1152–1153 нужно найти значение параметра и построить график данного уравнения, если известна точка, через которую проходит данный график. В номерах 1159–1161 необходимо найти значение параметра, если известна точка пересечения графиков линейных уравнений. В номерах 1165–1167 нужно указать значение параметра, при котором система имеет решение.
      Алгебра, 7 класс: в двух частях. Часть 1 и 2. А. Г. Мордкович [27–28].
     Следует отметить, что данное учебное пособие состоит из двух частей: из учебника и задачника.
     При изучении линейной функции (глава 2, параграф 8, «Линейная функция и её график»), учащихся знакомят с параметром в неявном виде: рассматривается линейное уравнение ax + by + c = 0 (где b?0) с двумя переменными и его график, которое можно преобразовать к уравнению вида y = kx + m, где k, m – числа (коэффициенты).
     Задачи номер 7.26–7.29 задачника содержат задания, в которых нужно найти значение коэффициента (параметра) уравнения, если известно решение уравнения. В задачах 8.58 и 8.59 нужно найти значение переменной, если известно, что график функции проходит через данную точку.
      Алгебра, 8 класс. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворов; под ред. С. А. Теляковского [23].
     При изучении темы «Квадратные уравнения» (глава 3), в параграфе 8, «Квадратное уравнение и его корни»,  пункте 22, «Формула корней квадратного уравнения», предлагается задание повышенного уровня (номер 555), где требуется определить, какое количество корней имеет уравнение, в зависимости от значения параметра. При изучении этой же темы, в разделе дополнительных упражнений для углублённого повторения материала, предлагаются уравнения, содержащие параметр (номера 585–592 и 638), где необходимо найти значение коэффициента (параметра), если известен корень уравнения или какое-то соотношение корней.
     В рамках этой же главы есть дополнительный пункт, «Уравнения с параметром», который авторы озаглавили как «Для тех, кто хочет знать больше». В номерах 641–643 требуется решить относительно y или x уравнение с переменной (параметром). В задание же 645 нужно указать, при каких значениях параметра t уравнение имеет единственный корень. Можно выделить номера 673–674, где нужно найти значение параметра, если известны знаки корней уравнения. Например: «Докажите, что уравнение 7х2 + bx – 23 = 0 при любых значениях b имеет один отрицательный и один положительный корень».
     Следует отметить разнообразие заданий, связанных с нахождением значений параметра по ограничениям, наложенным на корни уравнений (676–689). Плюсом также является усложняющийся характер заданий. При изучении других тем учебника параметр не использовался.
      Алгебра, 8 класс: в двух частях. Часть 1 и 2. А. Г. Мордкович [29–30].
     В главе 3, «Квадратичная функция. Функция y=k/x», при изучении функции y =ax2 + bx + c, её свойств и графика функции предлагаются задачи, которые подготавливают ученика к решению уравнений с параметром. А именно номера 22.13, 22.14 и 22.28–22.30, где требуется найти коэффициенты (параметры) уравнения данной функции, если известно наибольшее или наименьшее значение функции или точка пересечения графика функции с какой-либо осью координат. А номера 22.48–22.53 требуют от учащегося знание и использование достаточно большого количества теоретического материала.
     В главе 3 задачника, параграфе 23, «Графическое решение квадратных уравнений», предлагаются задачи, где непосредственно представлены уравнения, содержащие параметр. В номерах 23.15–23.19 предлагаются уравнения, где нужно найти значение коэффициента (параметра), если дано уравнение, имеющее определенное количество корней. Эти задачи повышенного уровня, и они предполагают активное использование теоремы Виета и теоремы ей обратной.
     Также предлагается домашняя контрольная работа, в которой имеется уравнение, содержащее параметр. Предлагая эти уравнения для решения, учителю необходимо показать некоторые методы решения квадратных уравнений с параметром (например, аналитический и графический), Но, чаще всего, времени на рассмотрение этих методов школьной программой 8 класса не предусмотрено, поэтому учителю приходится рассматривать их либо на факультативных занятиях, либо на элективных курсах.
     В главе 4, «Квадратные уравнения», непосредственно приводятся аналитический и графический методы решения уравнений. В задачнике представлены задания, где необходимо: выяснить вид квадратного уравнения и решить его при найденных значениях параметра; найти значения параметра, если известен корень квадратного уравнения. Снова рассматриваются задания как в главе 3 задачника. 
     Следует выделить номер 25.39, где нужно выбрать те уравнения, которые имеют два корня при любом значении параметра. Также можно выделить номера 25.46, где требуется решить уравнение с параметром; 25.47, где необходимо доказать, что не существует такого значения параметра, при котором уравнение имело бы единственный корень, и номера 34.39 и 34.40, где параметр содержится в коэффициенте при x2 – здесь требуется рассмотреть отдельно случай, когда коэффициент при старшей степени равен нулю (задания, направленные на формирование приёма понижения степени). А в представленной домашней контрольной работе систематизированы все знания и умения, связанные с параметром. 
      Алгебра, с углубленным изучением математики, 8 класс. Н. Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло, Ю.А. Дробышев, И. В. Дробышева, А.И. Кудрявцев [6].
     В учебнике предлагается показать учащимся, что в течение изучения математики в средней школе они уже сталкивались с параметрами в записи общего вида уравнений: kx+b=0, ax2+bx+c=0 и другими. Предлагается рассмотреть линейное уравнение, найти параметр k при котором уравнение имеет решение или не имеет (глава 6, «Квадратные уравнения. Системы нелинейных уравнений», параграф 1, «Решение квадратных уравнений»).
     При прохождении в 8 классе темы «Линейное уравнение с одной переменной» ученики знакомятся с определением понятия «решение уравнений». По аналогии, в данном учебнике рассмотрено, что значит решить уравнение с параметром. Таким образом, учащиеся, не пытаясь ранее решать эти подобные задачи, понимают, к чему должны прийти в конце решения. В учебнике также поясняется как должен выглядеть ответ к задаче.
     Первичное закрепление отрабатывается на квадратных уравнениях. Для решения заданий требуется находить дискриминант, выписывать условие D ? 0, при котором уравнение будет иметь корни. Таким образом, отрабатывается не столько способ решения уравнений с параметрами, сколько умение решать квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным, их исследование на количество корней.
     Следующий тип упражнений – решение системы двух уравнений с двумя неизвестными (глава 6, параграф 2, «Уравнения и системы уравнений, сводящиеся к квадратным уравнениям», пункт 10, «Уравнения и системы уравнений с параметрами»). Задачи сводится к нахождению параметра, при котором система уравнений имеет одно решение, два решения или не имеет решений вовсе. Ученики умеют решать данные системы тремя способами: метод сложения, метод подстановки и графический метод.
      Алгебра, 9 класс. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворов; под ред. С. А. Теляковского [24].
     Использование параметра отображается в главе 1, «Квадратичная функция». При формулировании свойств функции у = ах2, которая зависит от коэффициента (параметра) а, предлагается задача на нахождение нулей функции, и задания, связанные с исследованием количества решений системы уравнений. Этот взгляд сохраняется и углубляется в задачах раздела «Дополнительные упражнения к главе 1». В нём приводятся задания с параметрами на исследование: области значений, расположения графика функции относительно прямой, вершины параболы, нулей функции, принадлежности данных точек функции, содержащей два параметра.
     При рассмотрении графиков функций y = ax2 + n и y = a(x – m)2 (глава 1, параграф 3, пункт 6) решение уравнений, содержащих параметр, показано графическим методом (с помощью параллельного переноса).
     В разделах учебника «Упражнения для повторения курса 7-9 классов» и «Задачи повышенной трудности» представлены различные задания, содержащих параметр.
      Алгебра, 9 класс: в двух частях. Часть 1 и 2. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов [31–32].
     Начало курса начинается с повторения, где не предлагаются задачи с параметрами. Рассматривая же главу 1, «Неравенства и системы неравенств», задачника нельзя не отметить систему заданий, содержащую задачи с параметрами (номера 4.38–4.40). В этих заданиях предлагаются простейшие системы неравенств с параметрами.
    Проведя анализ учебных пособий, можно сделать выводы о том, что:
      многие учебники рассматривают задания с параметрами, которые используются для проверки знаний и умений, приобретенных во время изучения той или иной темы;
      ни в одном из рассмотренных учебников не дается строгого и четкого определения параметра;
      во всех учебниках задания, в большинстве своем, однотипны.
     Среди методической литературы большого внимания заслуживает журнал «Математика в школе». В нем раскрыты вопросы не только сугубо теоретического характера, но и практического. Представлены образцы решения задач с параметрами с соответствующими комментариями. В последнее время решению задач с параметрами в данном журнале уделяется особенно большое внимание. Это говорит о возросшей «популярности» таких заданий, о необходимости их изучения.
     Также можно выделить такое периодическое издание как журнал «Математика». В нем задания с параметрами, чаще всего, встречаются в статьях, посвященных решению задач, которые встречаются на ЕГЭ и вступительных испытаниях в ВУЗы.
     При изучении задач с параметрами будет полезным обратиться к следующим источникам: [4, 8, 13, 14, 20, 21, 25, 26].
    Таким образом, при поверхностном знакомстве с параметрами, у учащихся не формируются прочные знания, умения и навыки по решению задач с параметрами. Но овладение методикой и выделение основных приемов их решения является очень полезным навыком для учащихся при изучении таких задач. Поэтому для данной темы необходимо подобрать рациональный метод обучения, который сможет опираться на максимально наглядное представление решения.


1.2	Основные положения теории поэтапного формирования умственных действий и понятий П. Я. Гальперина
     Психологов всегда интересовал процесс усвоения знаний и умений учащимися. Известно, что существует и действует целая система психолого-педагогических закономерностей между внешними условиями учебного процесса (такими как, например, характер упражнений, их последовательность, организационные приемы) и внутренними процессами мышления (вниманием, активностью мыслительной деятельности, самоконтролем и т. д.). С 50-х годов данным вопросом занимался Петр Яковлевич Гальперин. Он выдвинул гипотезу поэтапного формирования умственных действий, которая превратилась из общей схемы в оригинальную, достаточно плодотворную теорию усвоения знаний и умений, актуальную по сей день.
     Знаменитые предшественники П.Я. Гальперина – Лев Семенович Выгодский и Алексей Николаевич Леонтьев – установили, что материал усваивается лишь в ходе собственной работы ученика. При этом каждой «порции знаний» соответствует строго определенная работа [7].
     Как правильно организовать работу по усвоению знаний и умений учащимися? Каким образом сделать так, чтобы материал обязательно усвоили все обучаемые? Ответить на эти вопросы позволяет теория поэтапного формирования умственных действий (ТПФУД) П.Я. Гальперина.
     Основными положениями теории поэтапного формирования умственных действий являются:
      идея о принципиальной общности строения внутренней и внешней деятельности человека. Соответственно этой идее умственное развитие, как и усвоение знаний, умений, навыков, происходит путем интериоризации, то есть поэтапным переходом «материальной» (внешней) деятельности во внутренний, умственный план. В результате такого перехода внешние действия с внешними предметами преобразуются в умственные. При этом они подвергаются обобщению, вербализуются, сокращаются, становятся готовыми к дальнейшему развитию, которое может превышать возможности внешней деятельности;
      положение о том, что любое действие представляет собой сложную систему, состоящую из нескольких частей:
      ориентировочной (управляющей): обеспечивает отражение всех условий, необходимых для успешного выполнения данного действия;
      исполнительной (рабочей): осуществляет заданные преобразования в объекте действия;
      контрольно-ориентировочной: отслеживает ход выполнения действия и, при необходимости, обеспечивает коррекцию как ориентировочной, так и исполнительной части действия [5].
     В различных действиях все перечисленные части обязательно присутствуют и имеют различный удельный вес.
     Согласно гипотезе П.Я. Гальперина, умственные действия – итог преобразования внешнего материального действия во внутреннее, результат переноса внешнего действия в план восприятия, представлений и понятий. В процессе переноса, осуществляемого поэтапно, происходят изменения действия по различным направлениям, названным автором параметрами. Гальперин выделил четыре первичных свойства (параметра) действия:
      уровень выполнения действия. Формирование умственного действия начинается во внешней материальной форме, далее постепенно, через внешнеречевой уровень и уровень «внешней речи про себя», действие переносится во внутренний умственный план [11];
      мера обобщения. Обобщение, по мнению П.Я. Гальперина, является средством выделения существенных условий действия из несущественных. «Обобщить действие – значит выделить их многообразных свойств его объекта именно те свойства, которые одни только и нужны для выполнения этого действия» [12];
      Полнота фактически выполняемых операций (развертывание действий и его сокращение). «Развернуть действие – значит показать все его операции в их взаимной связи» [10]. По мере освоения действия, операции сокращаются, действие становится свернутым. Сокращение происходит сознательно или стихийно. При стихийном сокращении учащийся не понимает, почему можно пропустить операцию. Сознательное сокращение обеспечивает возможность возвращения от сокращенных форм действия к более ранним и полным.
      Мера освоения. Освоение, по мнению П.Я. Гальперина, имеет разные степени; более высокие из них проявляются автоматизацией. Без достаточного освоения более ранней формы действия нельзя переходить к следующей, но, в то же время, чрезвычайное освоение – препятствие для перехода к новой форме.
     Меры обобщения, полноты и освоения определяют качество действия – оно тем выше, чем больше обобщение, сокращение и освоение действия.
     Каждое конкретное состояние действия может быть рассмотрено как сочетание показателей по четырем первичным параметрам. На базе первичных параметров образуются вторичные, как результат их сочетания. К вторичным свойствам действия П.Я. Гальперин относил разумность и сознательность.
     Разумность действия предполагает, во-первых, его ориентацию на существенные свойства и, во-вторых, его развернутость. Если развёртывание действия способствует выделению его объективных связей, то обобщение этих связей психологически означает их очищение от несущественного. Вместе они обеспечивают «разумность» действия, другим выражением которой является его «гибкость» [11].
     Сознательность действия достигается «путём отработки разумного действия в «громкой речи без предметов»» [12].Сознательность действия предполагает умение дать полное и правильное речевое выражение действия в процессе его выполнения. «Когда разумное действие отрывается от вещей и переносится в план громкой речи, то именно речевая форма становится опорой его выполнения и главным предметом отработки» [11]. Участие речи в ходе освоения действия – условие не только его сознательности, но и произвольности.
     Качество приобретаемых знаний, умений и навыков, понятий, развитие умственных способностей зависит от правильности создания ООД. ООД – текстуально или графически оформленная модель изучаемого действия и система условий его успешного выполнения. Примером наиболее простой ООД является инструкция по эксплуатации какого-либо прибора. В ней обычно подробно описывается, что и как сделать.
     В повседневной деятельности, связанной с обучением, используют несколько типов ориентировочной основы.
     Первый тип характеризуется неполной ООД. В ней указывается лишь исполнительная часть решения и образец конечного результата действия. Например, к определенному сроку надо провести настройку радиостанции на несколько частот. При этом сам путь достижения результата (технология настройки) не указывается. Обучаемые самостоятельно, методом проб и ошибок, настраивают радиостанцию. Усвоение порядка и правильности настройки радиостанции приобретает затяжной, неосознаваемый характер и может найти применение только при решении аналогичных задач.
     Второй тип ООД включает в себя все необходимые для выполнения действия ориентиры. В отличие от приведенного выше примера, обучаемым точно указывается, какие тумблеры, ручки настройки в какой последовательности нужно задействовать, чтобы настроить радиостанцию на заданные частоты. Это значительно сокращает время на обучение и достижение нужного результата, однако способствует формированию стереотипных действий, которые в изменившихся условиях, например при настройке радиостанции другого типа, не будут давать соответствующего эффекта.
     Третий тип ООД отличается тем, что в нем все ориентиры деятельности представлены в обобщенном виде, характерном для целого класса явлений. Такой тип ООД иногда называют инвариантным, поскольку он отражает всю сущность профессиональной деятельности и ориентирует в наиболее общем способе решения профессиональных задач. Пользуясь таким типом ориентировочной основы деятельности, обучающийся самостоятельно создает более частную ООД для выполнения конкретного действия, тем самым учится применять наиболее общие методы профессиональной деятельности к решению частных учебных и практических задач. В рамках инвариантной ООД ученику предоставляется возможность проявить творчество, нестандартный подход к выполнению учебного действия [5].
     В процессе обучения новым знаниям, практическим навыкам теория поэтапного формирования умственных действий выделяет несколько этапов, выделенных П.Я. Гальпериным [11]:
      ? этап – мотивационный. В ходе его у обучаемых формируется необходимая познавательная мотивация, позволяющая им успешно овладеть каким-либо действием. Если данная мотивация отсутствует, то учитель должен сформировать у обучаемых внутреннюю или внешнюю мотивацию, обеспечивающую их включение в совместную учебную деятельность.
      на ?? этапе происходит предварительное ознакомление с действием, то есть построение в сознании обучаемого ориентировочной основы. На этом этапе очень важно, чтобы была достигнута полнота и точность ориентировки, четко показаны и усвоены конечные результаты обучения, которых предстоит достичь.
      на ??? этапе обучаемые выполняют материальное (материализованное) действие в соответствии с учебным заданием во внешней материальной, развернутой форме. Они получают и работают с информацией в виде различных материальных объектов: моделей, схем, макетов, чертежей и так далее, сверяя свои действия с письменной инструкцией. Данный этап позволяет ученику усвоить содержание действия (все операции) и правила их выполнения. Учитель, в данном случае, осуществляет контроль над правильностью выполнения каждой входящей в действие операции. Очень важно своевременно заметить ошибку обучаемого и исправить ее, чтобы в последующем не допустить закрепления неверного действия.
      на ?V этапе, после выполнения нескольких однотипных действий, необходимость обращаться к инструкции отпадает и функцию ориентировочной основы выполняет внешняя речь обучаемого. Ученики проговаривают вслух то действие, ту операцию, которую в данный момент осваивают. В их сознании происходит обобщение, сокращение учебной информации, а выполняемое действие начинает автоматизироваться.
      на V этапе, который называется этапом беззвучной устной речи, обучаемые проговаривают выполняемое действие, операцию про себя. Мысленно проговариваемый текст необязательно должен быть полным, обучаемые могут проговаривать только наиболее сложные, значимые элементы действия, что способствует его дальнейшему мысленному свертыванию и обобщению.
      на заключительном, V? этапе ориентировочная часть действия настолько автоматизируется, что проговаривание про себя начинает тормозить выполнение действия. Ученики автоматически выполняют отрабатываемое действие, даже мысленно не контролируя себя, правильно ли оно выполняется. Это свидетельствует о том, что действие сократилось, перешло во внутренний план, и необходимость во внешней опоре отпала. Следовательно, формирование действия завершилось [5].
     В соответствии с данными этапами процесс обучения целесообразно планировать в виде схемы, состоящей из шести следующих этапов (рисунок 1).
Рисунок 1 – Алгоритм поэтапного формирования умственных действий
     Однако в условиях классно-урочной формы обучения возможна упрощенная схема: три этапа организации усвоения знаний и умений.
     Этап ?. Ориентировка в материале и способах работы с ним.
     Основным на этом этапе является представление подлежащей усвоению порции материала и способов работы с этим материалом в краткой схематической форме, позволяющей приступить к решению задач (организации соответствующей материалу работы), во-первых, без предварительного заучивания, во-вторых, практически без ошибок. На данном этапе должно быть обеспечено понимание того, что дети должны усвоить. Учитель, который следует теории П.Я. Гальперина, должен предоставить учащимся кратчайшие схематические записи (ориентиры) – конспекты материала и способы работы с ним, которые позволяют, ничего предварительно не заучивая, непосредственно после разъяснений учителя, приступить в самостоятельной работе. При работе с ориентирами ученик либо действительно понял материал, либо у него возникают вопросы, на которые учитель отвечает в ходе объяснения [4].
     Этап ??. Организация пошагового контроля в ходе решения задач.
     На данном этапе ученики решают несколько задач, делая, в соответствии с данным на предыдущем этапе образцом, подробные записи. Процесс обучения должен быть организован таким образом, чтобы учитель имел возможность контролировать каждый шаг каждого ученика. Важно чтобы «сбои» в работе каждого ученика не только выявлялись, но и ликвидировались сразу же [4].
     Этап ???. Переход от пошагового контроля к самоконтролю.
     Продолжается самостоятельная работа ученика с новым материалом. При этом учащимся дается новый образец решения задач – краткие записи, пока еще позволяющие осуществлять пошаговый контроль, но по форме уже близкие в «обычным» записям. Выполнение кратких записей в ходе решения небольшого числа заданий позволяет перейти к «обычным» записям, правильность решения которых контролируется по конечному результату [4], [10].
     В зависимости от типов ООД, П.Я. Гальперин выделил три типа учения, каждый из которых отличается «своей ориентировкой в предмете, своим ходом процесса учения, качеством его результатов и отношением детей к процессу и предмету учения» [17].
     При первом типе учения учащемуся дается неполная ориентировочная основа действий. Она не гарантирует безошибочного выполнения задания с первого раза. Процесс усвоения действия специально не организуют и от учащегося требуют просто заучивания ориентировочной основы. Исследования П.Я. Гальперина и его учеников показали, что заучивание обеспечивает собственно усвоение – возможности применения знаний на практике для решения задач. При первом типе ориентировки неизбежны пробы и ошибки учащегося в ходе выполнения задания.
     При втором типе учения выделяют полную ориентировочную основу действий, достаточную для их правильного выполнения. Такая основа называется ориентировочной основой второго типа. При обучении подбирают систему адекватных задач, требующих выполнения данных действий, организуют процесс интериоризации действий (собственно усвоения), обеспечивают обратную связь, то есть возможность коррекции действий.
     При втором типе ориентировки любой ученик оказывается способным с первого раза безошибочно выполнить любое задание, для которого у него имеется соответствующая ориентировочная основа.
     При третьем типе учения дается особая ориентировочная основа, не просто обеспечивающая учащемуся возможность безошибочного выполнения заданных действий, как при втором типе учения, но и дающая возможность самостоятельно строить ориентировочную основу для правильного выполнения того или иного задания. Такая ООД называется основой третьего типа. Процесс формирования действий организуется так же, как и при втором типе обучения. Но третий тип учения обусловливает возможность для учащегося справиться с заданием, для выполнения которого ему соответствующих знаний не давалось. Внешне это выглядит, пишет автор, как проявление прирожденных способностей. В действительности же учащемуся были даны особые знания – ООД третьего типа, позволяющие самостоятельно строить новые знания, необходимые для выполнения конкретной заданной деятельности.
    Подводя итоги, можно сказать, что труды Петра Яковлевича Гальперина не знают аналогов в психологической науке. Они способствовали переосмыслению взглядов, характерных для тогдашней психологии, совершенствованию принципов обучения различным предметам для разных возрастных этапов. Его теории и, в первую очередь, теория поэтапного формирования умственных действий человека, дала огромной толчок для развития науки. Методика П.Я. Гальперина, используемая в данной выпускной работе, является, на настоящее время, одним из мощнейших методов психолого-педагогического воздействия как на детский, так и на взрослый разум. Как показала многолетняя практика, научный вклад этого ученого является неоценимым с точки зрения его применения в процессе обучения.


1.3	Теоретические основы разработки факультативных курсов по математике в школе
     Как известно, в учебные планы общеобразовательных школ включены факультативные занятия по предметам, которые изучаются по выбору самих учащихся. Факультативные занятия, как форма обучения, введены в конце 60-x – начале 70-х гг., когда проводилась одна из очередных перестроек содержания школьного образования.
     Свое название они получили от латинского слова facultatis, что в переводе означает возможный, необязательный, предоставляемый на выбор. Следовательно, факультативные занятия проводятся на добровольных началах и по выбору самих учащихся параллельно с изучением обязательных предметов.
     С помощью факультативных занятий школа призвана решать следующие задачи:
      удовлетворить запросы в более глубоком изучении отдельных предметов, которые интересуют учащихся;
      развивать учебно-познавательные интересы, творческие способности и дарования учащ.......................