Применения определенного интеграла и его приложений, масштаб его использования в других науках, отличных от математики

Оглавление

	ВВЕДЕНИЕ	3

	ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА	4

	Определение определённого интеграла через суммы Римана	4

	Физический смысл и геометрический смысл определенного интеграла	6

	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА	7

	Вычисление площадей плоских фигур	7

Вычисление площадей в прямоугольных координатах	7

Вычисление площадей фигур, ограниченных кривыми, заданными параметрическими уравнениями	10

Вычисление площадей в полярных координатах	11

	Длина дуги кривой	13

Длина дуги явно заданной кривой	13

Длина дуги кривой, заданной параметрическим уравнением	13

Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах	14

	Вычисление объемов	15

	ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ	18

	Вычисление пройденного пути по скорости	18

	Вычисление работы переменной силы	18

	Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой	20

	ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ В БИОЛОГИИ	22

	ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЭКОНОМИКЕ	24

	ЗАКЛЮЧЕНИЕ	28

	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	29






ВВЕДЕНИЕ

Курс математического анализа включает много разнообразных тем, но центральной является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций - одна из сложнейших проблем математического анализа.

Необходимость вычисления определенного интеграла возникает не только при изучении теоретического материала математического анализа, но и при решении многих практических задач, относящихся к разным сферам деятельности человека. Использование определенного интеграла часто можно встретить в физике, геометрии, а также в экономике и биологии. Нужно отметить, что тема "Определенный интеграл и его приложения" относится и к школьной программе.

Все выше сказанное подчеркивает актуальность выбранной мною темы курсовой работы.

Цель исследования:

• исследование важности применения определенного интеграла и его приложений, а также масштаб его использования в других науках, отличных от математики.

Объект исследования - определенный интеграл и его приложения.

Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

- проанализировать литературу по данной теме;

- подобрать соответствующий материал;

- обобщить и систематизировать найденный материал.








ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

Определение определённого интеграла через суммы Римана

Пусть функция  определена на отрезке . Выполним следующие операции: разобьем отрезок  точками на  частичных отрезков

;

в каждом из частичных отрезков  выберем
произвольную точку  и вычислим значение функции в этой точке: ; найдем произведения , где  – длина частичного отрезка ; составим сумму



которая называется интегральной суммой функции на отрезке.



Рис.1С геометрической точки зрения интегральная сумма  представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны  соответственно (рис. 1). 

Обозначим через  длину наибольшего частичного отрезка ; найдем предел интегральной суммы, когда .

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка  на частичные отрезки, ни от выбора точек  в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается через



Таким образом,





В этом случае функция  называется интегрируемой на . Числа  и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением,  – переменной интегрирования; отрезок  называется промежутком интегрирования.[1, с.7]




Физический смысл и геометрический смысл определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла



Рис.2Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью , слева и справа – отрезками прямых  и (рис. 2).

Определенный интеграл от неотрицательной функции  с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых и , снизу – отрезком  оси  [2, с. 4,5].

Физический смысл определённого интеграла 
(работа переменной силы, путь при неравномерном движении точки, масса неоднородного стержня).

? сила, параллельная оси  и ориентированная в положительном направлении оси , действующая на материальную точку при прямолинейном перемещении по промежутку .

Работа  силы при этом равна:

.

– скорость неравномерного прямолинейного движения материальной точки. Путь , пройденный точкой за промежуток времени , при этом равен:

.

? плотность неоднородного прямолинейного стержня с концами в точках .

Масса такого стержня равна:

.



ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

С помощью геометрических приложений вычисляются: площадь плоской фигуры, площадь криволинейного сектора, объем тела вращения, длина дуги кривой, площадь поверхности вращения.

Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление площадей в прямоугольных координатах



Пусть функция  непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда площадь фигуры, ограниченной осью , отрезками прямых  и графиком функции, может быть вычислена по формуле (рис. 3)





Рис.3Если  на отрезке  – непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной отрезками прямых , графиками функций ,  вычисляется по формуле (рис. 3)



Если функция  на отрезке  принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой  и осью , равна (рис. 4)





Рис.4

Пример 1

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции   и осью абсцисс при условии  .

Решение

Разбиваем отрезок [] на два отрезка [] и [?, 2?]. На первом из них , на втором . Следовательно, используя пункты 1 и 3:

.

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение



Рис.5Выразим:

.
Из чертежа видно, что верхний предел: .
Найдем нижний предел :

Найдем точки пересечения прямой и параболы .
Для этого решим уравнение:










	

На отрезке :

по соответствующей формуле:



Ответ: 

Вычисление площадей фигур, ограниченных кривыми, заданными параметрическими уравнениями

При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае, когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями  в формуле  надо сделать замену переменной, положив  и изменив пределы интегрирования. Получим

где  и - значения параметра , соответствующие значениям  и , т.е. .

Пример 3

Вычислить площадь одной арки циклоиды

Решение: 

Вычислим площадь первой арки циклоиды. Значение параметра изменяется в пределах 

Найдём производную: .

По формуле:





Ответ:

Вычисление площадей в полярных координатах

Рассмотрим некоторую функцию, заданную в полярной системе координат, которая принимает неотрицательные значения на отрезке и непрерывна на нём. Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная отрезками лучей и графиком:


Рис.6

Площадь криволинейного сектора рассчитывается по формуле

. 

Пример 4 

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной в полярных координатах линией.

Эта функция неотрицательна для любого из области определения. Найдем область определения:








Таким образом, период функции  равен, то есть, фигура будет состоять из трех равных областей. Построим ее. 



Рис. 7



Вычислим площадь одного лепестка, расположенного на интервале (при ):



Таким образом, площадь всей фигуры будет равна утроенному значению: 

Длина дуги кривой

Длина дуги явно заданной кривой

Рассмотрим кривую . Разделим кривую на части точками Заменим дугу кривой между точками  и хордой, соединяющей эти точки. Тогда для длины дуги имеем. Просуммировав по всем точкам деления, получаем 

.



Длина дуги кривой, заданной параметрическим уравнением

Пусть кривая задана параметрически  или, что то же самое, в векторной форме . Разделив отрезок  точками получаем разбиение кривой точками. 

Тогда, где  - точка, лежащая между и. Просуммировав по всем точкам деления, получаем

. 

Переходя в этой сумме к пределу при увеличении числа точек разбиения, имеем

          (2.1)

Для кривой, заданной явно уравнением , формула (2.1) приобретает вид

           (2.2)



Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах

Если кривая задана в полярной системе координат, то





Поэтому



Подставляя в формулу (2.1) для вычисления длины кривой, получаем

               (2.3)

Пример 5

Найти длину дуги кривой , заключенной между точками . 

Решение

Так как кривая задана явно, то

Делаем замену . Тогда и поэтому

.

Пример 6

Найти длину дуги кривой  заключенной между точками .

Решение

Так как кривая задана параметрически, то 
и поэтому



Пример 7

Найти длину дуги кривой, заключенной между точками

Решение

Так как кривая задана в полярной системе координат, то



Получился ожидаемый результат, так как уравнение, , определяет окружность радиуса 1 с центром в точке. [4]

Вычисление объемов

Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов.

1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси , т.е., зная , мы можем вычислить площадь сечения . Тогда объем тела  в предположении, что  – интегрируемая функция.

2. Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью  и двумя прямыми и  вокруг оси, то объем тела вычисляется по формуле 

.



Рис.8

б) если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , отрезками прямых  и осью , вокруг оси , то его объем вычисляется по формуле

.



в) если тело образовано вращением вокруг оси  фигуры, ограниченной линией , отрезками прямых  и осью , то его объем можно вычислить по формуле





г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами  и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле

.



Пример 8 

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми и .

Решение

Выполним чертеж:



Рис.9

Для нахождения объема тела вращения достаточно рассмотреть правую половину фигуры, которая заштрихована. Обе функции являются четными, их графики симметричны относительно оси , симметрична и наша фигура. Таким образом, заштрихованная правая часть, вращаясь вокруг оси , непременно совпадёт с левой незаштрихованной частью.

Перейдем к обратным функциям:





Правой ветке параболы  соответствует обратная функция . 

Левой неиспользуемой ветке параболы соответствует обратная функция . Координаты удовлетворяют уравнению функции , значит, она задает правую ветку, а не левую. 

На отрезке  над осью расположен график функции ;
На отрезке над осью  расположен график функции .

Объем тела вращения нужно искать уже как сумму объемов тел вращений. Используем формулу: .

В данном случае:


Ответ: 

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Вычисление пройденного пути по скорости



Пример 9. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе – со скоростью м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение. Искомая величина есть разность расстояний, пройденных телами за 5 с.







Ответ: 200 м

Вычисление работы переменной силы

Работа A силы F вычисляется по формуле: 

    (2), где S – перемещение (м).

Если F – сила упругости, то по закону Гука  (2*), где x – величина растяжения или сжатия, k – коэффициент пропорциональности.

Работа переменной силы вычисляется по формуле



Пример 10

Сила упругости F пружины, растянутой на=0,05м, равна 3H. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на  = 0,1м?

Решение

Определим коэффициент пропорциональности k.

Подставим в формулу (2*) , x = 0,05 м:

 следовательно,

 в формулу (3), найдем значение работы переменной силы, полагая, что



Ответ. А = 0,3Дж. 

Согласно закону Паскаля величина P давления жидкости на горизонтальную площадку вычисляется по формуле 

(4),

где  – ускорение свободного падения в м/с;

 – плотность жидкости в кг/м;

– глубина погружения площадки в м;

 – площадь площадки в м.

Сила давления жидкости на вертикальную пластину вычисляется по формуле 



Пример 11. Определить величину давления воды на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус R, а центр Онаходится на свободной поверхности воды.

Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения давления жидкости на вертикальную пластинку. В данном случае пластинка 

Рис.10ограничена линиями 





Вычисление статических моментов и
 координат центра тяжести плоской кривой

Пусть на плоскости  задана система материальных точек с массами 

Статическим моментом системы материальных точек относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох): 



Аналогично определяется статистический момент  этой системы относительно оси : 



Статический момент  кривой АВ относительно оси Ох равен



Аналогично находим кривой АВ относительно оси Оy:



Статические моменты икривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).

Центром тяжести материальной плоской кривой y = f(x),  называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой y = f(x) относительно той же оси. Обозначим через центр тяжести кривой АВ.

Из определения центра тяжести следуют равенства  и или. Отсюда ,

или





Рис.11

Пример 12 [7]. Найти центр тяжести однородной дуги окружности , расположенной в первой координатной четверти.

Решение: Очевидно, длина указанной окружности равна , т.е. . Найдем статистический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть и , то .



Стало быть,

.

Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то Итак, центр тяжести имеет координаты (;). 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ В БИОЛОГИИ

Численность популяции

Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия существования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в единицу времени. Обозначим эту скорость В «старых», установившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными популяциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмешательство человека, то может значительно колебаться, уменьшаясь или увеличиваясь.

Если известна скорость роста популяции  то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от до Т. В самом деле, из определения  следует, что эта функция является производной от численности популяции  в момент, и, следовательно, численность популяции  является первообразной для Поэтому

 =.

Известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания скорость роста многих популяций экспоненциальна, т.е. . Популяция в этом случае как бы «не стареет». Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой. Применяя формулу (1), получим:

a.

По формуле, подобной 

a, подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.

Средняя длина пролета

Пример 13. В некоторых исследованиях необходимо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при прохождении животным некоторого фиксированного участка. Приведем соответствующий расчет для птиц. Пусть участком будет круг радиуса R. Будем считать, что R не слишком велико, так что большинство птиц изучаемого вида пересекает этот круг по прямой.

Птица может под любым углом в любой точке пересечь окружность. В зависимости от этого длина ее пролета над кругом может быть равной любой величине от 0 до 2R. Нас интересует средняя длина пролета. Обозначим ее через L.

Так как круг симметричен относительно любого своего диаметра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые летят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оу. Тогда средняя длина пролета — это среднее расстояние между дугами АСВ и АВ. Иными словами, это среднее значение функции , где — уравнение верхней дуги, а — уравнение нижней дуги, т. е.



или 


Так как  равен площади криволинейной трапеции , а

 равен площади криволинейной трапеции , то их разность равна площади круга, т.е. . Разность равна, очевидно, 2R. Подставив это в , получим:



Приведенные примеры далеко не исчерпывают возможных приложений определенного интеграла в биологии [7].

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЭКОНОМИКЕ

В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемыепредельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией , рассматривают ее производную . Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема выпускаемого товара , то предельные издержки будут задаваться производной этой функции . Ее экономический смысл - это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функцию издержек по данной функции предельных издержек.

Пример 14. Дана функция предельных издержек. Найти функцию издержек и вычислить издержки в случае производства 10 единиц товара, если известно, что издержки для производства первой единицы товара составили 50 руб.

Решение. Функцию издержек находим интегрированием:

, где константа  находится из данного условия , так что  = 50, поскольку интеграл обращается в нуль. Интегрируя, получим функцию издержек



Подставляя  в полученную формулу, находим искомое значение .

Ответ: , 670.

Еще одним примером приложения определенного интеграла является нахождение дисконтированной стоимости денежного потока.

Допустим вначале, что для каждого дискретного момента времени  задана величина денежного потока . Если ставку процента обозначить через р, то дисконтированную стоимость каждой из величиннайдем по известным формулам:



Тогда дисконтированную стоимость денежного потока найдем, суммируя эти величины:



где  - общее число периодов времени.

В непрерывной модели время изменяется непрерывно, т.е. для каждого момента времени , где  - рассматриваемый период времени, задана величина  - скорость изменения денежного потока (т.е. величина денежного потока за промежуток времени отдо приближенно равна. Для получения величины  изменим формулу (1): знак суммирования заменим на знак определенного интеграла, формулы вычисления дисконтированной стоимости в дискретном случае заменим на их непрерывный аналог, и тогда формулапримет следующий вид:

.

Пример 14 [7]. Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный денежный поток со скоростью  (млрд руб./год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой р = 5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока. 

Решение. По формуле  имеем:

.

Чтобы вычислить этот интеграл, выполним сначала замену переменной:

.

При этом новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в формулу замены:= 0,= -1. Имеем:



К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, полагая 





Поэтому



В первом слагаемом подставим пределы интегрирования, а ко второму слагаемому еще раз применим формулу интегрирования по частям, полагая . Имеем:







Окончательно получим  (млрд руб.).




ЗАКЛЮЧЕНИЕ



Подводя итог, хотелось бы отметить, что масштаб использования определенного интеграла достаточно большой. Об этом свидетельствует, рассмотренные в работе сферы его применения. Математика, физика, экономика, биология - основные, но ещё не все области использования объекта данного исследования.

И поэтому, нужно сказать, что определенный интеграл весьма важный «инструмент» в современной жизни. Вычисление площадей и объемов тел, пути и давления, численности популяции и дисконтированной стоимости денежного потока, а также подсчёт многих других показателей – это важные процессы, в которых определенный интеграл является фундаментом для исследования. Из всего выше сказанного можно понять, почему знакомство с определенным интегралом начинается уже в школе.

Следовательно, данная тема актуальна будет не только для обучающихся в высших и средне специальных учебных заведениях, но и для учеников старших классов, которые смогут узнать о широте использования, на первый взгляд, такого сложного, но между тем такого важного «математического инструмента» как определённый интеграл.




СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



Лебедев, И.А. Определенный интеграл и его приложения. Учебно-методическое пособие/ И.А.Лебедев, Т.Г.Сукачева - Великий Новгород, - 41 с.

Галкина, С.Ю. Определенный интеграл и его приложения. Курс лекций/ С.Ю.Галкина, О.Е.Галкин. - Нижний Новгород, 2015.-43 с.

Электронный ресурс:

http://www.cleverstudents.ru/integral/figures_area_in_polar_coordinates.html

Электронный ресурс:

http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/integralnoe-ischislenie-differentcialnye-uravneniia-a-a-eltcov/19-vychislenie-dliny-dugi-krivoi

Электронный ресурс:

https://www.kursoteka.ru/course/2487/lesson/8156/unit/20824

Электронный ресурс:

https://infourok.ru/reshenie-prikladnih-zadach-s-pomoschyu-opredelennogo-integrala-1575861.html

Электронный ресурс:

http://works.doklad.ru/view/5l2eSYGjPKU/all.html



3.......................