Построение дискретно совпадающей модели ОУ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВПО «СамГТУ»)
Факультет______________________________________
Кафедра _______________________________

ДОПУСТИТЬ К ЗАЩИТЕ
Заведующий кафедрой______________Фамилия И.О.
      (подпись)
     «       » ____________ 20     г.

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
Студента _______________________________________________________________________
(фамилия, имя, отчество, курс, факультет, группа)
Вид работы _____________________________________________________________________
(дипломная работа (проект)бакалавра (специалиста), магистерская диссертация)

Пояснительная записка
______________________________
(обозначение)
Тема____________________________________________________________________________
(полное название темы квалификационной работы, в соответствии с приказом
об утверждении тематики ВКР)
Нормоконтролер ________________________________________________________________
(подпись, дата, фамилия, инициалы)
Руководитель работы_____________________________________________________________
(должность, подпись, дата, фамилия, инициалы)
Консультант ____________________________________________________________________
(должность, подпись, дата, фамилия, инициалы)
Консультант ____________________________________________________________________
(должность, подпись, дата, фамилия, инициалы)
Студент_________________________________________________________________________
(подпись, дата, инициалы, фамилия)





Самара 20 _г.
    РЕФЕРАТ
    
    Выпускная квалификационная работа содержит __ с., __ рис., _ табл., __ источников и _ листов графического материала формата A1.
    РАСХОДОМЕРНЫЕ УСТАНОВКИ, ПОРШНЕВЫЕ РАСХОДОМЕРЫ, ТАХОМЕТРИЧЕСКИЕ РАСХОДОМЕРЫ, ИЗМЕРЕНИЕ, БОЛЬШИЕ РАСХОДЫ, ГАЗЫ
    Объектом исследования являются поршневые установки для точного воспроизведения и измерения больших расходов газа.
    Цель работы – построение адекватной модели объекта управления и ее использование для имитационного моделирования цифровой системы автоматического управления. Оптимальная настройка цифрового регулятора на имитационной модели системы автоматического управления.
    В процессе работы производились исследования экспериментально полученных кривой разгона ОУ и реализации возмущающего воздействия, заданного в виде спектральной плотности.
    Основные показатели: отсутствие статической ошибки, перерегулирование не больше 18%.
    Степень внедрения – полученные результаты используются в лабораторном практикуме по ЦСУ и переданы в редакцию для издания.
    Эффективность САУ определяется улучшением критериев регулятора.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    СОДЕРЖАНИЕ
    


    ВВЕДЕНИЕ
    
    Одно из немаловажных мест в комплексе работ по проектированию современных автоматизированных систем управления технологическими процессами занимает задача изучения существующего оборудования как в режиме нормального функционирования, так и в переходных режимах функционирования.
    В процессе первичного исследования технологического оборудования, рассматриваемого как объект управления, регистрируются его характеристики, на основе которых производится построение математической модели объекта управления, состоящей  как детерминированной модели «вход – выход», так и модели стохастического возмущающего воздействия, приведенного к выходу.
    На основе математической модели объекта управления формируется алгоритм управления и разработка рекуррентных цифровых регуляторов.
    Ограничения при работе с реальным технологическим оборудованием объясняют имитационное моделирование проектируемых систем в пакетах прикладной программы MATLAB (Simulink).
    Работа посвящена изучению построения дискретной системы автоматического управления. Рассматриваются вопросы алгоритмизации систем обработки данных и систем дискретного управления на базе построения параметрических моделей входных воздействий и объекта управления.
    Рассмотрены оптимизируемые цифровые регуляторы, а так же методики расчета их параметров. 
    Реализация производится в среде MATLAB (Simulink).
    


    1 Вводная
    1.1 Построение дискретно совпадающей модели ОУ
    Наиболее просто дискретная модель объекта может быть получена в виде дискретно совпадающей модели, то есть модели, переходная характеристика которой в выбранных тактовых точках точно совпадает с соответствующими точками кривой разгона. Данная модель может быть построена на основе интеграла свёртки, определяющего выходной сигнал объекта:
    
    
    
где  – импульсная характеристика объекта.
    Учитывая, что входной сигнал объекта, который в управляемой системе формируется выходным преобразователем, является кусочно-постоянным и в течение одного такта не меняется, в тактовые моменты времени выходной сигнал точно определяется выражением:
    
    
    
где  – приращение переходной характеристики объекта на м такте, определяемое как площадь под импульсной переходной характеристикой объекта на м такте:



    Модель объекта в рекурсивной форме может быть получена следующим образом. В первую очередь постулируется вид модели в форме разностного уравнения или дискретной передаточной функции. Если модель имеет неизвестных параметров, то выбираются  тактовых моментов времени и по кривой разгона снимаются  значений выходной координаты объекта . Данные значения приравниваются к соответствующим значениям  выраженным через неизвестные параметры модели, входящие в постулируемое разностное уравнение. Решением полученной системы уравнений и являются параметры дискретно совпадающей модели.
    Линейный вид переходной характеристики позволяет предположить, что ОУ описывается моделью второго порядка:
    
    
    
    Согласно данной	 передаточной функции тый отсчет  определяется по выражению
    
    
    
где входной сигнал (ступенчатое единичное воздействие); выходной сигнал; дискретное время.
    Необходимо найти параметры модели 
    Так как кривая разгона выходит из нуля , то . Тогда  уравнение () можно записать в виде
    
    
    
    Примем шаг квантования с.
    По экспериментально полученной кривой разгона (рис…) снимем десять отсчетов, как показано на рисунке ..:

Рисунок 1 - Снятие отсчетов
    
    Чтобы найти  и  подставим первые два отсчета в уравнение ():
    
    Для нахождения параметра  запишем уравнения для нахождения коэффициента передачи в статике:
    
    
    
    Отсюда находим 
    Исходя из выше представленных вычислений можно записать уравнение () в виде
    
    
    
    Для получения передаточной функции дискретно совпадающей модели подвергнем уравнение () z-преобразованию:
    
    
    
    
    Построим переходный процесс данной модели в Simulink и сравним с экспериментальной кривой разгона ОУ.

Рисунок 2 - Дискретно совпадающая модель
    Как видно из рисунка (), данная модель имеет точные совпадения только в первых трех отсчетах, которые мы использовали для нахождения параметров дискретной передаточной функции. В другие же моменты времени расхождения могут быть очень существенными, вплоть до получения неустойчивой модели. Данное обстоятельство является существенным недостатком модели.


    1.2 Построение МНК-модели
    Описанная дискретно совпадающая модель объекта используется при разработке соответствующего закона управления лишь в некоторых случаях.
    Чаще требование адекватности модели выполняется при минимизации квадратичной интегральной оценки расхождения переходной характеристики объекта и его модели, построенной с помощью метода наименьших квадратов (МНК), по всем N точкам экспериментально зарегистрированной кривой разгона 
    Так как кривая разгона выходит из начала координат, то  и модель имеет вид
    
    
    
    При  система уравнений будет иметь вид
    
    
    
    В матричном виде уравнение () можно записать:
    
    
     – вектор неизвестных параметров модели;
      – вектор экспериментально снятых отсчетов;
     – матрица входов-выходов.
    По методу наименьших квадратов вектор неизвестных параметров находится из следующего соотношения:
    
    
    
    Для нахождения неизвестных параметров  воспользуемся пакетом Matlab. Для этого в рабочей области программы необходимо прописать следующий код:
    Y=[0.643; 1.54; 2.18; 2.57; 2.78; 2.89; 2.95; 2.97; 2.99; 3];
    V=[1 0 0; 1 0.643 0; 1 1.54 0.643; 1 2.18 1.54; 1 2.57 2.18; 1 2.78 2.57; 1 2.89 2.78; 1 2.95 2.89; 1 2.97 2.95; 1 2.99 2.97];
    B=(V'*V)^(-1)*V'*Y
    Откликом программы будет служить вектор искомых параметров:
    
    Коэффициент передачи в статике будет равен
    
    
    
    Получившийся коэффициент не соответствует коэффициенту передачи ОУ, поэтому найдем  из соотношения
    
    
    
    Отсюда 
    Уравнение () примет вид:
    
    
    
    Для получения передаточной функции МНК-модели подвергнем уравнение () z-преобразованию:
    
    
    
    
    Построим переходный процесс данной модели в Simulink и сравним с экспериментальной кривой разгона ОУ.

Рисунок 3 - МНК-модель
    


    1.3 Построение модели возмущающего воздействия
    Для  разработки АСУ ТП, как правило,  необходимо провести исследование объекта управления в режиме его нормального функционирования. Результатами исследования будут являться реализации сигналов, по которым можно получить оценки их вероятностных характеристик, требуемых для разработки математической модели сигналов и объекта.
    Объект управления задан в виде реализации возмущающего воздействия, изображенного на рисунке ().

Рисунок 4 - Реализация возмущающего воздействия
    Требуется получить эмпирическую оценку корреляционной функции и спектральной плотности возмущающего воздействия. Для этого следует воспользоваться программной средой MATLAB. В рабочую область программы загружается массив со значениями возмущающего воздействия в конкретно взятые моменты времени .
    После получения вектора с экспериментальными значениями возмущающего воздействия необходимо найти среднее значение, то есть математическое ожидание и произвести центрирование:
    
     ( )
    
    Команды для расчета математического ожидания и формирования вектора центрированных значений случайного процесса приведены в листинге(). По итогам выполнения этих команд были получено значение и сформирован вектор .
    Корреляционная функция случайного процесса  – это неслучайная функция двух аргументов  которая при каждой паре значений  равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайно функции.
    Оценка корреляционной функции оценивается по формуле
    
     ()
    
    Расчет значений оценки корреляционной функции производится с помощью программы представленной в листинге (). График функции изображен на рисунке ().

Рисунок 5 - Оценка корреляционной функции
    Таким образом, данная характеристика демонстрирует степень зависимости между сечениями случайной функции принадлежащим к различным 
    Оценки корреляционно-спектральных характеристик стационарных стохастических процессов являются бесконечномерными моделями, а как следствие, неудобными для дальнейшего использования при синтезе систем управления.
    В качестве параметрической модели случайного процесса удобно использовать модель в виде передаточной функции формирующего фильтра. Под ФФ подразумевают линейный фильтр, выходной сигнал которого имеет заданные корреляционно-спектральные характеристики при подаче на вход фильтра «белого шума» .
    В связи с этим, структурная схема управляемой системы будет иметь вид, представленный на рисунке ().
    
Рисунок 6 - Структурная схема управляемой системы
    Оценку корреляционной функции представленной на графике необходимо аппроксимировать. Как видно из графика, лучше всего это сделать двумя экспонентами:
    
     ()
    
где  – дисперсия случайного процесса,  – коэффициент затухания.
    Параметры  и  находятся эвристически, исходя из графика оценки корреляционной функции.
    В результате поиска параметров было получено выражение для аппроксимированной оценки корреляционной функции:
    
    ()
    
    Для наглядности, построим оценку аппроксимированной корреляционной функции и оценку корреляционной функции на одном графике.(рис)

Рисунок 7 - Совмещенные оценки корреляционных функций:
a – оценка корреляционной функции; b – аппроксимированная оценка корреляционной функции
    Следующим шагом является нахождение спектральной плотности возмущающего воздействия  по известной корреляционной функции :
    
    
    
    
    
    
    
     ()
    
    Исходя из формулы (), выражения для спектральной плотности возмущающего воздействия будет иметь вид:
    
    
    
    Получив аналитическое выражение для спектральной плотности возмущающего воздействия, было найдено выражение для квадрата АЧХ, так как по определению:
    
    
    
где  – спектральная плотность «белого шума». Примем  – амплитудно-частотная характеристика цифрового фильтра, определяющая его вид.
     Передаточную функцию ФФ можно найти методом расщепления спектральной плотности:
    
    
    
    
    Таким образом, выражение для передаточной функции формирующего фильтра будет иметь вид:
    
     ()
    
    Исходя из формулы (), можно сделать вывод, что формирующий фильтр представляет собой параллельное соединение двух апериодических звеньев первого порядка. Для нахождения соответствующей дискретной передаточной функции фильтра воспользуемся подстановкой:
    
    
    
где с – так квантования.



где
Следовательно, дискретная передаточная функция формирующего фильтра будет иметь вид:






    2 Синтез и параметрическая оптимизация САУ
    2.1 …
    После нахождения дискретных передаточных функций объекта управления и формирующих фильтров требуется выполнить оптимизацию системы. Для этого необходимо построить САУ с цифровым регулятором и провести ее оптимизацию по выбранному критерию.
    Цифровые регуляторы делятся на две основные группы – параметрически оптимизируемые регуляторы и структурно оптимизируемые регуляторы.
    У параметрически оптимизируемых регуляторов структура выбирается из общих соображений, например соображений отсутствия статической ошибки в системе. Конкретные же свойства объекта управления и входных воздействий системы учитываются при оптимизации параметров регулятора по тому или иному критерию.
    При синтезе структурно оптимизируемых регуляторов, как сама структура, так и параметры алгоритма управления непосредственно вытекают из структуры параметров объекта и входных воздействий. Структурно оптимизируемые регуляторы подразделяются на компенсационные регуляторы, которые компенсируют инерционность объекта за счет сокращения полюсов его передаточной функции, и регуляторы состояния, использующие информацию о переменных состояния, которые непосредственно измеряются «наблюдателем состояния».
    Самыми простыми являются системы управления с задающим воздействием – следящие системы и системы стабилизации, в которых цель управления – наиболее точная отработка задающего воздействия (воздействия уставки)  при максимальном подавлении внешнего воздействия (возмущающего воздействия) 
    На рисунке представлена схема

Рисунок 8-Структурная схема системы с задающим воздействием
    При больших интервалах квантования по времени дискретная аппроксимация по времени несправедлива. Использовать же Z-преобразование невозможно из-за наличия дифференцирующих членов. Поэтому, вид передаточной функции регулятора и её параметры выбираются не по аналогии с известной непрерывной системой, а из других соображений.
    Передаточная функция объекта управления имеет вид
    
      (4.44)
    
    По аналогии может быть записана передаточная функция обобщенного линейного алгоритма управления:
    
     (4.45)
    
    В отличие от модели инерционного объекта управления, где параметр , определяющий реакцию объекта, обычно равен нулю, параметр передаточной функции регулятора  определяющий управление , как правило, не равен нулю. Тогда регулятор физически реализуем, если . Поэтому примем
    Для того чтобы система с данным регулятором была астатической  необходимо, чтобы передаточная функция регулятора имела полюс , поэтому простейший алгоритм регулятора имеет передаточную функцию
    
    4.46)
    
    Порядок алгоритма считается равным , потому что при замыкании система, даже с безынерционным объектом, имеет порядок 
    Передаточной функции (4.46) соответствует алгоритм управления:
    
    (4.47)
    
    Порядок проектирования регулятора имеет следующий вид.
    Первоначально необходимо задаться порядком регулятора  (невысоким). Далее параметр регулятора q0 желательно выбрать равным
    		(4.48)
    где – максимально допустимое управление; – максимально возможное входное воздействие системы.
    При выборе (4.48) система оказывается уже достаточно задемпфированной.
    Остальные параметры  определяются либо методом параметрической оптимизации, либо методом параметрической настройки.
    При >2 аналитические методы, как правило, не применяются, а используются численные методы, например настройка методом Гаусса – Зайделя или симплекс-методом [2]. По методу Гаусса – Зайделя, выбираются небольшие начальные значения параметров qi, при которых замкнутая система оказывается устойчивой. Далее идет поочередное варьирование данных параметров до достижения локальных экстремумов выбранного критерия оптимизации, оцениваемого на имитационной модели системы. После достижения локального экстремума последним параметром осуществляется возврат к первому и так далее, пока данная циклическая процедура не приведет к достижению глобального экстремума в пространстве параметров qi.
    В качестве критерия оптимизации можно рекомендовать критерий
    	                                (4.49)
    где m – число тактов переходного процесса системы; – центрированные отсчеты управления (=u(k) – mu); e(k) – отсчеты величины ошибки; r – весовой коэффициент, величину которого рекомендуется выбирать в пределах 10 ? 25 % от квадрата коэффициента преобразования объекта, mu – математическое ожидание управляющего воздействия.
    В частном случае, при  обобщенный линейный алгоритм управления становится алгоритмом управлении 2-го порядка, который эквивалентен дискретному ПИД-регулятору только при определённых соотношениях между его параметрами .
    Рассмотрим его свойства на примере переходного процесса отдельно взятого регулятора, построенного для входного сигнала  по выражению  
    Отсчёты управляющего воздействия, формируемого регулятором, полностью определяются параметрами регулятора:
    
    		(4.50)
    
    Показанный график (рис. 4.10) позволяет сформулировать требования к параметрам регулятора, обеспечивающего эффективность управления.
    Во-первых, для формирования сигнала отрицательной обратной связи параметр должен быть положительным. 
    Во-вторых, для форсирования инерционности объекта должно быть u(0)>u(1), что достигается при . 
    
    
    Рис. 4.10. Графическое представление требований
к параметрам ПИД-регулятора
    
    В-третьих, если ошибка, поступающая на вход регулятора, не исчезнет, то для обеспечения астатизма системы регулятор должен обладать интегрирующими свойствами, увеличивая на каждом такте управляющий сигнал на  
    В-четвёртых, должно быть  
    Сравнивая данные требования с вышеприведенными зависимостями для дискретного ПИД-регулятора, можно убедиться в их эквивалентности. 
    2.2 Симплекс – метод
    Регулярным симплексом в пространстве  называется правильный многогранник, образованный равноотстоящими друг от друга вершинами, число которых составляет . Для случая n=2 это равносторонний треугольник, для случая n=3 – тетраэдр, где n – число оптимизируемых параметров [1, 2, 13].
    Если в пространстве  необходимо построить регулярный симплекс, одна из вершин которого находится в точке , то координаты вершин такого симплекса удобно задавать с помощью  матрицы (3.7):
    .			(3.7)
    В матрице  каждый -тый столбец представляет собой координаты -той вершины симплекса, . Параметры  и рассчитываются по формулам (3.8), (3.9):
    ;						(3.8)
    ,					    (3.9)
    где  – длина ребра симплекса.
    Например, регулярный симплекс в двумерном пространстве  с одной из вершин в начале координат (когда ) определяется матрицей  (3.10):
    .				(3.10)
    Регулярный симплекс показан на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2 - Регулярный симплекс
    В алгоритме симплекс-метода используется следующее важное свойство регулярного симплекса: если одну из вершин регулярного симплекса перенести на надлежащее расстояние вдоль прямой, соединяющей данную вершину и центр тяжести оставшихся вершин, то вновь получится регулярный симплекс [1, 2 13]. Геометрическая интерпретация этого свойства показана на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 - Геометрическая интерпретация свойства регулярного симплекса
    Пусть  – векторы координат вершин регулярного симплекса. Тогда при выполнении операции отражения k-той вершины симплекса имеет место следующая связь координат этой вершины и новой вершины (3.11):
    .					(3.11)
    Здесь  – вектор координат центра тяжести остальных вершин симплекса (за исключением отраженной вершины k).
    Таким образом, после отражения k-той вершины симплекса с координатами вершин , получаем новый симплекс с координатами вершин (3.12):
    .				(3.12)
    Оптимальные настройки по этому методу найдем для ПИ-регулятора в разделе 3.3.
    2.3 ПИ-регулятор
    При  обобщенный линейный алгоритм управления становится алгоритмом управлении 1-го порядка, который эквивалентен дискретному ПИ-регулятору [1, 2]. Передаточная функция цифрового регулятора 1-го порядка:
    
    . (3.14)
    
    Расчет параметров регулятора  и  проводится с помощью симплекс-метода. Его реализация проводится в пакете MATLAB и Simulink.
    Для начала необходимо реализовать в Simulink схему, представленную на рисунке ().

Рисунок 9-Схема
    Предположим, что одна из вершин симплекса находится в начале координат  Тогда матрица будет иметь вид
    
    
    
где (рассчитываются по формулам (3.8 – 3.9)).
    Алгоритм оптимизации управления симплекс-методом выглядит следующим образом:
* Определение длины ребра симплекса (l=0.02;);
* Определение размерности пространства (n=2;);
* Определение значений параметров регулятора (q0=0; q1=0;);
* Расчет r1 (r1=(((n+1)^.5)+n-1)*l/(n*2^.5););
* Расчет r2 (r2=(((n+1)^.5)-1)*l/(n*2^.5););
* Определение исходной матрицы координат вершин симплекса (R=[q0 q0+r1 q0+r2; q1 q1+r2 q1+r1]);
    Откликом программы будет матрица :
    
    
    
    Далее производится поочередное моделирование системы, структурная схема которой представлена на рисунке (), с различными параметрами  и . Вершина, в которой критерий оптимальности () принимает наибольше значение отражается относительно других вершин симплекса и проводится моделирование системы с новыми значениями вершин. Вышеописанные действия продолжаются до тех пор, пока симплекс не начнет «вращаться», что будет интерпретироваться как нахождение минимума целевой функции.[]
    После проведения нескольких итераций была сформирована конечная матрица координат :
    
    
    
    Минимум критерия оптимальности достигается в первой вершине симплекса. =1.011*10.
    График переходного процесса системы с регулятором (по управлению и по возмущению) представлен на рисунке ()

Рисунок 10-Переходный процесс
    Переходный процесс системы с возмущающим воздействием будет иметь вид, показанный на рисунке ()

Рисунок 11-Переходный процесс системы с возмущающим воздействием
    
5

    
.......................