Главная / Образцы дипломных работ

Понятия уравнение, системы уравнений

Внимание: Акция! Курсовая работа, Реферат или Отчет по практике за 10 рублей!
Только в текущем месяце у Вас есть шанс получить курсовую работу, реферат или отчет по практике за 10 рублей по вашим требованиям и методичке!
Все, что необходимо - это закрепить заявку (внести аванс) за консультацию по написанию предстоящей дипломной работе, ВКР или магистерской диссертации.
Нет ничего страшного, если дипломная работа, магистерская диссертация или диплом ВКР будет защищаться не в этом году.
Вы можете оформить заявку в рамках акции уже сегодня и как только получите задание на дипломную работу, сообщить нам об этом. Оплаченная сумма будет заморожена на необходимый вам период.
В бланке заказа в поле "Дополнительная информация" следует указать "Курсовая, реферат или отчет за 10 рублей"
Не упустите шанс сэкономить несколько тысяч рублей!
Подробности у специалистов нашей компании.

Код работы:	W003420
Тема:	Понятия уравнение, системы уравнений

Содержание

ВВЕДЕНИЕ.

С эволюционным развитием человечества необходимость использования математики постоянно возрастала. Исторические факты говорят о том, что счёт возник намного раньше, чем применение чисел и их названий. Люди использовали для счёта подручные средства: камушки, щепки, узелки, чёрточки на стене и камнях, зарубки на деревянных палках. С развитием речи возникают слова «один», «два» и т.д., а счет становится необходимым и привычным действием.
Чем сложнее становилась хозяйственная деятельность человека, тем больше возникала необходимость вводить счёт и методы счисления в более обширных понятиях, что послужило развитию первых счётных устройств (абак, соробан и т.д.),а позднее и более сложных механических устройств: логарифмические линейки, машина Паскаля и т.п.
Сейчас мы не можем представить себе жизни без математики. Мы используем её постоянно, иногда даже не осознавая этого. Учащиеся часто задают вопрос: «зачем нужна математика?». Отвечая на этот вопрос, можно с полной уверенностью утверждать, что математика окружает нас повсюду. Взять к примеру обычный поход в магазин, расчёт семейного бюджета, планирование своего времени, приготовление пищи, строительство домов и т.п.
Можно бесконечно говорить о сфере применения математики, но не справедливо будет не упомянуть роль математики в развитии умственной деятельности человека. Именно математика развивает в нас логическое мышление, умение мыслить при решении сложных задач, развивает навыки быстрого анализа ситуации и поиска наиболее оптимального подхода решения проблемы. Учит нас терпению, усидчивости и трудолюбию.
Математика стала необходимым инструментом для решения задач во многих сферах науки: астрономия, физика, химия, биология и т.д.
Выдающийся математик А.Н. Колмогоров писал: "Математика не просто одни из языков. Математика - это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение другим… Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых допускает отдельное очень подробное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако, если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить «от одного к другому».
Наряду с решением задач, где всё чётко и лаконично изложено и имеются все данные для математических действий, существуют задачи, где один или несколько объектов счисления неизвестны, что создаёт сложность при работе с такими данными.Поэтому возникает необходимость ввода понятий «неизвестное», «уравнение», «неравенства» и т.п.
В данной работе мы будем рассматривать уравнения, неравенства, их системы и способы решения систем алгебраических уравнений и неравенств.
Актуальность данного исследования заключается в том, что развитие творческих мыслительных способностей учащихся возможно только при создании проблемной ситуации и обучении решений нестандартных задач. Наиболее сложная тема в школьном курсе математики, как показывает практика, решение задач с параметрами. Это одна из самых обширных и проблемных тем, изучаемых в школе.
Решение уравнений и неравенств с параметрами направлено на развитие у школьников умения правильно использовать правила, вырабатывает навыки применения алгоритма, способность проводить изучение какого-либо объекта с целью выявления его возникновения, развития и преобразования.
Объектом исследования данной работы являются решение систем алгебраических уравнений и неравенств.
Предметом исследования: методика изучения темы: «Решение систем алгебраических уравнений и неравенств».
Цель работы: изучить в полном объёме методику изучения данной темы. Исследовать методы решения систем уравнений и неравенств.
Гипотеза: умение находить и применять методы решения задач с параметрами, знание алгоритма и правил при математических вычислениях, позволит учащимся развивать навыки решения нестандартных задач на сознательной основе, развивать умение находить наиболее рациональное решение, пробуждать познавательный интерес к иным методам решения, которые не описаны в школьных учебниках.
Задачи:
1.Проанализиповать учебный материал школьной программы.
2.Проанализировать решение текстовых задач с помощью систем уравнений и неравенств.
3.Проанализировать задания для самостоятельных и контрольных работ, созданных для мониторинга знаний учащихся.
4.Проработать методику преподавания темы: «Решение систем алгебраических уравнений и неравенств».
5.Выявить наиболее сложные моменты при изучении данного материала.
6.Изучить и применить методические рекомендации по обучению решения систем алгебраических систем уравнений и неравенств.
Структура работы:
Настоящая работа состоит из 2 глав.
В первой главе рассматривается теоретический материал по теме «Решение алгебраических систем уравнений и неравенств»: понятие уравнения, неравенства и их систем, способы решения алгебраических систем уравнений и неравенств.
Во второй главе описаны теоретические сведения по методам решения алгебраических систем. Рассмотрены некоторые методические рекомендации по преподаванию данной темы.
В конце работы приложены планы-конспекты уроков, проведённых в школе по данной теме.

Глава 1. Теоретические основы систем алгебраических уравнений и неравенств. Способы решения систем.

1.1.Понятия: уравнение, системы уравнений. Способы решения алгебраических систем уравнений.

Для полного анализа темы данного исследования нам необходимо рассмотреть: Что такое уравнение? Какие бывают уравнения? Что такое системы алгебраических уравнений? И изучить алгоритм решения данных систем.
Понятие уравнения в школьном курсе математики изучается уже в начальной школе, где рассматривают уравнения вида а + х = в, где а и в некоторые числа. Решение таких уравнений сводится к методу подбора для поиска неизвестного числа х.
Наиболее полное определение числового выражения дается в учебнике Г.М.Аматовой «Математика»: выражения, сконструированные из чисел, знаков действий и скобок, определяющих порядок этих действий, называются числовыми выражениями, а число, полученное в результате последовательного выполнения действий, указанных в выражении, называется значением числового выражения. [3].
Наиболее обширно данную тему изучают, начиная с седьмого класса. Обратимся к учебникам школьного курса алгебры. Большая часть школ использует в своей практике учебник Ю.Н.Макарычева. Именно в нем впервые дается определение: переменная, решение уравнения, равносильность уравнения, решения систем линейных уравнений.
Что же такое переменная?
Это неизвестная величина, параметр, который может изменять своё значение. Значения переменная будет принимать в зависимости от того, какое правило задано, система, или еще что-то. Все значения, которые она принимает, называется множество полученных в результате вычислений значений.
Обозначается обычно маленькими буквами латинского или греческого алфавита (x, y, z и так далее). [18].
Согласно учебнику Г.М.Аматовой «выражения, содержащее переменную обращающееся в числовое выражение при замене переменной ее значением, называется выражением с переменной или числовой формой. [3].Множество значений х, при которых определены обе части уравнения, называют областью допустимых значений. Каждое значение х, удовлетворяющее уравнению, называется его решением или корнем. [6].
Или: «множество значений переменных, при которых выражение имеет смысл, называется областью определения этого выражения. [3].
Исследовать и решить уравнения с параметром (переменной) –это значит:
1.Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
2.Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений. [4].
Допустимые значения переменных – это такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл. А значения переменных, при которых выражение не имеет смысла, называют недопустимыми значениями переменных. [19].
Вернемся к определениям из учебника Ю.Н.Макарычева.
Определение. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Из уравнения 4х-15=х+15 находим, что
4х-х=15+15,
3х=30,х=10.
Уравнение 4х-15=х+15 имеет 1 корень-число 10.
Существуют уравнения, которые имеют 2,3 и более корней или не имеют корней.
Решить уравнение- значит найти все его корни или доказать, что корней нет. [5].
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, так же считают равносильными.
Рассмотрим некоторые тождества.
Определение. Равенство, верное при любых допустимых значениях переменных, называется тождеством. [3].
Определение. Два выражения с одними и теми же переменными и общей областью определения называются тождественно равными, если при любых значения переменных их соответствующие значения равны
Так, на множестве действительных чисел R тождественно равными будут следующие пары выражений:
х+у и у+х;
х2+у2 и (х-у)(х+у);
(х+у)2 и х2+2ху+у2.
Определение. Переход от одного выражения к другому, тождественно равному ему на данном множестве, называется тождественным преобразованием выражения.
Пример. Разложим на множители выражение (х2-12)2-х2.
Сначала разложим на множители разность квадратов. (х2-12-х)(х2-12+х).
Выражение х2-х-12, имеет корни х1=-3; х2=4 и может быть представлен в виде х2-х-12=(х+3)(х-4). Аналогично, х2+х-12=(х-3)(х+4). Таким образом, исходное выражение на основании указанных тождественных преобразований может быть заменено произведением(х+3)(х-4)(х-3)(х+4).(3)
Уравнения вида ах=б где х-переменная, а и б-некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной. [5].
При а неравной 0 такое уравнение имеет один корень при а равной 0 и б неравной 0 не имеет корней, при а равной 0 и б равной 0 имеет бесконечно много корней.
Наряду с линейными уравнениями с одной переменной существуют линейные уравнения с двумя и более переменными.
В данной работе мы будем рассматривать решение уравнений с двумя переменными, т.к. они являются основными в школьном курсе алгебры.
Определение. Линейными уравнениями с двумя переменными называется уравнение вида ах+bу=с, где х и у-переменная, а,б и с, некоторые числа.
Решением уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающее это уравнение в верное равенство.[5].
Если требуется найти все упорядоченные наборы чисел (х;у), при каждом из которых одновременно выполнены оба равенства, то говорят, что задана система двух уравнений с двумя неизвестными, которая обозначается при помощи специального знака системы (фигурной скобки). При решении систем уравнений ищутся общие решения всех уравнений, входящих в систему, иными словами, ищется пересечение множеств решений этих уравнений.
Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что их нет.[7].
Существуют различные классификации систем уравнений, изучаемых в курсе элементарной математики. В учебнике Е. В. Хорошиловой «Элементарная математика» приведена таблица классификации систем.

СИСТЕМЫ

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ

ТРАНСЦЕНДЕТНЫЕ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ

С МОДУЛЯМИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
(ОБРАТНЫЕ)

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ
СТЕПЕНИ С ИРРАЦ. ПОКАЗАТЕЛЯМИ

ЦЕЛЫЕ

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ

В данной работе мы более подробно остановимся на решении алгебраических систем. Разберем более подробно каждый из видов подобных уравнений.
Алгебраическое выражение, состоящее из чисел и букв х,у…z объединённое с помощью операций сложения и умножения, называется целым рациональным выражением от x,y…z.Если в какой –либо части уравнения содержится алгебраическая дробь, уравнение называют дробно-рациональным. Примером целых рациональных выражений являются:
1) 3?(x+1)=x ;
2) ?4(2y-3)=y-9.??
Примером дробно-рационального выражения является уравнение вида:

Основополагающий момент при решении дробно-рационального уравнения- приведение выражения к общему знаменателю и избавление от дроби.
Иррациональным числом называется число, выраженное бесконечной десятичной дробью.
Уравнения называется иррациональным, если в нём некоторые выражения, содержащие переменную, находятся под знаком корня.
Пример:
1) ?(2х+1)+?(х-3)=4;
2) ?(х+2х+1)=-(х+1).
Особенность решения таких уравнений сводится к избавлению от знака корня посредством возведения в квадрат всего выражения.
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Для решения такого уравнения необходимо избавиться от знака модуля, но для этого необходимо помнить о его свойствах.
Пример:
1)|3х+1|+х=9;
2) |(х+1)/(х-1)|=1.
Для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у существует несколько приёмов решения.
-Метод подстановки. Метод состоит в том, чтобы выразив одну из переменных из одного из уравнений, подставить это выражение вместо данной неизвестной в остальные уравнения, уменьшив таким образом количество неизвестных в оставшихся уравнениях. Данная процедура повторяется пока не останется одно уравнение с одной переменной, которое затем и решается. Остальные неизвестные последовательно находятся по уже известным значениям найденных переменных.
- Метод расщепления системы. Этот метод состоит в том, чтобы разложить одно из уравнений системы на множители. При этом необходимо чтобы справа в этом уравнении был ноль. Тогда приравнивая по очереди каждый множитель этого уравнения к нолю и дописывая остальные уравнения первоначальной системы, получим несколько систем, но каждая из них будет проще первоначальной.
- Метод сложения и вычитания. Данный метод состоит в том, чтобы складывая либо вычитая два уравнения системы (их предварительно можно и часто нужно умножать на некоторый коэффициент) получить новое уравнение, и заменить им одно из уравнений первоначальной системы. Очевидно, что такая процедура имеет смысл, только если новое уравнение будет получаться значительно проще ранее имевшихся.
- Метод деления и умножения. Данный метод состоит в том, чтобы разделив либо, умножив соответственно, левые и правые части двух уравнений системы получить новое уравнение, и заменить им одно из уравнений первоначальной системы. Очевидно, что такая процедура опять таки имеет смысл, только если новое уравнение будет получаться значительно проще ранее имевшихся.
Существуют и другие методы решения систем рациональных уравнений. В числе которых - замена переменных. Зачастую замена переменных подбирается индивидуально под каждый конкретный пример. Но есть два случая, где всегда нужно вводить совершенно определённую замену.Первый из этих случаев, это случай когда оба уравнения системы с являются однородными многочленами приравненными к некоторому числу. В этом случае нужно использовать замену:
y=хt
После применения этой замены, к слову, нужно будет для продолжения решения таких систем использовать метод деления. Второй случай, это симметричные системы с двумя переменными, т.е. такие системы, которые не изменяются при замене x на y, а y на x. В таких системах необходимо применять следующую двойную замену переменных:
x+y=a
xy=b
При этом, для того чтобы ввести такую замену в симметричную систему, первоначальные уравнения скорее всего придется сильно преобразовывать. Про ОДЗ и обязательность выполнения обратной замены в обоих этих методах, конечно нельзя забывать.[20].
Мы остановимся на 4 наиболее часто встречающихся методах, которые чаще всего используются в курсе школьной математики и рассмотрим примеры решения данными методами. В первой главе мы рассмотрим примеры решения систем данными способами. На методических рекомендация преподавания данной темы и на алгоритмах решения данными способами мы более подробно остановимся во второй главе данного исследования.
Метод подстановки:
1)Решить систему способом подстановки.
{?((х+у)(х-у)=0@ 2х-у=1 )?;
Выражаем из второго уравнения у. Получаем
-у=1-2х или у=2х-1. Полученное выражение подставляем в первое уравнение системы.
(х+(2х-1))(х-(2х-1))=0;
(х+2х-1)(х-2х+1)=0;
х2-2х+х+2х-4х2+2х-х+2х-1;
-3х2+4х-1=0 или 3х2-4х+1=0
Решаем квадратное уравнение.
D=16-12=4;
х1,2=4+(-)2/6;
х1=1,х2=1/3;
Теперь ищем у.
у1=2-1=1;
у2=2*1/3-1=-1/3.
Ответ:(1;1),(1/3;-1/3).
2) {?(3х+2у=5@5/(з-2х)=2,5/(1-у))?;
Приведём второе уравнение к общему знаменателю. Получим:
{?(3х+2у=5@5-5у=7,5-5х)?;
Видно, что для упрощения решения нужно второе уравнение разделить на 5:
{?(3х+2у=5 @х-у=0,5 )?;
Выражаем х из второго выражения. Получаем:
х=0,5+у,подставляем данное выражение в первое уравнение системы
3(0,5+у)+2у=5;
{?(5у=3,5@х=0,5+у)?;
Отсюда:
у=0,7 а х=1,2
Ответ: х=1,2,у=0,7.[5,8].
Метод алгебраического сложения:
Решить систему метод сложения.
1) {?(у/4-х/5=6@х/15+у/12=0)?;
Избавляемся от дробного выражения, приведя к общему знаменателю. Получаем:
{?(5у-4х=120@12х+15у=0)?;
Домножаем первое уравнение на 3.
15у+15у+12х-12х=360;
30у=360;
у=12;
х=5*12-4х=120;
-4х=120-60;
х=-15.
Ответ: х=-15,у=12.
2) {?(2х+5у=21@2х-у=1 )?;
Домножаем второе уравнение на -1.Получаем:
{?(2х+5у=21@-2х+у=-1)?;
2х-2х+5у+у=21-1;
6у=20;
у=31/3;
х=21/6.
Ответ: х=21/6,у=31/3.[5.8].
Графический метод:
Решить систему графическим способом.
{?(х^2+у^2=16@х+у=4 )?;
Первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом 4. Второе прямой у=4-х.
При х=0,у=4;
х=-1,у=5;
х=2,у=2.
Строим данную окружность и прямую на координатной прямой.

Получаем точки пересечения окружность с прямой (0;4)и(4;0).
Это и будет ответом решения данной системы.
Ответ:(0;4)и (4;0).
2){?(х^2+у^2=1@х^2-у=1 )?;
Графиком этой системы будут окружность с радиусом 1 и парабола опущенная относительно оси ОХ на 1.

Точки пересечения параболы и окружностью будут являться ответом.
Ответ: (0;-1), приближённо (0,75;0,8) и(-0,75;-0,8).[8].
Минус графического метода в том, что его значения не всегда точны.
Решение систем с модулем:
1)Решите систему.
{?(2|х|+у=3@х-2у=-1)?;
Решение.
Рассмотрим два случая: x?0x?0 и x<0x<0.
Случай I.
Если x?0x?0, то |x|=x|x|=x и система принимает вид
{?(2х+у=3@х-2у=-1)?;
Из первого уравнения получаем, что y=3-2xy=3-2x. Поэтому из второго уравнения получаем, что
x-2(3-2x)=-1?x-6+4x=-1;?5x=5;?x-2(3-2x)=-1?x-6+4x=-1;?5x=5;?
?x=1?y=3-2?1=1.?x=1?y=3-2?1=1.
Так как x=1?0x=1?0, то это решение подходит.
Случай II.
Если x<0x<0, то |x|=-x|x|=-x и система принимает вид
{?(-2х+у=3@х-2у=-1)?;
Из первого уравнения получаем, что y=3+2xy=3+2x. Поэтому из второго уравнения получаем, что
x-2(3+2x)=-1?x-6-4x=-1?-3x=5?x-2(3+2x)=-1?x-6-4x=-1?-3x=5?
?x=-53?y=3+2?(-53)=3-103=-13.?x=-53?y=3+2?(-53)=3-103=-13.
Так как x=-53<0x=-53<0, то это решение тоже подходит.
Ответ. Система имеет два решения: (1; 1)(1; 1) и (-53;-13)(-53;-13).
2) Решить систему.
{?(|х-3|=2 @7х-у=-6)?;
Решение.
Из первого уравнения следует, что x-3y=2x-3y=2 или x-3y=-2x-3y=-2.
В первом случае система принимает вид:
{?(х-3у=2@7х-у=-6)?;
Из первого уравнения получаем x=3y+2x=3y+2, поэтому второе примет вид:
7?(3y+2)-y=-6?21y+14-y=-6?20y=-20?7?(3y+2)-y=-6?21y+14-y=-6?20y=-20?
?y=-1?x=3?(-1)+2=-1.?y=-1?x=3?(-1)+2=-1.
Значит, (-1; -1)(-1; -1) — решение исходной системы.
Во втором случае система принимает вид:
{?(-х+3у=2@7х-у=-6)?;
Из первого уравнения получаем x=3y-2x=3y-2, поэтому второе примет вид
7?(3y-2)-y=-6?21y-14-y=-6?20y=8?7?(3y-2)-y=-6?21y-14-y=-6?20y=8?
?y=25?x=3?(25)-2=65-2=-45.?y=25?x=3?(25)-2=65-2=-45.
Значит, (-45;25)(-45;25) — решение исходной системы.
Ответ. Система имеет два решения: (-1;-1)(-1;-1) и (-45;25)(-45;25).[21].
Итак, подводя итоги, можем сказать, что самыми простыми методами решения алгебраических систем уравнений является метод сложения и метод подстановки. Графический метод имеет свои минусы, т.к. ответы в данном случае не всегда точные и пересечение алгебры с геометрией всегда представляет сложность для восприятия, т.к. нужно помнить, что является уравнением окружность, прямой, параболы и гиперболы.
Однако не всегда можно воспользоваться каким-то одним методом. Иногда для решения системы необходимо комбинировать подходы для решения той или иной системы.
При решении системы искусственными приёмами[8],так же как при решении уравнений, следует помнить, что заменять данную систему можно только равносильной ей.
Сложность для учащихся всегда представляется в том, что не всегда можно сразу увидеть- каким методом более рационально воспользоваться.

1.2. Понятия: неравенство, системы неравенств. Способы решения алгебраических систем неравенств.

Из материала 1.1. мы узнали об уравнениях, их системах и способах решения алгебраических уравнений с двумя переменными. Однако, помимо уравнений в математике существует ещё один класс выражений с переменной. Это класс называется неравенства, именно их мы и будем рассматривать в данном пункте первой главы.
Во многих разделах математики, особенно в математическом анализе, в прикладной математике, неравенства встречаются значительно чаще, чем равенства. Скажем, решение каких-то практически важных уравнений лишь по счастливой случайности удается найти точно - в виде числа или формулы, а для приближенного решения в математике всегда требуется указать оценку погрешности, т.е. доказать некоторое неравенство. В этом заключается одно из главных отличий между математическим и физическим уровнем строгости: физик готов ограничиться нахождением «порядка величины» там, где математик стремится строго доказать какие-то оценки, т.е. неравенства. [24].
Обратимся вновь к учебникам школьного курса математики Ю.Н.Макарычева и рассмотрим его определения неравенства и систем неравенств.
Мы можем сравнить любые два числа а и b и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя знаки =,<,>. Для произвольных чисел а и b выполняется одно и только одно из соотношений: a=b, ab. [10].
Определение. Два числовых выражения, соединённые знаком «больше», «меньше», образуют числовое неравенство. [3].
Из определения неравенств следует, что:
1)любое положительное число больше нуля;
2)любое отрицательное число меньше нуля;
3) любое положительное число больше отрицательного;
4) из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше. [6].
Существуют различные типы неравенств. Ниже представлена схема, которая наглядно показывает классификацию неравенств.

Рассмотрим свойства неравенств.
Т.1.
Если а >b, то ba.
Действительно, если разность а-b-положительное число, то разность b-a-отрицательное число, и наоборот.
Т.2.
Если abc.
Представим разность ac-bc в виде произведения:
ac-bc=c(a-b).
Так как a0,то произведение c(a-b) отрицательно, и, следовательно,acbc.
Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;
Ели обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и заменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
Следствие.
Если aи b–положительные числа иa( 1)/b. [10].

[28].
Далее необходимо рассмотреть сложение и умножение числовых неравенств.
-Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
-Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых- положительные числа, то получится верное неравенство.
Теоремы представлены схематично в памятках ниже.

[26,27].
Для успешного решения неравенств и их систем, необходимо разобрать понятия пересечения и объединения множеств и ввести понятие числовых промежутков.
Определение.
Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.
Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.
Пусть множества А и В существуют и не являются пустыми, тогда: для пересечения и объединения множеств А и В действует переместительный закон; для пересечения и объединения множеств А и В действует сочетательный закон; для пересечения и объединения множеств А и В действует распределительный закон; отрицание пересечения множеств А и В есть пересечение отрицаний множеств А и В; отрицание объединения множеств А и В есть объединение отрицаний множеств А и В. Ниже показаны круги Эйлера, примеры пересечения и объединения множеств А, В и С. [29].

Теперь подробнее остановимся на понятиях числовых промежутков.
Именно с помощью их чаще всего решаются неравенства и их системы. Числовые промежутки необходимо знать и для самого распространённого метода решения алгебраических систем неравенств, метода интервалов.
Среди числовых множеств, то есть множеств, объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки. Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому, с их помощью удобно записывать множество решений неравенства.[30].
На сайте http://www.cleverstudents.ru/inequations/numerical_intervals.html мною был взят материал по определению видов числовых промежутков, т.к. данный материал был основан именно на учебниках Ю.Н.Макарычева.
Виды числовых промежутков
Каждому числовому промежутку присущи четыре неразрывно связанные между собой вещи:
1) название числового промежутка,
2) отвечающее ему неравенство или двойное неравенство,
3) обозначение,
4) и его геометрический образ в виде изображения на координатной прямой.
Любой числовой промежуток может быть задан любым из трех последних по списку способов: либо неравенством, либо обозначением, либо его изображением на координатной прямой. Причем по данному способу задания, например, по неравенству, с легкостью восстанавливаются и другие (в нашем случае обозначение и геометрический образ).
Опишем все числовые промежутки с указанных выше четырех сторон.
Начнем с описания числового промежутка, получившего название открытый числовой луч. Заметим, что часто прилагательное «открытый» опускают, оставляя название открытый луч.
Этому числовому промежутку соответствуют простейшие неравенства с одной переменной вида xa, где a – некоторое действительное число. То есть, согласно смыслу записанных неравенств, открытый числовой луч составляют все действительные числа, которые меньше числа a (в случае неравенства xa).
Множество чисел, удовлетворяющих неравенству xa, как (a, +?).
Осталось рассказать про геометрическое изображение открытого луча, из него станет видно, что такое название рассматриваемый числовой промежуток получил не случайно. Обратимся к координатной прямой. Известно, что между ее точками и действительными числами имеет место взаимно однозначное соответствие, что позволяет координатную прямую называть числовой прямой. А при разговоре о сравнении чисел мы отметили, что большее число располагается на координатной прямой правее меньшего, а меньшее – левее большего. Исходя из этих соображений, неравенству xa – точки, лежащие правее точки a. Само число a не удовлетворяет этим неравенствам, чтобы подчеркнуть это на чертеже ее изображают точкой с пустым центром. Над точками, которым соответствуют числа, удовлетворяющие неравенству, изображают наклонную штриховку.
Переходим к числовым промежуткам следующего вида – числовым лучам. В геометрическом плане их отличие от открытых лучей заключается в том, что начало луча не отбрасывается. Другими словами, геометрический образ числовых промежутков этого вида есть полноценный луч.
Что касается задания числовых лучей с помощью неравенств, то им отвечают нестрогие неравенства x?a или x?a. Для них приняты обозначения (-?, a] и [a, +?) соответственно, квадратная скобка означают включение записанного рядом с ней числа в множество.
Переходим к следующему числовому промежутку – интервалу. Интервалы задаются двойными неравенствами вида a 1, например x = 2, то

Если например ,то

Если, например, то

Если x < 0, например x = -1, то

Итак, при .
Ответ:
2. Решить неравенство .
Решение:
Воспользуемся методом интервалов. Рассмотрим функцию f(x)=x2(2x+1)(x-3) и найдем множество значений х , при которых
1)D(f)=R
2) Найдем нули функции:x2(2x+1)(x-3)=0

3)
[33].
При решении систем неравенств используется данный метод отдельно для каждого неравенства и находится общее решение, которое будет удовле.......................

Для получения полной версии работы нажмите на кнопку "Узнать цену"

Узнать цену

Каталог работ

Похожие работы: