МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «БГПУ»
Факультет физико-математический
Кафедра физического и математического образования
КУРСОВАЯ РАБОТА
на тему: Некоторые эффективные способы решения неравенств
по дисциплине: математический анализ
Исполнитель:
студентка группы 3 «В» _________ _________ Н.А. Лебедева
дата подпись
Руководитель:
(к.п.н., доцент) _________ _________ О.Н. Пушкина
дата подпись
Благовещенск 2016
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………
1Эффективные методы рационализации при решении неравенств..
1.1 Метод рационализации при решении неравенств,
содержащих логарифмические функции……………………………
1.2 Метод рационализации при решении неравенств,
содержащих показательные функции………………………………
1.3 Метод рационализации при решении неравенств,
содержащих иррациональные выражения…………………………
1.4Эффективные методы решений неравенств,
содержащих модули…………………………………………………
2Эффективные методы решения неравенств с модулем…………
3Решение задач………………………………………………………
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………….
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………
ВВЕДЕНИЕ
1 ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ РАЦИОНАЛИЗАЦИИ
ПРИ РЕШЕНИИ НЕРАВЕНСТВ
Метод рационализации — это весьма мощная процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов). Предположим, что имеется монотонно возрастающая функция f(x). Пусть числа aиbпринадлежат области определения данной функции. Тогда справедливы следующие утверждения.
• Неравенствоf(a)>f(b) эквивалентно неравенствуa>b; иными словами, неравенство
f(a)-f(b)>0 эквивалентно неравенствуa-b>0.
• Аналогично, неравенствоf(a)-f(b)<0эквивалентно неравенству
a-b<0.
Сформулируем оба этих утверждения короче: еслиf(x) — монотонно возрастающая функция, то разностьf(a)-f(b) совпадает по знаку с разностью
a-b. Например, имеется неравенство:
(f(x)-f(a))/(g(x)-g(b) )>0, (1)
где f(x)иg(x)— монотонно возрастающие функции. Тогда разность
f(x)-f(a)можно заменить разностью x-a (того же знака), а разностьg(x)-g(b) можно заменить разностьюx-b (того же знака). Получим рациональное неравенство
(x-a)/(x-b)>0 (2)
решаемое методом интервалов. При этом неравенство (2) является следствием неравенства (1). Это означает, что неравенство (2) содержит все решения неравенства (1) и, возможно, некоторые другие решения. Чтобы отфильтровать лишние решения, нужно множество решений неравенства (2) пересечь с областью определения функцийf(x)иg(x).
1.1МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Теорема 1. Знак выражения F=log_a??f-log_a?g ?совпадает со знаком выражения (a-1)(f-g) в ОДЗ исходного выражения F.
Доказательство:
log_a?f-log_a?g>0, т.е. log_a?f>log_a?g,
причем a>0;a?1;f>0;g>0. (*)
Если 00, верное на области определения выраженияF=log_a??f-log_a?g.?
Если a>1, тоf>g. Следовательно, имеет место неравенство
(a-1)(f-g)>0.
Обратно, если выполняется неравенство (a-1)(f-g)>0
на области (*), то она на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств:{?(a-1<0@f-g<0)? и {?(a-1>0@f-g>0.)?
Из каждой системы следует неравенство
log_a?f>log_a?g, т.е. log_a?f-log_a??g>0?.
Аналогично, рассматриваются неравенства вида F<0,F?0,F?0.
Следствие 1. Знак выражения F=log_a?f-1совпадает со знаком выражения
(a-1)(f-a) в ОДЗ исходного выражения F.
Доказательство:log_a?f-1>0, т.е. log_a?f>1,
причем a>0;a?1;f>0. (**)
Если 00, верное на области определения выраженияF=log_a??f-1.?
Если a>1, тоf>1. Следовательно, имеет место неравенство
(a-1)(f-a)>0.
Обратно, если выполняется неравенство (a-1)(f-a)>0
на области (**), то она на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств: {?(a-1<0@f-a<0)? и {?(a-1>0@f-a>0.)?
Из каждой системы следует неравенство log_a?f>1, т.е. log_a?f-1>0.
Следствие 2. Знак выраженияF=log_a?fсовпадает со знаком выражения
(a-1)(f-a) в ОДЗ исходного выражения F.
Доказательство:log_a?f>0, причем a>0;a?1;f>0. (***)
Если 00, верное на области определения выраженияF=log_a??f.?
Если a>1, тоf>1. Следовательно, имеет место неравенство
(a-1)(f-1)>0.
Обратно, если выполняется неравенство (a-1)(f-1)>0
на области (**), то она на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств: {?(a-1<0@f-1<0)? и {?(a-1>0@f-1>0.)?
Из каждой системы следует неравенство log_a?f>0.
Теорема 2. Знак выраженияF=log_f??h-? log_g?hсовпадает со знаком выражения(f-1)(g-1)(h-1)(g-f) в ОДЗ исходного выражения F.
Доказательство:
Так как g?1, f?1, то log_f??h-log_g?h=log_g?h/log_g?f -log_g?h=(log_g?h)log_f??g ?-log?_g?h=log_g?h (log_f??g-1),? ? ?то, используя замены следствия 1-2 теоремы 1, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения(f-1)(g-1)(h-1)(g-f).
Выделим некоторые выражения и соответствующие рационализирующие выражения, позволяющие исключительно эффективно решать многие логарифмические неравенства, которые можно отнести к разряду повышенной сложности.
?1. log?_a??f>log_a?g<=>{?((f-g)(a-1)>0@f>0,g>0@a>0)??
2. log_a??f>b<=>{?((f-a^b )(a-1)>0@f>0@a>0)??
3. log_a??f+log_a??g>0 <=>{?((fg-1)(a-1)>0@f>0,g>0@a>0)?? ?
4. log_a??f+b>0 <=>{?((fa^b-1)(a-1)>0@f>0@a>0)??
5. log_a??f_1-log_a??g_1 ? ?/log_a??f_2-log_a??g_2 ? ? >0 <=>{?((f_1-g_1)/(f_2-g_2 )>0@f_i,g_i>0@a>0,a?1)?
Пример 1. Решить неравенство
?log?_(?log?_x 2x) (5x-2)?0
Решение:?log?_(?log?_x 2x) (5x-2)?0,
?log?_(?log?_x 2x) (5x-2)??log?_(?log?_x 2x) 1,
{?(?((?log?_x 2x-1)(5x-2-1)?0@?log?_x 2x>0@?log?_x 2x?1@5x-2>0@x>0@x?1)<=>)? {?((?log?_x 2x-?log?_x x)(5x-3)?0@x>0,4@(x-1)(2x-1)>0@x?1)<=>?
<=>{?(?((x-1)(2x-x)(5x-3)?0@x>0,4@x?1@[?(x<0,5@x>1)? )<=>)? {?([?(00,4@x?1@[?(x<0,5@x>1)? )<=>?
<=>0,41
Ответ:0,41
Пример 2. Решить неравенство
?log?_x (x-2)?log?_x (x+2)?0
Решение:?log?_x (x-2)?log?_x (x+2)?0
{?(x>0,@x-2>0,@x+2>0,@x?1,@(x-1)(x-2-1)(x+2-1)(x-1)?0,)?<=>
<=>{?(x>2@(x-1)^2 (x-3)(x+1)?0, )<=>?
<=>20,@x?1,@x^2-3>0)<=>? {?((x^2-4)(x-1)<0@x>?3)?,
{?((x-2)(x+2)(x-1)<0,@x>?3)?<=>?30следует h^f>h^g. Пусть число a>0, тогдаlog_a??h^f>log_a??h^g ? ? или (f-g) log_a?h>0.
Отсюда с учётом замены следствия 2 теоремы 1 и условия a>0 получаем(f-g)(a-1)(h-1)>0, (h-1)(f-g)>0.
Аналогично, доказываются неравенства F<0,F?0,F?0.
Следствие 1. Знак выражения F=h^f-1совпадает со знаком выражения
(a-1)(h-1)f в ОДЗ исходного выражения F.
Доказательство: Из неравенства h^f-1>0следует h^f>1.
Отсюда с учётом замены следствия 2 теоремы 1 и условия a>0 получаем(a-1)(h-1)f>0, (h-1)f>0.
Теорема 4. Знак выражения F=h^f-g^hсовпадает со знаком выражения
(f-g)(a-1)(h-1)в ОДЗ исходного выражения F.
Доказательство: 1 случай. Из неравенства f^h-g^h>0следует f^h>g^h. Пусть число a>1, тогдаh log_a??f>h log_a?g ?.
а) если h>0, то log_a??f>log_a?g ?или log_a??f-log_a??g>0? ?,тогда выполняется неравенство (a-1)(f-g)h>0, так как a>1, то (f-g)h>0.
б) если h<0, то log_a??f0.
2 случай. Из неравенства
f^h-g^h<0следует f^h0, то log_a??f>log_a?g ?или log_a??f-log_a??g>0? ? ,тогда выполняется неравенство (a-1)(f-g)h>0, так как a>1, то (f-g)h>0.
б) если h<0, то log_a??f0.
Выделим некоторые выражения и соответствующие рационализирующие выражения, позволяющие исключительно эффективно решать многие показательные неравенства, которые можно отнести к разряду повышенной сложности.
1. a^f>a^g<=>{?((f-g)(a-1)>0@a>0)?
2. {?(a^f>b@b>0)<=> (f-log_a??b)(a-1)>0? ?
3. (a^(f_1 )-a^(g_1 ))/(a^(f_2 )-a^(g_2 ) )>0 <=>{?((f_1-g_1)/(f_2-g_2 )>0@a>0,a?1)?
Пример 1. Решить неравенство
?(4x^2+2x+1)?^(x^2-x)>1
Решение:
(4x^2+2x+1)^(x^2-x)>1 ; (x^2-x)((4x^2+2x+1)-1)>0;
x^2 (x-1)(2x+1)>0; x ?(-?; -0,5)?(1; +?)
Ответ: (-?; -0,5)?(1; +?)
Пример 2. Решить неравенство
?(x^2+x+1)?^((x+5)/(x+2))??(x^2+x+1)?^3
Решение:
(x^2+x+1)^((x+5)/(x+2))?(x^2+x+1)^3 ; ((x+5)/(x+2)-3)((x^2+x+1)-1)?0;
((-2x-1)x(x+1)(x^2+x+2))/(x+2)?0; x?(-2;? -1]?[-0,5;0]
Ответ: (-2;? -1]?[-0,5;0]
Пример 3.Решить неравенство
?(2^x+3?2^(-x))?^(2?log?_2 x-?log?_2 (x+6))>1
Решение:
?(2^x+3?2^(-x))?^(2?log?_2 x-?log?_2 (x+6))>1;
{?((2^x+3 1/2^x )^(?log?_2 x^2/(x+6))>1 @x>0)?; {?((?log?_2 x^2/(x+6))(2^x+3/2^x -1)>0@x>0)?;
{?((x^2-(x+6))(2^2x-2^x+3)>0@x>0)?; {?(x^2-x-6>0@x>0);?
{?((x-3)(x+2)>0@x>0)? ; x>3
Ответ: x>3
1.3 МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
При решении неравенств, содержащих иррациональные выражения, используем следующее правило ?f-?g ?0 <=>f-g?0(на области определения)
(f(x)-f(a))/(g(x)-g(b) )>0,
где f(x)и g(x) — монотонно возрастающие функции. Тогда разность
f(x)-f(a) можно заменить разностью x-a (того же знака), а разность g(x)-g(b) можно заменить разностью x-b (того же знака). Получим рациональное неравенство
(x-a)/(x-b)>0
решаемое методом интервалов.
Пример 1.Решите неравенство
(?(x^2-1)-2?(1-x))/(?(x+7)-1)?0
Решение.
(?(x^2-1)-2?(1-x))/(?(x+7)-1)?0, (?(x^2-1)-?(4(1-x)))/(?(x+7)-1)?0
{?(((x^2-1)-4(1-x))/((x+7)-1)?0@x^2-1?0@1-x?0@x+7?0)?<=>{?((x^2+4x-5)/(x+6)?0@[?(x?1@x?-1)?@x?1@x?-7)<=>?
{?(((x+5)(x-1))/(x+6)?0@[?(-7?x?-1@x=1)? )?<=>-7?x<-6; -5?x?-1;x=1
Ответ: -7?x<-6; -5?x?-1;x=1
Пример 2.Решите неравенство
(?(x^4-2)-1)/(x+1)?x-1
Решение:
(?(x^4-2)-1)/(x+1)?x-1, (?(x^4-2)-x^2)/(x+1)?0
{?((x^4-2-x^4)/(x+1)?0@x?-1@[?(x<-?2@x>?2)? )?<=>{?(2/(x+1)?0@[?(x<-?2@x>?2)? )?<=>{?(x?-1@[?(x<-?2@x>?2)? )?<=>x??2
Ответ: x??2
Пример 3.Решите неравенство
(?(x+1)-?(1-x))/(3x^2+5x-2)<0
Решение:
(?(x+1)-?(1-x))/(3x^2+5x-2)<0,
{?(((x+1)-(1-x))/((x+2)(3x-1))<0@x?-1@x?1)?<=>{?(2x/((x+2)(3x-1))<0@x?-1@x?1)<=>?0|f|@-g>|f| )? ? [?({?(g>f@g>-f)?@{?(-g>f@-g>-f)? )? ? [?({?(g-f>0@g+f>0)?@{?(f+g<0@g-f<0)? )? ? (g-f)(g+f)>0
2 случай|g|-|f|>0
|g|>|f|
[?(f<|g|@-f<|g| )? ? [?({?(f0@f-g>0)? )??(f-g)(f+g)<0
Информация, позволяющая указать удобные замены, заключается в двух основных свойствах модуля:
|m|^2=m^2 и |m|?0, для всех m,а также в монотонном возрастании на множестве неотрицательных чисел функции y=t^2.
Приведем типы замен:
(|f|+|g|)<=>(f-g)(f+g)
(|f|+|g|)?(??( g?0 ) )(f-g)(f+g)
(|f|-?(|g| ) ?(??( g?0 ) )(f^2-g)
(|f|-?(|g| )<=>(f^2-g)(f^2+g)
(?(|f| )-?(|g| ))<=>(f-g)(f+g)
|f|-(ax^2+bx+c)<=>(f-ax^2-bx-c)(f+ax^2+bx+c), a>0, D?0
Неравенства вида |f|+|g|{?(3x<3@-x<5@-3x<-1@x<-3)??<=>{?(x<1@x>-5@x>1/3@x<-3)?
2 способ. Нули функции: -1/2, 3
1) {?(x?-1/2@-2x-1-x+3<1)? {?(x<-1/2@x>1/3)?
2) {?(-1/23@2x+1+x-3<1)? {?(x>3@x<1)?
Ответ:
Неравенства вида |f|+|g|>? равносильно совокупности неравенств
[?(f+g>?@-f+g>?@f-g>?@-f-g>?)?
Если расписывать неравенства на промежутках относительно нулей под модульных выражений, то вместо четырёх неравенств в совокупности остаётся 3.
Пример 2. Решить неравенство |x+3|+|2x-5|>10
1 способ. [?(x+3+2x-5>10@-x-3+2x-5>10@x+3-2x+5>10@-x-3-2x+5>10)? [?(3x>12@x>18@-x>2@-3x>8)? [?(x>4@x>18@x<-2@x<-8/3)?
2 способ. Нули функции: -3, 5/2
1) [?(x?-3@-x-3-2x+5>10)? [?(x?-3@x<-8/3)?
2) [?(-310)? [?(-35/2@x+3+2x-5>10)? [?(x>5/2@x>4)?
Ответ:
Пример 3.Решить неравенство
2|x+4|+4|x-2|+|x-8|-x-24?0
Решение 1.Исходное неравенство равносильно системе
{?(-2(x+4)-4(x-2)-(x-8)-x-24?0 (---)@2(x+4)-4(x-2)-(x-8)-x-24?0 (+--)@2(x+4)+4(x-2)-(x-8)-x-24?0 (++-)@2(x+4)+4(x-2)+(x-8)-x-24?0 (+++))?
Решая систему, получаем ответ 0?x?4.
Решение 2.Так как приx=-4 и x=8 исходное неравенство ложно, а приx=2истинно, то это неравенство равносильно системе
{?(2(x+4)-4(x-2)-(x-8)-x-24?0,@2(x+4)+4(x-2)-(x-8)-x-24?0.)?
Ответ:0?x?4
Таким образом пункты 1.1-1.4 можно представить в виде таблице
№
Выражение F
Выражение G
1
1a
1б
log_a??f-log_a?g ?
log_a??f-1?
log_a?f
(a-1)(f-g)
(a-1)(f-a)
(a-1)(f-1)
2
log_f??h-log_g?h ?
(g?1,f?1)
(f-1)(g-1)?(h-1)(g-f)
3
3a
h^f-h^g (h>0)
h^f-1
(h-1)(f-g)
(h-1)f
4
f^h-g^h
(f>0;g>0)
(f-g)h
5
|f|-|g|
(f-g)(f+g)
2ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С МОДУЛЕМ
Совокупности системы с четырьмя неравенствами целесообразно рассматривать в случае, когда под знаком модуля находятся выражения с параметрами.
Пример 1. При каких значениях параметра a неравенство
x^2- |x-a|-|x-1|+3?0выполняться при всех значениях x?
Решение. Неравенство равносильно системе
{?(x^2+(x-a)+(x-1)+3?0,@x^2+(x-a)-(x-1)+3?0,@x^2-(x-a)+(x-1)+3?0,@x^2-(x-a)-(x-1)+3?0)?<=>{?(? x?^2+2x-a+2?0@x^2-a+4?0@x^2+a+2?0@x^2-2x+a+4?0.)?
Выполнение для всех значений x исходного неравенства равносильно выполнению для всех значений x квадратных неравенств последней системы. А это равносильно тому, что дискриминанты всех четырёх квадратных трёхчленов в левых частях неравенств этой системы неположительны:
{?(D1?0@D2?0@D3?0@D4?0)?<=>{?(2^2-4(-a+2)?0@a-4?0@-a-2?0@2^2-4(a+4)?0)<=>? -2?a?1.
Ответ: -2?a?1.
Пример 2. Найти все значения параметра a, для которых наименьшее значение функции
y=x^2+|x-a|+|x-1|больше двух.
Решение. Сформулированная задача равносильна определению всех значений параметра a, при которых неравенство x^2+|x-a|+|x-1|>2 выполняется для всех значений x.
Неравенство равносильно совокупности
[?(x^2+|x-a|+|x-1|>2@x^2+|x-a|-|x-1|>2@x^2-|x-a|+|x-1|>2@x^2-|x-a|-|x-1|>2)<=>? [?(x^2+2x-a-3>0@x^2-a-1>0@x^2+a-3>0@x^2-2x+a-1>0)?
Неравенство должно выполняться для всех значений x. Это равносильно отрицательности хотя бы одного дискриминанта квадратных трёхчленов в левых частях неравенств последней совокупности:
[?(D1<0@D2<0@D3<0@D4<0)?<=>[?(1+a+3<0@a+1<0@-a+3<0@2-a<0)<=>? [?(a<-1@a>2.)?
Ответ: a?(-?;-1)?(2;+?)
Пример 3. Для любого значения параметра p решить неравенство
|2x+21p|-2|2x-21p|g. Поэтому, раскрывая первый модуль, перейдём к системе, а второй – к совокупности. Начинать можно с любого.
Первый вариант освобождения от модулей:
[?(|2x+21p|-2(2x-21p)
<=>[?({?((2x+21p)-2(2x-21p){?(x>28p,@x>6p)?
или {?(x<0@x<42p)?. Второй вариант освобождения от моделей:
{?((2x+21p)-2|2x-21p|?
<=>{?([?((2x+21p)-2(2x-21p)
<=>{?(x<0 или x>28p@x<42p или x>6p.)?
Дальнейшие действия зависят от знака параметра p, так как только от него зависит расположение точек x=0,x=6p,x=28p,x=42p.
Поэтому быстро устанавливаем, что
если p<0,то x?(-?;42p)?(6p;+?)
если p=0, то x?(-?;0)?(0;+?)
если p>0,то x?(-?;0)?(28p;+?)
Это и есть ответ задачи
3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Задача 1. Решить неравенство
log_2???(x-1)?^2-1(log_(2x^2+10x+15)??(x^2+2x))? ?/(log_(2^(?(x-1)?^(2-1) ) )??(x^2 ?+10x+26))?0
Решение: ?. Нахождение ОДЗ
Начинаем с ОДЗ. Помним, что для логарифма (log_a??b)? обязательно выполнение следующих условий:a>0,b>0,a?1. К тому же, у нас знаменатель не должен равняться нулю.
1) {?(2^(?(x-1)?^2-1)>0, (1)@2^(?(x-1)?^2-1)?1, (2) @2x^2+10x+15>0, (3)@2x^2+10x+15?1, (4)@x^2+2x>0, (5)@x^2+10x+26>0, (6)@x^2+10x+26?1; (7))?
неравенства (1), (3), (4), (6) верны при любых значениях x.
Имеем следующую систему неравенств:
{?(2^(?(x-1)?^2-1)?1@x^2+2x>0@x^2+10x+26?1)?, откуда {?(?(x-1)?^2?1@x(x+2)>0@x^2+10x+25?0)?, далее
{?(x-1?±1@x(x+2)>0@(?x+5)?^2?0)?, {?(x?0, x?2@x(x+2)>0@x+5?0)?, наконец {?(x?2@x(x+2)>0@x?-5)?
2) А также должно выполняться неравенство
(log_(2x^2+10x+15)??(x^2+2x))?>0, которое рассмотрим, применяя метод рационализации
log_h??f>0 ?(h-1)(f-1)>0?
log_(2x^2+10x+15)??(x^2+2x)>0? заменяем на
(?2x?^2+10x+15-1)(x^2+2x-1)>0 при условии
?2x?^2+10x+15>0 и ?2x?^2+10x+15?1 и x^2+2x>0.
То есть
{?(?(2x?^2+10x+14)(x^2+2x-1)>0@?2x?^2+10x+15>0@?2x?^2+10x+15?1@x^2+2x>0)?
{?((x-(-1+?2))(x-(-1-?2))>0@x(x+2)>0)?
Итак, учитывая пункты 1) и 2), получаем допустимые значения x для неравенства:
x?(-?;-5)?(-5;-1-?2)?(-1+?2;2)?(2;+?)
??. Теперь приступим к преобразованию самого неравенства. Согласно свойству логарифмов
log_с?a/log_c?b =log_b?a
из основного неравенства вытекает:
log_(x^2+10x+26)??(log_(2x^2+10x+15)??(x^2+2x))??0?
Применяем следующее правило рационализации:
log_h??f>0 ?(h-1)(f-1)>0?
?(x?^2+10x+26-1)(log_(2x^2+10x+15)??(x^2+2x)-1)?0?
И после этого ко второму множителю применяем вот такое правило рационализации: log_h??f>1 ?(h-1)(f-h)>0?
Получаем:
?(x?^2+10x+26-1)(2x^2+10x+15-1)(x^2+2x-2x^2-10x-15)?0
?(x?^2+10x+25)(?2x?^2+10x+14)(-x^2-8x-15)?0
Домножаем обе части неравенства на -1 и сокращаем обе части неравенства на?2x?^2+10x+14, так как при всех x этот квадратный трёхчлен принимает положительные значения:
?(x?^2+10x+25)(?(x?^2+8x+15)?0
Откуда (x+5)^2 (x+3)(x+5)?0 или (?x+5)?^3 (x+3)?0
Теперь это решение x?[-5;-3] следует подчинить ОДЗ. В результате получаем, что x?(-5;-3]
Ответ: (-5;-3]
Задача 2. Решить неравенство
(?(x^2+5x+6)-?(28-3x-x^2 ))/(x^2-x-6)<0
Решение:
Находим ОДЗ неравенства:
{?(x^2+5x+6?0@28-3x-x^2?0@x^2-x-6?0)?, {?((x+2)(x+3)?0@(x+7)(x-4)?0@(x-3)(x+2)?0)?
x?[-7;-3]?(-2;3)?(3;4]
Исходное неравенство будет иметь тоже решение, что и неравенство
(x^2+5x+6-28+3x+x^2)/(x^2-x-6)<0
на ОДЗ, согласно методу рационализации.
или
?(x?^2+5x+6-28+3x+x^2)(x^2-x-6)<0 (на ОДЗ)
2(x^2+4x-11)(x-3)(x+2)<0 (на ОДЗ)
2(x-(-2+?15))(x-(-2-?15))(x-3)(x+2)<0 (на ОДЗ)
И, наконец, с учётом ОДЗ:
Ответ: (-2-?15;-3]?(-2+?15;3)
Задача 3.Решить неравенство
log_(x/3)??(log_x???(3-x))?0? ?
Решение:
ОДЗ данного неравенства: {?(x/3>0@x/3?1@log_x???(3-x)>0?@x>0@x?1@?(3-x)>0)?
Производим преобразования. К третьей строке применяем метод замены множителей:
log_h??f>0 ?(h-1)(f-1)>0?
{?(x>0@x?3@(x-1)(?(3-x)-1)>0@x?1)?
И далее применяем рационализацию ко второй скобке в третьей строке:
?f>?g?f>g
{?(x>0@x?3@(x-1)(?(3-x)-1)>0@x?1)?, {?(x>0@x?3@(x-1)(2-x)>0@x?1)?
Возвращаемся к исходному неравенствуlog_(x/3)??(log_x???(3-x))?0? ?
Производим замену множителей:
log_h??f>0 ?(h-1)(f-1)>0?
(x/3-1)(log_X???(3-x)-x)?0?
И снова применяем метод замены множителей ко второму множителю:
log_h??f>1 ?(h-1)(f-h)>0?
(x/3-1)(x-1)(?(3-x)-x)?0
К третьей скобке вновь применяем рационализацию:
?f>?g?f>g
Заметим, вообще говоря, ?(x^2 )=|x|, но так как в нашем случае (ОДЗ) x>0, то ?(x^2 )=x, то есть ?(3-x)-x=?(3-x)-?(x^2 )
(x/3-1)(x-1)(3-x-x^2)?0
-(x/3-1)(x-1)(x-(-1+?13)/2)(x-(-1-?13)/2)?0
Учитываем ОДЗ:
Ответ: [(-1-?13)/2;2)
Задача 4.Решить неравенство
x(|x^2-1|-2|x-1|)<0
Решение:
Применяем следующий приём рационализации:
|f|<|g|?(f-g)(f+g)<0
x(x^2-1-2(x-1))(x^2-1+2(x-1))<0
x(x^2-2x+1)(x^2+2x-3)<0
x(?x-1)?^2 (x+3)(x-1)<0
x(?x-1)?^3 (x+3)<0
Ответ: (-?;-3)?(0;1)
Задача 5.Решить неравенство
(4^(x^2+3x-2)-?0,5?^(?2x?^2+2x-1))/(5^x-1)?0
Решение: Представим ?0,5?^(?2x?^2+2x-1) как ((?1/2)?^2 )^(x^2+x-0,5),
то есть ?0,5?^(?2x?^2+2x-1)=(1/4)^(x^2+x-0,5), тогда
(4^(x^2+3x-2)-4^(?-x?^2-x+0,5))/(5^x-1)?0
или ?(4?^(x^2+3x-2)-4^(?-x?^2-x+0,5))(5^x-1)?0, 5^x?1
Применяем следующий приём рационализации к каждой из скобок:
h^f(-?25-7)/4=(-5-7)/4=-3>-?;
(2?5-7)/4=(?20-?49)/4<0
Таким образом, из неравенства (9) следует неравенство
-?<(2x-7)/4<0 (10)
Далее получим аналогичную оценку для второго аргумента косинуса. Из (9) неравенства следует, что
(-?5-5)/4?(x-5)/4?(?5-5)/4
Во-первых,
(-?5-5)/4>(-3-5)/4=-2>-?
Во-вторых,
(?5-5)/4<0
Отсюда следует, что
-?<(x-5)/4<0 (11)
Исходя из анализа неравенств (10), (11) и монотонного возрастания косинуса на отрезке [-?;0] исходное неравенство (8) равносильно неравенству
(3-x-?(5-x^2 ))/((2x-7)/4-(x-5)/4)?0
Это значит, что
(3-x-?(5-x^2 ))/(x-2)?0
Заметим ещё, что в силу (9) имеем:
3-x+?(5-x^2 )?3-x?3-?5>0
Для упрощения данного неравенства можно использовать такой приём, как: «домножим на сопряжённое», то есть умножим числитель и знаменатель на 3-x+?(5-x^2 ). Получим цепочку равносильных преобразований:
((3-x-?(5-x^2 ))(3-x+?(5-x^2 ))/(x-2)(3-x+?(5-x^2 )) ?0 <=>
<=>((3-x)^2-(5-x^2 ))/(x-2)(3-x+?(5-x^2 )) ? <=>
<=>(2x^2-6x+4)/((x-2)(3-x+?(5-x^2 )))?0 <=>(x^2-3x+2)/(x-2)?0
(заключительный переход совершён на множестве (9) и обусловлен положительностью выражения 3-x+?(5-x^2 ) на этом множестве). Последнее неравенство приводится к виду
(x-1)(x-2)/(x-2)?0?
И легко решается методом интервалов:
1?x?2, x>2. (12)
Остаётся пересечь множество (12) с множеством (9).
Ответ: [1;2)?(2;?5]
Задача 7. Решить неравенство
log_(x^2 )??(x+2)<1? (13)
Решение: Перейдём к неравенству (13) к какому-нибудь постоянному основанию. Например к основанию 10:
(lg?(x+2))/lg??x^2 ? <1
Чтобы применить метод рационализации, нам в правой части необходим нуль. Переносим единицу влево:
lg?(x+2)/lg??x^2 ? -1<0
(lg?(x+2)-lg??x^2 ?)/lg??x^2 ? <0
В числителе получилась разность логарифмов – это как раз то, что нам нужно. Не хватает разности логарифмов в знаменателе. Это мы сейчас и сделаем:
lg??x^2 ?=lg??x^2 ?-0=lg??x^2 ?-lg?1
Таким образом, неравенство принимает вид:
lg??(x+2)-lg??x^2 ? ?/(lg??x^2 ?-lg?1 )<0 (14)
Мы совершили равносильные преобразования, так что неравенство (14) равносильно исходному неравенству (13).
Теперь мы замечаем, что в силу монотонного возрастания функции
y=lg?xчислитель совпадает по знаку с разностью (x+2)-x^2, а знаменатель совпадает по знаку с разностью x^2-1. Поэтому неравенство (14) равносильно системе:
{?((x+2-x^2)/(x^2-1)<0@x+2>0@x^2>0) (15)?
Преобразуем первое неравенство системы (15):
((x+1)(x-2))/((x+1)(x-1))>0
и решаем его методом интервалов:
x<-1, -12 (16)
Решение второго и третьего неравенства системы (15) – это множество
-20 (17)
Остаётся пересечь множества (16) и (17).
Ответ: (-2,-1)?(-1,0)?(0,1)?(2,+?)
Задача 8. Решить неравенство
log_((2x+2)/(5x-1))??(10x^2+x-2)?0 (18)?
Решение: Переходим к основанию 10:
lg?(10x^2+x-2)/lg??(2x+2)/(5x-1)? ?0
Вычитаем в числителе и знаменателе lg?1=0
(lg?(10x^2+x-2)-lg?1)/(lg??(2x+2)/(5x-1)?-lg?1 )?0 (19)
Неравенство (19) равносильно исходному неравенству (18). Вместе с тем ввиду монотонного возрастания функции y=lg?x неравенство (19) равносильно системе:
{?(((10x^2+x-2)-1)/((2x+2)/(5x-1)-1)?0@10x^2+x-2>0@(2x+2)/(5x-1)>0) (20)?
Преобразуем первое неравенство системы (20):
(10x^2+x-3)/((3-3x)/(5x-1))?0 <=>(10(x-1/2)(x+3/5))/((3(x-1))/(5x-1))?0
и решаем его методом интервалов:
x?-3/5, 1/51 (21)
Решения второго неравенства системы (20):
x<-1/2, x>2/5 (22)
Решения третьего неравенства системы (20):
x<-1, x>1/5 (23)
Остаётся пересечь множества (21), (22), (23).
Ответ: (-?,-1)?(2/5, 1/2]?(1,+?)
Задача 9. Решить неравенство
(?(1-3x)-1)/(?(2+x)-1)<1
Решение: Сначала выполним равносильные преобразования:
(?(1-3x)-1)/(?(2+x)-1)-1<0 <=>(?(1-3x)-?(2+x))/(?(2+x)-1)<0
Вследствие монотонного возрастающей функции y=?x полученное неравенство равносильно системе:
{?(((1-3x)-(2+x))/((2+x)-1)<0@1-3x?0@2+x?0)?или {?((4x+1)/(x+1)>0@x?1/3@x?-2)?
Эта система решается легко
Ответ: [-2,-1)?(-1/4, 1/3]
Задача 10. Решить неравенство
(?(x^2-1)-2?(1-x))/(?(x+7)-1)?0 ;
Решение:
(?(x^2-1)-?(4-4x))/(?(x+7)-?1)?0
{?(((x^2-1)-(4-4x))/((x+7)-1)?0@x^2-1?0, 1-x?0, x+7?0)?<=>{?(((x-1)(x+5))/(x+6)?0@x?[-7,-1]?(1))?<=>
<=>x?[-7,-6)?[-5,-1]?(1)
Ответ: x?[-7,-6)?[-5,-1]?(1)
Задача 11.Решить неравенство
?log?_(x+3) (1+x^2)/(1-x^2 )>0
Решение:
?log?_(x+3) (1+x^2)/(1-x^2 )>0
{?(((1+x^2)/(1-x^2 )-1)(x+3-1)>0,@x+3>0,@x+3?1,@(1+x^2)/(1-x^2 )>0,)<=>? {?(x>-3,@x?-2,@-10)<=>?
<=>{?(-10)<=>? {?(-1log_(x-2)??(2x^2+x-3)? ?
Решение: Воспользуемся теоремой 1. Получим следующую систему неравенств:
{?(x-2>0@x-2?1@x^2-1>0@2x^2+x-3>0@((x-2)-1)((x^2-1)-(2x^2+x-3))>0)?
Решая первые четыре неравенства, практически находим ОДЗ исходного неравенства:
{?(x>2@x?3@x<-1 или x>1@x<-3/2 или x>1)?
Откуда: x?(2, 3)?(3,+?).
Решим теперь пятое неравенство системы. После элементарных преобразований получим неравенство
(x-3)(-x^2-x+2)>0
Умножим второй сомножитель на -1 и поменяем знак неравенства:
(x-3)(x^2+x-2)<0
Нетрудно заметить, что корнями второго множителя в этом неравенстве являются числа 1 и -2. Поэтому, раскладывая второй множитель на одночлены первого порядка, получаем:
(x-3)(x-1)(x+2)<0
Это неравенство легко решить методом интервалов:
x?(-?,-2)?(1, 3).
С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.
Ответ: x?(2,3).
Задача 13. Решить неравенство
(1-2x/5)^(7+11x-6x^2 )?1
Решение:
1-2x/5>0,
при x<2,5. На множестве x<2,5
исходное неравенство равносильно
-2x/5 (7+11x-6x^2 )?0
x(2x+1)(3x-7)?0
Получим -0,5?x?0; 7/3?x?2,5.
Ответ: -0,5?x?0; 7/3?x?2,5
Задача 14. Решить неравенство
?(4^(x+1)+2^(x+1)-1)?^(x^2-x)?1
Решение: Область определения неравенства: 4^(x+1)+2^(x+1)-1>0
{?(t=2^(x+1)>0,@t^2+t-1>0,)?t>(?5-1)/2,x>-2+?log?_2 (?5-1)
Применим метод рационализации неравенства:
(4^(x+1)+2^(x+1)-2)(x^2-x)?0
(2^(x+1)-1)(2^(x+1)+2)x(x-1)?0, (2^(x+1)-1)x(x-1)?0
(x+1)x(x-1)?0, -1?x?0;x?1
Ответ: -1?x?0;x?1
Задача 15.Решить неравенство
(?(x+2)-|x-2|)/(?(8-x)-|x-2| )?1
Решение:
(?(x+2)-|x-2|)/(?(8-x)-|x-2| )?1, (?(x+2)-?(8-x))/(?(8-x)-?(?(x-2)?^2 ))?0,
{?((x+2-8+x)/(8-x-?(x-2)?^2 )?0,@x+2>0,@8-x>0,)<=>? {?((2x-6)/(-x^2+3x+4)?0,@-2?x?8,)?<=>
<=>{?((2x-6)/(x^2-3x-4)?0,@-2?x?8,)?<=>{?((2x-6)/(x-4)(x+1) ?0,@-2?x?8,)?<=> -2?x?-1;
<=>3?x<4
Ответ: -2?x?-1; 3?x<4
Задача 16. Решить неравенство
|x^3-3x-6|+(x^2-x+1)|3x-18|+|4x^2-24x|?8|x^2-2x|.
Решение. Так как
8x^2-16x=(x^3-3x-6)-(x^3-x+1)(x-6)+(x^2-6x),
то исходное неравенство равносильно системе
{?((x^2-x+1)(x-6)=0@x^2-6x=0.)?
Ответ: x=6
Задача 17.Решить неравенство
(|2x-1|-|x+1|)/(|2x+3|-|x-3| )?0
Решение:
(|2x-1|-|x+1|)/(|2x+3|-|x-3| )?0
(2x-1-x-1)(2x-1+x+1)/(2x+3-x+3)(2x+3+x-3) ?0,
(2x-2)3x/(x+6)3x?0,
-6
<=>(|u_1 |-u_1)+(|u_2 |-u_2)+(|u_3 |+u_3)?0.
Так как |m|±m?0 для любого m,
то исходное неравенство выполняется при любых значениях переменных x и p.
Ответ: p?(-?;+?)
Задача 20. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство
x^2-2|x+a|+|x-1|+3?0выполняется для всех x?R
Решение: Рассмотрим функцию f(x)=x^2-2|x+a|+|x-1|+3
Найдём все значения параметра a, при которых f(x)?0для всех x?R
Так как f(x)непрерывная функция (сумма непрерывных функций) и lim?(x?±?)??f(x)=+??, то функция f(x) принимает наименьшее.
Неравенство f(x)?0 выполняется для всех x?R, тогда и только тогда когда наименьшее значение функции неотрицательное. Наименьшее значение функция может принимать хотя бы в одой из критических точек. Критической точкой функции является точка, в которой производная функции равна нулю или не существует.
1) Найдём критические точки функции f(x).
Имеем
f(x)=[?(x^2+2x+2a-x+1+3, если x+a?0 и x-1?0,@x^2+2x+2a+x-1+3, если x+a?0 и x-1?0,@x^2-2x-2a-x+1+3, если x+a?0 и x-1?0,@x^2-2x-2a+x-1+3, если x+a?0 и x-1?0,)?<=>
<=>f(x)=[?(x^2+x+2a+4, если x+a?0 и x-1?0,@x^2+3x+2a+2, если x+a?0 и x-1?0,@x^2-3x-2a+4, если x+a?0 и x-1?0,@x^2-x-2a+2, если x+a?0 и x-1?0.)?
а) Найдём производную. Имеем
f^' (x)=[?(2x+1, если x+a?0 и x-1?0,@2x+3, если x+a?0 и x-1?0,@2x-3,если x+a?0 и x-1?0,@2x-1,если x+a?0 и x-1?0.)?
б) Из уравнения f^' (x)=0 находим критическую точку: x=-0,5 (точка
x=-1,5 не удовлетворяет условиюx-1?0; точка x=1,5 не удовлетворяет условию x-1?0; точка x=0,5 не удовлетворяет условию
x-1?0).
в) Критическими точками функции являются точки, в которых f’(x)не существует. Эти точки:
x=-a (находится из уравнения x+a=0), x=1 (находятся из уравнения x-1=0).
2). Найдём значения функции f(x)в критических точках. Имеем
f(-a)=a^2+|a-1|+3, f(1)=4-2|a+1|, f(-0,5)=19/4-2|a-0,5|
Замечание: Наименьшее из чисел a и bбудет не меньше k, тогда и только тогда, когда {?(a?k,@b?k.)?
Так как наименьшее значение функция f(x) может принимать хотя бы в одной из критических точек, то значения параметра a, при которых наименьшее значение функции
f(x)=x^2-2|x+a|+|x-a|+3
Не меньше нуля, найдём из системы
{?(f(-a)?0,@f(1)?0,@f(-0,5)?0;)?<=>{?(a^2+|a-1|+3?0,@4-2|a+1|?0,@19/4-2|a-0,5|?0;)<=>? {?(a^2+|a-1|+3?0,@-2?a+1?2,@-19?8a-4?19;)?<=>
<=>-15/8?a?1.
Из последнего двойного нераве....................... |
