Модели и методы решения обратной задачи кинематики для манипуляционного робота

                                   Оценка (баллы)_______________
                                         
                                         Оценка___________________________
                                         
                                         Руководитель _____________________
                                         
      
      Члены комиссии____________________
                                                                      ____________________
                                         
                                         
                                         Дата защиты_______________________





ОТЧЕТ
о курсовой работе 

по теме «Модели и методы решения обратной задачи кинематики для манипуляционного робота»
по дисциплине «Исследование операций»


Студент:________________________________     _____________________
                                     (ФИО)	 (Подпись)
Группа:_________________________________














Екатеринбург
2018






Задание
на курсовую работу
(проект по модулю)
     
Студент ____________________________________________________________________
группа ________
специальность/направление подготовки_________ Прикладная математика _________

1. Тема курсового проекта (курсовой работы, проекта по модулю) 
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________

      2. Содержание проекта (курсовой работы, проекта по модулю), в том числе состав графических работ и расчётов 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

      2. Дополнительные сведения _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

      4. План выполнения курсового проекта (курсовой работы, проекта по модулю) 
Наименование элементов проектной работы
Сроки
Примечания
Отметка о выполнении


















      
      Руководитель   ________________________/Фамилия И. О./
                                                                     (подпись









Оглавление

Введение	3
История развития робототехники	4
Развитие отечественной робототехники	17
Модели и методы решения обратной задачи кинематики	21
Аналитические методы	21
Численные методы	23
Метод FABRIK	26
Применение моделей и методов к решению практических задач	28
Результат работы программы	32
Листинг программы 1	34
Листинг программы 2	39
Заключение	41
Список литературы	42



























Введение

     Робототехника (от робот и техника; англ. robotics) — прикладная наука, занимающаяся разработкой автоматизированных технических систем.
     Робототехника опирается на такие дисциплины как электроника, механика, программирование. Выделяют строительную, промышленную, бытовую, авиационную и экстремальную (военную, космическую, подводную)  робототехнику.
     Создание манипуляционных механизмов различных структур — одно из направлений развития робототехники. В связи с этим задача синтеза геометрических, кинематических параметров механизмов кинематики и разработка методик их расчета приобретает актуальность.
     Одними из основных задач кинематического анализа и синтеза манипуляционных роботов являются прямая и обратная задачи кинематики. Решение прямой задачи основано на определении положения характерной точки  в пространстве исходя из заданных обобщенных координат механизма. Такое решение обычно единственное и его поиск не представляет больших аналитических или вычислительных трудностей, поскольку методы решения хорошо проработаны и успешно используются. На много интереснее обстоят дела с решением обратной задачи кинематики, где необходимо вычислить значения всех обобщенных координат при известной позиции характерной точки. С практической точки зрения такое решение представляет собой большую ценность, нежели решение прямой задачи.
     В данной курсовой работе будет решена обратная задача кинематики манипуляционного робота с N степенями свободы.
     Решение подобных задач играет огромную роль в компьютерной анимации, а также моделировании различных механизмов и прочих шарнирных объектов.
      
      
История развития робототехники 

     Корни робототехники уходят в глубокую древность. Уже тогда впервые возникли идеи и были предприняты первые попытки создания технических устройств, подобных человеку, подвижных культовых статуй, механических слуг и т. п. Статуи богов с подвижными частями тела (руки, голова) появились еще в Древнем Египте, Вавилоне, Китае.
     В средние века различного рода автоматы, основанные на использовании часовых механизмов, пользовались большой популярностью. Создавались различные  часы с движущимися фигурами людей, ангелов и т. п. К этому периоду относятся сведения о создании первых подвижных человекоподобных механических фигур — андроидов. Так, андроид алхимика Альберта Великого (1193— 1280) представлял собой куклу в рост человека, которая, когда стучали в дверь, открывала и закрывала ее, кланяясь при этом входящему.
     Работы по созданию андроидов достигли наибольшего развития в 18 в. одновременно с расцветом часового мастерства. Механиками-часовщиками были созданы андроиды-музыканты, рисовальщики, писцы. К ним относится, например, «флейтист» французского механика Жака Вокансона (1709 – 1789) — фигура в рост человека; с помощью подвижных пальцев «флейтист» исполнял заложенные в его программу 11 мелодий. 
Швейцарскими часовщиками Пьером-Жаком Дро (1721—1790) и его сыном Анри Дро (1752 – 1791) был создан целый ряд человекоподобных автоматов. От имени последнего было образовано позднее и само название «андроид». Эти андроиды представляли собой многопрограммные автоматы, у котороых оперативно сменялись программами. Программы задавались с помощью сменных кулачков, устанавливаемых на вращающемся барабане, и других подобных механических устройств. Привод осуществлялся от часового механизма (рис. 1.1 и 1.2).
Из отечественных устройств подобного типа назовем знаменитые часы «яичной» формы с театральным автоматом И. П. Кулибина (1735—1818). В 1820 г. в Петербурге был открыт «Храм очарований» А. И. Галулецкого, обслуживаемый механическими слугами. В 1866 г. И. Мезгин создал «астрономо-исторические» часы, которые показывали четыре сценки из истории г. Томска помимо времени. 
     Идеи создания «механических» людей затухали с ослаблением роли часового дел, но вновь возродились в 20в. Программируемые краскораспылительные машины, разработанные в 1930-1940 гг. в США - более прямые предшественниками современных манипуляторов. Например, машины Уилларда Л.В. Полларда и Гарольдом Роузландо, которые программировались путем записи сигнала от рычажного механизма, перемещаемого по заданной траектории. Возросший экономический потенциал и потребности в современных видах вооружения  ведущих промышленных стран дают мощный импульс развитию науки и научно-технических направлений в первой половине XX века, без которых возникновение и прогресс современной робототехники стали бы невозможными. Речь идет, прежде всего, о вычислительной технике и кибернетике.
     Американский инженер Венсли построил управляемый с помощью свистка на расстоянии автомат «Телевокс», который мог произносить с помощью звукозаписывающей аппаратуры несколько фраз, а не только выполнять ряд элементарных операций. Англичанин Гарри Мей в 1932 г. создал человекоподобный автомат «Альфа», который садился, вставал, двигал руками, говорил по командам, подаваемым голосом. В Австрии Августом Губером были построены несколько подобных автоматов под названием «Сабор». Они могли ходить, говорить, имели управление по радио и могли выполнять различные манипуляции. Подобные устройства, в основном, создавали в рекламных целях, хотя делались попытки использовать их и для различных практических целей.
     Современная робототехника возникла во второй половине XX столетия, когда появилась реальная потребность в универсальных манипуляционных машинах-автоматах, подобных «механическим людям», которых описал К. Чапеком, и одновременно были созданы необходимые для их создания научно-технические предпосылки и прежде всего вычислительная техника и кибернетика.
     Устройства для манипулирования на расстоянии объектами —  явились различного рода современными предшественниками роботов, контакт человека с которыми опасен или невозможен. Это манипуляторы с ручным и автоматизированным управлениями. Первые из них были пассивными, т.е. механизмами без приводов, которые служили для повторения движений руки человека на некотором расстоянии за счет его мускульной силы. После создавались манипуляторы с приводами и различными вариантами человеческого управления вплоть до биоэлектрического. 
     Первые такие манипуляторы были созданы в 1940—1950 гг. для атомных исследований, а затем для атомной промышленности. В глубоководной технике, металлургии и ряде других отраслей промышленности также применение подобные манипуляторы получили.
     Одним из первых в ANL манипуляторов для обслуживания атомных станций был разработан в 1948 году под руководством Р. Герца. Это был двухнаправленный копирующий манипулятор. Оператор, благодаря силовому очувствлению, который находился в специальном помещении за толстой перегородкой, имел возможность ощущать руками величину усилий, которые развивает захват манипулятора, а не только наблюдать на экране перемещение управляемого им копирующего манипулятора. Использование такой обратной связи позволило расширить функциональные возможности дистанционных управляемых манипуляторов и упростить процесс управления на расстоянии.
     В 1956 г. Девол вместе с Энгельбергером, который работал тогда в одной из аэрокосмических компаний, организовали первую в мире робототехническую компанию «Unimation» («Юнимейшн»), что означает «универсальная автоматизация» – сокращенное от «Universal Automation», в этой лаборатории и был создан первый в мире промышленный робот по патенту Девола, носивший название «программируемое устройство для передачи предметов» и ставший прототипом последующих разработок.
     В США в 1960—1961 гг. были созданы первые полностью автоматически действующие манипуляторы. В 1961 г. был разработан манипулятор, управляемый от ЭВМ и снабженный захватным устройством, очувствленным с помощью различного типа датчиков — контактных и фотоэлектрических. Этот манипулятор МН-1 получил название «рука Эрнста» по фамилии его создателя Г. Эрнста. По современному определению, это был прообраз очувствленного робота второго поколения с адаптивным управлением, что позволяло ему, например, находить и брать произвольно расположенные предметы.
     В начале 1960-х гг. первые американские промышленные роботы с торговыми марками «Unimate» (рис. 1) и «Versatran» (рис. 2), созданные соответственно фирмами «Unimation», «American Machine and Foundry» (AMF) и предназначенные для обслуживания технологических процессов – поступили на промышленный рынок. Они представляли собой уже достаточно совершенные системы с обратной связью и контролируемой траекторией движения, имели числовое программное управление и память, как у ЭВМ. Уже в первых роботах «Unimate» и «Versatran» был реализован принцип программирования обучением.
     

Рис. 1. Один их первых промышленных роботов «Unimate».
     

      Рис. 2. Один их первых промышленных роботов «Versatran».
     
     Применение роботов в автомобильной и металлургической промышленности оказалось экономически выгодным: затраты на приобретение роботов «Unimate» или «Versatran» окупались за 1,5 — 2,5 года.
     Первые коммерческие успехи применения промышленных роботов явились мощным импульсом для их дальнейшего совершенствования. В начале 1970-х гг. появляются роботы, управляемые компьютерами. Первый мини-компьютер, управляющий роботом, был выпущен в 1974 г. фирмой «Cincinnati Milacron», одной из ведущих фирм – изготовителей роботов в США. В конце 1971 г. американской фирмой «INTEL» был создан первый микропроцессор, а несколькими годами позже появляются роботы с микропроцессорным управлением, что обусловило существенное повышение их качества при одновременном снижении стоимости. 
     В последующие годы после создания и выхода на промышленный рынок первых роботов во всем мире началось стремительное развитие робототехники. В ряде капиталистических стран организуются ассоциации или общества, курирующие исследования и разработки в области создания и использования промышленных роботов, в частности, в 1972 г. образована Японская ассоциация промышленной робототехники (JIRA), в 1974 – Институт робототехники США (RIA) и ассоциация роботов Великобритании (BRA), в 1975 – Итальянское общество робототехники (SIRI), в 1978 – Французская (AFRI), в 1980 – Шведская (SWIRA), в 1981 – Австралийская (ARA), в 1982 – Датская (DRA) и Сингапурская (SRA) ассоциации роботов.
     Изменяется и сам принцип использования промышленных роботов – от единичного к комплексному. В ведущих робототехнических странах (Япония, США, ФРГ, СССР и др.) в конце 1960-х – начале 1970-х гг. разрабатываются и создаются гибкие производственные системы (ГПС), так называемые «безлюдные» производства, представляющие собой производства будущего. Научно-технические достижения робототехники позволили в 1960-1980-х гг. создать ряд сложных научных и специальных робототехнических комплексов для исследования космического пространства (станции типа «Луна», аппараты «Луноход» – СССР; станции типа «Маринер», «Сервейер», «Викинг» — США и др.), а также освоения подводных глубин (аппараты «TV», «Москито», «Долфин» – Япония; аппараты «KURV», «RCV» – США; «Манта», «ОСА» – СССР; «ROV», «RM» – Франция; «ARCS» – Канада и др.).
     Технический прогресс в развитии роботов был направлен, прежде всего, на совершенствование систем управления. Промышленные роботы первого поколения имели программное управление, в основном заимствованное у станков с числовым управлением. Второе поколение роботов – это очувствленные роботы, т. е. снабженные сенсорными системами, главными из которых являются системы технического зрения.
Первые промышленные роботы с развитым очувствлением, включая техническое зрение, и микропроцессорным управлением появились на рынке и начали получать практическое применение в 1980 – 1981 гг. прежде всего на сборке, дуговой сварке, контроле качества, для взятия неориентированных предметов, например, с конвейера. Это снабженные видеосистемами роботы «Пума», «Юнимейт», «Ауто-плейс», «Цинциннати милакрон», «Аид-800», сборочные робототехнические системы фирм «Хитачи», «Вестингауз» (система «Апас»), «Дженерал моторс» (система «Консайт»). Доля таких роботов в общем парке роботов неуклонно растет и приближается к 50% несмотря на то, что эти роботы в несколько раз дороже роботов с программным управлением и значительно сложнее в обслуживании. Однако это окупается неизмеримо большими функциональными возможностями, а, следовательно, и областями применения.
     Третье поколение роботов – это интеллектуальные роботы, т.е. с интеллектуальным управлением. Интеллектуальный робот – это робот конкретного назначения, в основных функциональных системах которого используются методы искусственного интеллекта. Возникновение интеллекта у роботов связано с развитием ЭВМ. 
В 1967 г. в США (Стэнфордский университет) был создан лабораторный макет робота, снабженного техническим зрением и предназначенного для исследования и отработки системы «глаз – рука», способной распознавать объекты внешней среды и оперировать ими в соответствии с заданием.
В 1968 г. в СССР (Институтом океанологии Академии наук СССР совместно с Ленинградским политехническим институтом и другими вузами) был создан телеуправляемый от ЭВМ подводный робот «Манта» с очувствленным захватным устройством, а в 1971 г. — следующий его вариант с техническим зрением и системой целеуказания по телевизионному экрану (рис. 3)


Рис. 3. Один из первых отечественных подводных роботов «Манта» с техническим зрением и манипулятором, управляемым от ЭВМ.

     В 1969 г. в США (Станфордский научно-исследовательский институт) в рамках работ по искусственному интеллекту был разработан экспериментальный макет подвижного робота «Шейки» с развитой системой сенсорного обеспечения, включая техническое зрение, обладавшего элементами искусственного интеллекта, что позволило ему целенаправленно передвигаться в заранее неизвестной обстановке, самостоятельно принимая необходимые для этого решения (рис. 4).

Рис. 4. Лабораторный интегральный подвижный робот СРИ («Шейки») Станфордского научно- исследовательского института (США): 
1 – привод колеса 9; 2 – ролик; 3 – датчик контакта; 4 – устройство управления телевизионной камерой; 5 – бортовое устройство управления роботом, связанное со стационарной ЭВМ; 6 – неподвижный оптический дальномер; 7 – антенна системы радиосвязи; 8 – подвижная телевизионная камера; 9 – одно из двух мотор-колес.
     В 1971 г. в Японии также были разработаны экспериментальные образцы роботов с техническим зрением и элементами искусственного интеллекта: робот «Хивип», способный самостоятельно осуществлять механическую сборку простых объектов по предъявленному чертежу (рис.5), и робот ЭТЛ-1 (рис. 6).

Рис. 5. Экспе- риментальный робот «Хивип» для механической сборки простых объектов по чертежу Центральной научно-исследовательской лаборатории фирмы «Хитачи» (Япония).


Рис. 6. Экспериментальный Электромеханический робот ЭТЛ-1 электротехнической лаборатории ЭТЛ (Япония).

     В этот период и в ряде других стран создают подобные экспериментальные установки, так называемые интегральные роботы, включающие манипуляторы, управляющие ЭВМ, различные средства очувствления и общения с человеком- оператором, которые предназначены для проведения исследований в области создания роботов следующих поколений, а также искусственного интеллекта. Одновременно развернулись работы в новой специфической области робототехники — шагающие машины как принципиально новое транспортное средство повышенной проходимости, образцом для которого являются ноги животных и человека. Были созданы экспериментальные образцы четырех- и шестиногих транспортных машин, протезов ног человека, так называемых экзоскелетонов, для парализованных и тяжелобольных (рис. 7) .
     

Рис. 7. Экзоскелетон.

     Как уже упоминалось во введении, одним из основных направлений применения роботов, которое в значительной мере определяет темпы и проблематику развития современной робототехники в целом, являются гибкие автоматизированные производства прежде всего в машиностроении. Роботы, как универсальное гибкое средство для выполнения манипуляционных действий – важный компонент таких производств.
     История гибкой автоматизации началась в 1955 г. с появлением станков с ЧПУ. Именно такого типа автоматическое технологическое оборудование с быстросменяемыми программами работы является основой для создания гибких, т.е. быстро перестраиваемых на выпуск новой продукции, производств. Однако для реализации идеи гибкой автоматизации, был необходим еще ряд условий. Этим и объясняется, что первые станки с ЧПУ распространялись очень медленно. За десять лет их доля в общем парке станков в технически передовых странах не достигла и 0,1 %. Ситуация резко изменилась в 70-ые годы с появлением следующего важнейшего компонента гибкой автоматизации – микропроцессорных систем управления, что обеспечило резкое снижение стоимости систем ЧПУ и повышение их надежности.
     Роботы как другой обязательный компонент гибкой автоматизации появились в промышленности, как уже было указано, несколько раньше. В результате появились все необходимые компоненты для развития гибких автоматизированных производств, а именно: технологическое оборудование с программным управлением, микропроцессоры как универсальное гибкое средство для обработки информации и роботы как универсальное гибкое средство для манипуляционных действий, требующихся при выполнении основных технологических операций (сборки, сварки, окраски и т.п.) и различных вспомогательных операций по обслуживанию другого оборудования.
     Одновременно роботы начинают все более широко проникать и в другие отрасли хозяйства, включая горное дело, металлургию, строительство, транспорт, легкую и пищевую промышленность, сельское хозяйство, медицину, сферу обслуживания, освоение океана и космоса, военное дело. В последние годы все ускоряющимися темпами растет доля парка роботов, занятых вне промышленности и, в частности, в быту. Почти во всех технически развитых странах созданы национальные ассоциации по робототехнике. В ряде стран имеются финансируемые государством национальные программы по этой проблеме. Развиваются такие программы на международном уровне.
     
     
     Развитие отечественной робототехники

     Первые серьезные результаты по созданию и практическому применению Рис.1.11. Экзоскелетон. роботов в СССР относятся к 60-м годам. В 1966 г. в институте ЭНИКмаш (г. Воронеж) был разработан автоматический манипулятор с простым цикловым управлением для переноса и укладывания металлических листов. Первые промышленные образцы современных промышленных роботов с позиционным управлением были созданы в 1971 г. (УМ-1, «Универсал-50», УПК-1). В 1968 г., как уже упоминалось, был создан первый управляемый от ЭВМ подводный автоматический манипулятор. В 1971г. в Ленинградском политехническом институте был создан экспериментальный образец интегрального робота, снабженного развитой системой очувствления, включая техническое зрение и речевое управление (рис. 8). В том же году в Ленинграде состоялся первый Всесоюзный семинар по роботам, управляемым от ЭВМ.

Рис. 8. Экспериментальный интегральный робот ЛПИ-2: 
1, 2 – электромеханические манипуляторы со съемными очувствленными схватами; 3 – телевизионная камера; 4 – задающая рукоятка для ручного управления; 5 – речевое командное устройство; 6 – очувствленный стол с фотодиодными линейками; 7 – ультразвуковой локатор.
     Начиная с 1972 г. работы в области робототехники приняли плановый характер в масштабе страны. В 1972 г. Постановлением Госкомитета СССР по науке и технике была сформулирована проблема создания и применения роботов в машиностроении как государственно важная задача и определены основные направления ее решения. В следующем году была утверждена первая программа работ по этой проблеме, которая охватила основные отрасли промышленности и ведомства, включая Академию наук и высшую школу. В соответствии с этой программой к 1975 г., были созданы первые 30 серийно пригодных промышленных роботов, в том числе универсальных (для обслуживания станков, прессов, для нанесения покрытий и точечной сварки) на пневмо-, гидро- и электроприводах, стационарных и подвижных. В следующей пятилетке эта работа была продолжена на основе новой пятилетней программы. Было создано более 100 марок промышленных роботов и организовано серийное производство 40 марок. Одновременно были начаты работы по унификации и стандартизации промышленных роботов по соответствующей программе Госстандарта СССР. 
     Фундаментальные и поисковые работы в области робототехники были развернуты на основе программ Академии наук и высшей школы, которые были увязаны с комплексной программой Госкомитета СССР по науке и технике. 
     К концу 1980 г. парк промышленных роботов в стране превысил 6000 шт., что находилось, например, на уровне парка роботов США, и составляло более 20% парка роботов в мире, а к 1985 г. превысил 40 тыс.шт., в несколько раз превзойдя парк роботов США и достигнув 40 % мирового парка. 
     Первые промышленные роботы второго поколения со средствами очувствления появились в отечественной промышленности на сборочных операциях в приборостроении с 1980 г. Первый промышленный робот с техническим зрением МП-8 был создан в 1982 г. 
     В 1975 г. впервые был начат выпуск инженеров по робототехнике в Ленинградском политехническом институте в рамках существующих специальностей. В 1981 г. была введена новая специальность инженера-электромеханика «Робототехнические системы» и организована их подготовка в ряде ведущих вузов страны. 
     К сожалению, с распадом СССР вся эта плановая работа по развитию отечественной робототехники на государственном уровне прекратилась. Практически прекратилось серийное производство роботов. Их парк сократился более чем на порядок вместе с сокращением производства в стране в целом. В результате к 1995 г. разработки и применение роботов в России сузилось до задач обеспечения работ в экстремальных ситуациях (стихийные бедствия, аварии, борьба с террористами и т.п.), когда без роботов задача не может быть решена. Правда, в этой сфере отечественная робототехника не только не потеряла ранее достигнутого научно-технического уровня, но и продолжает развиваться, в том числе путем участия в различных международных проектах и программах. На рубеже 2000 года начали возрождаться отраслевые и ведомственные научно- технические программы по робототехнике и межотраслевые по линии Миннауки по отдельным особо государственно важным ее аспектам. Все это позволяет надеяться на будущее возрождение отечественной робототехники в полном объеме по мере восстановления нашей экономики и народного хозяйства.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
Модели и методы решения обратной задачи кинематики

     Существуют различные методы решения обратной задачи кинематики, к числу которых относятся методы обратных преобразований, винтовой алгебры, двойственных матриц, двойственных кватернионов, итераций и геометрический подход, но, в целом, все методы решения обратной задачи кинематики можно разделить на аналитические и численные.
     
     
     Аналитические методы

     К достоинствам аналитического метода решения обратной задачи кинематики относят получение произвольной точности решения. Однако, нахождение точного решения в виде аналитических зависимостей для обобщенных координат от конструктивных параметров и заданного вектора положения манипулятора представляется возможным не для всех манипуляторов. Аналитическое решение, таким образом, существует только для роботов с определенной конструкцией. 
     Нахождение обобщенных координат в явном виде является сложной задачей, т.к. уравнения  нелинейные. Для упрощения задачи существует ряд методов, предназначенных для более простого получения аналитических выражений. Методом обратных преобразований можно решать обратную задачу кинематики простых манипуляторов. Суть метода заключается в определении углов поворотов звеньев из уравнений для отдельных элементов имеющегося матричного уравнения. Например, для углов Эйлера (задающих ориентацию схвата)  получим систему уравнений:
      
      
Откуда можно определить:

     Функция arccos считается неустойчивой вследствие того, что точность вычисления зависит от этого значения, кроме того, в точках, где  принимает близкие к нулю значения, т. е.  или , значения в (6) либо не определены, либо дают низкую точность вычислений. Обобщенные координаты чаще выражаются через функцию arctg с учетом принадлежности аргумент соответствующему квадранту.
     Элементы матрицы в левой части матричного уравнения заданы, а элементы матрицы, стоящие в правой части этого уравнения, неизвестны и зависят от . В методе предлагается последовательно умножать слева обе части уравнения на матрицы обратных преобразований и определять искомые углы из полученных таким образом матричных уравнений. Смысл таких преобразований состоит в переносе сначала одной из неизвестных величин из правой в левую часть уравнения, ее нахождении и переносе в левую часть следующей неизвестной и повторении данной процедуры до нахождения всех переменных.
     Хотя метод обратных преобразований дает общий подход к решению, из него не следует, каким образом можно выбрать из нескольких решений одно, соответствующее данному манипулятору.
     Для нахождения решения обратной задачи кинематики по заданной матрице манипулятора используется геометрический подход, дающий также способ выбора единственного решения для конкретной конфигурации манипулятора. 
     Как уже отмечалось, к недостаткам аналитического решения относятся сложность получения обобщенных координат в явном виде и неопределенность, связанная с кинематической неоднозначностью и используемыми тригонометрическими функциями. Однако, основным недостатком является то, что для произвольных конструкций манипуляторов невозможно получить решение. Вернее, манипуляторы уже проектируются с учетом того, что описание кинематики будет возможно с помощью аналитических выражений.
     В случае, если решение обратной задачи в виде аналитических выражений невозможно, используются численные методы.
     
     
     Численные методы

     Общая постановка задачи, например, для трехзвенного манипуляционного робота с тремя вращательными плечами формулируется следующим образом. Известны положения схвата в пространстве: начальное Pн, действительное Pд (определенное на i-м шаге корректировки) и конечное (желаемое) Pж положения, задаваемые декартовыми координатами. Необходимо определить такие значения обобщенных координат qi, , которые обеспечивали бы положение центра схвата в точке Pж (желаемое положение).
     Поставленная таким образом задача является задачей минимизации функции трех переменных, и целевая функция будет иметь вид:

где  - радиус–векторы действительного и желаемого положения центра схвата.
     В случае многозвенного манипулятора, когда число степей свободы больше трех, необходимо знать еще и ориентацию манипулятора в пространстве. Таким образом, для определения ориентации манипулятора с числом степеней свободы n<3, помимо координат центра схвата, необходимо знать дополнительные параметры, например, положение начала системы координат в базовой системе координат On. Обозначив желаемое положение точки On как Onж, получим выражение для целевой функции, учитывающей как положение схвата, так и ориентацию манипулятора:

где  - радиус–векторы действительного и желаемого положения центра схвата, действительного и желаемого положения начала системы координат схвата, то есть точки On.
     Таким образом, необходимо минимизировать функцию , задавшись точностью, и определить минимум функции.
     Целевая функция представляет собой нелинейную функцию многих переменных, содержащую тригонометрические зависимости, которая представляет собой сложную гиперповерхность с наличием впадин и седловых точек. Такую поверхность невозможно представить геометрически. Сложность, таким образом, возникает при определении глобального минимума функции среди множества локальных.
     В целом все практически используемые методы являются методами локального поиска. Надежные и одновременно экономичные методы поиска глобального минимума в настоящее время неизвестны.
     Существующие методы оптимизации классифицируются в зависимости от: 
1) типа искомого экстремума (минимума) - методы локальной и глобальной оптимизации; 
2) порядка используемых производных целевой функции по управляемым параметрам – методы нулевого, первого и второго порядка; 
3) количества управляемых параметров целевой функции – методы одномерного и многомерного поиска.
     Среди методов многомерного поиска нулевого порядка выделяют методы деформируемого многогранника (Нелдера и Мида), покоординатного спуска, метод Розенблата, метод случайного поиска. К методам первого порядка относятрградиентные методы: метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов, метод переменной метрики. Метод Ньютона является методом второго порядка.
     Практически все методы оптимизации стремятся построить такую последовательность значений , и т.д., при которой  В этом случае метод обеспечивает сходимость, и можно надеяться, что минимум функции будет найден.
     Важной характеристикой методов является их скорость сходимости. Однако оценка сходимости того или иного метода обычно базируется на некоторых теоретических предпосылках, связанных с особенностями целевой функции (например, функция дважды непрерывно дифференцируема или сильно выпукла), а также зависит от выбора начальной точки поиска. Теоретические предпосылки относительно реальных целевых функций могут не удовлетворяться, поэтому скорость сходимости в этих случаях можно рассматривать как сравнительную оценку метода.
     Численные методы позволяют построить последовательность шагов от начальной точки  через некоторые промежуточные точки  к локальному экстремуму (минимуму) . Как отмечалось выше, выбор исходной точки поиска  во многом определяет успех решения всей задачи. Очевидно, что  должна принадлежать области определения целевой функции и, чем ближе к экстремуму выбрана , тем быстрее и с большой вероятностью экстремум будет найден. Сущность метода оптимизации определяется этапами 2 и 3 алгоритма, на которых выбирается направление дальнейшего поиска и вычисляются координаты очередной точки  на траектории поиска. Далее в точке  вычисляются значения целевой функции , т.е. определяется информация, позволяющая судить о достигнутом успехе. В зависимости от выполнения назначенных условий прекращения поиска поиск будет продолжен или прекратится.
     Численный метод позволяет решить обратную задачу кинематики для тех конструкций манипуляторов, для которых получение точного решения в аналитических выражениях не представляется возможным либо достаточно затруднительно. Это является основным достоинством при использовании численного метода применительно к поставленной задаче. Кроме того, численные методы решения обратной задачи позволяют достичь требуемой точности решения. Однако время сходимости того или иного метода заранее неизвестно и во многом зависит от начального приближения. В результате, чувствительность к количеству переменных целевой функции, виду гиперповерхности, а также различная скорость сходимости и потери на поиск требуют значительных вычислительных мощностей, и это затрудняет их использование в реальном времени.
     
     Метод FABRIK
     Наиболее удобным способом решения обратных задач на сегодняшний день стал новый приближенный итерационный алгоритм, получивший название FABRIK (Forward And Backward Reaching Inverse Kinematics). Данный метод был основан на так называемой технике "Follow-the-Leader (FTL)", изначально предназначенной для моделирования физики и движения веревки. Не смотря на свое исходного назначения предложенный метод может быть с легкостью применен к последовательности звеньев соединенных между собой шарнирами, а значит и к кинематическим цепям манипуляционных механизмов. Впоследствии данная методика легла в осн.......................