Методика обучения доказательству теорем

2

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Набережночелнинский государственный педагогический университет

(ФГБОУ ВО «НГПУ»)

Факультет математики и информатики

Кафедра математики и методики преподавания



КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема работы: Методика  обучения  доказательству теорем 

в курсе планиметрии основной школы



____________________________________________________________

Номер (шифр) и название специальности/направления подготовки







Руководитель 

к.п.д., доцент 

Уч. степень, звание 





____________________ 

(подпись, дата)





Галямова Э.Х.

Фамилия, И.О.

Обучающийся 



____________________

(подпись, дата)

Трофимов В. В.

Фамилия, И.О.

Номер группы 421







Набережные Челны, 2017

Содержание.

 

Введение………………………………………………………………………3

Глава 1. Теоретические основы методики обучения доказательству теорем планиметрии………………………………………………………………….5

1.1. Понятие теоремы. Строение  математических теорем………………..5

1.2. Методы доказательства  математических теорем……………………11

Глава 2. Методика обучения доказательству теорем…………………….17

	Этапы работы с теоремами. Приемы мотивации изучения и доказательства теорем…………………………………… …………………..17

		Методика организации работы с теоремами при изучении курса планиметрии…….........................................................................................25

Заключение ………………………………………….…………….…………32

Список использованной литературы……………………………………….34 











 



Введение

  Основными компонентами содержания математики являются понятия, задачи и теоремы. Арифметические задачи и геометрические формулы можно  встретить уже в египетских папирусах, написанных в третьем тысячелетии до нашей эры. Но в этих старинных текстах не было самого главного — доказательств. 

Вопросы методики преподавания математики всегда интересовали русских ученых – математиков и педагогов. Вопросами доказательства теорем занимались Е. Ф. Данилова, В. А. Далингер, Лященко, И. С. Градштейн и мн. другие.

В разработке методики преподавания математики участвует широкий круг ученых, методистов, учителей, которые печатают свои работы и делятся опытом на страницах журнала «Математика в школе», создают блоги в интернете и многое другое.

Обучение доказательству теорем нуждается в детальном рассмотрении. Известно [2], что учащиеся формально заучивают теорему и ее доказательство, не понимая его логического смысла. Дополнительным вопросом учитель может выявить такое непонимание ученика, который как будто бы правильно доказал теорему. Формальное заучивание доказательства проявляется в затруднениях, которые испытывают школьники, если немного изменить, иначе расположить чертеж. 

Формальное заучивание знаний [5,c. 160], зубрежка, подкрепляемая бесконечным повторением, калечат мышление ученика. Как верно замечает Э. В. Ильенков, такое повторение «следовало бы назвать не матерью, а мачехой учения». Математического знания не существует, если учащийся просто запоминает  материал, ибо работу мысли нельзя заменить работой памяти. 

Чтобы учитель нас правильно понял, мы хотим подчеркнуть, что в обучении математике заучивание определений и формулировок теорем играет большую роль. А. Я. Хинчин указывал на то, что «заучивание определений является актом высокой логической культуры, а не схоластической  зубрежкой». Но такому заучиванию должна предшествовать работа, которая бы помогла школьнику осознать каждый элемент  формулировки. Ученик иногда запоминает сочетания слов, которые  от него часто требуют при обоснованиях, но при проверке можно обнаружить, что он говорит эти слова механически. Иногда, ученик, доказавший теорему, не может указать на чертеже те элементы, о которых он говорил при доказательстве [2, с. 516].

Цель курсовой работы: раскрыть методические особенности обучения учащихся доказательству теорем при изучении планиметрии.

Объект исследования: процесс обучения планиметрии.

Предмет исследования: методика обучения доказательству теорем.

Задачи курсовой работы:

1. Раскрыть сущность понятия «теорема». 

2. Выявить основные методы доказательства теорем.

3. Раскрыть особенности различных приемов работы с теоремами.

4. Разработать  методику работы с некоторыми теоремами из курса планиметрии.

Методы исследования: 

Анализ учебной и учебно-методической литературы.

Обобщение передового опыта обучения математики. 

Глава 1. Теоретические основы методики обучения учащихся доказательству теорем

1.1. Понятие  теоремы. Строение математических  теорем

Основными видами математических суждений являются аксиомы и теоремы. Суждение – форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов, связях между предметом и его свойствами или об отношениях между предметами.

Аксиома – это суждение, принимаемое без доказательства в данной теории. Теорема – это суждение, истинность которого устанавливается посредством доказательства. Слово «теорема» происходит от греческого слова the?r?ma – представление, зрелище (так как в древности теоремы часто доказывались публично, на площадях, и они носили характер спора, диспута).

Аристотель выделил  четыре вида суждений, которые были названы категорические суждения (табл.1). Многие математические теоремы имеют вид этих суждений.

Таблица 1

Категорические  суждения

Название

суждения

Обозначение

Запись  суждения на языке формальной логики

Запись  суждения на языке логики предикатов

Общеутверди-тельное

A

Все S суть P

Каков бы ни был объект x, если он обладает свойством S , то обладает также свойством P

Частноутвер-дительное

I

Некоторые S суть P

Существует  такой объект x, обладающий свойством S, который также обладает и свойством P.

Общеотрица-тельное

E

Никакое S не суть P (Все S суть не P)

Каков бы ни был объект x, если он обладает свойством S , то он не обладает свойством P

Частноотри-цательное

O

Некоторые S не суть P

Существует такой объект x, который обладает свойством S и не обладает  свойством P.



 

Приведем примеры  категорических суждений. Общеутвердительными  являются следующие суждения: «Все прямоугольники являются параллелограммами», «Все поля есть кольца». К частноутвердительным суждениям относятся: «Некоторые функции – периодические», «Некоторые простые числа четны». Общеотрицательные суждения: «Никакой эллипс не есть алгебраическая линия первого порядка», «Никакой треугольник не является окружностью». Частноотрицательные суждения: «Некоторые функции – непериодические», «Некоторые треугольники – неравнобедренные».

Наиболее часто  в математике встречаются теоремы, имеющие вид общеутвердительного суждения. В математике вместо термина «суждение» часто используется термин «утверждение».  Рассмотрим строение таких теорем.

Теорема вида (1) состоит из трех частей:

Разъяснительная часть , в которой описывается множество M объектов, о которых идёт речь в теореме.

Условие теоремы – предикат , заданный на множестве M.

Заключение теоремы – предикат , заданный на том же множестве M.

Предикат  называют необходимым условием для предиката , а предикат   – достаточным условием для .

Пример: «Пусть дана функция, заданная на отрезке [а, b] (разъяснительная часть). Тогда, если она непрерывна на этом отрезке (условие теоремы), то она принимает на нем свое наибольшее и наименьшее значение (заключение теоремы)».

При записи теорем разъяснительная часть часто  опускается. В математике для словесной  формулировки теоремы используются две основные формы записи суждений:

1. Категорическая.

Примеры: «Вертикальные углы равны», «Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме».

2. Условная(импликативная).

Пример: «Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный», «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны».

Теорему вида называют прямой теоремой. С ней связаны теоремы другого вида.  Рассмотрим их. Если в теореме вида (1) поменять местами условие и заключение, то получим утверждение (2), которое называется обратным утверждением. Если оно является истинным, то его называют обратной теоремой.

Пример:

Дана теорема: «Сумма смежных  углов равна 180?». Теорема сформулирована в категоричной форме. Сформулируем теорему в условной форме: «Если углы смежные, то их сумма равна 180?». Получили прямую теорему. Сформулируем обратное утверждение: «Если сумма углов равна 180?, то углы – смежные». Данное утверждение является ложным, поэтому его нельзя считать теоремой.

Пример. Рассмотрим свойство прямоугольника: «Диагонали прямоугольника равны». Данное утверждение представлено в категорической форме. Сформулируем утверждение в условной форме: «Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны». Обратное утверждение «Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограм – прямоугольник» также является верным.

Если имеют  место и прямая, и обратная теорема, то истинным является утверждение. Теоремы такого вида называют необходимыми и достаточными условиям. Они распространены в математике. В этом случае считают, что предикат – необходимое и достаточное условие для предиката , а предикат – необходимое и достаточное условие для предиката .

Пример: Дана теорема: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Теорема сформулирована в категоричной форме. Сформулируем прямую теорему в условной форме: «Если треугольник прямоугольный, то  квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Сформулируем обратное утверждение: «Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то такой треугольник прямоугольный». Получили теорему, обратную теореме Пифагора. 

Если в теореме (1) заменить условие и заключение их отрицаниями, то получим утверждение (3), которое называется противоположным утверждением. Если оно истинно, то его называют противоположной теоремой. Если в утверждении (3) поменять местами условие и заключение, то получим утверждение (4), которое называется обратное противоположному или противоположное обратному. Если оно истинно, то его называют теоремой, обратной противоположной или теоремой, противоположной обратной.

Между утверждениями (1), (2), (3),(4) существует связь,  которую символически можно изобразить так (рис. 1): 



рис. 1 

Таким образом, можно выделить четыре вида теорем:

– прямая теорема.

– обратная теорема.

– противоположная теорема.

– теорема, обратная  противоположной (теорема, противоположная обратной).

Теоремы 1–4 иногда удобнее записывать на языке алгебры  высказываний:

1.   – прямая теорема.

2. – обратная теорема.

3. – противоположная теорема.

4.   – теорема, обратная  противоположной  (теорема, противоположная  обратной).

Рассмотрим пример: дана теорема «Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам». Сформулировать теорему в условной форме (прямая теорема). Сформулировать обратное, противоположное, обратное противоположному утверждения, установить какие из них истинны, т.е. являются теоремами.

Решение:

1. Прямая теорема:  «Если четырехугольник –  параллелограмм, то диагонали его, пересекаясь, делятся пополам».

2. Обратное утверждение:  «Если в четырехугольнике диагонали,  пересекаясь, делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм». Утверждение истинно, т.е. является теоремой.

3. Противоположное  утверждение: «Если четырехугольник  не параллелограмм, то его диагонали, пересекаясь, не делятся пополам». Утверждение истинно, т.е. является теоремой.

4. Обратное противоположному: « Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, не делятся пополам, то такой четырехугольник не параллелограмм. Утверждение истинно, т.е. является теоремой.

Таким образом, [14, с. 98] математическое доказательство проводится по четко определенным правилам. Исходя из ранее известных фактов и теорем, в соответствии с законами логики устанавливается справедливость новой теоремы.

 





1.2. Методы  доказательства математических теорем 

Доказательство общеутвердительных и общеотрицательных суждений (утверждений) должно состоять в построении цепочек логических умозаключений.

Умозаключение – это рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений, логически выводится новое суждение, называемое заключением или следствием.

По способу связи аргументов от условия к заключению доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

Прямое доказательство основано на каком-нибудь несомненном начале, из которого непосредственно устанавливается истинность теоремы.

Методы прямого доказательства:

– синтетический,

– аналитический,

– метод математической индукции.

Синтетический метод: при построении цепочки силлогизмов мысль движется от условия теоремы к ее заключению.

В учебниках приводятся преимущественно синтетические доказательства. Их преимущества – полнота, сжатость, краткость. Недостатки – отсутствие мотивации шагов, обоснования дополнительных построений; они носят значительно более формальный характер, чем аналитические доказательства.

Пример. Теорема о хордах окружности.

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведения отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

 

 





Дано: АВ и СД – хорды окружности, Е – точка их пересечения.

Доказать: АЕ?ВЕ = СЕ?ДЕ. (1)

Доказательство (синтетическое)

Рассмотрим треугольники АДЕ и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВМД, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников DАДЕ ~ DСВЕ. Отсюда следует, что , или АЕ?ВЕ = СЕ?ДЕ. Теорема доказана .

Аналитический метод: при поиске доказательства мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Преимущества этого метода – есть отправное звено доказательства, дополнительные построения мотивированы, увеличивается творческая активность учащихся. Недостатки – большие потери времени, искусственные дополнительные построения трудно обосновать.

Пример. Теорема о хордах окружности.

Доказательство (аналитическое)

Чтобы доказать равенство (1), достаточно показать, что (2).

Для того, чтобы найти пропорцию (2), достаточно доказать подобие треугольников, стороны которых являются членами этой пропорции. Для получения таких треугольников соединяем точки С и В, А и Д.

Чтобы обосновать верность пропорции (2), достаточно доказать, что DАДЕ ~ DСВЕ. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников: ?1 = ?2 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВМД, а ?3 = ?4 как вертикальные. Следовательно, теорема верна .

Любое аналитическое доказательство обратимо в синтетическое и наоборот. Это широко используется в учебном процессе. Технологии могут быть таковы:

1) синтетическое доказательство предваряется аналитическими поисками его плана;

2) синтетическое доказательство заменяется аналитическим, в качестве домашнего задания – изучение синтетического доказательства по учебнику;

3) при использовании лекционного метода (преимущественно за пределами курса основной школы) часто используется чисто синтетический метод доказательства.

Метод математической индукции не имеет распространения в геометрии, так как основан на свойствах множества натуральных чисел, выходит за рамки основной школы, поэтому мы не будет подвергать его специальному изучению.

Косвенное доказательство: истинность теоремы устанавливается посредством опровержения некоторых суждений, содержащихся в теореме.

Наиболее распространенный и единственно применимый в курсе планиметрии метод косвенного доказательства – доказательство от противного.

Логико-математическая сущность метода от противного: вместо прямой (р ? q) доказывается обратная противоположной теорема ( ).

Поэтому доказательство методом от противного строится по следующей схеме:

1) пусть неверно q, то есть истинно ;

2) докажем, что ложно р, то есть истинно ;

3) убедились, что из ;

4) следовательно, р ? q (в силу равносильности импликаций р ? q и ), что и требовалось доказать.

Алгоритм доказательства от противного.

1. Допускаем, что заключение теоремы ложно. Тогда будет верно противоречащее ему утверждение.

2. Вычленяем возможные случаи.

3. Убеждаемся, что в каждом случае приходим к следствию, которое противоречит:

– условию теоремы,

– ранее установленным математическим фактам.

4. Наличие противоречия заставляет отказаться от принятого заключения.

5. Признаем справедливость заключения доказываемой теоремы.

Мы охарактеризовали основные логические методы доказательства теорем: прямые и косвенные, которые в свою очередь могут быть аналитическими и синтетическими, доказательствами от противного.

Можно говорить об основных математических методах доказательства теорем. В геометрии к ним можно отнести следующие базовые методы:

1) метод геометрических преобразований: эффективен, соответствует современной концепции обучения геометрии в школе, но требует развитого абстрактного и пространственного мышления; методика его использования в школе недостаточно отработана;

2) метод равенства и подобия треугольников – соответствует классической концепции обучения геометрии в школе, известен со времен Евклида, поэтому методика его хорошо разработана; навыки его применения формируются постепенно, в процессе решения задач и доказательства теорем.

Кроме указанных базовых математических методов доказательства теорем планиметрии можно говорить о более частных методах: метод симметрии, метод поворота, векторный метод, алгебраический метод, метод подобия, координатный метод и др.

Различают два основных вида умозаключений – индукцию и дедукцию.

Индукция – это умозаключение, при котором из одного или нескольких единичных или частных суждений получают новое общее суждение. Различают два основных вида индукции – неполную и полную.

Неполная индукция – умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких, но не всех, единичных суждений.

Полной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении всех единичных и частных суждений, относящихся к рассматриваемой ситуации.

Заключение, сделанное на основе полной индукции, является вполне достоверным, полная индукция является методом логического доказательства. Однако используется этот метод редко по следующим причинам: 1) громоздкость, 2) невозможность рассмотрения всех единичных и частных суждений в силу того, что их бесконечно много.

Тем не менее, можно привести примеры использования полной индукции: при изучении вопроса об измерении вписанного угла рассматриваются все возможные случаи: 1) одна из сторон угла – диаметр окружности; 2) диаметр лежит между сторонами вписанного угла; 3) диаметр находится вне угла.

Дедукция – умозаключение, при котором из одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее суждение.

Пример: первое суждение – общее, второе суждение – частное, новое суждение – вывод – новое, менее общее суждение. 

Таким образом, сущность дедукции состоит в том, что данный частный случай подводится под общее положение.

Дедукция является основным методом логического доказательства.

Дедуктивное доказательство теорем характеризуется логической последовательностью шагов, обязательностью обоснований и их ссылками на уже признанные достоверными математические факты.



Глава 2.  Методика обучения доказательству теорем

Этапы работы с теоремами. Приемы мотивации

изучения и доказательства теорем 

Изучая методы работы учителей можно выяснить, чем достигается  успех. Ученики формально усваивают материал обычно у тех учителей, которые излагают теоремы догматически. Учитель сообщает формулировку теоремы, сам приводит её доказательство, которое затем повторяется несколькими учениками. Если в процессе доказательства педагог задает детям вопросы, то чаще всего они касаются формулировок ранее пройденных теорем и определений, но не вскрывают путей к отысканию доказательства. Учащимся непонятно, почему появилась именно эта теорема, зачем делается то или иное дополнительное построение.

Совсем иначе  идет работа у тех учителей, которые  привлекают школьников к разбору содержания теоремы и к самостоятельным поискам тех логических связей, на которых построено ее доказательство. Изучение каждой теоремы дает возможность поставить перед учениками две задачи: 1) выявить некоторые свойства изучаемого объекта и 2) логически обосновать необходимость этих свойств. [гастева,с.517]

Г.И. Саранцев [сар.,70] выделяет следующие этапы изучения теоремы:

Мотивация изучения теоремы.

Ознакомление с фактом, отраженным в теореме.

Формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы.

Усвоение содержания теоремы;

Запоминание формулировки теоремы;

Ознакомление со способами ее доказательства;

Доказательство теоремы;

Применение теоремы;

Установление связей теоремы с ранее изученными теоремами. 

Главным, по мнению автора, в изучении теорем является не заучивание их и их доказательств, а открытие школьниками теоремы, способа доказательства, самостоятельное конструирование доказательства, применение теоремы, применение теоремы в различных ситуациях, установление связей с другими теоремами.

Примеры:

С теоремой о сумме углов треугольника учащиеся могут ознакомиться, измеряя непосредственно углы треугольника. Обобщая результаты измерений, учащиеся приходят к выводу, что сумма углов треугольника равна 1800.

Чтобы помочь учащимся самостоятельно найти путь дедуктивного обоснования догадки, можно предложить решить задачу.

Задача. Через вершину треугольника проведена прямая, параллельная основанию. Доказать, что углы, образованные этой прямой с боковыми сторонами треугольника, соответственно равны углам треугольника при основании.

Решение этой задачи открывает  путь доказательства сформулированной догадки.

Для закрепления можно предложить следующие задачи [погор, с. 63]:

Угол АВС равен 80о, а угол ВСР равен 120о. Могут ли прямые АВ и СР быть параллельными? Обоснуйте ответ.

Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании равен: 1) 40о; 2) 55о; 3) 72о.

Основное свойство степени с натуральным показателем учащиеся могут выделить, выполнив упражнение: «Представьте в виде степени с показателем, отличным от единицы, произведение: а) х2х3; б) bb2b5». После выполнения нескольких подобных упражнений учащиеся замечают, что произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.

Для усвоения содержания теоремы можно использовать упражнения на выделение условия и заключения теоремы; на вычленение на чертежах, моделях таких фигур, которые удовлетворяли бы условию теоремы.

Саранцев Г.И. [12] предлагает пользоваться следующей схемой (схема 1):

Схема 1:

Этапы работы с  теоремой

 

Упражнения, реализующие  их

Мотивация изучения теоремы;

 

 

Ознакомление с фактом, отраженным в теореме;

 

 

 

Усвоение содержания теоремы;

 

Запоминание формулировки теоремы;

 

 

 

 

Ознакомление со способами ее доказательства;

 

 

Доказательство теоремы;

 

Применение теоремы;

 

 

 

Установление связей теоремы с ранее изученными теоремами.



Упражнение на измерение  величин, на оперирование моделями фигур

 



Упражнения с практическим содержанием

 

Упражнения на применение ранее изученных теорем и понятий

 

Упражнения на выделение  условия и заключения теоремы

 Упражнение на распознавание  ситуаций, удовлетворяющих теореме

 

Упражнение на выполнение чертежей,  моделирующих условие теоремы

 

Упражнение на ознакомление с методом доказательства теоремы

 

Упражнения, моделирующие способ доказательства теоремы



Упражнение на выделение  в доказательстве недостающих утверждений и их обоснований

Упражнения на систематизацию теорем

Упражнения на составление  «родословной» теоремы 

Упражнения на составление плана доказательства теоремы 

Упражнения на составление  алгоритмов



В целях облегчения запоминания громоздких формулировок теорем целесообразно поэлементное усвоение содержания теоремы. Для этого формулировка теоемы разбивается на отдельные элементы, после чего каждый из элементов используется при выполнении упражнений.

При индуктивном  введении теоремы Лященко Е. И. [9] условно выделяет следующие этапы ее изучения:

Мотивация изучения теоремы и раскрытие ее содержания (Усмотрение геометрического факта и формулировка теоремы);

Работа над структурой теоремы;

Мотивация неоходимости доказательства теоремы;

Построение чертежа и краткая запись содержания теоремы;

Поиск доказательства, доказательство и его запись;

Закрепление теоремы;

Применение теоремы.

     Для  мотивации необходимости изучения теорем можно предложить такие приемы:

Прием 1. Обощение наблюдаемых в жизни фактов и явлений и перевод их на математический язык.

Мотивировать  необходимость изучения свойства «Две прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке» можно, преложив предварительно учащимся решить дома следующие задачи:

А) На плане местности  четыре населенных пункта отмечены точками A,B,C,K. Выясните, пересекутся ли пути из пункта А в пункт С и из пункта K в пункт В. Если пересукуться, то в скольких точках? Рассмотрите различные возможные случаи расположения населенных пунктов. Могут ли эти пути пересечься в двух точках?

В классе  учитель  выясняет полученные результаты решения  задачи: во всех случаях пути движения либо имеют одну общую точку, либо е имеют ни одной. Отметив, что пути движения в данных задачах были отрезки, предпалагается подумать над вопросом: изменится ли вывод, если вместо отрезков взять две прямые?

Прием 2. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения практических задач.

 Для мотивации изучения теоремы  «Если две стороны и угол между  ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны» можно использовать следующую задачу:

Картографам необходимо нанести на карту два населенных пункта А и В. Измерить расстояние между пунктами оказалось невозможно так как между ними было озеро. Картографы поступили следующим образом: они выбрали точку С от которой можно было измерить расстояние и до пункта А, и до пункта   В.    Измерили эти расстояния и построили  на бумаге отрезки АС и АВ соответствующей длины (масштаб можно указать по своему усмотрению) а затем продолжили линии за точку С, отложили отрезки СН и СМ, равные соответственно отрезкам СВ и СА, и соединили точки Н и М отрезком. Картографы считают, что расстояние АВ  и НМ равны между собой. Правы ли картографы?

- По условию  задачи известно, что АС=СМ, ВС=СН и, кроме того как    вертикальные углы.

- Надо установить, что АВ=НМ.

- Откуда может следовать равенство этих отрезков?

- Равенство отрезков  АВ и НМ может следовать  из равенства треугольников АСВ и МСН.

- Но в равных треугольниках соответственно равны все шесть элементов (три стороны и три угла), а здесь мы имеем только две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равные двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Как быть?

- Следует доказать, что если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Мотив и необходимость  доказательства теоремы показаны. 

Прием 3. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения задач и доказательства других теорем.

Прием 4. Показ, как решалась данная проблема в истории науки. 

 Например, рассмотрим доказательство формулы   (а + b)2 = a2 +2ab +b2.  У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не “а2”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”.

Первым с доказательством этой формулы столкнулся древнегреческий учёный Евклид, живущий в Александрии в III веке до н.э., так как в те времена не было букв, он пользовался геометрическим способом доказательства формулы.

Из данного рисунка видно, что площадь квадрата  со стороной (а + b) равна сумме площадей квадрата со стороной а, квадрата со стороной b и  двух прямоугольников с длиной а и шириной b. Если прямая линия (имеется в виду отрезок) разделен  на 2 отрезка а и b, то квадрат на всей прямой, т.е. (а + b)2 равен  а2 + b2 + 2ab.

Значит, (а + b)2 = a2 +2ab +b2

Очевидно, что  перечисленные приемы для мотивации изучения теорем служат одновременно и раскрытию содержания теоремы. Из других приемов раскрытия содержания теорем можно назвать:

Наблюдение наглядного материала, в том числе подвижных моделей или ряда чертежей;

Выполнение постороений;

Решение задач на вычисление и доказательство;

Выполнение лабораторных и практических работ;

Решение задач на отыскание некоторых зависимостей.

Пример:

Для раскрытия  содержания теоремы Фалеса можно  использовать следующий прием: начертить в тетрадях угол (произвольный); отложить на одной стороне угла последовательно несколько равных отрезков через концы отрезков провести параллельные прямые до пересечения со второй стороной угла; измерить отрезки, получившиеся на второй стороне угла, и сравнить их между собой. После этой работы высказывается предположение (формулируется теорема), которое затем доказывается [9, с. 53]. 

Методика организации работы с теоремами при изучении курса планиметрии 

Доказательство  теоремы в учебниках дается почти всегда сплошным текстом, но учителю следует расчленить доказательство на части, на отдельные логические шаги. Надо составить план доказательства и продумать рациональную запись доказательства теоремы. 

Рассмотрим работу по обучению доказательству теорем на примере некоторых теорем из курса планиметрии.

В 9 классе изучается теорема косинусов. Раскроем методические особенности работы с этой теоремой.

Будем работать с данной теоремой, применяя частично-поисковый  метод обучения, то есть, учитель учит учеников самостоятельно выполнять отдельные шаги в целостном процессе познания.

Задача учителя  при применении частично-поискового метода - научить учеников самостоятельно применять знания, вести поиск новых. Этот метод применяется при опоре на уже имеющиеся у учащихся знания и умения. Чаще всего метод реализуется с помощью проблемных, творческих заданий, способ выполнения которых учащимся не известен.

 Перед доказательством  теоремы школьникам можно предложить  найти сторону треугольника, зная  две другие и угол между  ними. В процессе анализа данной задачи выходим на существование теоремы косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме  квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Обозначим имеющиеся  данные:

Пусть в  АВ = с, ВС = a, СА = b. Докажем, что .

Для доказательства воспользуемся методом введения декартовой системы координат с началом в точке А так, как показано на рисунке  [геом.257].



Во время доказательства теоремы учитель задает вопросы детям:

Как определить координаты точки В? (так как АВ = с, следовательно В (с; 0)).

Как найти координаты точки С? (провести высоту  к АВ, через геометрический смысл синуса и косинуса угла А найти координаты точки). 

Найдем расстояние между двумя точками В и С откуда получим искомое выражение.[геом, с. 258]

Для закрепления  полученных знаний проведем короткий тест:

1. Закончи предложение. Квадрат любой стороны треугольника равен …

а) сумме квадратов  двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между  ними;

б) сумме квадратов  двух других его сторон;

в) сумме квадратов  двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2. В треугольнике CDO известны стороны CD и CO. Величину, какого угла необходимо знать, чтобы найти длину стороны DO?

а) C;

б) D;

в) O.

Для тех учеников, у которых уровень владения материалом выше, а так же для актуализации знаний на следующие темы, можно предложить следующее домашнее задание: доказать данную теорему векторным способом. 

Чтобы теорема  была усвоена, необходима работа с ней  и после доказательства. Этому способствуют задания следующих видов:

Сформулируйте теорему.

Выделите условие и заключение теоремы. К каким фигурам применима теорема?

Сформулируйте теорему со словами: «Если …, то …». (Если теорема сформулирована в категорической форме)

Сформулируйте предложение, обратное (противоположное и т.д.) сформулированному.

Воспроизведите доказательство теоремы по новому чертежу, изменив его положение и обозначение элементов.

Составьте план доказательства.

Назовите аргументы, которые использовались при доказательстве.

Докажите теорему другим способом.

Решите задачи на применение теоремы.

Разумеется, что  данная работа проводится не на одном - двух уроках, когда изучается та или иная теорема, а по мере возможности проводится и при изучении других вопросов.

Проследим все  этапы работы с данной теоремой:

I этап. Один из приемов мотивации изучения данной теоремы – знание теоремы для решения задач.

Можно использовать другой прием, показав конструкцию строительной фермы , где АС=СВ, AD=DВ, DM=MB; простейшую конструкцию стропил АВ=ВС и АК=КС, т.е. наблюдение жизненных фактов.

С целью мотивации  изучения этой теоремы можно использовать решение практической задачи. 

II этап. Чтобы учащиеся «открыли» сами содержание теоремы и сформировали ее, проводится такая практическая работа. Перед уроком дается на дом задание: начертить три равнобедренных треугольника (остроугольный разносторонний, прямоугольный и тупоугольный) и в этих треугольниках построить медианы и высоты к боковым сторонам ( с помощью масштабной линейки и угольника), биссектрисы углов при основании (с помощью транспортира). А на уроке предлагается по вариантам выполнить другую практическую работу: начертить в тетрадях равнобедренный треугольник,

1 вариант                      2 вариант                    3 вариант

Остроугольный            Прямоугольный             Тупоугольный

 построить  медиану,  высоту к основанию и биссектрису угла при вершине, противолежащей основанию. Трое учащихся (по одному от каждого варианта) выполняют эту работу у доски. Учитель тем временем может построить разносторонний треугольник, провести в нем высоты, медианы, биссектрисы. 

После этого, обсуждаются полученные результаты, у учеников высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Ставится вопросы: обладает ли этим свойством ме.......................