Компьютерный дизайн математических моделей фрактальной геометрии

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное 
учреждение высшего образования
«Ярославский государственный педагогический университет
 им. К.Д. Ушинского»


Кафедра математического анализа, 
теории и методики обучения математике

Направление подготовки 44.04.01 "Педагогическое образование"
профиль Математическое образование в профильной школе




ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

На тему: «Компьютерный дизайн математических моделей фрактальной геометрии»



Работа выполнена студентом
Глухарева Ольгой Александровной



Научный руководитель
Е.И. Смирнов , профессор, д.п.н.






Ярославль 
2018 г.
Оглавление
Введение.	3
Глава 1. Методология проведения элективного курса в современной школе.	8
1.1. Общая характеристика элективного курса по математике в информационно-математических классах.	10
1.2. Исследовательская деятельность в информационно-математических классах.	15
1.3. Целесообразность изучения элементов фрактальной геометрии в средней общеобразовательной школе.	26
1.4. Роль элементов высшей математики в повышении мотивации и творческой активности школьников.	28
Глава 2. Исследование фрактальной геометрии.	38
2.1.  Фракталы и фрактальная геометрия, как новые понятия в современной математике.	38
2.2.Классификация фракталов в современной математике	51
2.3.Основы компьютерной графики в исследовании фракталов.	68
2.4. Дизайнерские идеи и изображения, созданные с помощью фрактальной графики.
Глава 3. Методика проведения электива «Фрактальный мир».	
3.1. Интеграция математики и информатики в процессе изучения фрактальной геометрии.	
3.2. Тематическое планирование и содержание курс 
3.3. Огранизация групповой работы на элективных курсах	
3.4. Методика проведения факультативного занятия.	
Глава 4.Диагностика повышения мотивации учащихся.	
4.1 Повышение учебной мотивации школьников в процессе освоение фрактальных множест на основе принципа фундирования.
4.2. Методика проведенной опытно-экспериментальной работы по выявлению эффекта мотивации. 
Заключение.	
Литература	





Введение.
      Актуальность исследования. В настоящее время, как никогда ранее, на первый план в мире вышла проблема развития интеллектуального потенциала нации вообще и отдельной личности в частности. Век высоких технологий требует развитого интеллекта, в основе которого лежит его творческое начало. Сформировать и развить его – одна из главных задач современной школы.
      Главный вопрос: как развить интерес к обучению, как научить ребенка мыслить и самостоятельно делать выводы. Формирование мотивации учения в школьном возрасте без преувеличения можно назвать одной из центральных проблем современной школы, делом общественной важности.
      Мотив - это внутреннее побуждение личности к тому или иному виду активности (деятельность, общение, поведение), связанной с удовлетворением определенной потребности. 
      Мотивация - это общее название для процессов, методов, средств побуждения учащихся к продуктивной познавательной деятельности, к активному освоению содержания образования. Еще Сократ разработал свой процесс мотивации, а Аристотель выделил четыре различных вида причин, побуждающих человека к действию. Проблема мотивации учебной деятельности традиционна и для педагогической психологии. Изучением ее роли, содержания, видов мотивов, их развития и целенаправленного формирования занимались в разные годы Эльконин Д.Б., Давыдов В.В., Божович Л.И., Маркова А.К., Абрамова Г.С., Матюхина М.В., Щукина Г.И., Якобсон П.М. и другие ученые. 
      Учебная мотивация определяется ими как частный вид мотивации, включенный в определенную деятельность, - в данном случае деятельность учения, учебную деятельность. Как и любой другой вид, учебная мотивация определяется рядом специфических факторов. Во-первых, самой образовательной системой, образовательным учреждением; во-вторых, - организацией образовательного процесса; в-третьих, - субъектными особенностями обучающегося; в четвертых, - субъективными особенностями педагога и прежде всего системы его отношений к ученику, к делу; в-пятых - спецификой учебного предмета.
      В системе образования до сих пор мало уделяется творческой математической деятельности учеников, наблюдается предметная разобщенность, что является главной причиной низкого уровня креативности у выпускников школы. Математика не стоит на месте. В ней появляются новые дисциплины, позволяющие более точно моделировать природные явления общественные процессы. Интеграция математики и информатики позволила оформиться принципиально новым информационным и математическим направлениям, в числе которых находится фрактальная геометрия. Фрактальная геометрия в настоящее время занимает особое положение. С одной стороны, она неразрывно связана с информатикой, а с другой, фракталы являются средствами моделирования объектов природы и общества, являясь одними из самых красивых математических объектов. Такое положение фрактальной геометрии повышает мотивацию школьников как к математике, так и информатике.
      Идеи фрактальной геометрии проникают во все сферы человеческой деятельности. Одной из основных задач современного образования является непрерывность процесса обучения (школа-вуз). Поэтому проблема ознакомления школьников средней общеобразовательной школы с элементами фрактальной геометрии становится важной. С другой стороны, актуальными являются и методические исследования, посвященные особенностям изучения фрактальных множеств в средней школе.
      Особенность учащихся математических классов является то, что выбрав соответствующий профиль, они проявили заинтересованность, которую нужно поддерживать и развивать. Поэтому учащихся математических классов необходимо знакомить с современными методами исследования окружающего мира, с достижениями науки, формировать их творческий потенциал. К сожалению, развитию творческих способностей в современной школе уделяется мало внимания, а разобщенность большинства изучаемых в школах дисциплин порождает серьезные трудности в формировании у выпускников целостной картины мира. В связи с этим встает вопрос об усовершенствовании форм и методов обучения математике, так как традиционное обучение не всегда является эффективными.
      Фрактальная геометрия – бурно развивающаяся математическая дисциплина, находящая в настоящее время многочисленные приложения в физике, психологии, экономике, биологии и других дисциплинах. Основателем фрактальной геометрии является Бенуа Мандельброт. У истоков этой науки стоял великий русский математик академик А.Н. Колмогоров.
      Построение фрактальных множеств невозможно было осуществить вплоть до второй половины XX века из-за отсутствия компьютерной техники и информационно-коммуникационных технологий (ИКТ). Одних математических знаний для построения фрактальных множеств оказалось недостаточно, потребовалось привлечение дополнительных знаний и умений из смежной дисциплины – информатики. Сама природа фрактальных множеств предполагает интеграцию знаний по двум дисциплинам: математики и информатики, так как построить фракталы без ИКТ практически невозможно.
      В литературе термин «интеграция» понимается как процесс развития, выражающийся в объединении в целое ранее разнородных частей и элементов. Интеграция математических знаний заключается во взаимопроникновении и взаимосвязи в единую целостность различных разделов математики на основе интегративного качества, например, связь математики и информатики. В итоге процесс обучения превращается в целостную, завершенную, дифференцированную, способной к саморазвитию.
      Актуальность проблемы интегративной направленности в преподавании математических курсов в школе обусловлена необходимостью повышения качества усвоения математических знаний, развития мотивации и творческих возможностей будущих выпускников.
      Главной при изучении элементов фрактальной геометрии следует считать проникающую технологию, поскольку в ней сочетаются различные функции компьютера как средства обучения: процесс программирования при создании фрактальных множеств; создание новых программных продуктов при знакомстве школьников с фракталами; применение различных информационных средств.[8]
      Объектом исследования является процесс обучения математике в профильных математических классах средней общеобразовательной школы.
      Предметом исследования является разработка методики обучения фрактальной геометрии с эффективным развитием творческой активности и мотивации школьников математических классов.
      Цель исследования: Разработать методику обучения математического моделирования компьютерного дизайна фрактальной геометрии в рамках элективного курса, направленной на развитие мотивации школьников.
      Гипотезы исследования:
       Изучение элементов фрактальной геометрии, будет способствовать развитию мотивации и творческой активности школьника, если оно базируется на:
       проектировании и реализации новых видов творческой математической деятельности;
       актуализации интегративных связей математики, информатики и компьютерного художественного творчества;
       комплексном использовании в обучении ИКТ.
      2) Повысились ли качественно знания учащихся по математике и информатике.
      В соответствии с целью, предметом и гипотезой были поставлены следующие задачи исследования:
       Обосновать целесообразность и определить методические особенности изучения элементов фрактальной геометрии в рамках элективного курса.
       Рассмотреть основные программы компьютерного дизайна, направленные на развитие мотивации и творческих качеств школьников при изучении элементов фрактальной геометрии.
       Разработать методику элективного курса «Фрактальный мир» для профильных математических классов средней общеобразовательной школы, на основе создания модели реализации интегративного взаимодействия математики и информатики.
       Экспериментально проверить обоснованность выдвинутой гипотезы исследования путем проведения педагогического эксперимента, научной обработки и анализом его результатов.














Глава 1. Методология проведения элективного курса в современной школе.
1.1. Общая характеристика элективных занятий по математике в информационно-математических классах.
     Концепция модернизации российского образования предусматривает введение профильного обучения на старшей ступени школы. Целью профильного обучения является создание условий для образования старшеклассников с учётом их склонностей и способностей, для их обучения в соответствии с профильными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. 
     В настоящее время выделяют следующие основные профили: информационно - математический, гуманитарный, технологический, социально-экономический. Далее мы подробнее рассмотрим информационно – математический профиль.
Нам известно, что неотъемлемой частью профильного обучения является организация и проведение элективных курсов по школьным предметам.
     Элективные курсы – это обязательные для посещения старшеклассниками курсы по выбору, целями которых является развитие, дополнение, углубление содержания базового и профильного курсов математики, удовлетворение познавательных интересов школьников, развитие различных сторон математического мышления, воспитание мировоззрения и личностных качеств средствами углублённого изучения математики. Проанализировав интернет – ресурсы, программы коллег, мы пришли к выводу, что при разработке содержания, выборе форм и методов работы с учащимися различных профилей на занятиях элективного курса должны быть учтены психолого-педагогические особенности, типы мышления, склонности и способности школьников.
     Всем известно, что математика как школьная дисциплина оставляет учащихся на рубеже прошлых веков (до 20 века) и чрезвычайно мало знакомит с современными научными достижениями.
     Как и говорилось ранее, элективные курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов.
Основная задача, стоящая перед системой образования –это переориентация на подготовку человека, который самостоятельно выбирает индивидуальную траекторию развития в соответствии со своими способностями и возможностями. Именно эту задачу решает элективный курс.
Проанализировав множество методической литературы, мы выделили цели и задачи, к которым склоняются авторы разработок элективных курсов.
     Цели элективного курса: 
1) развитие содержания базового курса математики, изучение которого в данной школе осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать на профильном уровне или получать дополнительную подготовку для сдачи ЕГЭ по математике;
2) дополнение содержания профильного курса математики, выступают его надстройкой, что позволяет профильному курсу быть в полной мере углублённым;
3) удовлетворение разнообразных познавательных интересов школьников, выходящих за рамки выбранного ими профиля, в различных сферах человеческой деятельности;
4) развитие математического мышления, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами углублённого изучения математики.
     Задачи элективного курса:
  1) способствовать самоопределению ученика и выбору дальнейшей профессиональной деятельности;
  2) создавать положительную мотивацию обучения на планируемом профиле;
  3) познакомить учащихся с ведущими для данного профиля видами деятельности;
  4) активизировать познавательную деятельность школьников;
5) повысить информационную и коммуникативную компетентность учащихся;
6) построение индивидуальной образовательной программы с выбором содержания образования в зависимости от интересов, последующих жизненных планов.
Итак, элективные курсы позволяют поддержать изучение математики как профильного предмета на заданном профильном уровне и служат внутрипрофильной специализацией обучения и построения индивидуальных траекторий.
      Благодаря проектной деятельности на элективных курсах в старшей школе у учащегося формируются способности самостоятельно ставить учебные цели, проектировать пути их реализации, контролировать и оценивать свои достижения. Иначе говоря, формирование умения учиться. Учащийся сам должен стать «архитектором и строителем» образовательного процесса.
       Достижение данной цели становится возможным благодаря формированию системы универсальных учебных действий. Близкими по значению понятию «универсальные учебные действия» являются понятия «общеучебные умения», «общепознавательные действия», «общие способы деятельности», «надпредметные действия». Формирование общеучебных действий в прогрессивной педагогике всегда рассматривалось как надежный путь кардинального повышения качества обучения.
          На сегодняшний день именно системно-деятельностный подход, базирующийся на теоретических положениях Л. С. Выготского, А. Н. Леонтьева,  Д. Б. Эльконина,  П. Я. Гальперина,  В. В. Давыдова, В. В. Рубцова, А.Г Асмолова наиболее полно описывает структуру учебной деятельности учащихся, а также основные психологические условия и механизмы процесса усвоения.
       Универсальные учебные действия должны быть положены в основу выбора и структурирования содержания образования, приемов, методов, форм обучения, а также построения целостного образовательно-воспитательного процесса.
      Проанализировав множество методической литературы, мы выделили функции УУД.
      
      Функции универсальных учебных действий включают:  
       - обеспечение возможностей учащегося самостоятельно осуществлять деятельность учения, ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, контролировать и оценивать процесс и результаты деятельности;
      -  создание условий для гармоничного развития личности и ее самореализации на основе готовности к непрерывному образованию, необходимость которого обусловлена поликультурностью общества и высокой  профессиональной мобильностью;
      -  обеспечение успешного усвоения знаний, умений и навыков и формирование компетентностей в любой предметной области.
      Универсальные учебные действия можно сгруппировать в четыре основных блока:
      1) личностные;
      2) регулятивные, включая саморегуляцию;
      3) познавательные, включая логические, познавательные и знаково-символические;
       4) коммуникативные действия.
      В итоге, элективные курсы достаточно удобны для формирования УУД у учащихся, так как при их разработке учитель подбирает удобный и необходимый материал для учащихся.
      1.2. Исследовательская деятельность в информационно-математических классах.
      Исследовательское обучение – это образовательный процесс, реализуемый на основе исследовательской деятельности учащихся. Проанализировав методическую литературу, мы выделили основные характеристики исследовательского обучения:
      1) выделение в учебном материале проблемных точек, предполагающих неоднозначность; специальное конструирование учебного процесса «от этих точек» или проблемная подача материала;
      2) развитие навыка формирования или выделения нескольких версий, гипотез (взгляда на объект, развития процесса и др.) в избранной проблеме, их адекватное формулирование;
      3) развитие навыка работы с разными версиями на основе анализа свидетельств или первоисточников (методики сбора материала, сравнения и др.);
      4) работа с первоисточниками, «свидетельствами» при разработке версий;
      5) развитие навыков анализа и принятия на основе анализа одной версии в качестве истинной.
      Уместно обратить внимание, что при использовании исследовательского подхода в общеобразовательном учреждении у педагога могут возникать организационно-содержательные проблемы.
      Так как, во-первых, формирование ключевых компетенций требует овладение универсальными приемами для успешного мотивационного развития ,социализации и адаптации учащихся.
      Во-вторых, не смотря на изменения стандарта и его результатов не изменилась традиционная система образования. Следовательно, можно сделать вывод о необходимости вносить изменения в традиционную систему обучения или поменять ее на совершенно новую, удовлетворяющую стандартам. 
      Традиционная классно – урочная система в современном её состоянии не подходит для полноценной реализации исследования. В одном классе, за одной партой сидят ученики с разными математическими и интеллектуальными способностями, по-разному относящиеся к учебному процессу вообще. Поэтому опыт исследовательской работы позволяет сделать заключение о необходимости распределения этапов исследования в различных формах учебной и внеучебной деятельности учащихся: урок, кружковая работа, факультативы, элективные курсы и т.д.
Изучая исследовательскую деятельность, можно сделать вывод, что это особый вид деятельности, которому необходимо учить как учащихся, создавая условия для формирования устойчивой мотивации к данному виду деятельности, так и учителя. Исследовательскую деятельность необходимо включить в учебный план школы и в рабочую программу по предмету.
     Еще одна проблема, которую выявили педагоги, основываясь на своем опыте исследовательской деятельности – предметная. Остановимся на предмете математика. Она не может носить обособленный характер. В математике на данный момент сложно сделать, пусть даже маленькое, открытие, изобрести что-то новое, особенно с учётом возрастных особенностей, количеством и глубиной накопленных знаний. Поэтому все исследовательские работы учащихся носят межпредметный характер: математика – архитектура, математика – информатика, математика-физика и др. При этом учащийся действует в соответствии со своими интересами и предпочтениями, занимает творческую, авторскую позицию при выполнении исследования, т. е. самостоятельно ставит цели своей деятельности. Из этого следует, что на каждом этапе исследований нужно дать учащемуся определенную свободу в работе, иногда даже в ущерб методике, - иначе исследование может постепенно превратиться в обычную при репродуктивной системе обучения последовательность стандартных учебных этапов.
     Мы все прекрасно понимаем, что исследовательская деятельность не является дополнительной нагрузкой для ребенка, она перестраивает образовательный процесс таким образом, что знания даются в концентрированном, универсальном виде, тем самым разгружая учебную нагрузку учащихся. 
     Исследовательская деятельность формирует ключевые компетенции, создает условия для реализации индивидуальной траектории развития и образования каждого ребенка в соответствии с его способностями, возможностями и задатками. Способствует социализации и адаптации учащихся, другими словами, она готовит к будущей жизни и продолжению образования по выбранному профилю. 
     Исследовательская деятельность позволяет раскрыть способности и задатки детей, ликвидировать пробелы в знаниях, формировать новые знания, универсальные приемы практической деятельности.(https://infourok.ru/organizaciya_issledovatelskoy_deyatelnosti_shkolnikov_po_matematike-430223.htm)

      1.3. Целесообразность изучения элементов фрактальной геометрии в средней общеобразовательной школе
      В старших классах идет разделения на профиль. В связи с тем, учащийся выбирает элективные курсы по своему направлению.  В информационно-математическом профиле, ведется углубленное преподавание математики, которое нацелено на формирование основ логического, алгоритмического и математического мышления; применение полученных знания при решении различных задач; формирование представления о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.
      Одним из новых направлений, рассматриваемых на элективных курсах  в информационно-математическом профиле, является изучение современных фактов в математике. Одним из таких направлений является фрактальная геометрия.  
      Фрактальная геометрия в настоящее время проникает во все сферы человеческой деятельности и стимулирует развитие информационно-компьютерных технологий. С другой стороны, развитие информационно-компьютерных технологий дает новый импульс развитию современной математики: в ней появляются новые разделы.
      Фрактальная геометрия – сложная математическая дисциплина, связанная с топологией, динамическими системами, геометрией, алгеброй, программированием и компьютерной графикой. Ее изучение невозможно без использования информационно-компьютерных технологий. 
      Мы считаем, что знакомить старшеклассников математических классов с элементами фрактальной геометрии целесообразно по следующим причинам:
      1.	Фрактальная геометрия имеют общеобразовательное значение, поскольку понятие фрактал используется при описании природных объектов, процессов, явлений (скала, молния, турбулентные потоки и т. д.) и создаются соответствующие фрактальные модели.[2]
      2.	Имеются межпредметные связи фрактальной геометрии с информатикой.
      3.	Фрактальная геометрия имеет особые предпосылки для своего развития. Ее задача – теоретическая и технологическая поддержка фрактальных моделей.
      4.	Учащиеся должны владеть информационно-математическими технологиями. Сейчас у школьников математические методы и компьютерные технологии стыкуются в основном при проведении вычислений. Но стыковка эта относительно невелика, поскольку базовый математический аппарат создавался в докомпьютерную эпоху. При этом взаимодействие математических и компьютерных технологий неравноправно (в основном это компьютерный обсчет математических моделей). При изучении фрактальной геометрии взаимодействие компьютерных и математических технологий носит равноправный, исследовательский характер. 
      5.	Фракталы являются одними из самых красивых математических объектов и обучение фрактальной геометрии значительно повышает интерес школьников как к математике, так и программированию, и компьютерной графике.
      6.	Изучение элементов фрактальной геометрии может служить укреплению межпредметных связей. Использование фрактальных множеств при моделировании различных объектов будет развивать продуктивность мышления, формировать мировоззрение, раскрывать художественные способности школьника.[2]
      7.	При традиционном обучении математике недостаточное внимание уделяется воспитанию у школьников чувства красоты и гармонии.  Отсутствие эстетического питания при обучении математике негативно влияет на развитие креативности личности, так как многие математические объекты и методы математики по своей природе  изначально красивы. Но красоту надо «увидеть». Фрактальные множества сами по себе являются одними из самых красивых математических объектов. Поэтому обучение фрактальной геометрии несомненно способствовать эстетическому воспитанию школьников.
      Итак, мы выяснили необходимость изучения элементов фрактальной геометрии в старшей школе. Определим место ее изучения. К сожалению, фрактальная геометрия пока не входит в программы общеобразовательной школы. Поэтому изучать ее можно лишь во внеурочное время, в рамках элективных курсов. 
      
1.4. Роль элементов высшей математики в повышении мотивации и творческой активности школьников.
      В настоящее время, как никогда ранее, на первый план в мире вышла проблема развития интеллектуального потенциала нации вообще и отдельной личности в частности. Век высоких технологий требует развитого интеллекта, в основе которого лежит его творческое начало. Сформировать и развить его – одна из главных задач современной школы.
      Главный вопрос: как развить интерес к обучению у ребенка, как научить его мыслить и самостоятельно делать выводы. Формирование мотивации учения в школьном возрасте без преувеличения можно назвать одной из центральных проблем современной школы, делом общественной важности.
      Мотив - это внутреннее побуждение личности к тому или иному виду активности (деятельность, общение, поведение), связанной с удовлетворением определенной потребности. Мотивация - это общее название для процессов, методов, средств побуждения учащихся к продуктивной познавательной деятельности, к активному освоению содержания образования. Благодаря теоретическому анализу литературы, нам удалось узнать о том, что проблему мотивации человека изучали еще в давние времена. Например, выдающиеся философы древней Греции: Сократ и Аристотель.  Сократ разработал свой процесс мотивации, а Аристотель выделил четыре различных вида причин, побуждающих человека к действию. Проблема мотивации учебной деятельности традиционна и для педагогической психологии. Изучением ее роли, содержания, видов мотивов, их развития и целенаправленного формирования занимались в разные годы Эльконин Д.Б., Давыдов В.В., Божович Л.И., Маркова А.К., Абрамова Г.С., Матюхина М.В., Щукина Г.И., Якобсон П.М. и другие ученые. 
      Учебная мотивация определяется ими как частный вид мотивации, включенный в определенную деятельность, - в данном случае деятельность учения, учебную деятельность. Как и любой другой вид, учебная мотивация определяется рядом специфических факторов. Во-первых, самой образовательной системой, образовательным учреждением; во-вторых, - организацией образовательного процесса; в-третьих, - субъектными особенностями обучающегося; в-четвертых, - субъективными особенностями педагога и прежде всего системы его отношений к ученику, к делу; в-пятых - спецификой учебного предмета.
      Мотивами творческой активности обучающихся выступают различные потребности, интересы, склонности к творческой деятельности.[15]
      В процессе творческой деятельности, обучающиеся всегда активны. Активная жизненная позиция зависит от сформированности у личности отношения к внешнему миру, образу жизни и формируется в процессе различных видов деятельности. Она является основой для развития творческих качеств, формирования активной социально-творческой позиции и развития личности, которые находятся во взаимосвязи: активная жизненная позиция требует развития творческих способностей личности, опыта преобразующей деятельности, которые в свою очередь обеспечивают рост творческой активности личности.
      Важными факторами творческой деятельности является: очевидность мотивов и изменчивость мотивационного процесса. Характер мотивационного процесса зависит от того, какие потребности инициируют его. Однако сами потребности находятся между собой в сложном динамическом взаимодействии, зачастую противореча друг другу либо же, наоборот, усиливая действие отдельных потребностей. Поэтому даже при самом глубоком знании мотивационной структуры человека, мотивов его действия могут возникать непредвиденные изменения в поведении человека и непредвиденная реакция с его стороны на мотивирующие воздействия.
      В процессе своей творческой деятельности подросток осознает необходимость находить оптимальный путь достижения цели. [11]
      Исходным для анализа и конструирования учебно-познавательной деятельности подростков служит положение С.Л. Рубинштейна о том, что «всякая познавательная деятельность, всякий мыслительный процесс, взятые в своей реальной конкретности, совершаются на различных уровнях, многопланово».
      Поскольку творческое развитие человека, как и его общее развитие опосредовано образованием, а учебная деятельность перестала быть для подростков одной из ведущих, главные достижения индивида связаны, прежде всего, с достижениями внеучебной деятельности. Мы определили творческую внеурочнуюную деятельность условием и средством развития творческой активности подростков.
      Овладение организационно-деятельностным компонентом делает деятельность подростка целенаправленной, осознанной, продуктивной, формирует готовность к осуществлению творческой деятельности. Результатом осуществления этого компонента творческой активности, будет способность к ее осуществлению.
      Подростковый возраст обусловливает особенности протекания всех основных составляющих процесса творческой активности. Формирование личностной творческой активности связано с созреванием внутренних предпосылок творчества - творческих способностей. Следовательно, структура этого процесса определенным образом вписана в цикличную структуру процесса развития способностей, описанную С.Л. Рубинштейном. Согласно его концепции, ключевым звеном в спирали развития способностей является реализация возможностей, осуществляемая в деятельности. По ходу реализации возможностей, формируется новый уровень развития способностей, превращающийся в базу для нового цикла реализации возможностей.
      Рассмотрим примеры математических элементов для повышения мотивации и творческой активности учащихся на факультативных занятиях.
       Современные достижения математики
       Исторические аспект
       Межпредметные связи математики с другими науками
       Красота математических рассуждений 
      Рассмотрим каждый из данных пунктов:
      Современные достижения математики
      В школьном курсе математики учащиеся знакомятся лишь в достижения в развитии математики XVIIIвека. Сейчас уже XXIвек –век технологий, с развитием которых, можно говорить о том, что математика стала более развитой. Появляться новые предметы при интеграции математики с такими предметами как экономика, информатика, логика и многие другие.
      Возьмем для примера предмет нечеткие множества:
      Конечно данный курс не изучается в школьной математике, его можно взять лишь как элективный курс для старшеклассников.
      Пример 1. «Выбор школы»
      Рассмотрим пример выбора варианта при равной важности требований.
      Требуется выбрать школу для первоклассника. Требования, предъявляемые к школам таковы: С1 – близость к дому: С2 – профессионализм учителя: C3 – оснащенность школы, С4 – наличие хорошего питания. Пусть, имеется 3 школы: а1, а2, а3.
      В результате экспертной оценки получили следующие данные, характеризующие степень принадлежности школ заданным требованиям: 
      С1 = {0,9/a1; 0,7/a2; 0,8/a3};
      С2= {0,8/a1; 0,9/a2; 0,6/a3};
      C3 = {0,7/a1; 0,8/a2; 0,9/a3};
      C4 = {0,8/a1; 0,6/a2; 0,7/a3}.
      Существует несколько правил выбора. В соответствии с одним из них сначала находят соответствующие минимальные значения, из которых затем выбирают максимальное, оно указывает на результат.
      D = max { min(0,9; 0,8; 0,7; 0,8/a1);min (0,7; 0,9; 0,8; 0,6/a2);
      min (0,8; 0,6; 0,9; 0,7/a3)}= max {0,7/a1; 0,6/a2; 0,6/a3}.
      Таким образом, наилучшей является первая школа.
а1 = {0,9; 0,8; 0,7; 0,8}. 
      Кроме этого, в век информатизации, для решения математических задач и их визуализации используют компьютерные средства.
      Ведущие математические пакеты сейчас при минимальном знакомстве легко проводят очень сложные аналитические преобразования математических выражений, берут производные, интегралы, вычисляют пределы, разлагают и упрощают выражения, рисуют графики. Причем теперь не нужно долго изучать языки программирования для освоения математических возможностей компьютера. Сейчас в математических пакетах реализовано практически всё, необходимое инженеру, экономисту, социологу, статистику. Такие всемирно известные пакеты, как Mathematica, Mathcad, MatLAB, Maple, стали не только удобной вычислительной, но и поразительно плодотворной, гибкой образовательной средой. На мой взгляд, вместе с Интернетом эти пакеты могут объединить усилия многих и многих людей, обеспечивая мощные образовательные инициативы. Ведь в компьютерных учебниках и лекциях в текст теперь вставлены не обычные, а непосредственно исполняемые формулы, с помощью которых наглядно демонстрируется суть явлений. Их можно видоизменять под собственные задачи, дополнять и расширять, получив в результате не только числа, но и новые аналитические выражения, графики, таблицы. 
      Исторические аспект
      Важное место в обучении учащихся математике занимают задачи исторического содержания. При решении таких задач они не только усваивают текущий материал, но и расширяют свой кругозор.Использование задач исторического содержания на уроке позволяет учителю процесс обучения сделать более интересным, облегчает преодоление трудностей в усвоении учебного материала, способствует развитию и воспитанию учащихся.
      Необходимо учащихся знакомить с задачами, приводящими к определению понятия, причем не только в математике но и в других смежных науках.
Рассмотрим пример задачи, которую можно рассмотреть на факультативе по математике в старших классах:
      
      Задача о брахистохроне:
      Задача заключается в нахождении кривой, соединяющей заданные точки  A  и  B, при движении по которой материальная точка скатится из точки  A  в точку  B  за кратчайшее время (трением и сопротивлением среды пренебречь). 
      Решение. Поместим начало координат в точку A, ось Ox направим горизонтально, ось O.......................