Изучение теории эпидемий на примере «модели Бейли»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ 





Тема: Изучение теории эпидемий на примере «модели Бейли»











Студенты:

Мякошин Никита Александрович, 

Кирсанов Олег Владимирович

Факультет: Машиностроение

Специальность: 

«Автоматизация технологических процессов и производств»

Группа: 151-212

Преподаватель: Бритвина Валентина Валентиновна















Москва 2016

Актуальность темы



 В настоящее время потребность в математическом описании появляется при любой попытке вести обсуждение в точных понятиях и даже если это касается медицины.

С помощью математического описания можно увидеть скорость распространения болезни, которая приведёт к инфицированию большого количества населения.

Эта теория эпидемий внесла большой вклад в предотвращение распространения инфекций по миру.



Введение

Повсеместное распространение эпидемий чумы и голод, несомненно, были самыми главными причинами страданий человечества. Общее число людей, которые погибли от эпидемий за многие столетия, измеряется астрономическими цифрами, часто в отдельных странах погибала значительная часть общего населения. В XIV в. в Европе «черная смерть» погубила около 24% населения, насчитывавшего в то время примерно 100 млн. человек. Хотя современные страны избавились от эпидемий такого масштаба, но в наше время в Африке и на Востоке часто наблюдаются массовые болезни. Так же на 14 января 2015 года зарегистрировано 21000 случаев заболеваний эпидемии лихорадки Эбола в Гвинее, Либерии, Нигерии, Сьерра-Леоне, Сенегале, США и Испании суммарно. Число жертв лихорадки составляет около 8290 человек. Они представляют серьезную опасность  для тех стран, где они возникают и для соседних государств: благодаря развитию средств сообщения в наше время существует постоянный риск передачи вирусов и в те районы, где иммунитет слабее, хотя служба здравоохранения поставлена значительно лучше. 

Цель исследования изучить скорость распространения эпидемий в мире.

Задачи

Проанализировать применение дифференциальных уравнений в эпидемиях в мире.



Методы

- формулирование математических моделей (модель Бейли)

- методы предотвращений эпидемии

Пример применения дифференциальных уравнений в теории эпидемий (модель Бейли)

 Пренебрегая неоднородностью распределения популяции по пространству, введем две функции x(t) и y(t), характеризующие число незараженных и зараженных особей в момент времени t. В начальный момент времени t=0 известны x(0)=n и y(0)=a.

Для того чтобы сформулировать математическую модель, воспользуемся гипотезой: инфекция передается при встрече зараженных особей с незараженными, то есть число незараженных будет убывать с течением времени пропорционально количеству встреч между теми и другими, т.е. x и y.

На основании принятого предположения выразим убыль незараженных  особей за промежуток времени в виде .

(1)

Величина ? представляет собой коэффициент пропорциональности. Перейдем в (1) к пределу при 

(2)  

Для замыкания модели будем считать, что болезнь не приводит к смертности, следовательно, можно написать условие баланса

(3) a + n = x + y = const                                                         

Учитывая (3) перепишем (2)

(4)

 (5) x(0)=n 

Формулы (4) и (5) представляют собой математическую модель динамики незараженных особей. Коэффициент ? пропорциональности в модели характеризует вероятность передачи инфекции при встрече. В общем случае значение параметра ? зависит от вида особи и типа болезни. Считая ? постоянной величиной, найдем решение обыкновенного дифференциального уравнения (4). Разделив переменные в (4), можем переписать его в виде

(6)  

Разложим левую часть (4.6) на простые дроби и проинтегрируем 







Потенцируя последнее выражение, придем к равенству 

(7) 

Учитывая начальное условие (5) из (7) получим окончательное выражение для искомой функции 

(8) 

При известном x(t) число y(t) зараженных особей определится из условия баланса (3) 

(9) 

Примеры графиков функций x(t) и y(t), вычисленные по формулам (8, 9) при нескольких значениях параметра ?, приведены на рисунках. Начальные значения числа незараженных и зараженных особей приняты равными n=200, a=100. При увеличении ? скорость передачи инфекции увеличивается, и численность незараженных особей падает быстрее.





Рис.1

 

Рис.2

Для предотвращении эпидемий ВОЗ (всемирная организация здравоохранения) вводит:

Вакцинация.

Улучшения санитарии и гигиены.

Карантин.

Обсервация (это-система изоляционно-ограничительных мероприятий)

Вывод: Используя данную модель можно проанализировать скорость заражения эпидемией и предотвратить распространения болезни. Тем самым снизить уровень заболеваемости и смертности от эпидемий в мире........................