МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ
ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА-ЮГРЫ
Бюджетное учреждение высшего образования
Ханты-Мансийского автономного округа-Югры
«Сургутский государственный педагогический университет»
Факультет управления
Кафедра высшей математики и информатики
Функциональный подход к решению уравнений и неравенств
Курсовая работа
Направление подготовки 44.03.01 Педагогическое образование
Направленность Математика
Уровень бакалавриата
Исполнитель: Исаева Баджи Латифкызы,обучающаяся группы Б-6051 ______________________________________
(подпись).
Научный руководитель: Суханова Наталья Владимировна, к.п.н., доцент ______________________________________
(подпись).
Оценка: ______________________________
Заведующий кафедрой: Суханова Наталья Владимировна, к.п.н., доцент ______________________________________
(подпись).
Сургут 2018
Оглавление
Введение 3
Глава 1. Теоретические основы решения уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций 6
1.1. Основные понятия теории уравнений и неравенств 6
1.2. Основные способы решения уравнений и неравенств 9
1.3. Основные понятия и свойства функций, используемые при решении уравнений и неравенств 11
Глава 2. Практическая реализация функционального подхода при решении уравнений и неравенств 19
Заключение 26
Список литературы 27
Введение
Существуют уравнения (неравенства) стандартного вида (линейные, квадратные, иррациональные, логарифмические и т. д.) и стандартные методы их решения. Однако не всякое уравнение или неравенство можно решить с помощью стандартных приемов, предназначенных для вполне определенных типов уравнений (неравенств). Встречаются такие уравнения (неравенства), которые с помощью традиционных алгоритмов решить затруднительно. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать их нестандартные методы решения, которые порой существенно упрощают и сокращают решение. Остановимся на применении одного из таких методов – использования свойств элементарных функций при решении уравнений и неравенств, т.е. функциональный подход.
Функция – одно из важнейших понятий математики. В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям. Причиной этого является тесная связь математики с естественными науками, в частности с физикой, для которой числовые функции служат средством количественного описания различных зависимостей между величинами. Великий математик П. Дирихле в 1837 году дал следующее определение функции «…y есть функция отx, если всякому значению x соответствует вполне определённое значение y, причём совершенно не важно, каким именно способом установлено указанное соответствие…».
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Еще в глубокой древности в математических сочинениях встречались задачи, решаемые с помощью уравнений. Однако общее правило для решения уравнений первой степени с одни неизвестным дал в IX веке Мухаммед аль-Хорезми в своем сочинении «Аль-джебр и аль-мукабала». Самоназвание «алгебра» взято из заглавия этого сочинения - «Аль-джебр». Великий прорыв в алгебре связан с именем французского ученого XVI в. Франсуа Виета. Он первым из математиков ввел буквенные обозначения для коэффициентов уравнения и неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (x, yилиz) мы обязаны соотечественнику Виета - Рене Декарту.
Впервые всем нам известный знак равенства ввел Роберт Рекорд в 1557 году, за образец он взял два параллельных отрезка. Он пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины.
Понятие равенство наряду с понятиями «больше» и «меньше» возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Знаки неравенств ввел английский математик Томас Гарриот, объясняя это тем, что, если величины равны, то отрезки не должны быть параллельны, а должны пересекаться слева и справа. Книга, где впервые были применены эти знаки, вышла в 1631 году.
В 1734 году французский математик Пьер Бугер ввел знаки «не больше» и «не меньше», которые позднее приняли более привычные для нас очертания.
Уравнения и неравенства имеют очень большую роль в математике, потому что любая задача сводится к построению математической модели как в виде уравнения либо неравенства, поэтому спектр применения этих понятий очень велик.
Тема нашей курсовой работы является актуальной, потому что во многих школьных курсах математики функциональный подход к решению уравнений и неравенств в отдельную тему не выделен и использование свойств функции для решения задач упоминается вскользь при изучении других тем. Но в ЕГЭ достаточно часто встречаются уравнения и неравенства, решение которых упрощается, если применить функциональный подход.
Цель исследования – систематизация теоретического материала и его применение к решению уравнений и неравенств по теме: «Функциональный подход к решению уравнений и неравенств»
Цель исследования позволили определить объект и предмет.
Объект исследования – методы и приемы решения уравнений и неравенств.
Предмет исследования – функциональный подход крешению уравнений и неравенств.
Результаты исследования были представлены на конференциях: «Студенчество в научном поиске».
Работа состоит из введения, двух частей, заключения. Список использованной литературы включает 25 наименований.
Глава 1. Теоретические основы решения уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций
Основные понятия теории уравнений и неравенств
Линия уравнений и неравенств является стержнем алгебраического материала школьного курса математики. Она основана на построении и изучении математических моделей, включает вырабатывание и совершенствование техники алгебраических преобразований для решения уравнений и неравенств.
Определение 1. Пустьf(x) иg(x)– два выражения с переменной x и областью определения X. Тогда выражение вида f(x) = g(x) называется уравнением с одним неизвестным. Значение переменной x из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением) [20].
Примечание:В частных случаях правая или левая часть уравнения может быть числом, тогда она рассматривается как постоянная функция (представлена константой), имеющая одно и то же значение при всех значениях аргументов.
Определение 2.Решить уравнение – это значит найти множество его корней или доказать, что уравнение не имеет корней [20].
Множество всех решений уравнения может быть как конечным, так и бесконечным. Процесс решения уравнения обычно состоит из ряда преобразований, имеющих целью заменить данное уравнение одним или несколькими более простыми уравнениями. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не получим уравнение, которое мы умеем решать. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, что бы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают, т.е. равносильные уравнения.
Определение 3.Два уравнения f_1 (x) = g_1 (x) и f_2 (x) = g_2 (x)называются равносильными, если любой корень первого уравнения, принадлежащий множествуX, удовлетворяет второму уравнению, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству X, удовлетворяет первому уравнению.
Выясним, какие преобразования позволяют получать равносильные уравнения:
Теорема 1. Пусть уравнениеf(x) = g(x) задано на множестве X и h(x)–выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравненияf(x) = g(x) иf(x) + h(x) = g(x) + h(x) равносильны.
Теорема 2. Пусть уравнениеf(x) = g(x) задано на множестве X и h(x) – выражение, определенное на том же множествеи не обращается в нуль ни при каких значениях x из множества X. Тогда уравненияf(x) = g(x) и f(x) h(x) = g(x) h(x)равносильны
Рассмотрим теоретические положения относительно неравенств с одной переменной.
Определение 4. Пустьf(x)и g(x)– два выражения с переменной x и областью определения X. Тогда выражения вида
f(x)>g(x), f(x) или <, называются строгими; а неравенства, составленные с помощью знаков ? или ? – нестрогими.
Определение 5.Решить неравенство – это значит найти множество всех его решений или доказать, что их нет [20].
Если множество всех решений неравенства есть пустое множество, то говорят, что данное неравенство не имеет решений. Обычно решения неравенства записываются в виде промежутка или объединения нескольких промежутков.
Между решениями неравенств и уравнений много общего. Отличие же состоит в том, что решение неравенств чаще всего представлено бесконечными множествами. Значит, сделать полную проверку ответа, как это делается для уравнений, нельзя. Поэтому очень важно при решении неравенств переходить только к равносильным неравенствам.
Определение 6. Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.
К равносильным неравенствам приводят тождественные преобразования, не изменяющие область допустимых значений(таблица 1.)
Таблица 1.
Свойства числовых неравенств
a?b?b?a
пусть с>0,тогда
пусть с<0,тогда
a?b?a*c?b*c
a?b и b?c ?a?c
a?b?a*c?b*c
a?b?a+c?b+c
Пусть a>0, b>0
тогда
a?b? 1/a?1/b
a^2?b^2? |a|?|b|
Рассмотрим основные способы решения уравнений и неравенств.
Основные способы решения уравнений и неравенств
В научной литературе выделяют следующие универсальные методы решения уравнений и неравенств:
Основные методы решения уравнений:
метод подбора – подбираются корни уравнения, а затем доказывается, что других корней уравнение не имеет.
метод деления на многочлен - деления многочленаf(x)на многочлен g(x),степень которого меньше или равна степени многочленаf(x).
Основной метод решения неравенств:метод интервалов применяют при решении линейных, квадратных и дробно-рациональных неравенств. Основан на том, что непрерывная функцияf(x)может изменить знак либо в граничных точках ОДЗ, где она "разрывается", либо, проходя через ноль, т.е. в точках, являющиеся корнями уравнения f(x)=0. Ни в каких других точках перемены знака не происходит.
Но помимо вышеперечисленных способов решения неравенств есть и другие, применимые и для решения уравнений:
метод замены переменных, который основывается на введение новых переменных.
метод расщепления.Правила расщепления следуют из свойств действительных чисел и формулируются следующим образом.
f ? x?? g? x? =0 ?f ? x?=0 или g? x? =0;
f ? x?? g? x?? 0 ? {?(f(x)>0@g(x)>0)? или {?(f(x)<0@g(x)<0)?;
f ? x?? g? x?<0? {?(f(x)>0@g(x)<0) или ? {?(f(x)<0@g(x)>0)?
Примечание:Правила расщепления нестрогих неравенств получаются из 2 и 3 заменой всех строгих неравенств на соответствующие нестрогие (т.е. <меняется на ?, а > — на ?).
метод понижения степени, с помощью формул приведения иосновного тригонометрического тождества (для тригонометрических уравнений и неравенств).
метод разложения на множители, который основывается на использовании формул сокращенного умножения, вынесении общего множителя за скобки, группировка, выделение полного квадрата.
графический метод решения уравнений и неравенств основывается на построение графиков функции, входящих в уравнение (неравенство).
Не будем подробно останавливаться на каждом из этих методов, так как наш главный способ заключается в применении свойств функций, входящих в уравнения и неравенства.
Основные понятия и свойства функций, используемые при решении уравнений и неравенств
Геометрия, механика физика, различные области науки и техники дают нам множество примеров, когда рассматриваемые в том или ином вопросе переменные величины находятся в зависимости, так что значение одной из величин определяет значение другой. Такого рода зависимости между двумя переменными называют функциональными зависимостями[19].
Определение 7.Переменная y называется функцией переменной x, если каждому значению x(из некоторой области X изменения x) поставлено в соответствие по определенному закону значение y. При этом xназывается независимой переменной (аргументом), а область ее изменения X- областью определения функции y [19].
Функциональный подход решения уравнения и неравенств основан на использовании свойств функций, образующих это уравнение или неравенство. В научной литературе обычно рассматривают функционально-графический подход, где подразумевается соединение двух методов: изучение свойств функций и решение уравнений (неравенств) графическим методом. Но в отличие от графического метода, использование свойств функций позволяет находить точные корни уравнения (и решения неравенства), при этом не требуется построения графиков функций.
Укажем свойства функции, которые традиционно используют и раскрывают в основной научной литературе при решении уравнений и неравенств:
Область определения функции;
Область значения функции;
Монотонность функции;
Четность (нечетность) функции;
Периодичность функции.
Использование понятия области определения функции
Определение 8. Областью определения функцииy = f(x)называется множество всех допустимых значений (ОДЗ) переменной x, при которых функция имеет смысл[9].
Теорема 3. Пусть дано уравнениеf(x) = g(x), где f(x)и g(x)— элементарные функции, определенные на множествах D_1, D_2. Тогда областью допустимых значений(D) уравнения будет множество, состоящее из тех значений x, которые принадлежат обоим множествам, то есть D= D_1?D_2. Ясно, что когда множество D пустое (D=?), то уравнение решений не имеет.
Пример:?(2-x)=?(x-3)
Решение: ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям: {?(2-x ? 0,@x-3 ? 0.)??{?(x ? 2,@x ? 3.)?
Это значит, что ОДЗ есть пустое множество(D=?).Этим решение уравнения и завершается, т.к. установлено, что ни одно число не может являться решением системы, т.е. уравнение не имеет корней.
Ответ: решений нет.
Примечание: Часто оказывается достаточным рассмотреть не всю область определения функции, а лишь ее подмножество, на котором функция принимает значения, удовлетворяющие некоторым условиям (например, только неотрицательные значения).
Теорема 4. Пусть дано неравенство f(x) > 0и D(f)— область определения функции f(x). Если удается доказать, что для всех x из области определения выполняется неравенство f(x) > 0, то D(f)представляет собой решение данного неравенства.
Пример:|x| + ?(x^2-1) ? 1
Решение:
Область определения левой части: |x| ? 1
Для любого х из области определения выполняется неравенство: |x|+ ?(x^2-1) ? 1
Ответ:x?(-??; ? -1]?[1?; ? ?).
Использование понятия области значений функции
Определение 9. Областью значений функцииy = f(x)называется множество значений переменной y при допустимых значениях переменной x [9].
Определение 10.Функцияy = f(x)называется ограниченной на данном промежутке (содержащемся в области ее определения), если существует такое число N> 0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство | f(x) |x_(1 ) выполнено неравенство f_1 (x)? x?_(1 ),выполнено неравенство f_1 (x)>f_2 (x) [9].
Определение 13. Функция f(x), называется монотонной на некотором промежутке X, если она на этом промежутке возрастает или убывает [20].
Рассмотрим несколько свойств монотонных функций, используемых для установления характера монотонности функций:
Теорема 6. Монотонная на промежутке X функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента из этого промежутка.
Теорема 7.Если функция f(x) возрастает (убывает) на промежуткеX и функция g(x)возрастает (убывает) на промежутке X, то функция h(x)= f(x) + g(x)=C (c=const) также возрастает (убывает) на промежутке X.
Теорема 8.Если функция f(x) неотрицательна и возрастает (убывает) на промежутке X, функция g(x) неотрицательна и возрастает (убывает) на промежутке X, то функция h(x) =Cf(x)g(x),C>0 также возрастает (убывает) на промежутке X.
Теорема 9. Если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то функция – f(x) убывает (возрастает) на этом промежутке.
Теорема 10. Если функция f(x)монотонна на промежутке X и сохраняет на этом множестве знак, то функция 1/(f(x)) на промежутке Xимеет противоположный характер монотонности.
Теорема 11. Если обе функции f(x) и g(x)возрастающие или обе убывающие, то функция h(x) = f(g(x))— возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая, а другая убывающая, то h(x) = f(g(x))— убывающая функция.
Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих теоремах:
Теорема 12. Если функция f(x) монотонна на промежутке X, то уравнение f(x) = C, где c=const, имеет на промежутке X не более одного корня.
Теорема 13. Если функция f(x) монотонна на промежутке X, то уравнение f(g(x))= f(h(x)) равносильно на промежутке X уравнению g(x) = h(x).
Теорема 14. Если функция f(x) возрастает на промежутке X, а g(x)убывает на промежутке X, то уравнение f(x)= g(x) имеет на промежутке X не более одного корня.
Теорема 15.Если функцияf(x)возрастает (убывает) на промежуткеX, то неравенствоf(g(x))h(x)).Аналогичное свойство имеет место и для нестрогих неравенств
Теорема 16.Если функцияf(x) возрастает на промежутке X, то уравнениеf(f(x)) = x равносильно на промежутке X уравнению f(x) = x.
Пример:x^3 = 2-x
Решение: Рассмотрим функции f(x) = x^3 и g(x) = 2-x. Функция f(x)возрастает на всей области определения, а функция g(x) убывает на области определения. Следовательно, по теореме 17, данное уравнение имеет не более одного корня.Подбором находим, что x=1
Ответ: 1.
Использование свойств четности или нечетности функций
Определение 14. Функция f(x)называется четной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение -x также принадлежит области определения и выполняется равенствоf(-x)= f(x)[9].
Определение 15. Функцияf(x) называется нечетной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение -x также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x)= – f(x)[9].
Определение 16.Если ни одно из условий f(-x) =f(x)или f(-x) = – f(x) не выполняется, то функция f(x)не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.
Примечание:Области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля (необходимое условие).
Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная — равные по абсолютной величине, но противоположного знака.
Рассмотрим несколько свойств, используемых для установления четности (нечетности) функций:
Теорема 17. Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.
Теорема 18. Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
Теорема 19. Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.
Теорема 20. Если функция fчетна(нечетна), то и функция 1/fчетна (нечетна).
Пусть имеем уравнение или неравенство F(x)= 0, F(x)>0(F(x)<0), где F(x) — четная или нечетная функция:
Чтобы решить уравнение F(x) =0, где F(x)— четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записываются отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Для нечетной функции корнем будет x=0, если это значение входит в область определенияF(x). Для четной функции значение x= 0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.
Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), гдеF(x) — четная функция, достаточно найти его решения для x?0 (или x?0). Действительно, если решением данного неравенства является промежуток (x_1; x_2), где x_1, x_2— числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток (?-x?_1; -x_2).
Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), где F(x)> — нечетная функция, достаточно найти решения дляx>0 (или x<0). Если нам известны промежутки знакопостоянства функции F(x)для x>0 (или x<0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x<0 (или x>0).
Использование свойства периодичности функции
Определение 17. Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число T? 0, что для любого значения x, взятого из области определения, значения x+T, x-T, также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x)=f(x+T) = f(x-T) [9].
Всякая периодическая функция имеет бесконечное количество периодов. При решении уравнений и неравенств будем использовать положительный наименьший период функции.
Если функция F(x) — периодическая, то решение уравненияF(x)=0или неравенстваF(x)>0 (F(x)<0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего записывается общее решение. Если периодическая функция еще и четная или нечетная, то решение достаточно найти на промежутке, равном по длине половине периода.
Рассмотрим применение данных свойств функции при решении более сложных уравнений и неравенств.
Глава 2. Практическая реализация функционального подхода при решении уравнений и неравенств
Использование понятия области определения функции
Пример 1. Решить уравнение:? sin?^2?2x+?cos?^(6 )??x/2?+ 6sin?5x= 9
Решение:Рассмотрим функции, входящие в уравнение левой части
Область определения функции левой части уравнения:
{?(?sin?^2?2x?1,@?cos?^(6 )??x/2? ?1,@6 sin?5x ?6.)? ?
?sin?^2?2x +?cos?^(6 )??x/2?+ 6sin?5x ? 8
Получили, что в данном уравнении левая часть не больше восьми, а правая часть равна девяти при всех действительных значениях переменной х, поэтому данное уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
Пример 2. Решить уравнение:?log?_5?x = ?(1-x^4 )
Решение: Рассмотрим функции ?f(x) = log?_5?x и g(x) = ?(1-x^4 )
ОДЗ {?(x ? 0,@1-x^4 ? 0.)?? {?(x ? 0,@|x| ? 1.)??0 0, т.е. на этом интервале уравнение не имеет решений.
Ответ: 1.
Пример 3. Решить неравенство:
Решение. Рассмотрим функции входящие в область определения неравенства.
Область определения неравенства задается условиями:
При x = 1 получаем, что исходное неравенство обращается в неверное неравенство 0>0
Приx= 5 имеем верное неравенство 1/5>0.
Ответ:5.
Использование понятия области значений функции
Пример 4.Решить уравнение: x^2+2x+3 = ?(4-x^2 ).
Решение: Рассмотрим функцию f(x) = x^2+2x+3 и найдем её область значений.
f(x) = x^2+2x+3 = x^2+2x+1+2 = (x+1)^2+2?2.
Областью значений функции f(x)является промежуток [2;+?).
Найдём область значений функции g(x) = ?(4-x^2 ).Учитывая, что-2 ? x ? 2, имеем ?(g) = [0;2].
Таким образом, исходное уравнение будем иметь решение тогда и только тогда, когда будем иметь решение система:
{?(x^2+2x+3 = 2,@?(4-x^2 ) = 2.)?? {?((x+1)^2+2 = 2,@4-x^2 = 4.)?{?(x = -1,@x = 0.)????
Ответ: нет решений.
Пример 5.Решите уравнение:5(1 + cos??2?x) = 5^x + 5^(2-x).?
Решение: Разделим обе части уравнения на 5, получим:
1+cos??2?x =? 5?^(x-1) + 5^(1-x).?
Областью значений функции f(x) = 1 + cos?2?x является промежуток [0;2], а функция g(x) = 5^(x-1) + 5^(1-x) – промежуток [2; +?). Поэтому исходное уравнение будет иметь решение в том случае, если будет иметь решение система:
{?(1+cos??2?x = 2,?@5^(x-1)+5^(1-x) = 2.)?? {?(cos??2?x = 1,?@5^(x-1) = 1.)??{?(cos??2?x = 1,?@x-1 = 0.)??x =1.
Ответ: 1.
Пример 6. Решить неравенство:
4?((3x-1)^2 )+?((?log?_2??x^2 ? )^2 + 16 ?log?_4?x ) ? 4-2x
Решение: Упростим первый корень:
4|3x-1| + ?((?log?_2??x^2 ? )^2+16 ?log?_4?x )? 4-12x
Заметим, что оба слагаемых в левой части неравенства неотрицательны, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательна, то есть:
4-12x ? 0,
x ? 1/3.
При этих значениях x подмодульное выражение отрицательно, следовательно, раскрываем модуль с противоположным знаком:
-4(3x-1) + ?((?log?_2??x^2 ? )^2+16 ?log?_4?x )? 4-2x,
4-12x+ ?((?log?_2??x^2 ? )^2+16 ?log?_4?x )? 4-2x,
?((?log?_2??x^2 ? )^2+16 ?log?_4?x )? 0.
Так как, квадратный корень – величина неотрицательная, следовательно, неравенство выполняется, только если левая часть равна нулю:
(?log?_2??x^2 ? )^2+16 ?log?_4?x = 0.
?log?_2??x = 0? или ?log?_2??x = -2?
x_1 = 1
x_2=1/4
Легко проверить, что только число x = 1/4 является решением исходного неравенства.
Ответ:1/4
Использование свойства монотонности функции
Пример 7. Решить уравнение: ?(x^(3 )+ 24)= 3x + 8 + ?(x^3 + 12)
Решение:Перепишем уравнение в виде (перенести, умножить и разделить левую часть уравнения на сопряженное):
12/?(x^3 + 24 + ?(x^3 + 12)) = 3x + 8
Левая часть уравнения есть убывающая функция, а правая – возрастающая. Значит, уравнение не может иметь более одного корня [Теорема 14].
Подбором находим: x=2
Ответ: 2.
Пример 8.Решить уравнение: 2x^5 + x^3 + 5x - 80 = ?(14 - 3x)
Решение:Рассмотрим функцию f(x) = 2x^5 + x^3 + 5x - 80. Исследуем ее на монотонность с помощью производной:
f’(x)= 10x^4 + 3x^2 + 5
Решаем биквадратное уравнение: 10x^4 + 3x^2 + 5 = 0
D= 9- 200 <0
поэтому f’(x)>0 при всех значениях x?R., следовательно, функция f(x) - возрастающая.
Теперь исследуем функциюg(x) = ?(14-3x), легко установить, что она убывает при всех значениях x?R.
Из проведенного исследования можно сделать вывод, что данное уравнение не может иметь более одного корня [Теорема 14].
Подбором находим: x=2
Ответ:2.
Пример 9. Решить неравенство:
?(6&x) + 2x^3 + ?log?_3??(x + 2) - ?(1-x)?< 4.
Решение. Область определения данного неравенства есть промежуток [0;1]
Функция f(x) = ?(6&x) + 2x^3 + ?log?_3??(x + 2) - ?(1-x)? возрастает на этом промежутке как сумма возрастающих функций.
Так как f(1) = 4, то все значения x из множества [0;? ? 1)удовлетворяют исходному неравенству.
Ответ:[0; 1).
Пример 10. Решить уравнение: ?(4x -1)+ ?( 3&x + 1) + ?( 9&x - 6 ) = 6
Решение: Рассмотрим левую часть данного уравнения
f(x) =?( 3&4x - 1)+ ?(x + 1)+ ?(9&x- 6) – возрастающая функция, как сумма возрастающих функций, поэтому у него не более одного корня [Теорема 12].
Решение находится подбором – это x = 7
При подстановке его в уравнение получаем 3+2+1=6, это верное равенство.
Ответ: 7.
Использование свойств четности или нечетности функций
Пример 11.Может ли при каком-нибудь значенииа уравнение
2x^8 - 3ax^6 + 4x^4 - ax^2 = 5 иметь 5 корней?
Решение:Обозначимf(x)= 2x^8-3ax^6+4x^4-ax^2 = 5.f(x) – функция четная, поэтому, если ? x?_0 – корень данного уравнения, то ?-x?_0 – тоже является корнем данного уравнения.
x= 0 не является корнем данного уравнения (0 ? 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном a четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.
Ответ: не может.
Пример 12. Решить уравнение: 8^|x| = 2^(|x + 2|+|x - 2| )
Решение: Решим уравнение с учётом свойств четной функции.
В обеих частях уравнения имеем чётные функции. Поэтому достаточно найти для решения x?0. Но x=0 не является корнем уравнения.
Рассмотрим два промежутка (0;2] и (2; +?).
На промежутке (0;2] имеем:
8^x = 2^(x + 2 - x+ 2) ;
2^3x = 2^4;
x = 4/3.
На промежутке (2; +?)имеем:
8^x = 2^(x + 2 + x - 2);
2^3x= 2^2x;
3x = 2x;
x = 0 – посторонний корень.
Значит, для x>0 данное уравнение имеет только один корень x=4/3.
Корни, принадлежащие промежутку x<0 противоположны корням из промежутка x>0, т.е. x=-4/3 также является корнем уравнения.
Ответ:4/3; -4/3.
Использование свойства периодичности функции
Пример 13.Решить неравенство: cos?x cos??3x ? |
