ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
“-----Название университета-----”
Кафедра “------------”
Курсовая работа на тему:
“ Элементы общей топологии ”
Выполнил студент
курса
группы *********
Научный руководитель *********
Твой город – 2016
Содержание
Содержание 2
Введение 3
Глава 1 Понятие топологических пространств 4
1.1 Топологическая структура 4
1.2 Примеры топологических пространств 5
1.3 Метрические пространства 6
Глава 2 Некоторые свойства топологических пространств 8
2.1 Замкнутые множества 8
2.2 Внутренние, внешние и граничные точки 9
2.3 Замыкание 11
2.4 База топологии и подпространства 13
2.5 Связность 16
2.6 Отделимость 18
2.7 Компактность 19
Глава 3 Преобразования топологических пространств 22
3.1 Непрерывные отображения 22
3.2 Гомеоморфизмы 24
Заключение 26
Список использованных источников 27
Введение
Топология (по-гречески topos – место) – это часть геометрии, посвящённая изучению феномена непрерывности (который выражается, например, в понятии предела) [8]. Топология как наука является областью знания, которая включает такие понятия, как непрерывность функции, компактность множества, близость точек, связность множества, пределы последовательности, открытые, замкнутые множества, предельные точки множеств и т. д. Топологический язык применяется почти во всех областях математики.
Множество проявлений непрерывности в математике и большой спектр разных подходов к её изучению привели к распаду единой топологии на виды (общая, равномерная, алгебраическая, кусочно-линейная и топология многообразий), отличающиеся друг от друга предметами и методами изучения и фактически немного связанных между собой.
Часть топологии, аксиоматически изучающую топологические пространства, их свойства и непрерывные отображения, называют общей топологией. Вместе с алгеброй общая топология является основой современного теоретико-множественного математического метода.Осознавая, как понятия открытых множеств и непрерывности даются в общей топологии, можно отметить, что многие важные определения математического анализа являются частными случаями топологии, ставящей многое на свои законные места в логической картине восприятия.
От других разделов топологии общая топология отличается и общностью рассматриваемых топологических пространств, и чисто топологическими способами их изучения. Изучение непрерывных отображений предполагает и изучение топологических пространств как областей определения и множеств значений непрерывных отображений. Это является необходимым, например, потому, что свойства отображаемых пространств и пространств-образов воздействуют на свойства непрерывных отображений (впрочем, как и наоборот). В непрерывных отображениях топологических пространств особое место занимают гомеоморфизмы.
Изучение основ общей топологии в настоящее время актуально для многих специалистов, в том числе экономических специальностей, поскольку язык и методы общей топологии применяются почти во всех математических дисциплинах.
Объектом данной курсовой работы является топология. Предметом являются элементы общей топологии.
Целью работы является изучение и описание основных элементов общей топологии.
Задачи данной курсовой работы:
Найти и проанализировать источники литературы по данной теме.
Рассмотреть понятие топологического пространства.
Описать некоторые свойства топологических пространств.
Изучить понятие непрерывных отображений и гомеоморфизмов.
Глава 1 Понятие топологических пространств
Топологическая структура
Пусть дано множество X, элементы которого назовем точками. Выделим семейство Ф подмножеств G? ? X.
Определение 1.1. Топологической структурой на множестве X называется семейство Ф = {G?} его подмножеств, когда оно удовлетворяет данным условиям:
Объединение любых множеств из Ф принадлежит Ф.
Пересечение любых двух множеств из Ф принадлежит Ф.
Пустое множество ? принадлежит Ф.
Множество X принадлежит Ф.
Топологическая структура Ф кратко называется топологией, заданной на множестве X.
Определение 1.2. Топологическим пространством называется множество X, в котором задана некоторая топология Ф [9, стр. 18].
Любое множество G ? Ф называют открытым в топологическом пространстве X. Таким образом, топологическое пространство – это множество X и топология Ф, заданная на нем. Когда понятно, о какой топологии идет речь, топологическое пространство обозначается одной буквой X. Условия 1 – 4 из определения 1.1 называются аксиомами топологического пространства.
1.2 Примеры топологических пространств
Пример 1.1. Пусть X является произвольным множеством. Открытыми в X считаются только пустое множество ? и само X. Такую топологию называют тривиальной. Выполнение условий 1 – 4 является очевидным.
Пример 1.2. Пусть дано произвольное множество X. Открытыми в X будем считать любые подмножества множества X. Такую топологию называют дискретной. Очевидно, что условия 1 – 4 выполняются.
Пример 1.3. Обозначим U(a, R) множество точек х = (x1, … , xn) ? R^n, таких, что
(x_1-a_1 )^2+(x_2-a_2 )^2+…+(x_n-a_n )^2 0 – это действительное число, а а = (a1, … , an) – некоторая фиксированная точка из R^n. Если в R^n введена обычная евклидова метрика, то U(a, R) является открытым шаром радиуса R с центром в точке а.
Пусть X = R^n. Открытыми множествами в R^nназовем такие множества, в которых каждая точка – это центр некоторого открытого шара, содержащегося в данном множестве. Другими словами, множество G открыто в R^n, когда для каждой точки а ? G существует такое R > 0, что открытый шар U(a, R) ? G.
Выполнение условий 1, 3 и 4 практически очевидно. Докажем выполнение условия 2. Пусть G1 и G2 являются открытыми, а G = G1 ? G2. Если точка а ? G, то а ? G1 и a ? G2, следовательно, есть такие числа R1 и R2, что U(a, R1) ? G1 и U(a, R2) ? G2. Если r = min(R1, R2), то U(a, r) ? G и, значит, множество G является открытым.
Топологию, описанную в данном примере, называют естественной.
Пример 1.4. Пусть X = R^n. Открытыми множествами в X назовем лишь шары U(p, R) с центром в фиксированной точке р, а также все X и пустое множество. Очевидно, что выполняются условия 3 и 4.
Если {U(p, R?)} – это любая система открытых множеств, то их объединением станет множество U(p, r), где r = sup{R?}. Если sup{R?} = +?, то U(р, r) = X. Таким образом, условие 1 выполняется. Пересечением двух множеств U(p, R1) и U(р, R2) является множество U(р, r), где r = min(R1, R2), значит условие 2 также выполняется. Эта топология называется концентрической.
Данные примеры показывают, что на одном и том же множестве можно задавать разные топологии, что ведет к разным топологическим пространствам.
1.3 Метрические пространства
Приведем пример очень значимого класса топологических пространств. Данные пространства называются метрическими. В разных областях математики и физики важную роль играет понятие расстояния между точками. Аксиоматизация свойств, которыми обладает расстояние на прямой, плоскости и в трёхмерном пространстве, привела математиков в начале двадцатого столетия к введению понятия метрического пространства. Класс метрических пространств представляет собой наиболее изученный класс топологических пространств. Введение структуры метрического пространства позволяет описывать свойства объектов на геометрическом языке и применять геометрическую интуицию [5, стр. 10].
Определение 1.3. Пусть X является произвольным непустым множеством. Метрикой на множестве X называется отображение р : X ? X ? R. удовлетворяющее данным условиям (аксиомам):
р(х, у) ? 0 для любых х, у ? X, кроме того, равенство р(х, у) = 0 тогда и только тогда имеет место, когда х = у.
р(х, у) = р(у, х) для любых х, у ? X.
Для любых x, y, z ? X выполняется: р(х, у) + р(у, z) ? р(х, z).
Определение 1.4. Множество X с метрикой p, заданной на нем, называется метрическим пространством. Элементы множества X называются обычно точками. Число p(x, у) называется расстоянием между точками x и у.
Метрическое пространство чаще всего обозначается (X, p). Если не возникает опасность путаницы, то метрическое пространство (Х, p) обозначается просто буквой X.
Докажем, что задание метрики p на множестве X дает возможность определить некоторую топологию на X.
Определение 1.5. Открытым шаром с центром в точке а и радиусам r > 0 называется множество таких и только таких точек х метрического пространства, для которых справедливо p(а, x) < r.
Открытый шар с центром в а и радиусом r > 0 чаще всего обозначается U(a, r).
Определение 1.6. Открытым множествам в метрическом пространстве называется такое множество G, которое вместе с любой своей точкой содержит и некоторый открытый шар положительного радиуса с центром в данной точке.
Топологией, индуцированной метрикой р, называется топология, содержащая пустое множество, само X и различные открытые множества в смысле определения 1.6. Проверить аксиомы топологии можно таким же способом, как и в примере 1.3.
Понятие топологического пространства – это естественное обобщение понятия метрического пространства. Анализ целой группы важных понятий теории метрических пространств показывает, что они могут быть описаны в терминах открытых множеств без привлечения понятия метрики. Топологическое пространство определяется как множество, в котором выделены некоторые подмножества, удовлетворяющие определённым аксиомам. В качестве таких аксиом берутся основные свойства открытых множеств метрического пространства [1, стр. 102].
Глава 2 Некоторые свойства топологических пространств
2.1 Замкнутые множества
Множество X \ Н называют дополнением множества Н до X. Очевидными являются соотношения
H?(X\H)=?, H?(X\H)=X, X\(X\H)=H.
Легко проверяются так называемые формулы двойственности:
?_???(X\H_? )=X\(?_??H_? ) и ?_???(X\H_? )=X\(?_??H_? ) ??
Определение 2.1. Множество F называют замкнутым в топологическом пространстве X, когда оно является дополнением некоторого открытого множества G до X, или когда дополнение F до X является открытым.
Из аксиом топологического пространства и формул двойственности следует следующая теорема:
Теорема 2.1.
1. Пересечение любой совокупности замкнутых множеств является замкнутым множеством.
2. Объединение двух замкнутых множеств является замкнутым множеством.
3. Все пространство X является замкнутым.
4. Пустое множество является замкнутым.
Утверждения 3 и 4 очевидны. Докажем утверждение 1. Пусть дана любая совокупность {F?} замкнутых множеств F?. Тогда совокупность {G?} = {X \F?} состоит из открытых множеств. Из формул двойственности и аксиомы 2 следует, что множество
F=?_???F_?=?_???(X\G_? )=X\(?_??G_? ) ??
является дополнением к открытому множеству. Утверждение 2 доказывается аналогично.
Утверждение аксиомы 2 из определения 1.1, а также соответствующее ему свойство 2 замкнутых множеств можно распространить с двух на любое конечное число множеств. Можно использовать для этого метод математической индукции. Тогда получаем следующую теорему:
Теорема 2.2 Пересечение любого конечного числа открытых множеств будет открытым множеством. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств будет замкнутым множеством.
Отметим, что пересечение бесконечного семейства открытых множеств не всегда будет открытым множеством. Объединение бесконечного семейства замкнутых множеств не всегда будет множеством замкнутым.
2.2 Внутренние, внешние и граничные точки
Важным определением является следующее:
Определение 2.2. Любое открытое множество, включающее точку х топологического пространства (X, Ф), называют окрестностью этой точки.
Нужно заметить, что свойство множества быть окрестностью этой точки зависит от выбора топологии на множестве. Помимо этого, в учебных пособиях встречаются и другие определения окрестности [11, стр. 46].
Пусть в пространстве X есть произвольное множество A. Все точки пространства можно разбить на три класса по отношению к данному множеству: внутренние, внешние и граничные точки. Приведем соответствующие определения.
Определение 2.3. Точку х называют внутренней точкой множества A, если есть такая окрестность Vx данной точки, которая полностью содержится в данном множестве (Vx ?A).
Множество внутренних точек во множестве A обозначается через int A.
Определение 2.4. Точку х называют внешней точкой множества A, когда существует такая окрестность этой точки Vx, которая не содержит ни одной точки множества А (Vx ?(X\A)).
Множество внешних точек во множестве A обозначается через ext А.
Определение 2.5. Точку х называют граничной точкой множества A, когда в любой окрестности данной точки присутствуют как точки из множества A, так и точки, не принадлежащие А.
Определение 2.6. Множество всех граничных точек множества А называется границей множества А и обозначается Fr A.
Теорема 2.3. Для множеств int A, ext A, FrA справедливы данные соотношения:
intA ? ext A ? FrA = X,
intA ? ext А = ext А ? FrA = intA ? FrA = ?.
Теорема 2.4. Для множеств intA, ext A, FrA справедливы данные соотношения:
intA = ext(X \ A), ext А = int(X \ A),
FrA = Fr(X \ A), intA ?A, ext А ?(X \ A).
Теорема 2.5. Для любого множества А множество int A является открытым.
Дня любой точки х ? int A возьмем такую окрестность Vx что х ? Vx ? A. Так как открытое множество является окрестностью любой своей точки, то Vx ? int A. Так как int A = ?_(x?intA)?V_x , то из аксиомы 1 в определении 1.1 следует, что множество int A является открытым.
Следствие 2.1. Для любого множества А множество ext А будет открыто.
Теорема 2.6. Чтобы множество А было открыто, необходимо и достаточно, чтобы А = int A.
Докажем сначала необходимость. Открытое множество является окрестностью каждой своей точки, следовательно, А ? intA. Так как intA ? A, то, следовательно, А = int A.
Достаточность cледует из того, что множество int A является открытым.
2.3 Замыкание
Определение 2.7. Точку р называют точкой прикосновения множества M, если каждая окрестность Vp данной точки имеет с М хотя бы одну общую точку (? V_p, V_p ? M ? ?).
Определение 2.8. Множество всех точек прикосновения множества М называют замыканием множества М и обозначают M ?.
Из данного определения следует теорема [6, стр. 67]:
Теорема 2.7. Для каждого множества М справедливы равенства:
М ? = intM ? FrM = X \ extM, M ? M ?.
Теорема 2.8. Замыкание любого множества является замкнутым множеством.
Так как множество ext M является открытым, а множество М ? – его дополнение, то оно замкнутое.
Теорема 2.9. Чтобы множество М было замкнутое, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием M ?.
Докажем необходимость. Допустим М замкнуто. Покажем, что М = M ?. Так как X \ М является открытым, то имеем
X \ М = int (X \ М) = ext M.
Тогда
M ? = Х \ ext M = Х \ (X \ М) = М.
Достаточность следует из того, что замыкание любого множества – это замкнутое множество.
Следствие 2.2. Для любого множества А справедливо равенство: A ? = A ?.
Теорема 2.10. Если замкнутое множество F содержит множество А, то A ? ? F.
Если A ? F, то A ? ? F ?. Поскольку F ? = F, то A ? ? F.
Следствие 2.3. Замыкание множества А – это пересечение всех замкнутых множеств, включающих А.
Теорема 2.11. Граница любого множества является множеством замкнутым.
Так как int A ? ext A ? Fr A = X, то Fr A = X \ (int A ? ext А). Так как множество int A ? ext А открытое, то его дополнение, а значит и FrA, замкнутое.
Теорема 2.12. Замыкание объединения двух множеств равняется объединению их замыканий:
(A ? В ) ?= A ? ? В ?.
Допустим х ? (A ? В) ?. Тогда для каждой окрестности Vx, Vx ? (A ? В) ??. Так как Vx ? (A ? В) = (Vx ? A) ? (Vx ? В), то из этого следует, что хотя бы одно из множеств, Vx ? А и Vx ? В отличается от пустого. Например, Vx ? А ??. Тогда х ? (A ) ?, значит и A ? ? В ?. Было доказано, что
(A ? В ) ? ?A ? ? В ?.
Докажем обратное включение. А ? (A ? В), следовательно, A ? ? (A ? В ) ?. Аналогично, В ? (A ? В), следовательно, B ? ? (A ? В ) ?. Но тогда
A ? ? В ??(A ? В ) ?,
что и требовалось доказать.
2.4 База топологии и подпространства
Пусть (Х,Ф) является топологическим пространством и пусть дано некоторое семейство открытых множеств B = {B_?} в данном пространстве [4, стр. 24].
Определение 2.9. Семейство открытых множеств B в топологическом пространстве называют базой, если каждое открытое множество в X может быть представлено как объединение некоторых множеств в семействе B.
Теорема 2.13. Чтобы семейство B? Ф стало базой топологического пространства (X, Ф), необходимо и достаточно, чтобы для любых a ? X и ? V_a ? Ф существовало В_а ? B, такое, что а ? Ва ? Va.
Докажем необходимость. Допустим, В ? Ф – база. Пусть дана произвольная точка а ? X и ее произвольная окрестность Va . Так как Va ? Ф, то Va – объединение некоторой совокупности множеств из базиса B. Так как а ? Va, то существует множество Ва ? B такое, что а ? Ва. Значит, а ? Ва ? Va, что и необходимо было доказать.
Докажем теперь достаточность. Пусть дано произвольное открытое множество G ? Ф. Тогда по условию теоремы имеем:
для любой а ? G существует Ва ? B, такое, что а ? Ва ? G, откуда получаем:
G=?_(a?G)?B_a .
С помощью теоремы 2.13 легко убедиться, что в качестве базы в пространстве Е2 можно брать семейство всех открытых прямоугольников со сторонами, которые параллельны координатным осям. Также базой в Е2 может быть семейство всех открытых кругов. В данных случаях семейства нужно дополнять пустым множеством.
В метрическом пространстве с индуцированной метрикой топологией может служить базой дополненное пустым множеством семейство всех открытых шаров.
В пространстве с дискретной топологией базой может служить семейство, включающее пустое множество и все одноточечные множества.
Чаще всего топологическую структуру во множестве X вводят, задавая только некоторое семейство, которое можно рассматривать как базу некоторой топологии, а не семейство открытых множеств. Очевидно, что это семейство не может быть абсолютно произвольным. Теорема 2.14 будет отвечать на вопрос, каким условиям должно подчиняться подобное семейство.
Теорема 2.14. Пусть X является произвольным множеством. Пусть семейство B = {В?} подмножеств множества X будет удовлетворять данным условиям:
X = ?_??B_? ;
??B;
для любых А, В ?B и точки а ? (А?В) существует такое С ? B, что а ? С ? (А?В).
Тогда в X определена топология Ф, для которой семейство B будет базой.
Пусть дано семейство Ф множеств G?, являющихся различными объединениями множеств В? ?B. Легко увидеть, что выполнение аксиом 1, 3 и 4 следует из конструкции множеств G? и первых двух условий теоремы 2.14. Остается показать, что справедлива аксиома 2.
Пусть а является произвольной точкой множества А ? В. Есть такие множества B_a^' ? B и B_a^'' ? B что а ? B_a^' ? А и а ? B_a^'' ? B. Учитывая третье условие теоремы в B существует множество С такое, что а ? C ? (B_a^' ? B_a^'') ? (А ? В). Множество А ? В – это объединение множеств С ? B, значит, оно принадлежит Ф.
Значимым классом топологических пространств считаются пространства со счетной базой. В Еп такую базу образуют, к примеру, все открытые с центрами в точках с рациональными радиусами и рациональными координатами.
Хорошим примером топологического пространства без счетной базы служит любое несчетное множество с дискретной топологией.
Пусть (X, Ф) является топологическим пространством, а Y – подмножеством X. Тогда на множестве Y можно рассмотреть топологию, а именно:
Определение 2.10. Пусть (X, Ф) является топологическим пространством и Y ? X. Семейство
?={G_??Y}, где G_??Ф,
называется топологией, индуцированной на Y топологией Ф.
Выполнение аксиом 1 – 4 из определения 1.1 несложно проверить.
Определение 2.11. Топологическое пространство (Y, ?) называется подпространством топологического пространства (X, Ф), когда Y ? X и топология ? индуцирована топологией Ф.
Из определения подпространства получаем, что если G ? Y и G ? Ф, то G ? ?. Также несложно проверить, что если G ? Y и замкнуто в (X, Ф), то оно является замкнутым в подпространстве (Y, ?). Обратное является неверным.
Строение замкнутых множеств подпространства описывается следующими теоремами:
Теорема 2.15. Множество F в подпространстве (Y, ?) будет замкнуто тогда и только тогда, когда оно будет являться пересечением Y с замкнутым подмножеством Н из (X, Ф).
Докажем необходимость. Допустим F замкнуто в (Y, ?). Тогда множество G = Y \ F открыто в (Y, ?). Из этого следует, что G = Y ? А. где А ? Ф. Тогда F = Y ? Н, где Н = X \ А замкнуто в (X, Ф).
Теперь докажем достаточность. Пусть дано F = Y ? Н, где Н является замкнутым множеством в (Х, Ф). Тогда множество Y \ F = Y ? (Х \ Н) будет открыто в (Y, ?), потому что X \ Н открыто в (X, Ф). Значит F замкнуто в (Y, ?).
Теорема 2.16. Если множество F является замкнутым в подпространстве (Y, ?) пространства (X, Ф), то F = Y ? F ?, где F ? – это замыкание F в (X, Ф).
Очевидно, что F ? (Y ? F ?). С другой стороны, множество F = Y ? Н, где Н является замкнутым в (X, Ф). Тогда F ? ? Н. Из этого следует, что (Y ? F ?) ? (Y ? Н) = F. Значит F = Y ? F ?.
Теорема 2.17. Если семейство B = {B?} является базой топологического пространства (X, Ф), то семейство B' = {Y ? В?} является базой в подпространстве (Y, ?).
2.5 Связность
Определение 2.12. Топологическое пространство (X, Ф) называют несвязным, когда существуют непустые открытые множества U и V, такие, что U ? V = ? и U ? V = X.
Другими словами, X несвязно, когда оно может быть разбито на два непустых открытых множества без общих точек.
Определение 2.13. Топологическое пространство (X, Ф) называют связным, если не существует такого разбиения.
Несвязным пространством будет пространство X с дискретной топологией, если оно включает в себя больше одной точки. Приняв U как любое непустое подмножество, отличное от X, и V – как дополнение этого подмножества, можно получить разбиение X, которое удовлетворяет определению.
Заметим, что когда (X, Ф) несвязно, U и V, о которых говорилось в определении, будут дополнять друг друга до X. Поэтому справедлива следующая теорема.
Теорема 2.18. Чтобы топологическое пространство (X, Ф) было связное, необходимо и достаточно, чтобы одновременно открытым и замкнутым множеством в нем были только само X или пустое множество.
Определение 2.14. Множество H в топологическом пространстве (Х, Ф) называют связным, когда оно является связным пространством в топологии, индуцированной на нем.
Таким образом, множество H в топологическом пространстве (X, Ф) называют связным, когда нельзя найти два открытых в X множества A и B, такие, что
H?(A?B), (H?A)?(H?B)=?, H?A??, H?B??.
Теорема 2.19. Пусть А и B являются связными подмножествами пространства (Х, Ф), пересечение которых не пусто. В таком случае их объединение тоже будет связным.
Пусть дано множество H = A ? B. Допустим, H несвязно. Следовательно, существуют открытые в X множества U и V, такие, что
(A?B)?(U?V).
(A?B)?U??, (A?B)?V??.
(A?B)?U?V=?.
Пусть дана точка х ? А ? В. Из условия 1 получаем, что х ? (U ? V), так как х ? (А ? В) ? (A ? В) ? (U ? V). Тогда х будет принадлежать хотя бы одному из множеств U и V. Пусть х ? U, следовательно, (U ? А) ??. Из условия 2 получаем, что пересечение V хотя бы с одним из множеств А и В не является пустым. Пусть (V ? А) ??. Тогда
A?(U?V).
A?U??, A?V??.
A?U?V=?.
Тогда А будет несвязно, что будет противоречить условию. Другие варианты можно проверить аналогично, что и требовалось доказать.
Определение 2.15. Наибольшее связное подмножество, включающее данную точку а, называют связной компонентой точки а в топологическом пространстве X.
Теорема 2.20. Связные компоненты двух разных точек или не пересекаются, или совпадают.
Обозначим На и Нb связные компоненты разных точек а и b. Нужно доказать, что если На ? Нb ??, то связные компоненты совпадают. Если На ? Нb ??, то из теоремы 2.19 и определения 2.15 следует, что На ? Нb ? На. Так как На ? (На ? Нb), то (На ? Нb) = На. Аналогично На ? Нb ? Нb и Нb ? (На ? Нb), тогда (На ? Нb) = Нb. В итоге получаем, что На = Нb.
Определение 2.16. Областью называется непустое открытое связное множество.
Определение 2.17. Замкнутой областью называется такое замкнутое множество, которое является замыканием области.
2.6 Отделимость
Существует несколько разных аксиом отделимости [7, стр. 46]. Мы будем рассматривать топологические пространства, удовлетворяющие аксиоме отделимости Хаусдорфа.
Определение 2.18. Аксиома Хаусдорфа. Топологическое пространство называют хаусдорфовым, когда у любых двух разных точек пространства существуют непересекающиеся окрестности.
Заметим, что подпространство хаусдорфова пространства тоже будет хаусдорфовым. Xaуcдорфовым также будет любое метрическое пространство относительно индуцированной метрикой топологии.
Определение 2.19. Точку а называют пределом последовательности точек {an}, когда для любой окрестности V точки а существует такой номер N, что при всех п > N точки ап ? V.
Последовательность точек топологического пространства называют сходящейся в том случае, когда она имеет предел.
Теорема 2.21. У каждой сходящейся последовательности точек в хаусдорфовом пространстве существует лишь один предел.
Пусть последовательность {аn} имеет два предела: lim?(n??)??{a_n }=p? = р и : lim?(n??)??{a_n }=q?, причем р ? q. У точек р и q есть непересекающиеся окрестности Up и Vq . В этом случае по определению предела есть такой номер N, начиная с которого все члены последовательности должны принадлежать и Up, и Vq, а этого не может быть, так как Up ? Vq = ?.
2.7 Компактность
Определение 2.20. Семейство ? открытых множеств топологического пространства (X, Ф) называют его открытым покрытием, когда X совпадает с объединением множеств данного семейства ?.
Определение 2.21. Топологическое пространство называют компактным, если из каждого его открытого покрытия можно взять конечное открытое покрытие.
Определение 2.22. Множество M в топологическом пространстве X называют компактным, когда оно является компактным подпространством пространства X.
Теорема 2.22. Чтобы множество M было компактным в топологическом пространстве X, необходимо и достаточно, чтобы из любого покрытия М открытыми в X множествами можно было выделить конечное покрытие.
Докажем необходимость. Допустим, M компактно в (X, Ф). Возьмем произвольное покрытие множества М, обозначим его ? = {G?}, где G? ? Ф. Докажем, что в нем можно найти конечное. Семейство ?’ = {G? ? М} – открытое покрытие М в индуцированной топологии. В таком случае из него можно извлечь конечное покрытие G1 ? M, G-2 ? М, ... , Gn ? M. Значит, семейство G1, ... , Gn будет конечным покрытием множества М, которое содержится в покрытии ?.
Теперь докажем достаточность. Через ? обозначим произвольное покрытие М в индуцированной топологии. В таком случае для каждого множества G ? ? существует множество H ? Ф, такое, что G = H ? М. Семейство всех подобных множеств H является покрытием М в (Х, Ф). Так как из него можно выделить конечное покрытие H1, H2, ... , Hn, то G1, ... , Gn будет содержащимся в покрытии ?конечным покрытием множества М.
Теорема 2.23. Если топологическое пространство X компактное, а множество F ? X – замкнутое, то F также будет компактным.
Обозначим через ? произвольное открытое покрытие множества F в X. Прибавив к покрытию ? открытое множество X \ F, получаем открытое покрытие ?1 всего пространства X. Используя компактность пространства X, в ?1 можно найти конечное покрытие ?2 всего пространства X. Удалив из ?2 множество X \ F, в том случае, когда оно там присутствует, можно получить нужное конечное покрытие F.
Теорема 2.24. Пусть M является компактным подмножеством хаусдорфова топологического пространства X и точка а ? М. В таком случае существуют открытые непересекающиеся множества U ? М и V ? а.
Дня каждой точки х ? М и точки а есть попарно непересекающиеся открытые множества Gx и Нх, такие, что х ? Gx, а ? Нх. В таком случае семейство ? = ?{Gx}?_(x?M ) – это открытое покрытие множества М в X. М компактно, следовательно из ? может быть выделено конечное покрытие Gx1, ... , Gxk. Рассмотрим парные множества Нx1, … , Нxк, соответствующие данным множествам. Легко увидеть, что множества
U=?_(i=1)^k??G_(x_i ) и V=?_(i=1)^k?H_(x_i ) ?
являются искомыми.
Теорема 2.25. Компактное подмножеcmво М хаусдорфова пространства X будет замкнуто.
Допустим точка z ? М. Тогда в силу теоремы 2.24 существуют непересекающиеся открытые множества Gz и Нг такие, что М ? Gz и z ? Hz. Легко увидеть, что
M=?_(x?M)??(X\H_z ).?
М является замкнутым, так как замкнуты множества X \ Hz.
Теорема 2.26. Любой отрезок [а, b] числовой прямой R будет компактен в R.
Проведем рассуждения методом от противного.
Пусть ? = {G?} является открытым покрытием отрезка [а, b] и с будет его серединой. Предположим, что конечное покрытие отрезка [а, b] не может быть выделено из ?. В таком случае хотя бы один из отрезков [а, с] или [с, b] характеризуется тем, что из его покрытия ? не может быть выделено конечное. Пусть это будет [а, с]. Обозначим его [a1, b1].
Пусть серединой отрезка [a1, b1] будет с1, теперь повторим рассуждения. Получаем отрезок [a2, b2] с аналогичным свойством. Далее повторяя рассуждения, получаем бесконечную последовательность отрезков [an, bn], каждый следующий отрезок в которой входит в предыдущий и ни один из которых не покрыт конечным подсемейством семейства ?. Легко увидеть, что lim?(n??)?|[a_n, b_n ]|= 0, так как длина каждого следующего отрезка в два раза менее длины предыдущего.
В таком случае существует точка р, принадлежащая всем отрезкам данной последовательности. Она принадлежит хотя бы одному из множеств G покрытия ?. G открыто, следовательно, начиная с определенного номера N, все отрезки [аN, bN] будут принадлежать G, значит они будут покрываться только одним из множеств семейства ?, а именно G. Это будет противоречить построению отрезков последовательности.
Теорема 2.27. В п-мерном евклидовом пространстве Еп п-мерный куб Kп будет компактен.
Данная теорема доказывается аналогично теореме 2.26 с той лишь разницей, что куб Kп каждый раз делится на 2n меньших кубов.
Теорема 2.28. Чтобы в п-мерном евклидовом пространстве Еп было компактным множество М, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутое и ограниченное.
Докажем необходимость. Допустим, М компактно в Еп. Так как евклидово пространство является метрическим, то оно является хаусдорфовым. По теореме 2.25 множество М замкнутое.
Докажем ограниченность множества М. Предположим противное. Рассмотрим семейство открытых концентрических шаров с центром в определенной точке, радиусы которых могут быть сколь угодно большими. Это семейство будет покрытием для всего пространства, а значит и для M. Но из него не может быть выделено никакое конечное покрытие, а это противоречит компактности M.
Докажем достаточность. Допустим, М ограничено и замкнуто. В силу ограниченности M содержится внутри какого-либо куба Kп. Так как М замкнутое, а куб Kп компактный, то по теореме 2.23 множество М само будет компактным.
Глава 3 Преобразования топологических пространств
3.1 Непрерывные отображения
Пусть даны топологические пространства (X, Ф) и (Y, ?), а также отображение f : X ? Y.
Определение 3.1. Отображение f : X ? Y называется непрерывным в точке х ? X, если для каждой окрестности U точки f (x) существует окрестность V точки х такая, что f (V) ? U [3, стр. 13].
Определение 3.2. Отображение f называется непрерывным на множестве А ? X, если f непрерывно в каждой точке множества А.
Теорема 3.1. Для того, чтобы отображение f : X ? Y было непрерывным на X, необходимо и достаточно, чтобы полный прообраз любого множества, открытого в Y, был множеством, открытым в X.
Докажем необходимость. Пусть f : X ? Y – непрерывное отображение и V – открытое множество в (Y, ?). Обозначим за U полный прообраз f -1 (V) и докажем, что U открыто в (Х, Ф).
Пусть а ? U и b = f (а). Множество V является окрестностью точки b. Так как f непрерывно, то существует окрестность Wa точки а такая, что f (Wa) ? V. Очевидно Wa ? f -1 (V) = U. Так как
U=?_(a?U)??W_a,?
то U открыто.
Докажем достаточность. Пусть а ? X – произвольная точка и b = f (a). Если V – произвольная окрестность точки b, то U = f -1 (V) открыто и является окрестностью точки а. Поскольку f(U) = V, то f непрерывно в точке а.
Следствие 3.1. Для того, чтобы отображение f : X ? Y было непрерывным на X, необходимо и достаточно, чтобы полный прообраз любого множества, замкнутого в Y, был множеством, замкнутым в X.
Теорема 3.2. Пусть X, Y и Z – топологические пространства. Если отображения f : X ? Y и g :Y ? Z непрерывны, то отображение g ? f : X ? Z также непрерывно.
Пусть W – произвольное открытое в Z множество. По теореме 3.1:
V = g -1(W) и U = f -1(V) открыты.
Так как U = (g ? f) -1(W), то по теореме 3.1 композиция g ? f непрерывна.
Теорема 3.3. Если X – компактное топологическое пространство и f : X ? Y – непрерывное отображение, то f (X) компактно в Y.
Пусть ? = {G?} – покрытие множества f (X) открытыми множествами G? ? Y. В силу теоремы 3.1 каждое множество U? = f -1(G?) открыто в X. Семейство ?’ = {U?} будет открытым покрытием X.
Выбирая из ?’ = {U?} конечное покрытие {Ui}, i = 1, ... , n, получаем соответственно конечное покрытие {Gi}, % = 1, ... , n, множества f (X).
Теорема 3.4. Если X – связное топологическое пространство и f : X ? Y – непрерывное отображение X на Y, то Y связно.
Допустим противное. Тогда существуют открытые непустые множества U1 и U2 такие, что
U1 ? U2 = Y и U1 ? U2 = ?.
Так как f непрерывно, то непустые множества V1 = f -1 (U1) и V2 = f -1 (U2) открыты и....................... |
