Влияние температуры на сокращение сердечных клеток

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования



УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина



ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И МАТЕМАТИКИ



Кафедра теоретической и математической физики/Департамент фундаментальной и прикладной физики



Направление подготовки 03.03.02 «Физика»



Образовательная программа «Физика»









МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ РИАНОДИН-ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО КАЛЬЦИЕВОГО КАНАЛА СЕРДЕЧНОЙ КЛЕТКИ



Допустить к защите:









Выпускная квалификационная работа бакалавра

Зав. кафедрой: 

д. ф.-м. н., проф. Иванов А.О.



_________________________





Япарова Богдана Ярославовича





________________________



Нормоконтролер: 

к. ф.-м. н., доц. Панов Ю.Д.



________________________

Научный руководитель:

д. ф.-м. н., проф. Москвин А.С.



_______________________

	

	

	

	

	Екатеринбург

	2017



Реферат



Работа  посвящена исследованию влияния температуры на функционирование рианодин-чувствительного кальциевого канала сердечной клетки(RyR2-канала) в рамках электронно-конформационной модели (ЭКМ). Путем подбора ряда параметров ЭКМ (в настоящее время измерение этих параметров в эксперименте является невозможным) на ней были воспроизведены (визуально) известные экспериментальные зависимости, такие как, например, зависимость максимальной проводимости RyR2-канала от температуры, и др. Было показано, что рассматриваемая модель позволяет объяснить температурную зависимость функционирования RyR-канала на молекулярном уровне. 

Работа объемом 33 страницы, содержит 12 рисунков. Список литературы включает 34 источника.

Работа выполнена на кафедре теоретической и математической физики ИЕНиМ УрФУ





























Оглавление

Введение	4

ГЛАВА 1. Обзор литературы	5

1.1 Механизм сокращения сердечных клеток	5

1.2 Влияние температуры на сокращение сердечных клеток	8

Задачи работы	10

ГЛАВА 2. Методы решения задачи	11

	2.1 Электронно-конформационная модель	11

	2.2 Конформационная динамика и температурные эффекты в ЭК модели	16

	2.3 Численная реализация модели	19

	2.3.1 Метод Эйлера-Марайамы	19

	2.3.2 Метод Монте Карло для реализации электронных и туннельных переходов	20

	2.3.3 Численная схема для ЭК-модели RyR-канала	22

Глава 3.  Результаты	24

Выводы	30

Список литературы	31



























Введение



Актуальность исследования.  Проблема сердечно-сосудистых заболеваний в развитых странах носит глобальный характер. Так, по данным Федеральной службы государственной статистики в год более 56,9% всех случаев смертности трудоспособного населения в РФ вызваны болезнями системы кровообращения. Температура оказывает влияние на все биохимические процессы и электромеханическое сопряжение не оказалось исключением. Ключевым элементом электромеханического сопряжения являются рианодин-чувствительные кальциевые каналы (RyR), которые высвобождают кальций из саркоплазматического ретикулума (СР) - основного источника внутриклеточного Ca2+. 

Выяснение и исследование механизмов функционирования RyR-каналов, определяющих динамику ионов Са2+, является одной из первоочередных задач современной биофизики. Ее успешное решение связывается не только с развитием современных экспериментальных методов исследования наноскопических биосистем, но и, прежде всего, с перспективами математического моделирования. 

До сих пор традиционным подходом к описанию динамики RyR-канала является использование сугубо феноменологических марковских моделей, которые фактически никак не учитывают реальной структуры наноскопической молекулярной системы, что делает спорным вопрос об их адекватности.

Цель работы. Основной целью выпускной квалификационной работы является развитие электронно-конформационной теории наноскопических белковых систем – одиночных RyR-каналов, а также описание температурных эффектов одиночных RyR-каналов в рамках электронно-конформационной модели. 













ГЛАВА 1. Обзор литературы

1.1 Механизм сокращения сердечных клеток



Электромеханическое сопряжение – это процесс, посредством которого клетка (Рисунок 1.1) сокращается в ответ на электрическую стимуляцию мембраны (изменение мембранного потенциала). Для того чтобы это произошло, необходимо чтобы внутриклеточная концентрация кальция [Ca2+] быстро возросла от уровня покоя (около 0.1 мкмоль/литр) до 1 мкмоль/литр по всему объему клетки. Для достижения этого клетка в процессе своего развития формирует достаточно сложную структуру (Рисунок 1.2) [1,2]. 



Рисунок 1.1 Снимок кардиомиоцита, полученный при помощи электронного микроскопа.

Каждая сердечная клетка клетка (кардиомиоцит) состоит из сотен повторяющихся сократительных единиц - саркомеров, длина которых около 2 мкмоль/литр. Поперечные трубочки (t-трубочки, t-тубулы), представляющие собой глубокие впячивания мембраны, опоясывают весь кардиомиоцит и локализуются у концов каждого саркомера. Сокращение саркомера обеспечивается посредством работы мыщечных волокон (миофибрилл), расположенных вдоль саркомера и опоясанных сложной сетью внутриклеточных хранилищ кальция (саркоплазматический ретикулум, СР)



Рисунок 1.2 Снимок поперечного сечения кардиомиоцита, полученный при помощи электронного микроскопа  и его трехмерная реконструкция. Миофибриллы, t-тубулы, сеть саркоплазматического ретикулума и митохондрии отчетливо видны (рисунок взят из докторской диссертации Р.Хинча [3])



В местах контакта t-трубочек с саркоплазматическим ретикулумом на мембране СР находятся специализированные Ca2+-высвобождающие каналы (рианодин-чувствительные кальциевые каналы, RyR2-каналы), которые обеспечивают высвобождение Ca2+ из СР в ответ на приток Ca2+ через близкорасположенные (на мембране клетки) каналы L-типа (L-каналы). Эта сложная локальная структура, включающая группу (или иначе, кластер) RyR-каналов, несколько L-каналов, отдел СР и локальное подпространство между мембранами СР и клетки (диадное подпространство, субпространство), называется высвобождающей единицей (Рисунок 1.3). Функциональная значимость этих структур этих структур в настоящее время не вызывает сомнения [1,2,4,5].



Рисунок 1.3 Схема высвобождающей единицы[6]



Внутриклеточная концентрация Ca2+ изначально возрастает благодаря притоку Ca2+ через потенциал-чувствительные кальциевые каналы L-типа. Однако этого повышения концентрации недостаточно, чтобы вызвать сокращение [7-8]. Приток Ca2+ через L-каналы служит стимулом для происходящего затем процесса высвобождения кальция из СР через RyR-каналы, в связи с этим процесс носит название кальцием вызванного высвобождения кальция (КВВК, от английского calcium induced calcium release (CICR)). Затем Ca2+ диффундирует из высвобождающих единиц, таким образом, увеличивая концентрацию вблизи миофибрилл, что приводит к сокращению саркомера. Отметим, что структура клетки такова, что расстояние от любой точки клетки до ближайшей высвобождающей единицы составляет не более 1 мкмоль/литр, что наряду с быстрой диффузией обеспечивает в достаточной мере однородное повышение концентрации кальция в клетке в результате КВВК.

В схеме электромеханического сопряжения состоящей из следующей последовательности процессов: деполяризация мембраны клетки, приток ионов кальция внутрь клетки через потенциал-чувствительные кальциевые каналы L-типа; открытие RyR-каналов на мембране саркоплазматического ретикулюма, высвобождение количества кальция из СР; кальциевая активация сократительных белков - определяющим оказывается процесс кальцием вызванного высвобождения кальция, поскольку именно его свойства обеспечивают соответствующий электрической стимуляции ответ сократительного аппарата клетки.

Несмотря на два десятилетия исследований динамики кальция в сердечных клетках понимание всей сложности и значимости этого процесса осознанно лишь в последние годы. Молекулярные механизмы регуляции КВВК до сих пор не вполне ясны и интенсивно изучаются и экспериментально и при помощи математического моделирования.

1.2 Влияние температуры на сокращение сердечных клеток



Температура влияет на все биохимические процессы и электромеханическое сопряжение не оказалось исключением. Сокращение сердечной мышцы очень чувствительно к изменению температуры.  Так, гипотермия увеличивает амплитуды внутриклеточной концентрации кальция и сокращения сердечной мышцы, а также длительность потенциала действия [9]. Экспериментальные работы по изучению влияния температуры на кальциевые каналы L-типа[10-12], натрий-кальциевый обменник [13] и RyR2 [14] показывают, что одной из главных причин зависимости работы сердечной мышцы от температуры являются изменения в функционировании ионных каналов кардиомиоцита. 

Основной характеристикой описания температурной чувствительности является температурный коэффициент Q10, равный относительному изменению амплитуды той или иной величины при увеличении температуры на 10 oC. Для большинства ионных каналов Q10 меняется в пределах от 2 до 5. Исключение составляет семейство термочувствительных TRP каналов [15], которые находятся в сенсорных нервах и  обеспечивают чувствительность к температуре, Q10 для них варьируется от 2 до 100 [16].

В данной работе мы подробно остановимся на моделировании температурных эффектов для  лиганд-активируемых RyR-каналов. Этот самый большой из известных ионных каналов с молекулярной массой более 2 МДа [17] играет центральную роль во внутриклеточной кальциевой динамике кардиомиоцитов, нарушение его функционирования приводит к острой сердечной недостаточности и аритмиям [18].

Эксперименты на изолированных RyR-каналах сердечной клетки овцы [14] показывают, что охлаждение с 23 до 5oC приводит к качественному изменению характера токовых флуктуаций с увеличением вероятности открытия канала Popen (Q10 = 2.5)  за счёт увеличения среднего времени пребывания канала в открытом состоянии (Q10 = 5.7) при почти неизменном среднем времени пребывания канала в закрытом состоянии (Q10 = 1.1). С точки зрения физики конденсированного состояния остаётся непонятным как небольшое изменение абсолютной температуры в 3% приводит к многократным изменениям в активности ионного канала.







Рисунок 1.4 Токи через одиночный RyR-канал при различных температурах [14]. Пунктирная соответствует нулевому уровню тока(закрытому состоянию), стрелка – открытому состоянию.



















Задачи работы



Объяснить в рамках электронно-конформационной модели экспериментальные данные по влиянию температуры на активность и проводимость рианодин-чувствительного кальциевого канала сердечной клетки.

Исследовать влияние параметров модели на термочувствительность канала.







































ГЛАВА 2. Методы решения задачи

2.1 Электронно-конформационная модель



RyR-канал является гигантским макромолекулярным белком (3030 нм) (Рисунок 2.1), состоящим из четырех идентичных полипептидных цепей с молекулярной массой 565 кДа [17]. Как и все ионные каналы, он имеет огромное число внутренних электронных и конформационных степеней свободы. Традиционным подходом к моделированию стохастической динамики RyR-каналов являются агрегированные марковские схемы (aggregated Markov chains) [19], которые фактически являются обобщением простейшей модели «дыра в стене» с набором различных (открытых и закрытых) состояний, описываемых в рамках теории марковских цепей. Количество активных состояний каждого класса подбирается, основываясь на методе максимального правдоподобия (см., например, [20]).  



Рисунок 2.1 3D структура RyR1(кальциевого канала скелетной мышцы)[21]



Очевидно, что эти модели, несмотря на их популярность, вряд ли могут претендовать на адекватное описание механизмов формирования специфических свойств и понимания природы функционирования RyR-каналов.

В работах [22-24] на основе обобщения широко известной теории фотоиндуцированных фазовых переходов [25,26] была предложена и развита электронно-конформационная (ЭК) модель одиночного RyR-канала и кластера RyR-каналов, способная описать важнейшие особенности поведения изолированных и взаимодействующих RyR-каналов в рабочих кардиомиоцитах и клетках водителя ритма. В основе простейшей ЭК-модели лежит представление о RyR-канале как о некой «резиновой» трубке с переменным сечением, определяемым конформационной координатой Q, и лёгкой «электронной крышкой», переключаемой связыванием/отсоединением ионов  с RyR-каналом. «Электронная крышка» связана с конформационной координатой и работает как триггер для стимуляции ее изменения, соответственно изменения проводимости RyR-канала. Другими словами, в ЭК модели огромное число степеней свободы RyR-канала сводится к двум – быстрой и медленной, условно названных  электронной и конформационной, соответственно. 

Рисунок 2.2  Конформационный потенциал RyR-канала в ЭК модели при h=?=0 (диабатический потенциал) с глобальным минимумом в закрытом состоянии. Строчные буквы “o”, “c”  обозначают электронно-открытое и закрытое состояния соответственно, прописные буквы “O”, “C”  обозначают конформационно-открытое и закрытое состояния, соответственно.  - потенциальные барьеры для закрытого и открытого состояний, соответственно.  Вертикальными стрелками обозначены франк-кондоновские электронные переходы, горизонтальными  –  туннельные переходы, наклонными – конформационная динамика

В простейшем варианте модели предполагается существование только двух электронных состояний канала: «открытого» и «закрытого», а единственная конформационная координата Q считается классической переменной. 

На Рис.5 представлена модель RyR-канала с набором характерных состояний системы. Изменение электронного и конформационного состояний регулирует основную функцию RyR-каналов, определяет, открыт ли канал и способен ли пропускать ионы . Конформационная координата Q определяет «сечение» RyR-канала, или точнее проводимость канала, в то время как электронная степень свободы определяет пребывание его в открытом или закрытом состоянии. Поток ионов  через одиночный канал определяется формулой:

	,						(2.1)

         где  – константа скорости потока высвобождения, а функциональная зависимость  связана со степенью открытости канала. Ниже мы предполагаем степенную зависимость от конформационной координаты:

 	,									 (2.2)

при Q>0 и .

Принципиально новым элементом ЭК модели является «энергетический» подход, то есть введение энергии как важнейшей характеристики состояния RyR-канала. В простейшем эффективном гамильтониане  операторе энергии одиночного RyR-канала:

	,              					(2.3)

где  матрицы Паули, первые два слагаемых описывают чисто электронные эффекты: первое слагаемое описывает разницу энергий электронных состояний, второе описывает квантовые эффекты перехода между двумя электронными состояниями. Следующие два слагаемых – линейный и квадратичный вклады в упругую энергию канала, причём линейное слагаемое формально соответствует энергии внешних воздействий, описываемых «эффективным давлением» p, K – эффективная постоянная упругости канала. Последнее слагаемое описывает электронно-конформационные взаимодействия с константой взаимодействия a. При выборе безразмерной конформационной координаты Q все параметры , h, p, K, a имеют размерность энергии.

	       Два собственных значения гамильтониана определяют две ветви адиабатического конформационного потенциала (КП)

,						(2.4)

и при определенных условиях появление бистабильности – двух минимумов конформационного потенциала, расположенных слева и справа от точки пересечения ветвей КП и связываемых с закрытым и открытым состояниями канала, соответственно. Ниже для простоты мы рассматриваем “диабатический” КП, полагая h=0 (Рисунок 2.2).

К сожалению, в настоящее время мы не располагаем ни экспериментальными данными, ни данными микроскопических расчетов, которые давали бы независимую достоверную информацию относительно параметров ЭК модели и их зависимости от внешних факторов типа люменальной концентрации кальция. В этой ситуации работоспособность модели доказывается возможностью описания как можно большего набора экспериментальных данных при минимальном произволе в выборе параметров.  

Динамика RyR-канала включает быстрые («франк-кондоновские») электронные переходы между ветвями КП, идущие без изменения конформационной координаты, классическую конформационную динамику, а также классические термоактивируемые и квантовые туннельные резонансные «не-франк-кондоновские» переходы. 

          Особенностью ЭК модели является важная роль квантовых эффектов, в частности, туннельных переходов, вблизи точки пересечения ветвей конформационного потенциала, т.е. вырождения, или квазивырождения. При этом туннельные переходы не сопровождаются заметным изменением конформационной координаты. Вероятность туннельного перехода при удалении от точки пересечения ветвей КП, т.е. перехода с существенным изменением конформационной координаты, становится пренебрежимо малой. Экспериментальых данных об однозначном обнаружении туннельных эффектов в RyR-каналах на сегодня нет, однако существование туннелирования в таких белках, как белковая глобула экспериментально установлено. Мы предположили, что резонансное квантовое туннелирование между двумя ветвями конформационного потенциала имеет место с вероятностью, подчиняющейся эффективному закону Гамова:

,                 						(2.5)

где  – ширина, а  – высота энергетического барьера, или разность энергий точки туннелирования и точки пересечения ветвей КП (см. рис. 5), P0 и A  константы. 

Взаимодействие ионов  с активными центрами RyR-канала предполагает резонансный характер электронных переходов между ветвями КП, так что вероятность перехода может быть аппроксимирована Лоренцианом: 

,						(2.6)

где   энергия ионов  ( эффективная “температура” ионов ),   энергия электронного возбуждения (разность энергий двух ветвей конформационного потенциала),  полуширина резонансного пика,   амплитуда вероятности, зависит от концентрации ионов  в диадном пространстве. 

В настоящее время нет достаточно ясного понимания механизма регуляции локальной кальциевой сигнализации в сердечной клетке, в частности, относительной роли ионов кальция, проникающих в диадное пространство сквозь сарколемму через каналы L-типа () и через RyR-каналы из саркоплазматического ретикулума (СР), а также роли люменального кальция (). В отличие от чистого «электронного» влияния  влияние достаточно медленного изменения  на процесс активации RyR-каналов можно рассматривать как чисто «механическое», через конформационное давление, действующее на каналы [22-24]. Параметр эффективного давления p можно считать функцией  типа кривой Хилла:

,		 						(2.7)

где – значение , при котором p = 0, n – параметр, определяющий степень нелинейности связи p и концентрации  в люмене. Изменение параметра p в пределах (-1;1) приводит к радикальному изменению «энергетики» RyR-каналов и ключевому эффекту ЭК модели  смене стабильного основного состояния с закрытого на открытое: cCoO. В целом процесс открытия-закрытия RyR-канала в рамках ЭК модели происходит по следующей схеме (Рис.5): 

cCoC: электронный переход с “электронно-закрытой” на “электронно-открытую” ветвь КП;

oC  oO: Конформационная релаксация, т.е. движение к минимуму электронно-открытой ветви КП. Канал может двигаться как апериодично, так и совершая затухающие колебания около минимума ветви в зависимости от величины параметра внутреннего трения ;

 oO*  cO**: Туннельный переход на “электронно-закрытую” ветвь КП;

cO**  cO: Конформационная релаксация к минимуму электронно-закрытой ветви КП.

ЭК модель способна описать ключевые особенности функционирования как одиночного RyR, так и RyR-кластеров в кальций высвобождающих единицах. Предыдущие модели кальциевой динамики не давали адекватного описания процессов открытия/закрытия RyR-каналов в Са2+-высвобождающих единицах [27]. Интегрирование ЭК теории функционирования RyR-каналов в модель кальциевой динамики в сердечных клетках позволило на субмолекулярном уровне исследовать процессы авторитмического и стимулированного со стороны мембраны высвобождения кальция из СР. В частности, было показано, что изменение параметров чувствительности RyR-каналов к изменениям концентрации Са2+ как в люмене СР, так и в диадном пространстве позволяет варьировать в достаточно широком диапазоне частоту генерации потенциала действия в клетках водителя сердечного ритма [28].

2.2 Конформационная динамика и температурные эффекты в ЭК модели



Конформационная динамика в ЭК модели описывается уравнением Ланжевена:

,						 (2.8)

где M – эффективная масса (в дальнейшем M = 1), первое слагаемое в правой части описывает обобщенную силу, Г – параметр эффективной конформационной  «вязкости» (конформационное трение),  – сила случайных «температурных» флуктуаций (гауссовский шум) [29], причем  и 

,           						 (2.9)

где –  спектральная плотность флуктуаций [29],  –  функция Дирака. Случайная сила это остаточная сила, действующая на систему со стороны окружения в отсутствии систематической силы трения  [29].  Для замкнутой термодинамически равновесной системы выполняется флуктуационно-диссипативная (ФД) теорема [29], связывающая флуктуации системы (их спектральную плотность) с её диссипативными свойствами и вытекающая из  одинаковой природы систематической силы трения и силы случайных флуктуаций. Вообще говоря, теорема утверждает равенство  ???.

Однако для нашей модельной системы  ФД-теорема неприменима в силу сразу нескольких обстоятельств. Прежде всего, мы имеем дело с модельным описанием неравновесной и незамкнутой  многокомпонентной и многомодовой системы. RyR-канал представляет собой пример очень сложного композитного наноскопического белка, для которых принято выделять по крайней мере два типа диссипативной конформационной динамики, условно – “внешней” и “внутренней” [30,31]. Первый связан с непосредственным влиянием цитоплазмы на динамику периферийных поверхностных атомов и определяется ее вязкостью : ??, тогда как второй связан с эффективной внутренней вязкостью белка. К сожалению, даже для цитоплазмы достоверная информация о вязкости и ее температурной зависимости отсутствует (см., например, [30,31]). Ниже мы рассматриваем коэффициенты “внутреннего”  (????и “внешнего” ????  трения модельными параметрами, предполагая для них температурную зависимость Аррениуса [31]:

,                                      				(2.10)

c энергиями активации Е? и Е? соответственно (kB  постоянная Больцмана). Более того, мы будем предполагать, что именно температурные зависимости коэффициентов трения определяют температурные эффекты для RyR-канала, считая остальные параметры ЭК модели температурно-независимыми. Отметим, что учет температуры с характерным масштабом энергий kBT, автоматически предполагает при расчете температурных эффектов в ЭК модели введение абсолютных энергий для ветвей КП. 

Различие параметров “внутреннего” и “внешнего” трения приводит к существенному изменению температурной зависимости распределения конформационной координаты Q в окрестности минимумов диабатического КП [6]. В отсутствии электронных и туннельных переходов функция распределения конформационной координаты Q будет иметь вид:

= ,       						(2.11)



где  , Q0 – значение конформационной координаты в минимуме КП,   - упругая энергия,  - эффективная температура. Таким образом, только при ?=?, то есть в условиях выполнимости ФД теоремы, мы приходим к обычному “больцмановскому” распределению. Естественно, что эффективная температура является функцией обычной температуры T. При   эффективная температура будет много меньше реальной температуры, что приведет к драматическому усилению относительных температурных эффектов. Рост температуры приводит к росту заселенности конформационных состояний вблизи точки пересечения ветвей КП, т.е. к росту вероятности туннельного перехода “открытие ? закрытие” RyR-канала. Понижение температуры ведет к “замораживанию” канала вблизи минимума КП и подавлению туннелирования с одновременным ростом времени пребывания вблизи минимума КП.

Выражение для средней вероятности туннельного перехода “открытие ? закрытие” имеет вид [6]:

   .                        				(2.12)



Очевидно, что  резко возрастает с приближением T* к , где  - высота барьера (расстояние от минимума до точки пересечения ветвей КП), затем имеет максимум вблизи  с относительно плавным спаданием при . 



Рисунок 2.3  Температурная зависимость нормированной средней вероятности туннельного перехода (см. формулу (2.12)) с электронно-открытого на электронно-закрытое состояние  (сплошная линия) и с электронно-закрытого на электронно-открытое (пунктирная линия). Штрих-пунктирной линией представлена температурная зависимость эффективной температуры. На вставке изображён диапазон температур 0-40 оС в увеличенном масштабе



Для иллюстрации на рисунке 2.3  мы приводим температурную зависимость   в широком температурном интервале, выходящем далеко за пределы физиологического режима, для перехода “открытие  закрытие” (, cплошная кривая) и “закрытие  открытие” (, пунктирная кривая) при глобальном минимуме КП для закрытого состояния (p = -1). В качестве единицы измерения типичных значений основных параметров ЭК модели [16,22-26]: = h = 0, a = 5, K = 10 был достаточно произвольно взят 1 мэВ, для остальных параметров ЭК модели  были приняты значения P0 = 25ms?1, Atun = 150, ?0 = 4.3·10?12, E? = 666 мэВ (15.2 ккал/моль), ?0 =5.6 ·10?5, E? = 51.2 мэВ (1.2 ккал/моль) [16], обеспечивающие количественное описание экспериментальных данных [14]. Как и ожидалось для КП с глобальным минимумом для закрытого состояния () резкий рост  в сравнении с  сдвинут в сторону меньших температур. В области физиологических температур (T300 K) температурный коэффициент Q10 пренебрежимо мал для вероятности перехода “закрытие  открытие” и достигает величины Q10 14 для перехода “открытие  закрытие”. На Рис.6 также приведена и температурная зависимость эффективной температуры T*(T). В области физиологических температур (см. вкладку) T* не превышает одного градуса Кельвина, тогда как T*=T  при Т  435 К.

Мы видим, что особенности туннельного перехода между ветвями КП и концепция эффективной температуры определяют важнейшие характеристики температурных эффектов в ЭК модели  RyR-канала. 

2.3 Численная реализация модели



ЭК-модель RyR-канала представляет собой систему дифференциальных уравнений со случайной структурой, зависящей от марковского процесса, и с аддитивными шумами в виде случайного винеровского процесса. Таким образом, численная реализация ЭК-модели должна быть основана на численных методах интегрирования стохастических дифференциальных уравнений и методах реализации Марковских процессов. Сочетание этих методов позволило нам построить две численные схемы для получения наборов реализаций.

2.3.1 Метод Эйлера-Марайамы



Одним из простейших и наиболее известных метод решения стохастических дифференциальных уравнений является явный метод Эйлера. Он был впервые изучен Марайамой (Maruyama) в 1955 году, поэтому этот метод иногда называют методом Эйлера-Марайамы [32].

Пусть стохастическое дифференциальное уравнение  задано на интервале  и начальные условия имеют вид . Дискретизируем интервал [0,T]. Для этого положим  для некоторого натурального L и . Аппроксимацию решения  в точке  обозначим .

В рамках введенных обозначений схема метода Эйлера-Марайамы имеет вид: 

	 	(2.13)

где  - приращение винеровского процесса. Однако поскольку для винеровского процесса верно соотношение , где  - нормально распределенная случай величина с нулевым средним и единичной дисперсией, то схема метода может быть записана в виде

		(2.14)

где  - нормально распределенная случайная величина (N(0,1)), вычисленная методом Монте Карло на i-том шаге интегрирования системы уравнений,  - коэффициент пропорциональности.

Применительно к стохастическим уравнениям ЭК-модели RyR-канала метод Эйлера-Марайамы имеет вид: 

		(2.15)



2.3.2 Метод Монте Карло для реализации электронных и туннельных переходов



Традиционно для описания дискретных марковских случайных процессов применяют метод Монте Карло [33]. Для этого марковский процесс представляют в виде дискретной марковкой цепи, а затем, используя датчик случайных чисел, реализуют случайный процесс блуждания между состояниями цепи. Применим этот метод к марковскому процессу изменения электронной степени свободы.

Предположим, что канал находится в некотором состоянии  (назовем его «состояние 1»). Из этого состояния канал может с интенсивностью  перейти в другое состояние  (назовем его состоянием «состояние 2»), изменив при этом электронную координату . Однако канал может осуществить переход из «состояния 1» в «состояние 3» () с интенсивностью , изменив при этом и электронную и конформационную координаты ( и Q, соответственно).

Будем предполагать, что потоки событий электронных и туннельных переходов между состояниями являются пуассоновскими. Опираясь на это предположение, дискретизируем марковский процесс с таким малым шагом по времени , что за этот промежуток времени может произойти только одно событие перехода. Для этого должно выполняться неравенство

	 	(2.16)

где константа 0.1485 определяется из свойств распределения Пуассона, и является оценкой параметра распределения, получаемой из условия, что вероятность возникновения двух событий перехода меньше установленного нами уровня допустимой статистической ошибки 0.05. Отметим, что чем меньше шаг , тем точнее поведение марковской цепи будет описывать исходный марковский процесс.

В итоге на каждом шаге интегрирования случайного процесса вероятности осуществления туннельного и прямого электронного переходов могут быть вычислены по следующим формулам:

	 	(2.17)

Поскольку туннельные и электронные переходы являются независимыми событиями, то вероятность покинуть «состояние 1» за время  равна .

Однако для построения цепи нужно знать еще вероятности переходов в «состояние 2» и «состояние 3» при условии, что канал покинет «состояние 1». Они могут быть вычислены по следующим формулам:

	 	(2.18)

Заметим, что мы предполагаем, что во время переходов конформационная динамика «замораживается», то есть при осуществлении перехода изменение электронно-конформационного состояния канала подчинено только законам изменения координат при переходах и не подчиняется уравнению Ланжевена и, наоборот, подчиняется уравнению Ланжевена при отсутствии переходов.

В результате мы получили марковскую цепь, которую и будем имитировать применяя метод Монте Карло. Для этого на i-том шаге реализации процесса в момент времени  мы будем вычислять вероятность покинуть текущее состояние; осуществлять реализацию случайного числа , подчиняющегося равномерному распределению на отрезке [0,1], и сравнивать их между собой. Если число  оказывается больше вычисленной вероятности, то на данном шаге никаких переходов не осуществляется. В противном случае мы будем вычислять условную вероятность туннельного перехода; реализовывать еще одно случайное числа , подчиняющегося равномерному распределению на отрезке [0,1], и сравнивать их: если число  оказывается меньше, то канал осуществляет туннельный переход, а если меньше, то - в прямой электронный. Повторяя описанную процедуру  раз и вычисляя конформационную динамику на отрезках , на которых отсутствуют переходы, мы получим одну реализацию случайного процесса, которая является приближением исходного марковского процесса электронных и туннельных переходов.

Отметим, что для оценки средних характеристик процесса при применении описанного метода необходимо накапливать достаточно большое количество реализаций, поскольку погрешность этих оценок пропорциональна величине , где N - количество полученных реализаций.



2.3.3 Численная схема для ЭК-модели RyR-канала



Объединяя методы Эйлера-Марайамы для реализации конформационной динамики, метод марковских цепей и метод Монте Карло для реализации туннельных и электронных переходов, мы получили численную схему для реализации электронно-конформационной модели рианодинового канала, которая выглядит следующим образом:

		Разбиваем отрезок времени [0,T] на L равных промежутков длины ;

		Исходя из начальных условий, задаем значения фазовых переменных модели в начальный момент времени : , , ;

		Для каждого  получаем случайные, подчиненные нормальному распределению с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной 1;

		Задаем счетчик шага ;

		Получаем случайное число , подчиненное равномерному распределению на этом отрезке;

		Вычисляем вероятность туннельного перехода ;

		Вычисляем вероятность электронного перехода ;

		Если , то

		;

		;

		;

			Переходим к (13);

		Получаем случайное число , подчиненное равномерному распределению на этом отрезке;

		Если , то , иначе:

		если , то ;

		если , то ;

		Вычисляем ;

		Вычисляем ;

		Изменяем счетчик шага ;

		Если , то переходим к (4), иначе вычисление закончено.

В результате реализации численной схемы формируются вектора , , являющиеся приближениями решения начальной задачи для ЭК-модели в моменты времени . Для получения еще одной реализации нужно сохранить эти вектора и повторить шаги (2)-(14). Повторением этой процедуры может быть получено любое необходимое число реализаций.

Важным преимуществом данной схемы является то, что она является универсальной, то есть схема может быть применена и в случае, если будут изменены функции, описывающие влияние детерминированных сил в уравнении Ланжевена (например, может быть изменен конформационный потенциал канала).





Глава 3.  Результаты



Используя стандартный протокол электронно-конформационной модели [22-24,28], мы провели серию численных экспериментов по моделированию динамики изолированного RyR канала при различных температурах. Выбор параметров модели (см. выше) был продиктован “визуальным” сравнением с экспериментальными данными Sitsapesan et al.[14], полученными для RyR канала сердечной клетки овцы  в липидном бислое, а именно значениями средних времен пребывания канала в открытом () и закрытом  () состояниях, вероятности открытия канала Popen при 5 и 23 оС, а также зависимости максимальной проводимости RyR-канала от температуры. Наряду с конформационной динамикой в диабатическом КП и туннельными переходами, определяемыми вышеприведенными параметрами, мы учитывали быстрые Ca2+-активируемые франк-кондоновские электронные переходы cC  oC и  oO  cO с независящими от Q вероятностями P(cC  oC) = 0.028 мс?1, P(oO  cO) = 0.001 мс?1, соответственно. Отметим, что во всех случаях предполагается основное закрытое состояние канала.



Рисунок 3.1 Реп.......................