Цилиндрическая винтовая линия

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»

Институт математики, естествознания и информационных технологий

Кафедра функционального анализа







                                                                            ДОПУЩЕНА К ЗАЩИТЕ

                                                                                       Заведующий кафедрой

                                                      ______/_________________

                                                      «____»_____________2017г.





Осипов Дмитрий Георгиевич

КРИВЫЕ ЛИНИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Бакалаврская работа



 Студент 4 курса

направления математика и 

компьютерные науки

очной формы обучения



Научный руководитель

д.ф.-м.н.,проф.,

проф. Малашонок Г.И.









				

Тамбов-2017

РЕФЕРАТ



     Бакалаврская работа: 35с., 16 рис., 10 источников.

КРИВЫЕ ЛИНИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

     Ключевые слова: кривая, точка, линия, окружность, ось, прямая, порядок, эллипс, парабола, метод, радиус, конический, гипербола.

Объект исследования: кривые линии третьего порядка

Цель: Изучить кривые линии третьего порядка.

Задачи:

Изучить историю  кривых линий.

Рассмотреть виды кривых линий.

Изучить некоторые кривые третьего порядка, способы их задания,  способы построения.

Методы исследования: построение функций кривых в разных системах координат таких как-  прямоугольная  декартова система, параметрическое построение, полярная система координат.





























СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

   ВВЕДЕНИЕ........................................................................................  4

История изучения кривых..........................................................  5

 Кривые линии............................................................................. 12

Плоские кривые линии …................................................. 12

Циркульная кривая ................................................... 12

Лекальная кривая....................................................... 13

Эллипс........................................................................ 14

Парабола....................................................................  15

Гипербола..................................................................  16

Пространственные кривые...............................................  17

Цилиндрическая винтовая линия...........................  17

Коническая винтовая линия....................................  19

Кривые линии третьего порядка..............................................  19

Декартов лист....................................................................  20

 Циссоида Диоклеса..........................................................  23

Локон Аньези....................................................................  29

Нейля парабола.................................................................  31

Строфоида.........................................................................  33

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................................................  35

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ..............................  36



ВВЕДЕНИЕ



Актуальность темы.

     Кривые линии повсеместно встречаются в окружающем нас мире. В нашей повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с огромным количеством кривых линий, которые порой не замечаем. Если бы в мире не было кривых линий, то все предметы были бы угловатыми, квадратными. И вещи, имеющие мягкие очертания, приятны для восприятия зрительного органа человека. Даже в природе количество n-

угольных предметов сведено к минимуму.

		Понятие линии возникло в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, очертание цветов и листьев растений, извилистая линия берега и другие явления природы с давних пор привлекли внимание людей. Наблюдаемые многократно, они послужили основой для постепенного установления понятия о линии. Но потребовался значительный промежуток времени для того, чтобы наши предки стали сравнивать между собой формы кривых. 

		 Первые рисунки на стенах пещер, примитивные орнаменты на домашней утвари показывают, что люди умели не только отличать прямую от кривой, но и различать отдельные кривые.

		    Кривые линии обладают целым рядом геометрических и механических свойств. С ними связываются в истории математики ряд важных теоретических открытий. Поэтому знакомство с отдельными кривыми и их свойствами вызывает особый интерес, развивает математическое мышление, устанавливает связь математической теории с практикой.

		 С этой точки зрения моя работа посвящена вопросам  кривых линий, описанию их  свойств и особенностей формы отдельных кривых.

		

		

		

      Цель: Изучить кривые линии третьего порядка.

Задачи:

Изучить историю изучения кривых линий.

Рассмотреть виды кривых линий.

Изучить некоторые кривые третьего порядка, способы их задания,  способы построения.

Работа состоит из трех глав.

В первой главе мы рассматриваем историю изучения кривых линий  и становление их как важного аспекта изучения всемирными учеными и математиками.

Во второй главе описываются общие понятия и виды кривых линий.

В третьей главе  мы изучаем и делаем построения непосредственно кривых линий третьего порядка.

В заключении сделаны выводы о проведенной работе, даны рекомендации по использованию различных видов построения кривых линий

























1  История изучения кривых 



	Понятие линии появилось в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камней, струи воды, лучи света, очертания цветов и даже листья растений, извилистая линия берега реки и моря и другие явления природы очень сильно привлекали внимание наших предков и, наблюдаемые очень часто, послужили опорой для постепенного установления понятия линии.
	Однако потребовался большой исторический период прежде чем люди стали понимать и сравнивать между собой формы кривых линий и отличать одну кривую от другой. Самые первые рисунки на стенах пещерного жилища, примитивные орнаменты украшавшие домашнюю утварь (посуду, горшки) свидетельствуют о том, что люди научились уже не только отличать прямую от кривой, но и различать формы отдельных кривых и в их сочетаниях находить полезные варианты их использования, а так же удовлетворение зарождающихся эстетических потребностей. Но всё это было очень далеко от того абстрактного понимания линии, которым располагает математика сейчас .
	Правда, исторические памятники глубокой древности показывают, что у большинства народов на известной ступени их развития имелось понятие окружности и кривой, не говоря уже о прямой линии. Употреблялись примитивные инструменты для построения и рисования этих линий и были попытки измерять площади, ограничиваемые прямыми и окружностью. Как видно, например, из древнейшего памятника математической культуры – «папируса Ринда», египтяне за 17 – 20 веков до начала нашей эры занимались квадратурой круга и получили довольно хорошее приближение для числа , равное     , или 3, 1604. Но только с возникновением математики как науки стало развиваться учение о линиях, достигшее в трудах греческих математиков высокого уровня.
	Греческие учёные создали теорию конических сечений то есть линий, имеющих особенно большое значение в науке и технике да и в жизни в целом. Открытие их приписывается Менехму (4 век до н.э.), ученику Евдокса Книдского и, как полагают, учителю Александра Македонского. Менехм определял и отображал эти кривые как сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к его образующей.
	Что послужило поводом к этому открытию? Возможно, поиски решения знаменитой делосской задачи об удвоении куба, а возможно практический вопрос о том, насколько должен быть вытянут овал, находящийся в качестве архитектурного сооружения на фронтоне здания, чтобы с известного места перед зданием он казался кругом.
	Можно предположить на основе исторических данных, что Менехм знал свойства параболы и гиперболы, выражаемые в наши дни равенствами y2=2px и xy=c, и использовал эти свойства для делосской задачи удвоения куба. Жалко то что это первое вычисление по теории конических сечений было утеряно. Также была утеряна работа греческого геометра Аристея, написавшего пять книг о пространственных местах», из которых очень много заимствовал Евклид для своей также утраченной) работы о конических сечениях.
	Архимед решил и описал задачу о квадратуре сегмента параболы. Сравнивая фигуры, вписанные в эллипс и в окружность, построенную на большой оси эллипса как на диаметре, он определил и площадь эллипса.
	Но все задокументированные сведения о конических сечениях были ещё разрозненны. Первая методическая обработка конических сечений принадлежит Аполлонию Пергскому (3 – 2 в. до н.э.). Это был трактат «О конических сечениях». В этом трактате Аполлоний упорядочил всё, что было известно до него, и открыл ряд важных свойств, упорядочнил,  дал им имена.
	Но не только конические сечения открылись грекам. Ряд математиков в других странах в поисках решения великих проблем древности – задачи о трисекции угла, об удвоении куба и о квадратуре круга – использовали для образования кривых идею движения. Так возникли спираль Архимеда, циклоида, квадратрисса Динострата. В то же время первоначальный метод – образование кривых путём рассечения поверхности плоскостью был использован для образования кривых Персея как сечений Тора.
	В эпоху средневековья к сожалению великие достижения греческих учёных были забыты.
	К кривым математическая наука обратилась только в 17 веке, в связи с созданием аналитической геометрии и актуальности возникших вопросов.
	1637 год – одна из великих дат в истории математики – год появления книги Р. Декарта «Геометрия», в которой были записанны основы метода координат. Открытие этого метода для исследования кривых было фактом первостепенного значения. Метод координат не только создал общий, единообразный способ символического задания каждой кривой в виде соответствующего ей уравнения, он давал также возможность беспредельно увеличивать количество изучаемых кривых, так как каждое произвольно записанное уравнение, связывающее между собой две переменные величины, представляло теперь, новую кривую.
	Открытие метода координат подготовило в свою очередь открытие очень важного метода науки – исчисления бесконечно малых. Появление дифференциального и интегрального исчисления имело особо важное значение для изучения свойств кривых. В связи с многочисленными и большими проблемами механики, астрономии, геодезии, оптики, возникшие в 17 – 18 в., стимулировали интерес к исследованию инфинитезимальных свойств линий. Эти проблемы привели к открытию новых линий. Роберваль и Паскаль показывают, что дуга спирали Архимеда равна дуге параболы, выбранной определённым образом и что, следовательно, задача спрямления спирали идентична задаче спрямления параболы. Ферма обобщает и комплектует это предложение на алгебраические спирали высших порядков, устанавливая, что их спрямление сводится к спрямлению парабол высших порядков. Нейль открывает алгебраическую кривую, которая спрямляется алгебраически (парабола Нейля). К этому же времени относится спрямление логарифмической спирали, выполненное Торичелли, спрямление эпи- и гипоциклоид, выполненное Де ла Гиром. Фаньяно в 1714 году, исследуя вопрос о спрямлении лемнискаты, заложил основы теории эллиптических функций.
	Наряду с исследованием геометрических свойств кривых исследуются и их механические свойства. Гюйгенс открывает изохронность циклоиды. И. Бернулли показывает, что циклоида является брахистохроной в пустом пространстве. Исследуются механические свойства параболы Нейля, цепной линии, овалов Кассини, овалов Декарта и целого ряда других теперь хорошо известных кривых.
	Не только практические потребности века – запросы промышленности, конструирование машин и механизмов, постройка плотин и шлюзов – постоянный и глубокий интерес к исследованию кривых у этих учёных, но и та «радость созерцания формы», которая, по словам Клейна, характеризует истинного геометра.
	Увлечение аналитическим методом исследования кривых, особенно характерное для 17 века, с течением времени вызвало реакцию со стороны некоторых учёных. Как недостаток этого метода отмечалось то обстоятельство, что употребление его не раскрывает естественного происхождения кривой, так как объектом исследования фактически является не сама кривая, а соответствующее ей уравнение. Плодотворные попытки возвратиться к синтетическому методу древних породили новое направление в исследовании свойств кривых третьего порядка. Первые достижения здесь остались за именами Дезарга и Паскаля. Он, исследуя проективные свойства фигур и используя установленное им понятие инволюции, обогатил теорию кривых третьего порядка новыми открытиями. Пскаль открывает свою знаменитую теорему о соотношении между шестью точками конического сечения, согласно которой во всяком шестиугольнике, вписанном в кривую второго порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой. Де ла Гир приходит к важному предложению о том, что директриса кривой второго порядка является полярой её фокуса.
	Новые методы исследования свойств кривых третьего порядка развиваются в 19 веке. Брианшон доказывает теорему, двойственную теореме Паскаля, а также изучает проективные свойства гиперболы. Понселе исследует кривые второго порядка с помощью открытого им метода проективных соответствий. Штейнер и Шаль исследуют проективные свойства этих кривых на основе понятия двойного отношения и рассматривают их как производные от образов первой ступени.
	Критика аналитического метода исследования формы и свойств кривых была основана, как было уже сказано, на том обстоятельстве, что при пользовании этим методом отсутствует наглядный образ этой кривой и исчезают геометрические построения. Она дополнялась и другими соображениями. Указывалось, что система координат является посторонним элементом исследования, с которым кривая связывается искусственно.
	Исследование свойств кривых сводилось здесь к исследованию инвариантов алгебраических форм. Эти воззрения повели с одной стороны, к созданию так называемой алгебраической геометрии, основы которой были заложены Гессе и Клебшем. 
	Самым большим достижением этого направления в исследовании кривых было создание общей теории алгебраических кривых. Особые достижения в развитии этой теории связываются с именем Плюккера. Однако в алгебраической геометрии полностью отойти от системы координат как постороннего элемента не удалось.
	Другое направление привело к представлению о так называемом натуральном уравнении кривой. Натуральное уравнение уже не зависит от положения системы координат и от вида её; точнее говоря, оно не предполагает вообще наличия системы координат. Это уравнение функционально связывает радиус кривизны кривой и длину её дуги, т.е. те элементы, которые органически связаны с самой природой исследуемой линии. Также было доказано, что натуральное уравнение полностью определяет кривую с точностью до её положения на плоскости. Крупных успехов это направление исследования кривых достигло в работах Чезаро, который присвоил ему название внутренней или натуральной геометрии.
	В заключение о плодотворной идее использования векторного аппарата при исследовании свойств линий, которая связывается с именем Грассмана.



2  Кривые линии

    Кривая линия определяется положением составляющих ее точек. Кривую линию называют плоской, если все точки кривой лежат в одной плоскости, и пространственной, если точки не принадлежат одной плоскости. 

     2.1 Плоские кривые
   Все множество плоских кривых можно разделить на циркульные и лекальные. 
   2.1.1 Циркульной называют кривую, которую можно построить с помощью циркуля. К ним относятся окружность, овал, завиток и т.д. 
   Кроме окружности в практике выполнения чертежей встречается четырехцентровый овал, состоящий из дуг четырех окружностей. Рассмотрим построение овала по двум заданным осям АВ и CD (рис.1). На продолжении малой оси отметим точку 1 ([O1] = [OА]) и на отрезке АС дугой радиуса С1 фиксируем точку 2. Через середину отрезка A2 (точка 3) проводим перпендикуляр и находим центры O1 малой окружности радиса r и O2 большой окружности радиуса R. Точку сопряжения (точку 4) находим на пересечении малой окружности с отрезком O2O1. Центры O3 и O4 симметричны

 центрам O1 и O2 соответственно. 

  Рис. 1.




  2.1.2 Лекальной называют кривую, которую нельзя построить с помощью циркуля. Ее строят по точкам с помощью специального инструмента, называемого лекалом. К лекальным кривым относятся эллипс, парабола, гипербола, спираль Архимеда и др. 
   Лекальные кривые можно разделить на закономерные и незакономерные. 
   Закономерными называют кривые, которые можно задать алгебраическим выражением. Незакономерные кривые нельзя задать алгебраическим выражением. 
   Среди закономерных кривых наибольший интерес для инженерной графики представляют кривые второго порядка: эллипс, парабола и гипербола, с помощью которых образуются поверхности, ограничивающие технические детали. 
 2.1.3  Эллипс - кривая второго порядка, сумма расстояний от любой точки которой до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси эллипса. 

     Рис. 2.



   Один из вариантов построения эллипса по большой оси АВ и двум фокусам F1 и F2 приведен на рис.2. На большой оси эллипса откладываем произвольный отрезок АК, но больший отрезка AF1. Радиусом r1 = АК проводим окружности с центрами F1 и F2. Затем радиусом r2 = ВК проводим окружности, также с центрами F1 и F2. Точки 1, 2, 3, 4 пересечения больших и малых окружностей принадлежат эллипсу, так как они удовлетворяют определению эллипса. 
   Аналогично строим необходимое число точек. Точки, принадлежащие малой оси эллипса, находим с помощью окружности радиуса R = ОА. 

     Рис. 3.

   Другой вариант построения эллипса по двум осям разобран на (рис.3.) При построении проводим окружности радиусами r и R из одного центра О и произвольную секущую ОА. Из точек пересечения 1 и 2 проводим прямые, параллельные осям эллипса. На их пересечении отмечаем точку М эллипса. Остальные точки строим аналогично. 
  2.1.4 Парабола - кривая второго порядка, расстояние от любой точки которой до фокуса равно расстоянию от этой точки до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. 

     Рис. 4.

   На (рис.4.) приведен пример построения параболы по директрисе 1 и фокусу F. Вершина параболы (точка А) находится на середине отрезка OF. Далее от точки О вдоль оси параболы откладываем произвольный отрезок ОК, который должен быть больше ОА. Через точку К проводим прямую а, перпендикулярную оси параболы. Из фокуса радиусом r = ОК строим окружность. Точки 1 и 2 пересечения окружности и прямой а принадлежат параболе. Аналогично строим необходимое количество точек. 
  2.1.5 Гипербола - кривая второго порядка, разность расстояний от любой точки которой до двух фокусов есть величина постоянная, равная действительной оси гиперболы. Вдоль действительной оси расположены ветви гиперболы. 
  Рис. 5.

   Гиперболу по величине действительной оси и двум фокусам строим в следующей последовательности (рис.5). На оси гиперболы откладываем произвольный отрезок АК. Проводим две окружности с центрами в F1 и F2 радиусом r1 = АК и две окружности радиусом r2 = ВК. Точки 1, 2, 3, 4 пересечения окружностей принадлежат гиперболе. 
   Гипербола - кривая, имеющая асимптоты, которые проходят через точку О и точки 5 и 6. Точки 5 и 6 находим на пересечении прямых, проведенных через вершины гиперболы перпендикулярно к оси, и окружности с центром О, проведенной через фокусы. 

 2.2  Пространственные  кривые
   Среди множества пространственных кривых наибольший интерес для инженерной графики представляют цилиндрическая и коническая винтовые линии. 
  2.2.1 Цилиндрическая винтовая линия 

     Рис.6


   Пусть точка А (рис.6.) равномерно движется по прямой 1, прямая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг оси i, ей параллельной. При вращении прямая 1 образует цилиндрическую поверхность, а точка А опишет пространственную кривую, которую называют цилиндрической винтовой линией или гелисой (геликой). Расстояние от точки А до оси i называют радиусом винтовой линии, а расстояние между точками А1 и АVIII, лежащими на одной прямой - шагом винтовой линии. 

    Рис.7


  Построим комплексный чертеж винтовой линии по ее радиусу R и шагу р (рис.7). Примем ось винтовой линии i, расположенной перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций П1. Все точки винтовой линии отстоят от оси на одинаковом расстоянии, поэтому горизонтальной проекцией этой линии будет окружность радиуса R с центром на оси L. Выберем начальную точку винтовой линии - точку 1. Разделим окружность на 12 равных частей и примем полученные точки за горизонтальные проекции точек, принадлежащих винтовой линии. По условию задачи шаг винтовой линии равен р, следовательно, при переходе точки 1 в положение 2 она поднимется на высоту, равную 1/12 р, при переходе в положение 3 - на высоту 2/12 р и т.д. Поделив шаг на 12 частей, построим фронтальные проекции точек, принадлежащих винтовой линии. 
   Совокупность этих точек даст фронтальную проекцию винтовой линии - синусоиду. 
   Винтовая линия может быть правого или левого хода. Если точка, перемещаясь по винтовой линии вращается по часовой стрелке и удаляется от наблюдателя, винтовая линия - правая. Если вращается против часовой стрелки и удаляется от наблюдателя, винтовая линия - левая. На рис.2.13 изображена правая винтовая линия. 

  2.2.2 Коническая винтовая линия 
   Коническая винтовая линия- пространственная кривая, образованная равномерным движением точки по прямой, которая равномерно вращается вокруг оси и пересекает ее. 

     Рис. 8

   Для построения конической винтовой линии (рис.8) изобразим некоторое число положений прямой, равномерно отстоящих друг от друга (в данном случае 12). Положение точки, движущейся вдоль прямой, будем фиксировать так, чтобы движение вдоль прямой было пропорционально угловому перемещению вокруг оси. Горизонтальной проекцией конической винтовой линии будет спираль Архимеда. Фронтальной проекцией - синусоида с затухающей амплитудой. Получили левую винтовую линию.



3  КРИВЫЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА



			  Кривые  линии  третьего  порядка  представляют  собой  геометрическое  место  точек, координаты  которых  в  прямоугольной  системе  координат  описываются  алгебраическим  уравнением  третьей  степени. Такие  кривые  могут  иметь  одну, две  или три  бесконечные  ветви.

			Среди большого  разнообразия  кривых  третьего  порядка  существует  ряд  так называемых  замечательных  кривых, построения  некоторых  из  них  рассмотрим  далее.

		 3.1 Декартов  лист 

			Исторические сведения. Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где  и  принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (рис. 9.). 

		  Рис. 9



			В современном виде эту кривую впервые представил    Х. Гюйгенс в 1692 году. 

			Определение: Декартов лист  – плоская алгебраическая кривая   третьего порядка.  Ее уравнение в  прямоугольной  декартовой системе координат имеет вид

		,     

		Параметр  определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли (рис. 10). 

		  Рис.10



		Прямая   — ось симметрии, её уравнение: .

		Точка  называется вершиной, её координаты  

		Для обеих   ветвей существует асимптота , её уравнение: .	

			Оси координат служат касательными к ветвям кривой в начале координат, поэтому кривая пересекает сама себя в начале координат под прямым углом.

			Вводя  в качестве  параметра отношение    и подставляя  в  уравнение  кривой  легко  получить  параметрическое  представление:

		

		Построим Декартов лист в системе компьютерной алгебры Mathpar [11-12].

		Для этого в системе напишем код:

		\set2D(-2, 2, -3, 3);

		 g = 3\tg(x)/(1+(\tg(x))^3); k = 3(\tg(x))^2/(1+(\tg(x))^3);

		 f = \paramPlot([g,k],[0,2\pi]);

		     Рис. 10.1. Декартов лист в системе компьютерной алгебры Mathpar

		 

		В полярных координатах   декартов лист имеет вид (полюс,полярная ось)

		


		Вычислим  площадь  петли  декартова  листа 

		.

		От  неявного  задания  кривой  перейдем  к  заданию  в  полярных  координатах

		

		Тогда 

		,

		откуда, после  сокращения  на  , получим

		

			Так как  петля  кривой  отвечает  изменению   от    до  , то  искомая  площадь  равна 

		

		Вычислим  площадь  половины  петли  

		и  затем  удвоим  ее.

		

		

		Итак, 

		

		

		 3.2 Циссоида  Диоклеса

			Исторические сведения. Впервые циссоиду исследовал греческий  математик  Диокл  во II веке до н. э. При этом древние греки рассматривали только часть циссоиды, лежащую внутри производящей окружности; эта часть циссоиды вместе с дугой окружности напоминают лист плюща. 

			Этим и объясняется название кривой: оно произошло от греческого слова ????????? – плющевидный, похожий на лист плюща, которое, в свою очередь, пошло от ?????? – плющ и ????? – вид, форма. Наличие бесконечных ветвей у циссоиды было установлено в 17 веке Робервалем и независимо от него Слюзом.

			В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик  Жиль  Роберваль  в 1640 г. 

		Определение и  построение  кривой: Циссоида  Диоклеса — плоская  алгебраическая кривая  третьего порядка (рис. 11). Ее уравнение в  прямоугольной  декартовой системе координат имеет вид

		

		

		 Рис. 11



			Вводя  в качестве  параметра отношение    и подставляя  в  уравнение  кривой  легко  получить  параметрическое  представление:

		

			Пусть   Тогда, подставляя  эти  равенства  в  уравнение    , получим

		

		

		,

		откуда,  после  сокращения  на  , получим  уравнение  циссоиды  в  полярной  системе  координат. 

			Уравнение циссоиды в полярной системе координат  имеет вид (полюс,полярная ось):

		

			В декартовой  системе  координат, где ось абсцисс направлена по  , а ось ординат по  , на  отрезке  строится вспомогательная  окружность (рис. 12). 

		 Рис. 12



			В точке  проводится касательная . Из точки   проводится произвольная прямая , которая пересекает окружность в точке и касательную в точке  От точки, в направлении точки  откладывается отрезок , длина которого равна длине отрезка  

			При вращении линии  вокруг точки   точка  описывает линию, которая называется циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рисунке  показаны синим и красным цветами.

		Асимптота:- радиус вспомогательной окружности.

		Диокл строил кривую так: находится точка , которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке ; ось симметрии — диаметр . Из точки  проводится перпендикуляр к оси абсцисс. 

		Точка  , принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой . 

			Этим методом Диокл построил только кривую  внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды замкнуть дугой окружности  , то получается фигура, напоминающая своей формой лист  плюща, от чего и произошло название кривой.

		I.Найдем  площадь  между  кривой  и  асимптотой, используя  формулу:

		

		

		

		

		

		

		

		Итак, площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равняется  утроенной  площади  производящего  круга

		

			II.Найдем  длину  дуги кривой от  точки    до  точки 

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		Вернемся к  и подставим  полученное  нами выражение:

		

		

		

		Сначала вычислим неопределенный интеграл

		

		

		

		

		Отдельно посчитаем интегралы:

		

		

		

		

		

		

		Итак, 

		

		

		III. Вычислим  объем  тела, образованного  при  вращении  ветви   вокруг  оси  абсцисс, используя  следующую  формулу:

		

		

		

		

		

		

		

		

		

		Если  , то   т. е. .

		

		 3.3 Локон  Аньези

			Исторические сведения. Свое  название  кривая   получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези (1718-1799), исследовавшей эту кривую (1748).Иначе эту кривую называют  верзьерой.

			Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзьерой.

			В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд «Основы  анализа  для  итальянской  молодежи», в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзьерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма». 

			Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон  Колсон, переводивший труд  Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется  как «ведьма Аньези».

			Определение  и  построение  кривой.  Локон Аньези – плоская алгебраическая кривая третьего порядка, геометрическое место точек  , для которых выполняется соотношение  , где   — диаметр окружности, — полухорда этой окружности, перпендикулярная  .

		 Рис. 13



		 В прямоугольной  декартовой  системе координат уравнение кривой имеет вид:

		

		.

		Параметрические  уравнения  кривой:

		

			В  полярной  системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить  кубическое  уравнение:   

		

			Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

			Ось абсцисс служит для кривой  асимптотой. В точке   локон и окружность имеют общую касательную, параллельную оси абсцисс.

		Построение.

		  Строится окружность диаметра    и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая  через выбранную точку касательной  и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке  . Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке. 

			I.Вычислим  площадь  между  кривой  и  ее  асимптотой, используя  формулу:

		

		

		

		Итак,




 3.4 Нейля парабола 

   Плоская алгебраическая кривая третьего порядка (иначе называется полукубическая парабола; происхождение этого названия ясно из формулы, задающей кривую).

																							Ее уравнение в некоторой декартовой 

																							прямоугольной системе координат имеет 

																							вид:                        у2 = ах3,  (*)параметрические уравнения  

																							                х = t2;     y =              ,  a > 0.

																							В начале системы координат, в которой  кривая имеет

																							 уравнение (*), у нее особая  точка – «точка  заострения», 

																							или «клюв», или «точка возврата 1-го рода» – см. рис.

																							 Ось абсцисс  касается обеих ветвей этой кривой в начале

																							 координат. Как установил и опубликовал в 1687 г. 

																							Х. Гюйгенс, по дуге этой кривой движется с постоянной 

																							скоростью материальная точка под  действием силы 

																							тяжести. Кривая названа по имени английского математика

																							  У.  Нейля,  нашедшего (1657 г.) длину дуги полукубической 

																							                                параболы.













                                                              Рис.14 (Нейля порабола)





 3.5 Строфоида







                                                                                             Рис .15

                                                                                              (Прямая строфоида)



 Строфоида  (от греч. str?phos — кручёная лента и ?idos — вид)

     В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, задана фиксированная точка A на оси OX. Через т. А проводится произвольная прямая AL, которая пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду.

																							     В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида или просто строфоида, которая изображена на Рис.1. В косоугольной системе координат строится косая строфоида — Рис.2.

Уравнение строфоиды в декартовой системе координат, где O — начало координат, ось абсцисс направлена по лучу OB, ось ординат по лучу OD, 

. Уравнение прямой строфоиды: 





. Уравнение строфоиды в полярной системе координат:



.

 Параметрическое уравнение строфоиды:





,Точка B отстоит от центра координат O на расстоянии равном a=OA. Прямая UV, проведенная через точку B параллельно оси ординат служит асимптотой для обеих ветвей прямой строфоиды. Для косой строфоиды, прямая UV служит асимптотой для нижней ветви и касательной в точке S, причём SB = SA.

В точке O существуют две касательные, которые взаимно перпендикулярны, как для прямой, так и для косой строфоиды.

 



Нахождение касательной:









В точке O(0,0) производная                         , то есть в точке O(0,0) существуют две перпендикулярные касательные, угол наклона которых равен   .

Радиус кривизны:

R = ON в точке O(0,0) определяется так:







Объём тела вращения:

Объём (V1) тела, образованного при вращении дуги OM1A вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:







Если    b = a    ,  то     In (a-b  ) = - ?   , 



то есть 



















                                                                                      Рис.16

                                                                                        (косая строфоида)

                                                                              

















    ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

	Для представления полной картины кривых линий мы изучили историю и становления их как важного аспекта в жизни человека. Изучили способы построения кривых линий третьего порядка хотя каждый из предложенных способов имеет свои преимущества и недостатки, поэтому выбор способа построения кривых линий зависит от конкретной задачи.

	Изучение кривых третьего порядка дало толчок к развитию алгебраических и механи.......................