Теоретические и методические особенности изучения векторного метода в школьном курсе геометрии

94

	

	

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (РИНХ)»

ТАГАНРОГСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А. П. ЧЕХОВА



Факультет физики, математики, информатики

Кафедра математики



    ДОПУСТИТЬ К ЗАЩИТЕ

И.о. зав. кафедрой математики

кандидат физ.-мат наук, доцент Сидорякина В.В.

		_______________	

«___» _____________ 2018 г.



ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

на тему



«СОСТАВЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ РАЗНЫХ ДИДАКТИЧЕСКИХ ЦЕЛЕЙ НА ПРИМЕРЕ ТЕМЫ «ВЕКТОРЫ»» 







Выполнила студентка гр. MATGZ ? 131

направления подготовки

44.04.01 "Педагогическое образование "

магистерская программа

44.04.01.05 "Математическое образование» _________  Кружилина Елена Владимировна

Научный руководитель работы

кандидат физ.-мат. наук, доцент_______________   Сидорякина Валентина Владимировна 





Таганрог

2018

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ	3

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ВЕКТОРНОГО МЕТОДА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ	7

1.1 История возникновения и становления аналитических методов	7

1.2 Различные подходы к определению понятия вектора в математике и в школьном курсе математики	12

1.3 Обучение решению задач как психологическая и методическая проблема	24

1.4 Методика обучения векторному методу решения аффинных задач в геометрии	30

Выводы по 1 главе:	38

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ» В 10 КЛАССЕ	40

2.1 Логико-дидактический анализ темы «Векторы в пространстве»	40

2.2 Методика формирования умений, составляющих суть векторного метода решения геометрических задач	45

2.3 Методика обучения векторному методу решения содержательных геометрических задач	59

2.4 Описание опытной работы	78

Выводы по 2 главе:	88

ЗАКЛЮЧЕНИЕ	90

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	91

ПРИЛОЖЕНИЕ 1	94






Введение



Актуальность. В соответствии с концепцией Российского образования и, в частности, математического одной из задач обучения, развития и воспитания учащихся в средней школе является достижение следующих двух главных целей образования: воспитать личность, способную адаптироваться в быстро меняющихся условиях жизни и способную одновременно изменять эти условия. Соответственно, усилия школы должны быть сосредоточены в двух направлениях: создание условий для развития интеллекта и формирование творческих качеств личности обучающихся.

Одной из приоритетных целей математического образования в рамках выделенных направлений является «формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики» [23, с. 3]. 

Векторный метод является одним из основных методов геометрии. С его помощью можно эффективно решить ряд аффинных и метрических задач планиметрии и стереометрии, ряд прикладных задач физики и астрономии.

Так же изучение векторного метода представляет собой самостоятельный познавательный интерес, т.к. на его основе имеется возможность корректно ввести метод координат на плоскости и в пространстве.

Необходимо отметить, что в школьном курсе математики тема «Векторы», а вместе с ней векторный метод, появилась относительно недавно, в начале шестидесятых годов прошлого века. Тем не менее, практически сразу же понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики, а векторный метод –одним из основных способов решения задач и доказательства теорем. 

В любом школьном учебнике изложение темы «Векторы» состоит из двух этапов: изучение векторов и векторного метода 1) в планиметрии; 2) в стереометрии.

Изучение темы «Векторы в пространстве» дает возможность учащимся получить представление о широте применения векторов в различных областях человеческой деятельности, познакомиться с некоторыми фактами развития векторного исчисления, усвоить систематизированные сведения о векторах в пространстве, научиться проводить аналогии между плоскими и пространственными конфигурациями векторов, применять векторный метод для изучения плоских и пространственных форм, при решении задач.

Изучением темы «Векторы. Векторный метод решения задач» в разные периоды времени занимались многие ученые-физики, математики и методисты (К. Вессель, Р. Декарт, Ж. Арган, З.А. Скопец, А.Н. Колмогоров, А.Д. Александров, В.А Гусев, Ю.М Калягин, Т.А. Иванова). В настоящее время существует несколько подходов к определению понятию вектора, определены операции с векторами, очерчен круг задач, решаемых векторным методом, выделены умения, входящие в состав векторного метода. Разработаны частные методики по обучению учащихся векторам и, в частности, векторному методу. Все они основаны на идее основного назначения векторов – использование алгебраического аппарата для решения геометрических задач. 

Не смотря на все это, многие специалисты отмечают, что некоторые учителя, студенты, а тем более школьники, затрудняются в применении векторного метода к решению содержательных задач. 

Сказанное позволяет выделить существующее противоречие между необходимостью обучения учащихся векторному методу решения геометрических задач и недостаточному уделению внимания этому на практике. Разрешение этого противоречия особенно актуально при изучении темы «Векторы в пространстве» в 10 классе, поскольку в теории и методике обучения математике даются, в основном, рекомендации для изучения векторного метода на плоскости. Между тем, при изучении стереометрии круг задач, решаемых с помощью векторов, значительно расширяется.

Таким образом, сформулированное выше противоречие определило актуальность проблемы нашей работы, которая состоит в его разрешении посредством обоснованной разработки методических рекомендаций по обучению учащихся векторному методу решения геометрических задач в теме «Векторы в пространстве». 

Цель исследования – выявить теоретико-методические условия изучения векторного метода решения геометрических задач и разработать научно обоснованные методические рекомендации по обучению учащихся этому методу.

Объект исследования - процесс обучения геометрии в старших классах общеобразовательной школы;

Предмет исследования – методическая система обучения учащихся векторному методу решения задач.

Гипотеза исследования: Если целенаправленно обучать школьников умениям и действиям, входящих в состав векторного метода, формулировать частные эвристики по решению отдельных типов задач, то это будет способствовать эффективному усвоению учащимися этого метода

Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. Провести анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования с целью выявления условий успешного овладения школьниками векторного метода решения геометрических задач;

2. Провести анализ программных документов, школьных учебников по теме «Векторы в пространстве»;

3. Выявить теоретико-методическую концепцию, на основе которой можно разрабатывать методические рекомендации изучения векторного метода решения задач в школьном курсе геометрии;

		Разработать методические рекомендации для успешного овладения учащимися векторного метода;

		Провести опытную проверку разработанных методических рекомендаций.

	Для решения поставленных задач использовались следующие методы:

	- изучения и анализ литературы по исследуемой проблеме;

	- беседа с учителями математики в старших классах общеобразовательной школы;

	- тестирование учащихся;

	- опытная работа.

Методологической основой исследования послужили: концепция развивающего обучения (В.В. Давыдова, Д.Б. Эльконина); основные положения деятельностного подхода; методические рекомендации по изучению темы «Векторы в пространстве» (Т.А. Ивановой, З.А. Скопеца, В.А. Гусева, Г.И. Саранцева). 

Новизна исследования заключается в методических рекомендациях по теме «Обучение школьников решению задач векторным методом», которые основаны на идее целенаправленной предварительной работы по формированию умений, необходимых для успешного овладения учащимися этого метода.

Положения, выносимые на защиту:

1. Вектор является одним из фундаментальных понятий современной математики. В настоящее время существует несколько подходов к определению этого понятия.

2. Векторный метод является эффективным методом решения геометрических задач и доказательства теорем;

3. Для успешного овладения школьниками векторным методом решения содержательных геометрических задач необходимо обучать их умениям и действиям, входящих в его состав;

4. Сущность векторного метода состоит в том, что условие и требование задачи записывается в векторной форме, а ее решение состоит в переходе от условия к требованию на основе законов векторной алгебры. 

Апробация основных положений и результатов исследования осуществлялась автором в личном опыте работы с учащимися 10 класса МОУ Хвощевской средней школы Богородского района Нижегородской области в период педагогической практики, в выступлении перед студентами V курса на семинарских занятиях.

Структура дипломной работы определена ее логикой и решением задач исследования. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложения. 

вектор математика геометрия школьный


Глава 1. Теоретические и методические особенности изучения векторного метода в школьном курсе геометрии



Эта глава посвящена изложению теоретического материала, касающегося изучению векторного метода в школе. Прежде чем начать изучение какой-либо темы, необходимо обратиться к истории ее возникновения. Именно поэтому главу 1 мы начнем с исторической справки о возникновении векторного метода. Далее проведем анализ различных подходов к определению понятия вектора в математике, в школьном курсе математики. Для того чтобы выявить методическую концепцию по изучению школьниками векторного метода решения задач, проанализируем психолого-педагогическую литературу по проблеме обучения школьников решению задач, и учебно-методическую литературу по обучению собственно векторному методу.



1.1 История возникновения и становления аналитических методов



Интерес к векторам и векторному исчислению пробудился у математиков в 19 веке в связи с потребностями механики и физики. Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком пришлом. В Древней Греции, пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями (,…), пришли к выводу, что не всякую величину можно выразить дробями. Вследствие этого математики того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408-355 гг. до н.э.), а позднее «геометрической алгебре». 

В работе Евклида «Начала» сложение и вычитание сводились к сложению и вычитанию отрезков, умножение – к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям, а деление – к операции «приложения» геометрических фигур.

В последствии в 16-17 вв. геометрическая алгебра из-за ограниченности своих средств исследования стала тормозом развития науки. 

Однако, геометрическое исчисление сыграло значительную роль в развитии математики, в том числе и для теории векторов, послужив истоком развития этой теории. 

Еще в работе «Механические проблемы», созданной в школе Аристотеля, введен термин «сложение движений», т.е. скоростей, и сформулировано правило параллелограмма. Его использовал Архимед в работе «О спиралях», а позже – Птолемей. Астрономы средневекового Востока, развивая теорию Птолемея, постоянно использовали «сложение движений».

В 1587 г. был опубликован на голландском языке трактат фламандского ученого С. Стевина (1548-1620) «Начала статики». В нем автор, рассматривая сложение сил, приходит к выводу, что для нахождения результата сложения двух сил, действующих под углом 90, необходимо воспользоваться «параллелограммом сил», при этом для обозначения сил С. Стевин ввел стрелки. Иначе говоря, С. Стевин впервые ввел сложение двух векторов, перпендикулярных друг другу. Далее, Стевин в «Основах статики» и Валлис (1616-1703) в «Механике» сформулировали правила параллелограмма и параллелепипеда для сложения направленных отрезков, которыми они изображали силы, скорости, ускорения. 

В конце 16- начале 17 в. многие ученые - физики, в том числе Леонардо да Винчи, Галилео Галилей, пользовались направленными отрезками для наглядного представления сил. Формулируя свои законы движения планет, Кеплер по существу рассматривает направленный отрезок, началом которого является Солнце, а конец совпадает с движущейся точкой.

Однако в рассматриваемую эпоху в естествознании еще не оформилось четко понятия векторной величины, а идеи алгебраических действий с направленными отрезками лишь зарождались.

Исторически развитие векторного исчисления шло тремя путями: геометрическим (исчисление отрезков), физическим (исследование векторных величин, встречаемых в естествознании), и алгебраическим (расширение понятия операции при создании современной алгебры). 

Начала исчисления направленных отрезков были впервые изложены норвежцем Каспаром Весселем в мемуаре «Опыт об аналитическом представлении направления и его применениях, преимущественно к решению плоских и сферических многоугольников», опубликованном в «Трудах Датской Академии наук» в 1799 г. Вессель создал свой труд, исходя из чисто практических задач – облегчить труд геодезиста-землемера. 

Вессель впервые представил комплексные числа как направленные отрезки. Он ввел операции умножения и деления направленных отрезков на основе операций с комплексными числами.

Так, результатом умножения отрезков z1 и z2, где z1=r1(cos+isin), z2=r2(cos+isin), является отрезок z1z2=r1r2(cos()+isin()). При этом отрезок z1 поворачивался на угол , а его длина r1 умножалось на число r2.

Векторную алгебру на плоскости (или двумерное векторное пространство) Вессель строит почти так же, как она изложена в наших учебниках. Для иллюстрации приведем его определение суммы нескольких векторов, следующее за определением суммы двух направленных отрезков: «Чтобы сложить более двух отрезков, нужно следовать тому же правилу: располагаем их так, чтобы конец первого совпадал с началом второго, а конец второго совпадал с первой точкой третьего и т. д., затем соединяем отрезком ту точку, где первый отрезок начинается с той точкой, где последний отрезок заканчивается, и называем этот последний отрезок суммой всех данных отрезков». Причем он подчеркивает, что в расширенное понятие сложения включен как частный случай и старый смысл этого действия, т.е. «Если складываемые отрезки одинаково направлены, то это определение суммы вполне согласуется с обычным сложением».

Вессель также строит исчисление направленных отрезков в пространстве (трехмерное векторное пространство) и, развивая оригинальную «алгебру вращения сферы», применяет ее к решению сферических треугольников и многоугольников. «Опыт» Весселя свидетельствует о том, что именно удовлетворение потребностей прикладной геометрии привело к развитию векторного исчисления.

Об этом говорят и философские воззрения великих ученых о роли математики в исследовании явлений природы. Система координат Р. Декарта основана на его концепции единой математики, объединяющей геометрию и алгебру. Развивая мысли Декарта о матемизации естествознания, Лейбниц писал: «Алгебра выражает величину необходим ещё иной, чисто геометрический анализ, непосредственно выражающий положение». Лейбниц говорил о построении геометрического исчисления, изучающего направленные отрезки, их длины, углы между ними. Эти мысли стали исходной точкой для многих геометрических работ.

Видное место в истории векторного исчисления занимает книга Карно «Геометрия положения» (1803). В ней автор вводит понятие геометрического количества, под которым он подразумевает в основном направленный отрезок, и занимается действиями над ориентированными фигурами, в частности отрезками. До него положительные и отрицательные отрезки рассматривались лишь в пределах одной прямой, он же ввел отрезки, имеющие любое направление, и фактически проложил путь к векторному исчислению. Некоторые введенные Карно термины и символы, в частности обозначение вектора с помощью черты наверху (, ), сохранились и поныне.

В 1835 г. Дж. Белаватис в «Теории эквиполентности» ввел свободные векторы, назвав эквиполентными направленные отрезки с равной длиной и совпадающими направлениями.

В сочинении по аналитической и проективной геометрии «Барицентрическое исчисление» (1827) немецкий математик А. Мебиус в известной мере продолжил труд Карно и систематизировал его идеи. Автор впервые представлял геометрическое количество АВ в виде разности точек: В – А.

Швейцарский математик Жан Арган (1768-1822) написал в 1806 г. «Опыт о способе изображения мнимых количеств в геометрических построениях». Арган ставит и корректно решает задачу построения исчисления направленных отрезков, которые он называет «направленными линиями». Примерно в то же время появился и ряд других работ (М. Бюэ, Дж. Уоррена и др.), в которых делаются попытки обобщения алгебраических понятий таким образом, чтобы «числами» и «величинами» охватить отрицательные и комплексные числа, и направленные отрезки.

В математике эта теория окончательно утвердилась после «курса алгебраического анализа» (1821) О. Коши и «Теории биквадратичных вычетов» (1832) Гаусса.

Дальнейшее развитие векторного исчисления связано с исследованиями гиперкомплексных числел, с помощью которых можно было бы изучать повороты направленных отрезков в пространстве. 

Представители английской школы символической алгебры Дж. Пикок (1791-1858), Д. Грегори (1813-1844), А.Де Морган (1806-1874), Дж. Гревс (1806-1870) получили ряд интересных результатов, изучая триплеты, т.е. выражения вида

t=a+bi+cj, 

где i2=-1, 

j2=-1, a, b, c – действительные числа.

Однако им не удавалось так задать операции с триплетами, чтобы наряду с умножением была бы выполнима операция деления, кроме деления на нуль. У. Гамильтон в течение нескольких лет изучал операции с триплетами. Проделав громадные вычисления, он убедился, что на множестве триплетов систему с делением построить невозможно, и перешел к исследованию кватернионов, т.е. выражений вида 

w=a+bi+cj+dk, 

где i2=j2=k2=-1, 

ij=-ji=k, jk=-kj=I, ki=-ik=j, a,b,c,d – действительные числа. 

В своем труде «Лекции о кватернионах» Гамильтон дал строгое изложение алгебры комплексных чисел и создал учение, которое явилось одним из алгебраических источников развития современного векторного исчисления. В работе автор впервые вводит термины «вектор» (от лат. vector – «несущий или ведущий, влекущий, переносящий»), «скаляр», скалярное и векторное произведения, а так же определяет операции с векторами в трехмерном пространстве. Он писал: «Шаг от точки А к точке В можно рассматривать как работу по транспортировке или переносе подвижной точки из начального положения в конечное».

Теорию кватернионов развил и усовершенствовал математик и физик П. Тэт (1831-1901), посвятивший теории кватернионов и ее приложениям к физике 70 своих работ. В 1867 г. в «Элементарном трактате по теории кватернионов» Тэт впервые дал векторное изложение аналитической геометрии. В главе «Геометрия прямой и плоскости» Тэт предложил те задачи, которые и сейчас входят в учебники: найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки; найти длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость; найти условие того, что четыре данные точки лежат в одной плоскости, и т.д. 

Грассман в труде «Учение о протяженности» (1844 г.) впервые излагает учение об n- мерном евклидовом пространстве, которое как частный случай включает теорию векторов на плоскости и в трехмерном пространстве. Векторы, названные автором палочками, он обозначал жирными буквами латинского алфавита. Скалярное произведение векторов, названное им внутренним произведением, он обозначал a | b; векторное произведение, внешним произведением, он обозначал [a, b].

Во второй половине 19 в. идеи векторного исчисления получили свое развитие, в основном, в области физики. Так, Сен-Венан (1797-1886), опираясь на труды Валлиса и Стевина, в работе «О геометрических суммах и разностях и их применении для упрощения изложения механики» (1845 г.) разработал теорию сложения и вычитания направленных отрезков. Джемс Кларк Максвелл (1831-1879), один из создателей теории электромагнитного поля, применил в своем «Учении об электричестве и магнетизме» векторное исчисление. «Ценность идеи вектора несказанна», - писал Максвелл Тэту. Из разбухшего аппарата теории кватернионов он выбрал то, что необходимо для векторного исчисления, и тем самым создал удобный инструмент, который широко использует современная физика. 

Однако современный вид придали векторному исчислению в конце 19 в. американский физик, один из основателей химической термодинамики и статической механики - Дж. Гиббс (1839-1903), Грассман, и английский физик О. Хевисайд (1850-1925), применивший векторы в своей «Электромагнитной теории».

В последней четверти 19 в. происходит слияние, синтез трех путей (геометрического, алгебраического и физического) исторического развития и трех источников формирования векторного исчисления. Векторное исчисление становится независимой ветвью математики. 

В современной математике раздел, в котором излагается учение о действиях с векторами, называют векторной алгеброй, так как эти действия имеют много свойств с алгебраическими действиями. Наряду с ней Гамильтон создал и векторный анализ, изучающий переменные векторы - векторные функции, и определил производные скалярной функции по векторному аргументу (градиент) и некоторые виды производных вектор-функций векторного аргумента – дивергенцию и роторы. 

История векторного анализа подчеркивает неразрывную связь отдельных областей математики – алгебры, геометрии, математического анализа, теории функций комплексного переменного. Созданные в 16 в. для решения алгебраических уравнений комплексные числа в 19 в. стали образцом для открытия теории гиперкомплексных чисел, которая вскоре привела ученых к теории кватернионов и к векторному исчислению. Векторный анализ, построенный как математический аппарат для изучения электричества и магнетизма, стал научной базой для развития физических теорий, что в последствии привело к созданию тех благ цивилизации, которыми сейчас пользуется человечество.



1.2 Различные подходы к определению понятия вектора в математике и в школьном курсе математики



Вектор является одним из фундаментальных понятий современной математики. Эволюция этого понятия осуществлялась благодаря широкому использованию его в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Уже на уроках физики в 7 классе изложение материала ведется с широким привлечением векторного аппарата. Понятно, что это заставляет задуматься, прежде всего, над тем, как наиболее естественно ввести в курс математики средней школы понятие вектора, как эффективнее применять его при изложении теории и решении задач, как рассматривать основные действия над векторами.

Известно, что существует несколько подходов к ведению этого понятия.

В учебнике Л.Я. Куликова по алгебре [17] «n-мерным вектором над полем F (где F-поле скаляров) называется любой кортеж из n элементов поля F».

При таком подходе вектор обычно записывается в виде строки или столбца. Например, (?1, ?2,…, ?n), где ?i-скаляры. 

Вводится определение равных векторов. 

Определение1: Векторы (?1, ?2,…, ?n) и (?1,?2,…, ?n) называются равными, если ?i=?i, .

Так же на множестве n-мерных векторов определены операции сложения, умножения вектора на скаляр. 

Определение 2: Суммой векторов (?1, ?2,…, ?n) и (?1,?2,…, ?n) называется вектор (?1+?1,?2+?2,…, ?n+?n).

Определение 3: Произведением скаляра ? на вектор (?1, ?2,…, ?n) называется вектор (??1, ??2,…, ??n).

Определение 4: Вектор (0,0,…,0) называется нулевым вектором и обозначается символом 0. Нулевой вектор является нейтральным элементом относительно сложения. 

Определение 5: Вектор (-1)(?1, ?2,…, ?n) называется вектором, противоположным вектору а=(?1, ?2,…, ?n), и обозначается символом – а. 

Очевидно а+(-а)=0.

В теории линейной алгебры можно встретить другой, абстрактный подход. Например, в учебном пособии [4] вектор определяется как элемент векторного пространства V, который обладает рядом свойств:

	() 1=;

	() 0=;

	() =;

	() (-1)= - 

В данном случае определение вектора вводится аксиоматически, через систему свойств.

В качестве векторных пространств в смысле этого определения можно привести следующие:

1. V2-множество векторов на плоскости. Тогда V2- векторное пространство над R.

2. С - векторное пространство над R, Q. R-векторное пространство над Q.

3. Нулевое векторное пространство V={} над Р.(+=, =).

Анализируя оба подхода к определению понятия вектора, лежащих в основе линейной алгебры, можно сделать вывод, что в данном случае геометрия полностью заменяется алгеброй, а все арифметические операции над векторами сводятся к аналогичным операциям над числами.

В геометрии к определению понятия вектора другой подход:

«Вектор - геометрический объект, характеризующийся направлением и длиной».

Кроме того, существуют различные конкретизации.

I. Предметом векторного исчисления служит вектор как множество сонаправленных отрезков, имеющих одинаковую длину.

Соответственно этому подходу векторы рассматривают с точностью до их положения (т.е. не различая равных векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом). В этом смысле векторы называют свободными. Таким образом, свободные векторы вполне определяются заданием его длины и (если он не нулевой) направления. Равные векторы, не совпадающие по положению, рассматриваются как различные конкретные изображения одного и того же свободного вектора.

Данный подход имеет ряд преимуществ. Во-первых, он упрощает понятие равенства, а во-вторых, однозначно определяет операции для свободных векторов. Так, сумма двух свободных векторов есть определенный свободный вектор, тогда как, к примеру, суммой двух направленных отрезков служит любой из направленных отрезков, полученных соответствующим построением. Тем не менее, этот подход осложняется большим числом оговорок. Например, из начального курса физики хорошо известно, что сила может быть изображена направленным отрезком. Но она не может быть изображена вектором в смысле этого определения, поскольку силы, изображаемые равными направленными отрезками, производят, вообще говоря, различные действия. (Если сила действует на упругое тело, то изображающий её отрезок не может быть перенесен даже вдоль той прямой, на которой он лежит).

II. В основу теории движения заложено понятие вектора как параллельного переноса.

Параллельным переносом называется такое движение, при котором точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Действительно, задать параллельный перенос – это все равно, что задать длину (а именно расстояние, на которое смещаются все точки) и направление (а именно, направление, в котором смещаются все точки), а задать длину и направление – все равно, что задать свободный вектор. 

В этом случае сложение векторов соответствует сочетанию (композиции) параллельных переносов.

Такое определение вектора позволяет устранить противоречия с теоретико-множественной точки зрения на понятие равенства, которое возникло при традиционном определении вектора как направленного отрезка. Кроме того, такой подход к введению понятия вектора является логически безупречным, но, между тем, он недостаточно нагляден. 

III. В аналитической геометрии вектор определяется как направленный отрезок.

«Пара точек называется упорядоченной, если про эти точки известно, какая из них первая, а какая-вторая» [4, с. 15].

Определение 1: Отрезок, концы которого упорядочены, называется вектором. Нулевой вектор – вектор, у которого начало и конец вектора совпадают. 

Определение 2: Векторы называются коллинеарными, если существует такая прямая, которой они параллельны.

Определение 3: Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной.

Определение 4: Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют равные длины.

При данном подходе операции сложения векторов и умножения вектора на число определяются следующим образом:

Определение 5: Пусть даны 2 вектора  и . Суммой называется вектор, который идет из начала вектора  в конец вектора , при условии, что вектор  приложен к концу вектора .





Определение 6: Пусть даны вектор  и число . Обозначим их модули соответственно через  и . Произведением  называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную , и направление такое же, как у вектора , если >0, и противоположное, если <0.

Операция вычитания векторов определяется как операция, обратная сложению.

Определение 7: Разностью  называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор .(разность двух векторов, приведенных к общему началу, есть вектор, идущий из конца «вычитаемого» вектора в конец «уменьшаемого»).

Данный подход к определению понятия вектора нагляден, но неоднозначно определяет результат операций над векторами.

Анализируя представленные подходы, необходимо отметить, что векторы, представляемые параллельными переносами, перемещением точек, направленными отрезками являются лишь изображения векторов, но не сами векторы в их общем понятии.

Приведем еще один подход к определению понятия вектора, автором которого является Вейль. Этот подход составляет основу векторного изложения геометрии [5].

Вейль относит вектор к числу первоначальных неопределяемых понятий. К ним же относится и понятие суммы векторов (некоторое правило, которое каждым двум векторам  и  однозначно сопоставляет вектор  + ), умножение вектора на число, скалярное произведение векторов

Свойства арифметических операций над векторами автор описывает через систему аксиом. Он выделяет 5 групп аксиом.

1 группа: аксиомы сложения

( и ) ;

(, , ) ;

()(); вектор принято обозначать  и называть нулевым вектором.

()(); вектор принято обозначать  и называть вектором, противоположным вектору .

2 группа: аксиомы умножения вектора на число

2.1. ( k, l, ) ;

2.2. ( k, , ) ;

2.3. ( k, l, ) ;

2.4. ()

3 группа: аксиомы размерности

3.1. Существует три линейно независимых вектора;

3.2. любые 4 вектора линейно зависимы

4 группа: аксиомы скалярного умножения векторов

4.1. (, ) ;

4.2. ( k, , ) ;

4.3. (, , ) ;

 4.4. (); умножение вектора  на себя называется скалярным квадратом и обозначается 2. Длиной вектора называется число .

Все 4 группы аксиом справедливы для множества R3 – множества всех векторов. Кроме этого множества Вейль рассматривает непустое множество Е3, элементами которого являются точки. Точка, как и вектор, относится к числу неопределяемых понятий. К ним же относится и некоторое правило, которое каждой упорядоченной паре А, В ставится в соответствии вектор .

В связи с этими понятиями Вейль приводит 5 группу аксиом: аксиомы точек:

5.1. ( т. А, В, С) 

5.2. ( т. А, ) (В) =

5.3.. ( т. А, В) =А=В

На основе приведенных определений и аксиом Вейль вводит различные основные понятия геометрии, доказывает теоремы. 

Такой подход к определению понятия вектора достаточно громоздкий. Кроме того, при таком подходе затруднено понятие результата выполнения арифметических действий над векторами. Тем не менее, этот подход обладает рядом преимуществ: при векторном изложении некоторые теоремы геометрии доказываются значительно проще, чем при традиционном изложении. 

Итак, в математике существуют различные подходы к определению понятия вектора. Каждый из них имеет преимущества и недостатки. Однако никакой из них не может быть «перенесен» в школьный курс геометрии без должных оговорок. 

Рассмотрим специфику изложения темы «Векторы» в различных школьных учебниках по геометрии.

Прежде всего, обратимся к истории. Как же предполагалось изучать векторы?

В учебном пособии [10] под редакцией А.Н. Колмогорова вектор определялся как параллельный перенос плоскости: «Параллельным переносом (вектором) называется отображение плоскости на себя, при котором все точки плоскости изображаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние».

Это определение обладает тем важным преимуществом, что параллельный перенос представляет свободный вектор, и потому все векторные операции с ним определяются как однозначные. При таком определении вектора векторное исчисление может быть изложено без противоречий и смешения понятий.

Однако если обратиться к задачам, предлагаемым в учебнике, то сразу видно, что в них фигурируют направленные отрезки, а не переносы плоскости или пространства.

В следующем пособии для 9-10 классов [11] (под редакцией З.А. Скопеца), вектор определяется уже как параллельный перенос пространства. «Параллельным переносом, определяемым парой (А, В) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка М отображается на такую точку М1, что луч ММ1 сонаправлен с лучом АВ, расстояние ММ1равно расстоянию АВ». Таким образом, вектор вводился как множество пар точек, задающих один и тот же перенос. 

В последнем издании учебника под редакцией А.Н. Колмогорова явно вводится понятие свободного вектора, и перенос привлекается только как его изображение. В результате изложение оказалось существенно лучше, чем в других учебниках для 6-8 классов того времени, без путаницы и ошибок.

В перестройке школьного курса геометрии, происходящей в середине 80-х годов ХХ века, одним из центральных моментов оказалось коренное изменение понятия о векторе. Вектор, определяемый как параллельный перенос плоскости или пространства, был заменен направленным отрезком: на место отображения плоскости или пространства на себя поставлена фигура с «отмеченной» точкой (один конец отрезка «отмечен» как начало).

Проведем обзор введения понятия вектора в современных учебниках.

В учебнике А.В. Погорелова [21] изложение темы начинается следующим образом: «Вектором мы будем называть направленный отрезок. Направление вектора определяется указанием его начала и конца… Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, b, c,… Можно так же обозначить вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первое место» [21, c. 117].

«Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор».

Проведем анализ данного подхода. Назвав направленный отрезок вектором, автор не объяснил, не определил, что называется направленным отрезком. Поэтому и конкретное определение вектора отсутствует. Говорится только о направлении вектора – «отмечается стрелкой», хотя «стрелка» - это не геометрическое понятие. 

При введении обозначений не .......................