Существующие подходы к изучению модуля в основной школе

Введение.

Насчитывается несколько десятков различных областей математики, каждое из которых имеет своё особое содержание, свои методы и области. Чрезвычайная разнохарактерность математических наук в наше время затрудняет точное определение математики как науки, поэтому среди учёных математиков не существует единого ответа на вопрос о том, что такое математика.[1] Математика имеет огромное значение в жизни подрастающего поколения. Школьное образование помогает выпускникам определится с выбором профессии, найти своё место и роль в обществе.  К. Д. Ушинский считал, что основой развития аналитического мышления является наглядное обучение,  а именно использование визуальных образов. Любое привлечение наглядности помогает формированию абстрактных математических понятий, развивает абстрактное мышление.[1] 

    В главе 2 федерального стандарта  ФГОС ОО определены «Требования к результатам  освоения основной образовательной программы среднего (полного) общего образования»,  в разделе 10  «Межпредметные результаты освоения  основной образовательной программы среднего (полного) общего образования» в п.4 отмечается, что результаты должны отражать:  «Способность к информационной деятельности (поиск информации, умение систематизировать информацию, критически оценить и интерпретировать информацию, переводить визуальную информацию в вербальную знаковую систему и  наоборот….) [6].

Таким образом, в соответствии с требованиями ФГОС  ОО, от  учащегося требуется  умение работать  с информацией, представленной разными способами.  Подход, который  строится на максимальном использовании потенциальных возможностей визуального мышления, получил название когнитивно - визуального. Такое определение использует Далинглер.[5]  Когнитивно – визуальный подход в математике основан на образах, в которых выделены геометрические или графические характеристики.  В этом случае когнитивно –визуальный подход опирается на геометрические образы или представления. В нашей работе  мы будем говорить о  том, что видом когнитивно-визуального подхода является использование образов в теме модуль связанного с геометрическим смыслом.   Начиная с 6 класса учащиеся знакомятся с термином модуль и продолжают изучать, и применять его на протяжении дальнейшей учёбы. Область применения модуля с каждым годом получает широкое распространение. Тема сложна, поэтому так важны подходы и методы применяемые в учебном процессе для его изучения. Невозможно представить задания повышенной сложности на нахождение решений уравнения или неравенства без знака модуля. В процессе обучения алгебры учащиеся знакомятся с различными методами решения уравнений и неравенств с модулем:

-на основе использования модуля, его свойств;

-метод возведения в квадрат;

-метод интервалов;

-графический метод.

Изучение модуля будет способствовать усвоению решения систем уравнений, неравенств, определению О.Д.З. в них. Использование модуля  применятся в решении неравенств графическим методом. Если подойти  целенаправленно к изучению модуля, то можно добиться от учащихся глубокого понимания этой темы, прочных знаний, умений и навыков. Это способствует развитию логического мышления, умения анализировать и делать выводы, воспитывать у учащихся интерес к изучению математики, любознательность, усидчивость, наблюдательность. Кроме того «ученик любую информацию пропускает через свой субъективный опыт»[7] Поэтому желательно связать вводимое понятие с представлением, которое есть у ученика.

 Нами был проведен эксперимент в гимназии № 363 у учащихся 6 классов, изучающих тему «Модуль», который показал, что, опираясь на аналитический подход при изучении темы модуль они не справились с заданиями, а при опоре на геометрический смысл,  используя образные представления более 40% справились успешно выполняя те же задания. 

На основании вышеизложенного можно сформировать актуальность проблемы исследования. 

                         

Актуальность проблемы исследования:

-  Во ФГОС ОО выделяется необходимость развития умения учащихся работать с разными видами информации. Поэтому, обучение по теме модуль для учащихся 6 классов на основе только аналитического метода представлений не соответствует требованиям ФГОС.

-  Одной из задач математики является развитие образного  мышления. Использование образов, а именно с использованием геометрического смысла в теме «модуль числа»  позволит повысить уровень знаний  при изучении  данной темы. 

-  Среди учащихся встречаются не только те, у кого преобладает аналитическое мышление, но и те, у которых развито образное мышление. Изучение темы «модуль числа» с использованием геометрического смысла позволит учесть особенности этих учеников.



- Большая часть информации, которую воспринимает человек, представлена на основе образов. Если ввести понятие «модуль числа» на основе образных представлений, а именно с использованием геометрического смысла понятия  с учётом выделенных этапов и требований, то  при изучении темы «модуль числа» всё это будет способствовать лучшему усвоению учебного материала у учащихся.



На основе этих рассуждений можно сделать вывод о том, что тема нашей работы актуальна.



	Проблема исследования – поиск путей и средств использования различных способов представления информации при обучении математике.

	Объект исследования – процесс изучения темы модуля  в курсе математики 6 класса.

	Предмет исследования – учебный материал к теме  модуль числа и особенности его изучения на основе образных представлений, а именно с использованием геометрического смысла.

	Цель исследования – разработка учебного материала к теме модуль числа              и организация его изучения на основе образных представлений, а именно с использованием геометрического смысла.

	

	               В соответствии с проблемой, объектом, предметом и целью исследования, были поставлены следующие задачи:

	

	-Провести анализ учебной, методической, педагогической литературы по проблеме исследования;

	-Проанализировать разные существенные подходы к изучению темы «модуль числа»;

	-Выделить особенности учащихся 6 классов.

	

	-Разработать учебный материал для изучения темы « модуль числа»

	-Апробировать учебный материал.

	-Провести  эксперимент.

	

	   На основе анализа учебной, методической и педагогической литературы можно сделать вывод, что обучение по теме «модуль числа» на основе аналитического метода, использующего наглядное обучение, не учитывают возможности всех учащихся для успешного усвоения материала по данной теме.

	

	   Исходя из вышеизложенного, можно сформулировать гипотезу: если разработать процесс обучения по теме «модуль числа» таким образом, чтобы учебный материал был построен на основе образных представлений, используя геометрический смысл понятия «модуль числа» с учётом выделенных этапов и требований, это позволит повысить уровень усвоения материала по данной теме.

	

	  Работа состоит из введения, основной части, содержащей две главы, и заключения.

		

		Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:

		Изучение литературы.

		Анализ школьных учебников, входящих в федеральный перечень. 

		Наблюдение, беседа.

		Проведение эксперимента.

                                      



ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ МОДУЛЯ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ



1.1 Существующие подходы к изучению модуля в основной школе    

В данной главе мы детально разберём подходы к изучению модуля в школе. Что же такое «модуль числа»? На начальном этапе термин «модуль числа» встречается при изучении математики в 6 классе. В переводе с латинского «modulus» слово модуль означает «мера», «величина».  Согласно исторической справке

 знак модуля как абсолютной величины был введён в 19 веке году немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Термин модуль предложил использовать английский математик и философ Роджер Котс, который был учеником Исаака Ньютона. Готфрид Лейбниц в своих трудах применял функцию модуля и обозначил её mod x. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Артан. Кроме этого модулем называют и норму вектора в эвклидовых пространствах, которая  является мерой близости чисел. Норму элемента в многомерном векторном пространстве тоже можно считать модулем. Как мы уже убедились, понятие «модуль числа» многогранно

 и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, программировании, бухгалтерии, технике и многих других науках.  В связи с простотой вычисления,  функция модуля была введена в список стандартных функций всех языков программирования. В архитектуре модуль - исходная единица измерения, а в  технике  служит для обозначения коэффициентов и величин различного характера: модуль упругости, модуль зацепления и др. В механике и геометрии изучаются понятие вектора и его длины (модуля вектора). задачи, связанные с модулем, часто встречаются на математических олимпиадах, ЕГЭ, ОГЭ. Это понятие неоднозначно, требует особого подхода и внимания.

Рассмотрим трактовку понятия «модуль» в математике.

 Задачи, связанные с модулем, часто встречаются на математических олимпиадах, ЕГЭ, ОГЭ. Это понятие неоднозначно, требует особого подхода и внимания.

В учебниках математики общеобразовательной школы даются разные понятия модуля: Н. Я. Виленкин – модуль это расстояние(в единичных отрезках) от точки изображающей число до начала отсчёта; П. М. Эрдниев-как длина вектора; Г. Д. Дорофеев-  число «без знака».

Определение: абсолютной величиной (или модулем) действительного числа a называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное. Модуль числа a обозначается так ?а?. Понятие абсолютной величины (модуля), является одной из характеристик в области действительных и комплексных чисел. В теории приближённых вычислений используются понятие абсолютной и относительной погрешности.



Часто строчку (2) объединяют со строчкой (1) или со строчкой (3).

Чаще всего применяют запись:

|a| = 

 Запись определения называют аналитическим представлением понятия «модуль числа». 

Модулем числа называется также расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой. В этом состоит геометрический смысл модуля числа.[8](стр.159)



На практике используют различные свойства модулей:

|а | ? 0 при любых аR.

-|а| ? а ?|а| при любых аR.

| a | = | -a |. 

| а-b | = | b-a |.

?а b?=?а?·?b?. 

.

?а + b??а?+?b?.

?а + b??а?-?b?.  

| а| = а

Методический анализ учебников по теме «модуль числа».









1.2 Особенности развития  учащихся 6 классов

 В соответствии с возрастной периодизацией принятой в психологии и педагогике учащиеся 6 классов относятся к возрастному периоду- младший подростковый возраст(10-13 лет)[4] . В их развитии наблюдаются следующие особенности:

1. В практическом обучении - развитие трудовых навыков и умений;

2.В теоретическом обучении - умение выражать свои мысли, рассуждать, уметь пользоваться понятиями.

3.  Склонность к эксперементам (учащиеся обнаруживают познавательный интерес, всё хотят проверить сами, чтобы убедится в своей правоте).В этом возрасте ,решая те или иные задачи подростки учатся и начинают формировать гипотезы.   Они ищут различные и новые пути решения задач.   Возрастную любознательность подростков  частично удовлетворяет участие в различных конкурсах, математических олимпиадах, викторинах,  где они с удовольствием  демонстрируют  свои способности. Поэтому из всех видов классификации,  имеющихся в психологии для учащихся 6 классов ведущим  способом мышления является наглядно-образный. Его особенность связана с оперированием образами. Решая задачу, школьники анализируют, сравнивают, обобщают различные образы,   воссоздавая многообразие различных  характеристик предмета. Поэтому наглядно-образное мышление неотделимо от воображения. При этом детям на уроках  необязательно трогать предмет руками, нужно лишь чётко воспринимать и наглядно представлять предмет. Ещё одной важной особенностью образного мышления является установление «непривычных», «невероятных» сочетаний предметов и их свойств. Если учащиеся  мыслят наглядно-образно, то они привязаны к действительности и образы  для мышления представлены в их  памяти.  Некоторые, опираясь  на наглядность, ищут в ней своеобразную сенсорную опору, другие легко действуют в уме. Другие быстро создают образы на основе наглядности, долго сохраняют их в памяти, но теряются, когда нужно видоизменить образ, так как в этих условиях образ как бы расширяется, исчезает. Третьи умеют хорошо оперировать образами. Поэтому прослеживается следующая закономерность: там где созданные образы менее наглядны, ярки и устойчивы, их преобразование идёт более успешно; а в тех случаях, когда образ не такой яркий для восприятия манипулирование идёт с затруднением.[5] Обучение в школе для подростков  это возможность широкого общения со сверстниками, но от этого не редко страдает само обучение. Урок 45 минут для подростка это не только изучение учебного материала, а «маленькая жизнь» насыщенная множеством значимых поступков, правил, оценок.   Деление учебных предметов на «интересные» и «неинтересные» часто определяется качеством преподавания и личными интересами учащегося, а дифференцировка уроков на «нужные» и «ненужные» связана с предпочтением навыков для выбора будущей профессии.  Можно сказать, что особенности  учащиеся 6 классов имеют большое значение для формирования у них мышления. В. А. Сухомлинский – «Умственный труд на уроках математики - пробный камень мышления».

 Развитие мышления у детей зарождается и развивается в процессе наблюдения, которое является не чем иным, как более или менее целенаправленным мыслящим восприятием. Мышление – своеобразная инерция, и, решив задачу, учащиеся мысленно повторяют пройденный путь, отдельные его этапы , анализируют их, выявляют удачные и неудачные моменты и т. д. При этом  происходит обобщение решённой задачи, способа её решения.  Учитель должен уделять этому этапу особое внимание, вырабатывая у них потребность и привычку для развития  умственной деятельности.  Исходя из вышесказанного можно сделать вывод, что учитывая особенности развития учащихся 6 классов, необходимо добавить в современные учебники по математике историю математики, занимательные примеры и задачи на использование образных представлений с использованием геометрического смысла.  Всё это будет способствовать повышению интереса к данному предмету и лучшему усвоению программы.



1.3 Использование когнитивно – визуального  подхода при изучении математики.

 Школьная система образования ставит задачу поиска новых форм, методов и средств обучения, улучшения качества учебного материала.C введением ФГОС ОО появились новые требования, которые должны учитываться при организации учебного процесса в школе. Открытие  в 1981 году американским неврологом Р. Сперри функциональной ассиметрии головного мозга привело к изменению устоявшихся взглядов на систему математического образования в направлении развития образного мышления. Исследования в этой области подтверждают разделение функций и в работе самих полушарий мозга. Так «левое полушарие» отвечает в основном за словесно-логический, а «правое » - за образный способ мышления, а если человек «левша», то наоборот. В силу особенностей и устоявшегося образа жизни, в значении слова «образ», «образ восприятия» или «мысленный образ» принято вкладывать в данное время узкий смысл «зрительного образа». Научно-технический прогресс  и его глобальные последствия в их числе информационная революция, компьютеризация, привели к тому ,что целостный характер человеческого мышления сильно сдвинулся в  левополушарную сторону. При изучении математики в школе  учителя также делают основной упор на работу левого полушария головного мозга: т. е. имеет место «левополушарный крен».[5]В данное время получил распространение ещё один термин- «визуальное мышление»,т.е. зрительно-наглядное. Использование образов представляет визуальное мышление. Как пишет Р. Артхейм « мышление – посредство визуальных (зрительных) операций».  Целостное по своей природе образное мышление, в котором участвуют образы от всех органов чувств почти утрачено. Причина известна: телевидение ,интернет, огромный поток «разжёванной» информации. «Визуальное мышление- это человеческая деятельность ,продуктом которой является порождение новых образов, создание новых визуальных форм, несущих определённую смысловую нагрузку и делающих знание видимым» - так определили понятие визуального мышления( В. Г. Зинченко и Н.Ю. Вергилес). Обучение математики для учащихся 6 классов мы предлагаем строить на основе когнитивно-визуального (зрительно-познавательного) подхода, что позволит максимально использовать потенциальные возможности визуального мышления. Когнитивно-визуальный подход является фактором успешности ученика в учебном процессе. Успешность   зависит от используемой учителем в учебном плане методики и технологии обучения.  Главная  идея когнитивно-визуального подхода - использование познавательной функции наглядности. Он направляет на воспитание «математического зрения». Для накопления визуального опыта необходимо применять специальные визуализированные задачи. Задачи, в которой образ задействован в условии, ответе, создаёт опору каждому этапу решения.[5] Следовательно, учитывая существующие возрастные особенности учащихся 6 классов, следует вводить понятие «модуль числа» на основе визуального подхода. Использование образов в теме «модуль» связано с геометрическим смыслом и является видом когнитивно-визуального  подхода.

Рассмотрим некоторые примеры на применение когнитивно-визуального подхода:

1. Найдите, чему равен квадрат четырехчленна (f+e+k+p).

Решение.

Нарисуем квадрат со стороной f+e+k+p

           f      e      k     p      

fp

ep

pk



fk

ek



pk

fe



ek

ep



fe

fk

fp

 

Используя рисунку,  которых получаем формулу: = = +++ +2fc+2fk+2fp+2ek+2ep+2kp.

 2. Треугольная  логического сетка сделана  шестом из шнура, который  рациональной может гореть. 

Огонь  высокого распространяется с одной  производится и той же скоростью  преобразуются по всем направлениям (каждое  домашнее звено сгорает  образный за 1 минуту). Какие  который из отмеченных звеньев (ab,  уравнений bc, de,  относительной или af) сетки  активного сгорят последними,  лишь если поджечь  компетенции сетку в точке  содержат o? За какое время  познакомиться они сгорят? 



Решение. Как  есть видно из рисунка,  актуализацию огонь доберется  общих до любой из точек  алгебры b, c, d, e, a за 4 минуты. Следовательно,  требует последними сгорят  исходных отрезки ab,  категорий af, и произойдет  качестве это за 5 минут (отрезки  оперируя de, bc,  отличается cd сгорят за 4,5 минуты,  комфортных потому что  математике будут гореть  повторение с двух концов). 



Методический анализ учебников:

На основе проведенного анализа учебников 6 класса по математике мы сделали вывод о том, что тема « Модуль числа» вводится  аналитическим способом. В большинстве учебников геометрический смысл как определение модуля не вводится совсем, более того, при изучении темы «Модуль числа» отсутствуют  задания, направленные на подготовку учащихся к выполнению заданий с использованием геометрического смысла модуля. А ведь   важно на начальном этапе сформировать понятие модуля, так как  изучение модуля способствует лучшему усвоению в дальнейшем решений систем уравнечасто встречаются в ЕГЭ, математических олимпиадах. 



Выводы по первой главе:

В первой главе нашей работы был проведён анализ трёх учебников математики для 6 класса, а также методическая и педагогическая литература с точки зрения применения образных представлений, с использованием  геометрического смысла при изучении темы «модуль числа». В учебниках Г. К. Муравина, [9]; С, М. Никольский [10]; Г. В. Дорофеева,[11] в основном используется аналитический подход при изучении темы «модуль числа», но отсутствуют образные представления с применением геометрического смысла. На основе анализа были сделаны следующие выводы :

-в изучении темы отсутствуют образные представления, а именно с использованием геометрического смысла с учётом выделенных этапов и требований;

-нет наглядности подачи материала, что способствовало бы развитию наглядно-образного мышления;

-не учитываются возрастные особенности учащихся 6 классов, а именно индивидуальные особенности подростков, у которых лучше развито «правое полушарие» головного мозга, отвечающее за образное мышление.

Внедрение «когнитивно – визуального» подхода при изучении темы «модуль числа» позволит исправить все вышеизложенные недостатки школьной программы. Позволит использовать в образных представлениях геометрический смысл, который реализуется на основе когнитивно – визуального подхода.



Глава 2. Методические особенности изучения «Модуль числа» в 6 классе

	     В данной главе  речь пойдет о разработке учебного материала по теме «модуль числа».  Будут выделены необходимые этапы и  требования к организации учебного материала, учитывающие образное представление учащихся, которое связно с геометрическим  смыслом. В этой главе представлено содержание учебный материал по теме «модуль числа». Также в этой главе будет описан эксперимент, который выявил, что учащиеся имеют плохое представление о геометрическом смысле модуля. В связи с этим,  разработано содержание учебного материала по теме «Модуль числа», в котором представлено понятие модуль числа на основе геометрического смысла и разработаны задания, направленные на лучшее усвоение понятия модуль с использованием образных представлений, которые связаны с геометрическим смыслом

2.1 Выявление субъектного опыта при изучении темы «Модуль числа»:

Само понятие «модуль» является межпредметным, оно встречается в других предметах, поэтому у учащихся могут быть связаны с этим понятием разные образы и смыслы. 

Для выявления субъектного опыта мы провели эксперимент  на базе гимназии № 363 г. Санкт-Петербурга  в 6 «В» классе в котором 25 человек  заданиях

Класс занимается по учебнику Н.Я. Виленкина и др. Констатирующий эксперимент был проведен у школьников, которые уже изучили тему «Модуль числа»,  им предложена самостоятельная работа, которая состояла из 5 заданий:

1. Что называют модулем числа ?а??

2. Какой геометрический смысл модуля?

3. Что называют модулем ?а-b??

4. Решить уравнение ?х-6?=8.

5. Решить уравнение ?-5х-3?= 2.

Результаты:

На первый вопрос были даны в основном следующие ответы:

Модуль числа не может быть отрицательным

Модуль числа равен этому числу

Модуль числа а равен самому этому числу без знака

Модуль число – число всегда с положительным знаком

Модуль числа -  это положительное число

а = |а|, -а = |а|

На основе данных ответов, можно сделать вывод о том, что многие не знают даже аналитическую запись модуля числа, не определяют модуль как расстояние от начала координат до точки а.

Со вторым вопросом учащиеся не справились, ни один из них не назвал геометрический смысл модуля числа.

На третий вопрос был дан  в основном такой ответ:  Модуль |а-b|=a-b. Ни один из учащихся не написал, что  |а-b| - это расстояние от точки a до точки  b и наоборот. 

В решении уравнений были даны только положительные ответы:     

4. ?х-6?=8

      х=14

5. ?-5х-3?= 2

       х=-1

 Только 2 человека из 25(что составляет 8%) дали два ответа на решение уравнений:

4. ?х-6?=8

     х=14, х=-2

5. ?-5х-3?= 2

       х=-1, х= 

Никто из учащихся не решал данные уравнения с использованием геометрического смысла. 

Вывод: Проверка работы показала, что учащиеся решают уравнения, опираясь только на определение, что модуль - это положительное число, ни один не использовал геометрический смысл модуля, они имеют плохое представление об использовании геометрического смысла модуля при решении уравнений.

Такие результаты можно объяснить тем, что в современной школе не учитываются психологические особенности учащихся. В первой главе мы писали о том, что в возрасте 10-12 лет(6 класс) у детей больше развито образное мышление, поэтому, применение  образных представлений с использованием геометрического смысла в теме модуль будет лучше способствовать усвоению понятия темы  «модуль числа». 

Для того чтобы у учащихся не возникало трудностей и непонимания по данной теме на начальном этапе ее изучения,  мы разработали учебный материал, который будет включать в себя  2 раздела:

2.1.1.   Этапы ознакомления учащихся с геометрическим смыслом понятия «Модуль числа» и решения уравнений (неравенств) на основе геометрического смысла ). 

Данный раздел включает в себя:

1) Актуализация знаний и умений необходимых для ознакомления  с понятием «Модуль числа».

2)Введение геометрического смысла модуля | a- b|.

3)Развитие умений переводить запись выражений символьного способа на словесный, используя геометрический смысл.

4) Введение неравенств с модулем, используя геометрический смысл.

2.1.2. Требования к заданиям по теме «Модуль числа» на основе геометрического смысла. 



На основе проведенного анализа учебников 6 класса по математике мы сделали вывод о том, что тема « Модуль числа» вводится  аналитическим способом. В большинстве учебников геометрический смысл как определение модуля не вводится совсем, более того, при изучении темы «Модуль числа» отсутствуют  задания, направленные на подготовку учащихся к выполнению заданий с использованием геометрического смысла модуля. А ведь   важно на начальном этапе сформировать понятие модуля, так как  изучение модуля способствует лучшему усвоению в дальнейшем решений систем уравнечасто встречаются в ЕГЭ, математических олимпиадах. 



 2.1.1. Этапы ознакомления учащихся с геометрическим смыслом понятия «Модуль числа» и решения уравнений (неравенств) на основе геометрического смысла.

1 этап: Актуализация знаний и умений, необходимых для введения понятия «Модуль числа».

Цель: 

1.  Ввести задания на запись одного и того же числа с разными знаками.

2. ввести задания на нахождения расстояния:

а) между положительными числами

б) между отрицательными числами

в) между положительными и отрицательными числами

2.  ввести задания на запись одного и того же числа с разными знаками

 1. Примеры заданий на запись одного и того же числа с разными знаками.

Вспомним, что для любого числа, а выполняется равенство - (-а)= а и число 

(-а) может быть и положительным. Например, а=-4, то –а=4, то есть положительно. Таким образом, числа, противоположные отрицательным, положительны. 

Обратим внимание на правило раскрытия скобок в выражениях с рациональными числами:

+(+а)= а, - (+а)= -а, +(-а)= -а, -(-а)= а.

Рассмотрим примеры на запись одного и того же числа, пользуясь правилом раскрытия скобок.

Пример 1. Покажем, что сумму чисел можно записать с помощью разности:

Выражение (5+7) можно записать так: 5+7 =5-(-7).

Пример 2. Покажем, что разность чисел можно записать с помощью суммы:

Выражение (3-8) можно записать так: 3-8=3+(-8).

Пример 3.  , так как –

Далее после того, как рассмотрены примеры, учащимся предлагается на начальном этапе выполнить следующие задания:

Задание 1.  Вставьте число так, чтобы получилось верное равенство:

а) –(-3)=….;   б) –(…)=6;   в) -7=-(…);  г) 2= – (…). 

Задание 2.  Прочитайте равенство и объясните, верно ли оно:

а) –(+9)=-2   б) –(-7)=+3  в) -0=0

Задание 3.  Выпишите номера верных равенств:

1) 4- 3= 4-(-3)

2) 2+9=2-(-9)

3) 5-7=7-5

4) 8-10=8+(-10)

2. Примеры  заданий на нахождения расстояния:

а) между положительными числами

б) между отрицательными числами

в) между положительными и отрицательными числами



а) Найдем с помощью координатной прямой расстояние от точки 3 до точки 9. 

Выражение 3+9= 3-(-9)=12 читается так: расстояние от числа 3 до числа 9 равно 12. Другими словами, для того, чтобы найти расстояние от точки 12 до точки 3, нужно:12-3=9



             +9    



    3                  12                   

И наоборот, для того, чтобы найти расстояние от точки 3 до точки 12, нужно: 3-12= -9 





   3          -9      12        





б) Найдем с помощью координатной прямой расстояние от точки  -4 до точки -10.



Выражение -4-10= -4+(-10)=-14 читается так: расстояние от числа – 4 до числа -10 равно -14. Другими словами, для того, чтобы найти расстояние от точки -4 до точки -14 нужно: -4-(-14)= -4 +14=10. 

             +10  



   -14               -4                   



И наоборот, для того, чтобы найти расстояние от точки -14 до точки -4, нужно: -14 –(-4)=-14+4=-10

  



   -14      -10     -4                   



в) Найдем с помощью координатной прямой расстояние от точки 8 до точки

-16. Выражение 8-16=8+(-16)=-8 читается так: расстояние от числа 8 до числа -16 равно -8. Другими словами, для того, чтобы найти расстояние от точки 8 до точки -16, нужно: -8-(-16)=8

             -8  



   -16                 -8                   



И наоборот, для того, чтобы найти расстояние от числа -16 до числа -8, нужно: -16-(-8)=-16+8=-8





   -16      +8       -8                   



Задание . Найти с помощью координатной прямой:

Расстояние от точки 1 до точки 21 и наоборот;

Расстояние от точки 34 до 17 и наоборот;

Расстояние от точки -41 до 30 и наоборот;

Расстояние от точки -11 до 16 и  наоборот;







Делаем вывод: для расстояния неважно от какого знака идти. В связи с этим  придумали знак для того, чтобы показать независимость от движения( знак для расстояния между двумя точками) и назвали его модуль. 



2 этап. Введение геометрического смысла модуля |a-b| и его свойств.



Цель:  

1)Ввести понятие модуля |a-b| на основе геометрического смысла, используя актуализацию знаний и умений, введенных в 1 этапе. 

2) Ввести свойства модуля.

2) Развитие умений переводить запись выражений на символьный способ.

3) Учить читать выражения по символам, используя определение геометрического смысла модуля. 



Теперь мы можем ввести понятие модуль числа через расстояние двух чисел:

Определение. Модулем разности двух чисел a и b (обозначается |a – b|) называется расстояние от точки a до точки b. 



     | a-b |



   a                    b                   



И наоборот, Модулем разности двух чисел b и a (обозначается |b – a|) называется расстояние от точки b до точки a. 





   a      | b-a |     b                   



Если  a=b, то  | a-b |=0.

 

Задание  для учащихся: Запишите чему равно | а – 0 | ,| b – 0 |. Сделайте вывод.

Учащиеся делают вместе  с учителем вывод: | а – 0| = | a |, | b – 0 |=| b |

Задание 1. Представьте в виде ?а - b?. 

Например: ? - 11?= ?0 – (-11)?.

?0?, ?26?, ?-45?;

Задание 2. Введение свойства: | а | =  | -а |

Заполните пропуски.

| 3 | = ____                                                                         | -3 | = ____

| 6 | = ____                                                                         | -6 | = ____

| 5 | = ____                                                                         | -5 | =____

| 4 | = ____                                                                         | -4 | = ____                                                                       



Сравните ответы из первого столбика с ответами второго. 

Сделайте вывод и запишите его.

Изобразите на координатной прямой, используя геометрический смысл модуля.

Задание 3 . Введение свойства: | а | =  а 

Выполнить действие:

| 7|                                        7

| 9|                                        9

Сравните полученные ответы. Какую связь можно заметить? Сделайте вывод и запишите его.

Задание 4. Введение свойства: | а-b |=| b-a |.

Вычислите и сопоставьте ответы из первого столбика с ответами второго.

| 13 - 4| =                         | 4 – 13| =                                                               

| 15 - 2|  =                        | 2 - 15|=

| 39 - 14| =                       | 14 - 39|=

| 58 - 19| =                       | 19 - 58|=

Сделайте вывод и запишите его.

Изобразите на координатной прямой, используя геометрический смысл модуля.

Задание 5. Введение свойства: ?а b?=?а?·?b?. 

Проверьте, совпадут ли ответы, если сначала выполнить действие слева, а потом справа.

?3·4?=                                                ?3?·?4?= 

? 5·12?=                                             ?5?·?12?=

? 7·9?=                                               ?7?·?9?=

Сделайте вывод и запишите его.



Задание 6. Запишите данные выражения, используя символы.

Расстояние от точки x до точки 13;

Расстояние от точки x до -7;

Расстояние от точки -9 до x;

Расстояние от точки 12 до x;

Задание 7: (самостоятельно).

 Прочитайте, что обозначает данная запись.

? а - d ?,? а + d ?, ? а – 5d ?,? 8а + d ?;

Задание 8. Запишите данные выражения, используя символы.

1) Расстояние от точки 12 до точки 18;

2) Расстояние от точки -11 до -13;

3) Расстояние от точки -14 до 7;

4) Расстояние от точки -21 до 16;

Задание 9 . Задание на умение выделить различные свойства понятия.

Установить соответствия между значением выражения и свойством, которое использовалось для решения.

Решите:                                                           Свойства:

| -7 |                                                                   |a| ? 0 

| 9 |                                                                  | a | = | -a |

| 14 - 35 |                                                           | a-b | = | b-a |    

| 5 • (-7) |                                                           | a| = а 

| 7 |                                                                    ?a b?=?a?·?b?    	

| 7 | • | 5 |                                                           .

| 3 - 12 |                                                                         



Здесь мы не будем рассматривать задания с модулем на аналитический способ решения, так как оно вводится в школе и рассмотрено в школьных учебниках.




3 этап.  Решение уравнений с  модулем на основе геометрического смысла.



Цель: 

1. Решать уравнения с модулем, используя его геометрический смысл.

2. Развитие умений переводить запись уравнений на символьный способ.

3.  Учить читать выражения по символам.

Пример 1. Решим уравнение | a-5|=2,  используя  геометрический смысл модуля по определению (вместе с учителем):



           -2      +2



      3        5        7

  |а - 5| - это расстояние от точки а до точки 5.  Нам нужно найти на координатной прямой такие точки,  расстояние от которых до точки 5 равно 2. Таких точек две: 3, 7.

Пример 2.  Решите уравнение |5x + 6| = 2.

Решение: Разделим дан.......................