Сетевые методы планирования и управления

      Министерство образования и науки Российской Федерации
      
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
      «Ульяновский государственный педагогический университет
      имени И.Н. Ульянова»
      
      
      Кафедра высшей математики
      
      Допущен к защите:
      Зав.кафедрой 
        __________О.И.Череватенко
      
      
      ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА 
      Сетевые методы планирования и управления
       (тема)
Автор работы
                           Белов Дмитрий Александрович________________        
(подпись, Ф.И.О.)
Шифр работы
факультет физико-математического
                              и технологического образования____________
Направление подготовки
_________    Педагогическое образование_____________________
(наименование)
Профиль
________Математика__________
(наименование)
Руководитель работы  
______ доцент кафедры высшей математики
                           Глухова Наталья Владимировна ________
                          (уч.звание, уч.степень, Ф.И.О., подпись, дата)
      
      
Ульяновск  2013
     
     
     
     СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………..……………………………………………...…………….3
Глава 1 Теоретические основы системы сетевого планирования и                         
управления…………………………………………………………...................5      
1.1 Основные понятия и сущность сетевых методов планирования и          
управления………………………………………………………………..….…5 
1.2 Правила и методики построения сетевых графиков……………………10
Глава 2 Сетевой анализ проектов……………………………..……..............17
2.1 Метод критического пути………… …………………………………......17
2.2 Расчеты по методу критического пути……………………………….….18
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………………....40
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКО  ...……………………..…42
ПРИЛОЖЕНИЕ А………………………………………………………….... 43














    ВВЕДЕНИЕ
    
     Сетевые методы планирования и управления включают в себя сравнительно простые инструменты руководства сложными многоэтапными комплексами работ, позволяющие в любых, даже самых критических ситуациях, принимать наиболее оптимальные решения. 
     В основе сетевого планирования и управления лежит построение упрощенных графических моделей (сетевых графов), с помощью которых с достаточной степенью адекватности можно четко и наглядно описать любой комплекс взаимосвязанных работ.
     Основной задачей процесса организации производства является рациональное сочетание, и соединение во времени и в пространстве всех элементов производственной системы для достижения заданных целей с наименьшими материальными, трудовыми и финансовыми затратами.
     Данная задача определяет важность и актуальность изучения сетевого планирования и управления (СПУ) как одного из наиболее эффективных методов организации производства как экономической науки.
     При построении таких моделей каждая работа рассматривается как процесс достижения определенного результата, требуемого для выполнения последующих работ, либо являющегося составной частью общего результата всего комплекса. При этом ни одна работа не может быть начата до тех пор, пока не будут получены все необходимые для ее выполнения результаты (то есть не будут закончены все предшествующие ей работы), а весь комплекс может считаться выполненным только после того как будут завершены все работы, входящие в его состав. 
     Данный подход позволяет для любого комплекса работ составить такой календарный график выполнения, при котором каждая работа будет начинаться именно тогда, когда будут, созданы все необходимые для этого предпосылки, а заканчиваться в тот момент, когда то же самое произойдет относительно следующих за ней работ. Это дает возможность уменьшения общей продолжительности выполнения комплекса работ, за счет сокращения непроизводительных потерь рабочего времени, а также оптимизации численности персонала и величины задействованных при этом ресурсов.
     Методики сетевого планирования были разработаны в конце 50-х годов в США. В 1956 г. М. Уолкер из фирмы «Дюпон», исследуя возможности более эффективного использования принадлежащей фирме вычислительной машины Univac, объединил свои усилия с Д. Келли из группы планирования капитального строительства фирмы «Ремингтон Рэнд». Они попытались использовать ЭВМ для составления планов-графиков крупных комплексов работ по модернизации заводов фирмы «Дюпон». В результате был создан рациональный и простой метод описания проекта с использованием ЭВМ. Первоначально он был назван методом Уолкера-Келли, а позже получил название метода критического пути - МКП (или CPM - Critical Path Method).
     Целью курсовой работы является исследование в теоретическом плане основ системы сетевого планирования и управления и рассмотрение на конкретных задачах основных положений методики строительства сетевых графиков, расчета временных параметров сетевых графиков. 
     Объектом исследования данной курсовой работы являются производственные процессы, требующие составления расписаний и сменных графиков. Предмет исследования - методы построения сетевых графиков для исследуемых процессов и определение их характеристик (критический путь, сроки начала и окончания работ, резерв времени).   
     Задачи курсовой работы: рассмотреть определения таких понятий как сетевые методы планирования, их виды; сетевой график, понятие критического пути; сформулировать основные правила и методики построения сетевых графиков; рассчитать полные и частные резервы времени, резерв времени событий, определить продолжительность критического пути.
     Эффект, достигаемый за счет использования систем сетевого планирования и управления, обусловлен в первую очередь внесением строгих логических элементов в процессы разработки планов, что позволяет привлечь для их анализа и синтеза современный математический аппарат и средства вычислительной техники. В силу своей универсальности сетевые методы планирования и управления нашли широкое применение во всех отраслях промышленности. 
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     Глава 1 Теоретические основы системы сетевого
     планирования и управления
     1.1 Основные понятия и сущность сетевых методов
     планирования и управления
     
     Системы, основанные на использовании так называемых сетевых графиков или моделей и электронно-вычислительной техники, впервые появились в США в период 1956-1957 гг. Это были система CPM (Critical Path Method) – метод критического пути и система PERT (Program Evolution and Review Technique) – техника обзора оценки программ. Система CPM первоначально применялась при организации строительных работ, а система PERT – при создании баллистических ракет «Поларис», предназначенных для оснащения атомных подводных лодок американского военно-морского флота. Некоторое время система PERT держалась в секрете, но впоследствии метод решено было опубликовать. После этого первыми его применили ремонтно-строительные организации при капитальном ремонте крупного завода. В настоящее время эта система применяется в большинстве стран мира. Именно в ней впервые были подробно сформулированы основные понятия сетевого метода планирования и управления, получившие в нашей стране название СПУ. 
     Успешное применение метода PERT и его модификаций в планировании различных разработок способствовало его распространению по многим странам. Этот метод нашел широкое применение в планировании технической подготовки производства, научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ, строительстве крупных сооружений, капитальном ремонте зданий, сооружений, оборудования и т.д.
     В бывшем Советском Союзе сетевые методы планирования и управления впервые нашли применение в строительстве Бурштынской ГРЭС и Черкасского завода искусственного волокна, сооружении второй очереди блока цехов тяжелой химаппаратуры Уралхиммашзавода, строительстве комплекса Лисичанского химкомбината, монтаже блюминга-автомата на Урале, ремонте двух мартеновских печей на металлургическом заводе им. Ф. Дзержинского в Приднепровье, капитальном ремонте технологического оборудования на Кировоградском медеплавильном комбинате и Среднеуральском медеплавильном заводе (Модер Дж., 1966).
     В общем случае под сетевыми методами планирования и управления понимают совокупность расчётных методов, а также организационных и управленческих приёмов, обеспечивающих моделирование, анализ и динамическую перестройку планов выполнения сложных комплексов работ и разработок с помощью сетевого графика (сетевой модели).
     При этом под сетевым графиком (СГ) подразумевают графическое изображение определенного комплекса работ, отражающее их логическую последовательность, взаимосвязь и длительность. График - это модель процесса, на которой можно проводить эксперименты и выяснять к каким изменениям результирующего показателя приведет то или иное изменение исходных параметров модели. Пример сетевого графика изображен на рисунке 1. 

     Рисунок 1- Пример сетевого графика
     Сетевой график состоит из направленных стрелок (обозначений работ) и кружков (обозначений событий).
     Термин «работа» в СПУ имеет несколько значений:
     1) действительная работа - процесс выполнения каких - либо действий, приводящий к достижению определенного результата, протяжённый во времени и требующий затрат трудовых, материальных и финансовых ресурсов. Действительные работы на СГ отображаются сплошными стрелками. На рисунке 1 такими работами являются работы, представленные в исходных данных: а, б, в, …, л;
     2) ожидание - процесс, не требующий затрат труда, но обладающий определенной протяжённостью во времени (например, процесс сушки после покраски, твердения бетона и т.п.). На сетевом графике работы «ожидание» как и действительные работы, обозначаются сплошными стрелками;
     3) зависимость или фиктивная работа - логическая связь между двумя или несколькими работами, не требующая затрат труда, материальных ресурсов или времени. Она указывает, что начало одной работы требует результатов другой. Продолжительность фиктивной работы принимается равной нулю. Обозначается такая работа пунктирной линией. На рисунке 1 к таким работам относятся: работа, соединяющая кружки 2 и 5, и работа, соединяющая кружки 3 и 7.
     Событие - это факт или момент завершения, какого - либо процесса, отражающий отдельный этап выполнения комплекса. При этом оно может являться либо частным результатом отдельной работы, либо совокупным результатом нескольких работ. 
     На сетевом графике можно выделить три вида событий:
     - исходное событие - это событие означающее начало выполнения комплекса и не имеющее предшествующих работ (чаще всего нумеруется цифрой 0 - рисунок 1);
     - завершающее событие - событие, означающее завершение комплекса работ и достижение его конечной цели. Такое событие не имеет следующих за ним работ (на рисунке 1 это событие №9);
     - промежуточное событие, или просто событие - результат одной или нескольких работ, предоставляющий возможность начать работы, которые для своего начала требуют этого результата. Любое промежуточное событие имеет двойственный характер: для всех непосредственно предшествующих ему работ оно является конечным, а для всех непосредственно следующих за ним - начальным. 
     Событие не имеет продолжительности и свершается как бы мгновенно. Каждое событие, включаемое в сетевую модель, должно быть полно, точно и всесторонне определено. Его формулировка должна включать в себя результаты выполнения всех непосредственно предшествующих ему работ. 
     Любая работа сетевого графика соединяет между собой два события (кружка): непосредственно предшествующее данной работе (являющееся для нее начальным событием) и непосредственно следующее за ней (являющееся для нее конечным событием). 
     Код работы состоит из кодов ее начального и конечного событий, например, работа «ж» на графике, изображенном, на рисунке 1 кодируется цифрами (5, 6). Наименование работы, ее номер, продолжительность и другие параметры, на графике располагаются рядом или над стрелкой, обозначающей данную работу. На графике, на рисунке 1 возле каждой стрелки, приведено ее обозначение (определенная буква) и продолжительность (число, представленное в скобках) (Абрамов, 1965).
     Продолжительность работы - это время, необходимое для ее выполнения. Чаще всего продолжительность определяется делением трудоемкости работы (объем работы в человеко-часах, человеко-днях или пр.) на численность, задействованного на ней персонала. Трудоемкость работ устанавливается на основании действующих нормативов или по экспертным оценкам специалистов. 
     Путь - это непрерывная последовательность работ и событий на сетевом графике. Длина пути определяется суммой продолжительности составляющих его работ.
     Можно выделить несколько видов путей:
     - полные пути – это пути, ведущие от исходного события к завершающему. Таких путей может быть несколько (обозначаются буквой L). Продолжительность полного пути (t L) определяется как сумма продолжительностей работ, лежащих на этом пути; 
     - предшествующие пути – ведут от исходного события к рассматриваемому событию, их обозначают L1,j;
     - последующие пути – ведут от конечного события данной работы к завершающему событию. Такие пути обозначаются Lj,k.
     Критический путь (Lкр) – это полный путь, имеющий наибольшую продолжительность (t Lкр) из всех полных путей. Продолжительность такого пути определяет продолжительность всего комплекса работ. Для сетевого графика на рисунке 1 критический путь проходит через работы а, в, ж, к, л и составляет 16 ед. (3 + 5 + 2 + 4 + 2). 
     На сетевом графике может быть несколько критических путей. Работы, составляющие критический путь, называются критическими. На графике их обычно выделяются жирной линией (Рыбальский, 1965).
     
     1.2 Правила и методики построения сетевых графиков

     Построение сетевого графика заключается в правильном соединении между собой работ - стрелок с помощью событий - кружков. При этом правильность соединения стрелок заключается в следующем:
     - каждая работа в сетевом графике должна выходить из события, которое означает окончание всех работ, результат которых необходим для ее начала;
     - событие, означающее начало определенной работы не должно включать в себя результаты работ, завершение которых не требуется для начала этой работы.
      График строится слева направо, и каждое событие с большим порядковым номером должно быть расположено правее предыдущего. Стрелки, изображающие работы, должны располагаться слева направо.
     Построение графика начинается с изображения работ, не требующих для своего начала результатов выполнения других работ. Такие работы можно назвать исходными, так как все остальные работы комплекса будут выполняться только после их полного выполнения. В зависимости от специфики планируемого комплекса, исходных работ может быть несколько, а может быть только одна. При размещении исходных работ необходимо учитывать, что на сетевом графике, должно быть только одно исходное событие. 
     На рисунке 2 представлены примеры построения начала сетевого графика: рисунок 2 (А) – для варианта с одной исходной работой (работа а), рисунок 2 (Б) – для варианта с тремя исходными работами (а, б, в).
     
     Рисунок 2 - Пример построения начала сетевого графика
     В процессе дальнейшего построения сетевого графика необходимо придерживаться следующих правил.
     Если работа «г» должна выполняться только после выполнения работы «а», то на графике это изображается в виде последовательной цепочки работ и событий (рисунок 3). 
     
     Рисунок 3 - Изображение последовательно выполняемых работ
     Если для выполнения работ «г» и «е» необходим результат одной и той же работы, например «в», то график должен иметь следующий вид (рисунок 4).
     
     Рисунок 4 - Изображение работ выполняемых после одной и той же работы
     
     Если для выполнения одной или нескольких работ (например – «е») необходим результат двух или нескольких работ (например «в» и «г»), то график будет иметь следующий вид (рисунок 5).
     
     Рисунок 5 - Изображение работы выполняемой после нескольких 
     работ
     Если для выполнения одной или нескольких работ (например «г» и «е») необходим результат лишь некоторой части другой работы (например «а»), то эта работа разбивается на части таким образом, чтобы первая ее часть (например, «a1») выполнялась до получения результата, необходимого для начала первой работы («г»), а вторая и последующие части («a2», «a3» и т.д. – оставшаяся часть работы «a»), выполнялись параллельно со второй работой («е») и последующими (рисунок 6).
     
     
     
     Рисунок 6 - Изображение работ выполняемых после частичного выполнения работы
     
     Два соседних события могут объединяться лишь одной работой. Для изображения параллельных работ вводятся промежуточное событие и фиктивная работа (рисунок 7).
     
     
     Рисунок 7 - Изображение работ имеющих одно начальное и конечное событие
     Если выполнение какой - либо работы (например, «е») возможно только после получения совокупного результата двух или более параллельно выполняемых работ (например, «в» и «г»), а выполнение другой работы (например, «д») – после получения результата только одной из них (например, «в»), то в сетевом графике необходимо ввести дополнительное событие и фиктивную работу (рисунок 8). 
     
     Рисунок 8 - Использование фиктивной работы
     В сети не должно быть «тупиков», то есть промежуточных событий, из которых не выходит ни одна работа (например, событие №7 на рисунке 9). Также не должно быть «хвостов», то есть промежуточных событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (например, событие №2 рисунке 9).
     
     Рисунок 9 - «Хвосты» и «тупики» на сетевом графике
     В сети не должно быть замкнутых контуров, состоящих из взаимосвязанных работ, создающих замкнутую цепь (например, цепочка работ «д», «г» на рисунке 10 (А)). Данная ситуация скорее всего свидетельствует об ошибке при составлении перечня работ и определении их взаимосвязей. В таком случае необходимо проанализировать исходные данные и в зависимости от сделанных по итогам анализа выводов, либо перенаправить работу создающую цикл в другое событие (если работам, начинающимся в этом событии требуется ее результат, или если она является частью общего результата), либо совсем исключить ее из комплекса (если выявлено, что ее результат не требуется). На рисунке 10 (Б) представлена ситуация когда работа «г» является частью общего результата.
     


Рисунок 10 (А) - Пример цикла на сетевом графике
     
     Рисунок 10 (Б) - Устранение цикла на сетевом графике
     Каждая работа в сетевом графике должна определяться однозначно, только ей присущей парой событий – не должно быть событий с одинаковыми номерами. Для правильной нумерации событий поступают следующим образом: нумерация событий начинается с исходного события, которому дается номер 0. Из исходного события (0) вычеркивают все исходящие из него работы, на оставшейся сети вновь находят событие, в которое не входит ни одна работа. Этому событию дается номер 1. Затем вычеркивают работы, выходящие из события 1, и вновь находят на оставшейся части сети событие, в которое не входит ни одна работа, ему присваивается номер 2, и так продолжается до завершающего события. Пример нумерации сетевого графика показан на рисунке 11. 
     
     
     Рисунок 11 - Порядок нумерации сетевого графика
     На графике не должно быть фиктивных работ, которые дублируют информацию других работ. Например, работа, соединяющая события №5 и 6 на рисунке 12 (А) дублирует работу «ж», работа, соединяющая события №2 и 4 дублирует работу, соединяющую события №2 и 3.
     
     Рисунок 12 - Неправильное использование фиктивных работ
     Форма графика должна быть простой, без лишних пересечений. Большинство работ следует изображать горизонтальными линиями. Чаще всего графики строят от исходного события к завершающему.
     Сначала сетевой график строят в черновом варианте, при этом главное – не внешний вид сети, а логическая последовательность выполнения работ. Затем проводится графическое упорядочение сети для уменьшения числа взаимно пересекающихся работ (Кофман, 1968). 
     
     
     
     Глава 2 Сетевой анализ проектов
     2.1 Метод критического пути
     
     Метод критического пути (СРМ) дает возможность контролировать сроки выполнения проекта. Таким проектом может быть разработка нового продукта или производственного процесса; строительство предприятия, здания или сооружения; ремонт сложного оборудования. При реализации проекта составляется график выполнения работ. 
     Для того чтобы проект был завершен вовремя, необходимо контролировать сроки выполнения этих работ. Взаимосвязанность работ (операций) является усложняющим фактором. Некоторые операции зависят от выполнения других работ и не могут начаться, пока предшествующие работы не будут завершены.
     Важной предпосылкой применения метода СРМ является предположение о том, что время выполнения каждой работы точно известно. В результате использования метода СРМ удается получить ответы на следующие вопросы:
     - за какое минимальное время можно выполнить проект?
     - в какое время должны начаться и окончиться отдельные работы?
     - какие работы являются «критическими» и должны быть выполнены точно в установленное время, чтобы не сорвать срок выполнения проекта?
     - на какое время можно отложить срок выполнения «не критической» работы, чтобы она не повлияла на срок выполнения проекта?
     Исходным шагом для применения метода СРМ является описание проекта в виде перечня выполняемых работ с указанием их взаимосвязи. Существует два способа описания проекта: табличный и графический. Получив графическое представление проекта, появляется возможность проведения расчетов по методу СРМ. 
     Путь - последовательность взаимосвязанных работ, ведущая из одной вершины проекта в другую вершину.
     Длина пути – суммарная продолжительность выполнения всех работ пути.
     Критический путь - путь, суммарная продолжительность выполнения всех работ которого является наибольшей.
     Минимальное время, необходимое для выполнения любого проекта равно длине критического пути. Именно на работы, принадлежащие критическому пути, следует обращать особое внимание. 
     Если такая работа будет отложена на некоторое время, то время окончания проекта будет отложено на такое же время. Если необходимо сократить время выполнения проекта, то в первую очередь нужно сократить время выполнения, хотя бы одной работы на критическом пути. 
     Для того чтобы найти критический путь, достаточно перебрать все пути и выбрать тот или те из них, которые имеют наибольшую суммарную продолжительность выполнения работ. Однако для больших проектов реализация такого подхода связана с вычислительными трудностями. Метод СРМ позволяет получить критический путь намного проще (Афанасьев, 2006).
     Для использования метода CPM  введены следующие обозначения:
     - i и j - события проекта (вершины графа), (i,j) - работа проекта, s - событие «начало проекта» (start), f - событие «окончание проекта» (finish), Т - длина критического пути;
     - t(i,j) - время выполнения работы (i,j);
     - ES(i,j) - наиболее раннее время начала работы (i,j); 
     - EF(i,j) - наиболее раннее время окончания работы (i,j);
     - LS(i,j) - наиболее позднее время начала работы (i,j);
     - LF(i,j) - наиболее позднее время окончания работы (i,j);
     - Ei - наиболее раннее время наступления события i ;
     - Li - наиболее позднее время наступления события i ;
     - R(i,j) – полный резерв времени на выполнение работы  (i,j) (время, на которое может быть отложена работа (i,j) без увеличения продолжительности выполнения всего проекта);
     - r(i,j) - свободный резерв времени на выполнение работы (i,j) (время, на которое может быть отложена работа  (i,j) без увеличения наиболее раннего времени Ej наступления последующего события j).
     Если работа проекта  (i,j), то для любого j существует равенство ES(i,j)= Ei и для любого i  LF(i,j)=Lj .
     Для нахождения критического пути методом CPM, нужно для каждой работы (i,j) определить величины:
     - ES(i,j) - наиболее раннее время начала работы;
     - EF(i,j) - наиболее раннее время окончания работы;
     - LS(i,j) - наиболее позднее время начала работы;
     - LF(i,j) - наиболее позднее время окончания работы.
     Для описания метода CPM используются следующие соотношения.
     1. ES(s,j) = 0 для любой работы (s,j), выходящей из стартовой вершины s проекта.
     2. EF(i,j) = ES(i,j) + t(i,j) = Ei + t(i,j), наиболее раннее время окончания любой работы (i,j) превышает наиболее раннее время начала этой работы (время наступления предшествующего события i) на время ее выполнения.
     3.  ES(q,j) = max EF(i,q) = Eq, наиболее раннее время начала работы (q,i) равно наибольшему  значению наиболее раннего времени окончания непосредственно предшествующих ей работ.
     4. T = Ef = max EF(i,f), длина критического пути равна наиболее раннему времени завершения проекта.
     5. LF(i,f) = T, наиболее позднее время окончания любой работы, завершающей проект, равно длине критического пути.
     6. LS(i,j) = LF(i,j) - t(i,j) = Lj - t(i,j), наиболее позднее время начала любой работы меньше наиболее позднего времени окончания этой работы (времени наступления последующего события) на время ее выполнения.
     7.  LF(i,q) = min LS(q,j) = Lq, наиболее позднее время окончания работы (i,q) равно наименьшему из значений наиболее позднего времени начала непосредственно следующих за ней работ. 
     8. R(i,j) =  LS(i,j) -  ES(i,j) =  LF(i,j) - EF(i,j) = Lj - t(i,j) – Li, полный резерв времени выполнения любой работы равен разности между наиболее поздним и наиболее ранним временем  ее начала или разности между наиболее  поздним и наиболее ранним ее окончания.
     9. r(i,j) = Lj - ES(i,j) - t(i,j) = Lj - EF(i,j) = Lj - Ei - t(i,j), свободный резерв времени выполнения любой работы равен разности между наиболее поздним временем наступления последующего события и наиболее ранним временем окончания работы.
     Из выше приведённых соотношений следует:
     1) длина критического пути равна Т;
     2) работа (i,j) лежит на критическом пути, если R(i,j) = 0;
         работа (i,j) не лежит на критическом пути, если R(i,j) > 0;
     3) наиболее раннее время наступления последующего события не изменится, если время начала работы (i,j), не лежащей на критическом пути, отложить на срок меньший, чем r(i,j). 
     4) время, необходимое на выполнение всего проекта, не увеличится, если время начала работы (i,j), не лежащей на критическом, отложить на срок меньший, чем R(i,j).

2.2 Расчеты по методу критического пути
     
     Рассмотрим применение метода критического пути при решении следующих задач.
     Задача 1
     Рассмотрим следующую сеть проекта (продолжительность работ показана в неделях).
     Найдем критический путь и ответим на следующие вопросы:
     - за какое минимальное время может быть выполнен проект?
     - сколько работ находится на критическом пути?
     - на сколько недель можно отложить выполнение работы D без отсрочки завершения проекта в целом?
     - на сколько недель можно отложить выполнение работы С без отсрочки завершения проекта в целом? (Афанасьев, 2006).
     
      Работа
      Предшествующая работа
      Время выполнения
      1
      2
      3
      А
      -
      5
      В
      -
      3
      С
      А
      7
      D
      А
      6
      Е
      В
      7
      F
      D, Е
      3
      G
      D, Е
      10
      Н
      С, F
      8

Решение.
     1. Строим сетевой график по исходным данным (рисунок 1).
     Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ. 
     Для определения резервов времени по событиям сети рассчитывают наиболее ранние tp и наиболее поздние tп сроки свершения событий. Любое событие не может наступить прежде, чем свершаться все предшествующие ему события и не будут выполнены все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок tp(i) свершения i-ого события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию: 
     tp(i) = max(t(Lni),                                                                                      (1) 
     где Lni – любой путь, предшествующий i-ому событию, то есть путь от исходного до i-ого события сети. 
     Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а, следовательно, несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле: 
     tp(j) = max[tp(i) + t(i,j)                                                                              (2) 
     Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из следующих за ним путей не превысит длины критического пути. Поэтому поздний (или предельный) срок tп(i) свершения i-ого события равен: 
     tп(i) = tkp - max(t(Lci),                                                                               (3) 
     где Lci - любой путь, следующий за i-ым событием, т.е. путь от i-ого до завершающего события сети. 
     Если событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле: 
     tп(i) = min[tп(j) - t(i,j)                                                                                (4) 
     Резерв времени R(i) i-ого события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения: 
     R(i) = tп(i) - tp(i)                                                                                        (5)
     Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ. 
     Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события. Таким образом, определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути. 
     При определении ранних сроков свершения событий tp(i) двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1), (2). 
     
     2. Расчет сроков свершения событий. 
     Ранний срок свершения события.
     Для i=1 (начального события), очевидно tp(1)=0. 
     i=2: tp(2) = tp(1) + t(1,2) = 0 + 5 = 5. 
     i=3: tp(3) = tp(1) + t(1,3) = 0 + 3 = 3. 
     i=4: max(tp(2) + t(2,4);tp(3) + t(3,4)) = max(5 + 6;3 + 7) = 11. 
     i=5: max(tp(2) + t(2,5);tp(4) + t(4,5)) = max(5 + 7;11 + 3) = 14. 
     i=6: max(tp(4) + t(4,6);tp(5) + t(5,6)) = max(11 + 10;14 + 8) = 22. 
     Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 6: tkp=tp(6)=22. 
     Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 6: tkp=tp(6)=22 нед. 
     Поздний срок свершения события.
     При определении поздних сроков свершения событий tп(i) двигаемся по сети в обратном направлении, то есть справа налево и используем формулы (3), (4). 
     Для i=6 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): tп(6)= tр(6)=22 
     Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т.е. 5. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 5. 
     i=5: tп(5) = tп(6) - t(5,6) = 22 - 8 = 14. 
     Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т.е. 4. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 4. 
     i=4: min(tп(5) - t(4,5);tп(6) - t(4,6)) = min(14 - 3;22 - 10) = 11. 
     Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т.е. 5. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 5. 
     i=5: tп(5) = tп(6) - t(5,6) = 22 - 8 = 14. 
     Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т.е. 4. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 4. 
     i=4: min(tп(5) - t(4,5);tп(6) - t(4,6)) = min(14 - 3;22 - 10) = 11. 
     Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т.е. 3. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 3. 
     i=3: tп(3) = tп(4) - t(3,4) = 11 - 7 = 4. 
     Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т.е. 2. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 2. 
     i=2: min(tп(4) - t(2,4);tп(5) - t(2,5)) = min(11 - 6;14 - 7) = 5. 
     Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т.е. 1. Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 1. 
     i=1: min(tп(2) - t(1,2);tп(3) - t(1,3)) = min(5 - 5;4 - 3) = 0. 
Таблица 1 - Расчет резерва событий
Номер события
Сроки свершения события: ранний tp(i)
Сроки свершения события: поздний tп(i)
Резерв времени, 
R(i)
1
0
0
0
2
5
5
0
3
3
4
1
4
11
11
0
5
14
14
0
6
22
22
0
      
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
                       Рисунок 1 - Исходный сетевой график
     3. Расчет параметров работ и заполнение таблицы 2. 
     Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы. При этом работы следует записывать в графу 2 последовательно: сначала начиная с номера 1, затем с номера 2 и т.д. 
     Графу 3 получаем из таблицы 1 (tp(i)). Графу 6 получаем из таблицы 1 (tп(i)). Значения в графе 4 получаются в результате суммирования граф 2 и 3. 
     В графе 5 позднее начало работы определяется как разность позднего окончания этих работ и их продолжительности (из значений графы 6 вычитаются данные графы 2).
     Таблица 2 – Расчет параметров сетевой модели по времени
Работа (i,j)
Продол-жительность tij
Ранние сроки: начало tijР.Н.
Ранние сроки: окончание tijР.О.
Поздние сроки: начало tijП.Н.
Поздние сроки: окончание tijП.О.
Резервы времени: полный RijП
Незави-симый резерв времени RijН
Свобод-ный резерв, RijC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(1-2)
5
0
5
0
5
0
0
0
(1-3)
3
0
3
1
4
1
0
0
(2-4)
6
5
11
5
11
0
0
0
(2-5)
7
5
12
7
14
2
2
2
(3-4)
7
3
10
4
11
1
0
1
(4-5)
3
11
14
11
14
0
0
0
(4-6)
10
11
21
12
22
1
1
1
(5-6)
8
14
22
14
22
0
0
0
     
     Содержимое графы 7 (полный резерв времени R(ij)) равно разности граф 5 и 3 или граф 6 и 4. Если R(ij) равен нулю, то работа является критической.
     Полный резерв времени работы, это количество времени, на которое можно перенести начало работы или увеличить её продолжительность без изменения общего срока проек.......................