Решение нестандартных задач как средство развития познавательного интереса к математике

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ИМЕНИ К.Д.УШИНСКОГО
КОЛЛЕДЖ «ЧЕРЕМУШКИ»






Дипломная работа
Решение нестандартных задач как средство развития познавательного интереса к математике у младших школьников






Домолего Дарья Константиновна
Студентка 4ПНК Д 42Ш-13
Специальность  44.02.02
«Преподавание в начальных классах»
Научный руководитель: Корватовская В.Е.




Москва, 2017
Оглавление
Введение	3
Глава I. Теоретические и методические основы развития познавательного интереса к математике у младших школьников в процессе решения нестандартных задач	8
1.1.	Понятие «познавательный интерес » и его развитие у младших школьников на уроках математики в процессе решения нестандартных задач	8
1.2. Понятия  «задача» и  «нестандартная задача»	12
1.3. Виды нестандартных задач и методы их решения	17
1.4.	Методика работы учителя с нестандартной задачей	30
1.5. Нестандартные задачи в школьных учебниках математики	33
Глава II. Содержание и методика работы по использованию нестандартных задач как средства развития познавательного интереса к математике у младших школьников	40
2.1.	Выявление уровня развития познавательного интереса к математике у учеников 3 «Б» класса	40
2.2.	Организация работы по использованию нестандартного задачного материала с целью развития познавательного интереса к математике у учеников 3 «Б» класса  действий	48
2.3.	Анализ эффективности проведенной работы по использованию задач нестандартного характера	50
Заключение	52
Список литературы	54
Интернет ресурсы	56

Введение
     Обучение математике является важнейшей составляющей начального общего образования. Этот предмет играет важную роль в формировании у младших школьников умения учиться.
     Начальное обучение математике закладывает основы для формирования приёмов умственной деятельности: младшие школьники учатся проводить анализ, сравнение, классификацию объектов, устанавливать причинно-следственные связи, закономерности, выстраивать логические цепочки рассуждений. Изучая математику, они усваивают определённые математические знания и способы действий. Универсальные математические способы познания способствуют целостному восприятию мира, позволяют выстраивать модели его отдельных процессов и явлений, а также являются основой формирования универсальных учебных действий. Универсальные учебные действия обеспечивают усвоение предметных знаний и интеллектуальное развитие учащихся, формируют способность к самостоятельному поиску и усвоению новой информации, новых знаний и способов действий, что составляет основу умения учиться.
     Усвоенные в начальном курсе математики знания и способы действий необходимы не только для дальнейшего успешного изучения математики и других школьных дисциплин, но и для решения многих практических задач во взрослой жизни.
     Основными целями начального обучения математике являются:
* математическое развитие младших школьников;
* формирование системы начальных математических знаний;
* воспитание интереса к математике, к умственной деятельности. [2, с.3]
     Обучение младших школьников решению задач – неотъемлемая часть обучения математике в начальных классах, поскольку задачи – это и важнейшее средство формирования математических знаний, умений и навыков, и одна из основных форм учебной деятельности в процессе изучения математики. Более того, правильно организованный процесс обучения решению задач может быть действенным средством общего развития ребенка. [7]
     Актуальность темы:
     Современная школа ориентируется на создание условий для реализации гуманистической образовательной модели исследования научного предмета, в большей степени способствующей приобретению способностей создавать и преобразовывать собственную жизнедеятельность, быть ее подлинным субъектом. Введение в действие Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования (ФГОС НОО) в известном триединстве: знания – умения – навыки  затронуло вторую составляющую (умения), выдвинув на первый план универсальные учебные действия (УУД). Овладение УУД формирует умение учиться. 
     Особое внимание специалистов, занимающихся вопросами школьного математического образования, направлено на модернизацию задачного материала. В Концепции развития математического образования в Российской Федерации записано, что современные направления и тенденции развития математического образования требуют включения  в математическое образование, с самого его начала, более широкого круга задач, в том числе – традиционно относившихся к «развлекательной», «игровой» математике [4]. Таким образом, повышается внимание методистов, учителей-практиков, авторов учебников к нестандартным задачам. 
     Такие задачи способствуют углублению и расширению знаний и практических навыков учащихся; развивают логическое мышление, смекалку, математическую зоркость; выявляют наиболее одаренных и способных детей, а так же способствуют дальнейшему развитию их интереса к математике, воспитывают настойчивость, любовь к труду и организованность.
     Педагогический опыт свидетельствует, что эффективно организованная учебная деятельность школьников в процессе решения нестандартных задач является важнейшим средством формирования математической культуры, таких качеств математического мышления, как гибкость, критичность, логичность, рациональность; их органическое сочетание, по Ю.М. Колягину, проявляется в особых способностях человека, дающих ему возможность успешно осуществлять творческую деятельность, быть ее субъектом. 
     Замечено, что нестандартные задачи вносят эмоциональный момент в умственную работу, позволяют рассматривать ситуацию решения как проблемную, что способствует развитию внутренней мотивации, активизирующей психические процессы, за счет чего качественнее и быстрее формируются значимые для осуществления учебной деятельности мыслительные операции, логические приемы и познавательные умения.
     Проблема: «Каковы возможности нестандартных задач для развития познавательного интереса младшего школьника».
     Указанная практическая значимость проблемы определила тему работы: «Решение нестандартных задач как средство развития познавательного интереса к математике у младших школьников».
     Изучением процесса мыслительного развития младших школьников занимались ученые, как Г.Айзенк, Ф.Гальтон, Дж. Кеттелл, Ж.Пиаже и другие. 
     В отечественной науке изучение этого вопроса нашло отражение в работах:  Л.С.Выготского,  Н.А.Подгорецкой, В.В.Давыдова,  Г.С.Костюка,   А.Н.Леонтьева, А.И.Мещерякова, Д.Б.Эльконина,  А.М.Матюшкина,  П.Я.Гальперина и других.
     Нестандартная задача как особый вид математических упражнений является темой многих зарубежных и отечественных исследований. История вопроса уходит в глубину веков, ей занимались египтяне, греки, индийцы, китайцы, арабовы. Этому вопросу посвящались работы математиков, педагогов. Особенно выделяются имена Л. Пизанского (Фибоначчи), Д. Кардано, П. Ферма, В. Лейбница, Л. Эйлера, В.И.  Обреимова, Е.И. Игнатьева, Я.И. Перельмана. Современные исследования и методические разработки, в которых рассматриваются вопросы, связанные с обучением учащихся решению нестандартных задач, принадлежат перу Ю.М. Колягина, Л.М. Фридмана, Л.В.Селькиной, В.В. Дрозиной, Г.В.Керовой и других авторов.
     Это нашло отражение и развитие в работах многих современных методистов: М.И. Моро, К.И. Нешкова, А.М. Пышкало, В.Н. Рудницкой, Л.Н. Скаткина, Е.Н. Тальяновой.
     Многие авторы указывают на существенное влияние нестандартных математических задач на развитие логического мышления и творческих способностей учеников, на воспитание интереса к предмету. В то же время отмечается, что вопросам обучения младших школьников приемам поиска решения нестандартных задач не уделяется должного внимания. Учителя испытывают наибольшие  методические трудности при работе с задачами нестандартного вида: не могут придумать методические подходы к обучению детей их решению и поэтому не любят работать с нестандартными задачами, потому что это занимает много времени на подготовку, а также если учитель не любит и не готов погрузится самостоятельно в такую деятельность, то хорошего результата от учащихся нельзя ожидать. [13, с. 6].
     Объектом  исследования  является формирование познавательного интереса к математике у младших школьников, а  предметом – использование решения нестандартных математических задач в качестве средства, способствующего развития познавательного интереса к математике  у младших школьников.
     Цель исследования: изучить проблему влияния решения нестандартных задач на развитие познавательного интереса к математике  у младших школьников на основе анализа психолого-педагогических исследований, разработка и апробация методики работы с нестандартным задачами на уроках математики в начальной школе для развития у младших школьников познавательного интереса к математике.
     Задачи исследования:
* раскрыть понятие «задача» и  «нестандартная задача»;
* изучить виды и методы решения нестандартных задач;
* раскрыть содержание понятия «познавательный интерес  младшего школьника»;
* определить возможности решения нестандартных задач для развития познавательного интереса к математике;
* проанализировать объем и содержание нестандартного задачного материала в учебниках математики начальной школы;
* изучить методические рекомендации по организации работы с нестандартными задачами на уроках математики в начальной школе;
* выявить уровень развития  познавательного интереса к математике у учеников 3 класса;
* разработать и апробировать методику работы с нестандартным задачным материалом в 3 классе с целью повышения уровня развития  познавательного интереса к математике;
* определить эффективность проведенной работы с использованием нестандартного задачного материала для повышения уровня развития познавательного интереса к математике.
    Методы исследования:
* анализ психолого-педагогических исследований по вопросу развития познавательного интереса у младших школьников, а также теоретической и методической литературы по вопросам текстовых задач и нестандартных задач;
* педагогическая диагностика уровня развития познавательного интереса к математике у младших школьников.
    Структура работы:
    Выпускная квалификационная работа состоит из введения, теоретической и опытно-практической глав, заключения, списка литературы и приложений.

Глава I. Теоретические и методические основы развития познавательного интереса к математике у младших школьников в процессе решения нестандартных задач
1.1.	Понятие «познавательный интерес » и его развитие у младших школьников на уроках математики в процессе решения нестандартных задач
     Познавательный интерес – избирательная направленность личности на предметы и явления окружающей действительности. Эта направленность характеризуется постоянным стремлением к познанию, к новым, более полным и глубоким знаниям. 
     Систематически укрепляясь и развиваясь, познавательный интерес становится основой положительного отношения к учению. Он носит поисковый характер. Под его влиянием у человека постоянно возникают вопросы, ответы на которые он сам постоянно и активно ищет. При этом поисковая деятельность школьника совершается с увлечением, он испытывает эмоциональный подъем. 
     Познавательный интерес положительно влияет не только на процесс и результат деятельности, но и на активизацию протекания психических процессов - мышления, воображения, памяти, внимания, которые под влиянием познавательного интереса приобретают особую активность и направленность.
     Под влиянием познавательного интереса учебная работа даже у слабых учеников протекает более продуктивно.
     И.Ф. Гербарт (немецкий философ, психолог, педагог; один из основателей научной педагогики) писал: «Смертный грех учителя - быть скучным». [22] Этот афоризм часто определяет понимание учителем места познавательного интереса в обучении, который рассматривается им как инструмент оживления учебного процесса, находящийся в его руках.
     Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определённым правилам - необходимое условие успешного усвоения учебного материала.
     Систематическое использование на уроках математики специальных задач и заданий, направленных на развитие познавательного интереса, логического мышления, расширяет математический кругозор младших школьников и позволяет более уверенно ориентироваться в простейших закономерностях окружающей их действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.
     Нестандартные задачи должны быть направлены не на формальное усвоение готового алгоритма, а на формирование у учащихся простейших навыков самостоятельного построения алгоритмов, отыскания способов решения новых для них задач.[14]
     Систематическое и целенаправленное применение нестандартных задач в обучении математике младших школьников позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся, повышает их интерес к изучению математики.
     Основной целью математического образования должно быть развитие умения математически, а значит, логически и осознанно исследовать явления реального мира. Реализации этой цели может и должно способствовать решение на уроках математики различного рода нестандартных логических задач.
     Поэтому использование учителем начальной школы этих задач на уроках математики является не только желательным, но даже необходимым элементом обучения математике.
     Для решения нестандартных задач учащимся необходимо приложить определенные усилия, проявить волю, настойчивость и целеустремленность. Необычность приемов решения прививает вкус к самостоятельным исследованиям, проявлению изобретательности, пробуждает положительные эмоции как в процессе решения задач, так и при достижении результата. [20]
     Решение нестандартных задач позволяет учащимся накапливать опыт в сопоставлении, наблюдении, выявлять закономерности, высказывать предположения, доказывать их.
     Нестандартные задачи в начальных классах призваны пробудить у учащихся интерес к математике. А заинтересованный занимательными задачами ученик начинает увлекаться математикой и переносит интерес к ней и на скучные разделы, неизбежные в каждом предмете. В конечном счете, это способствует быстроте и глубине усвоения, прочности знаний.
     При решении нестандартных задач младшие школьники получают возможность проявить свои творческие способности, во время обсуждения решения задачи учатся отстаивать свою точку зрения, дискутировать, развиваются их коммуникативные качества.
     Нестандартные задачи вносят эмоциональный момент в умственную работу, позволяют рассматривать ситуацию их решения как проблемную, что способствует развитию внутренней мотивации, активизирующей психические процессы (память, внимание, мышление), за счет чего качественнее и быстрее формируются значимые для осуществления учебной деятельности мыслительные операции и познавательные умения. 
     Для нестандартных задач характерно то, что в их сюжетах находят отражение практические ситуации, знакомые ученику, поэтому в рассуждениях он может опираться на свой жизненный опыт. Задачи позволяют школьнику убедиться в прикладном характере математических методов, которыми он овладевает на уроках математики. При их решении формируются обще учебные умения и навыки ориентировки в сложной ситуации, что позволяет считать нестандартные задачи инструментом развития человеческого интеллекта и помогают формировать познавательный интерес в процессе их решения.  
     В заключении можно отметить, что решение нестандартных задач помогает всестороннему развитию младшего школьника, дает ему возможность осуществлять творческую и познавательную деятельность на уроках математики. 

1.2. Понятия  «задача» и  «нестандартная задача»
     Что такое «задача»?
     Математическое образование является одним из важнейших факторов, формирующих личность человека, его интеллект и творческий потенциал.
     На протяжении всей истории человечества математика являлась средством познания окружающего мира, аппаратом, с помощью которого осуществляются расчёты и ведутся исследования практически во всех естественных науках и целом ряде гуманитарных наук.
     Решение задач — лучший способ имитации исследовательской деятельности. Регулярное напряжение ума тренирует и развивает умственные способности. Решая задачи, можно лучше усвоить теоретические положения, научиться их использовать. [3]
     Четкого определения текстовой арифметической задачи нет, вводится лишь её понятие.
     Бантова Мария Александровна приводит такое определение: «В окружающей нас жизни возникает множество таких ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними, – это задачи».
     Истомина Наталья Борисовна дает такое определение задаче: «В начальном курсе математики понятие «задача» обычно используется тогда, когда речь идет об арифметических задачах. Они формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами».
     Задача - это знаковая модель проблемной ситуации. Можно сказать задача - это проблемная ситуация, требующая ее разрешения человеком.
     Основная особенность задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должны быть выполнены над данными числами для получения искомого. Вместе с тем, текст задачи содержит некоторые указания на связь, существующую между данными числами и искомым. Эта связь определяет выбор нужных общих положений математики, а так же последовательность их выполнения.[9]
     Текстовой задачей называется описание реальной ситуации из жизни, в которой есть числовые характеристики, и с помощью их надо найти неизвестную величину. Структура этого текста такова, что в нем можно выделить условие и требование (которое не всегда выражено в форме вопросительного предложения). Решить задачу — значит выполнить арифметические действия, определенные условием, и удовлетворить требованию задачи.
     Согласно этому определению для полноценной работы над задачей младший школьник должен:
* уметь хорошо читать и понимать смысл прочитанного;
* уметь работать над текстом задачи, выявляя его структуру и взаимоотношения между данными и искомым;
* уметь правильно выбирать и выполнять арифметические действия.
     Суть современного подхода к обучению решению задач младших школьников состоит в том, что методика должна сформировать у учащегося самостоятельную учебную деятельность, в том числе и в плане решения задач. 
     С начала и до конца обучения в школе текстовая задача помогает ученику оценить математические понятия, глубже понимать различные стороны взаимосвязей с окружающей его жизнью, дает возможность применять изучаемые теоретические положения на практике, позволяет устанавливать разнообразные числовые отношения в наблюдаемых явлениях.
     Что же такое «нестандартная задача»?
     Иногда в понятие задача включают более широкий смысл. Так, например, встречаются задачи без числовых данных, в которых по указанным признакам и связям делают логически выводимое умозаключение. Такие задачи можно назвать нестандартными.
     Нестандартными в математике считаются те задачи, алгоритм решения которых учащимся неизвестен, и нужен самостоятельный поиск ключевой идеи.
     Любая задача, взятая изолированно, сама по себе является  нестандартной,  но  если  с  ней рядом поместить несколько подобных задач, то она становится стандартной. [9]
     Работа с нестандартными  задачами  дает младшим школьникам возможность повторять изученные ранее понятия  и  отрабатывать  уже  известные им алгоритмы действий над числами (так называемые  вычислительные навыки) в нетривиальной, увлекательной форме.
     Нестандартные задачи необходимы в обучении математике. Объясняется это требованиями, направленными на усиление воспитательных и развивающих функций обучения. 
     Эти задачи:
* учат не только использовать готовые алгоритмы, но и самостоятельно определять оригинальные способы решения задач;
* препятствуют выработке вредных штампов при решении задач,
* разрушают неправильные ассоциации в знаниях и умениях младших школьников и тем самым оказывают положительное влияние на формирование навыков решения задач; 
* предполагают развитие у младших школьников способности к
* создают благоприятные условия для повышения прочности и глубины знаний учащихся, обеспечивают более сознательное овладение основным содержанием курса математики.
     Главное при решении нестандартных задач - это научить младших школьников думать над задачей, рассуждать, догадываться, делать правильные умозаключения. Нестандартным задачам свойственна занимательность, яркость, необычность изложения и хода решения, что позволяет преобразовать любопытство младшего школьника на более высокую стадию развития, являясь пусковым механизмом детской любознательности.
     В  основе  решений  многих  из  них лежат: принцип Дирихле, свойства  геометрических  и  магических  фигур,  законы  математической логики, сообразительность, смекалка и т.п. 
     Общий прием решения задач включает: знания этапов решения (процесса), методов (способов) решения, типов задач, оснований выбора способа решения, а также владение предметными знаниями: понятиями, определениями терминов, правилами, формулами, логическими приемами и операциями. Таким образом, умение ставить и решать задачи является одним из показателей уровня развития учащихся, открывает им пути овладения новыми знаниями. [24]
     Для решения большинства нестандартных задач не требуется знания учащимися каких-либо правил; часто учащиеся вынуждены «изобретать» новый приём решения. Нестандартные задачи могут являться важным средством формирования навыка самостоятельного построения учениками новых алгоритмов решения задач. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в зависимости от того, знакомы ли младшие школьники со способами решения таких задач. Нестандартная задача, в отличие от традиционной, не может быть решена по какому-либо известному им алгоритму. Такие задачи не сковывают младшего школьника жесткими рамками одного решения. Необходим поиск решения, что требует творческой работы мышления и способствует его развитию.
     Решение задач имеет большое образовательное и воспитательное значение. Н.А. Менчинская и М.И. Моро отмечают, что решение задач всегда рассматривалось как такая учебная деятельность, которая преследует двоякую цель: во-первых, решение задач является средством, способствующим усвоению математических понятий и законов, а во-вторых, оно имеет самостоятельную ценность, поскольку служит для развития творческого мышления учащихся [16, с 47].
     Итак, рассмотрев вышеизложенное можно сделать вывод, что:
1. Текстовая задача помогаем младшему школьнику изучить математические понятия, научиться понимать различные стороны взаимосвязей с окружающей его жизнью, а так же применять теоретические знания на практике.
2. Решение нестандартных задач позволяет учащимся накапливать опыт в сопоставлении, наблюдении, выявлять закономерности, высказывать предположения, доказывать их, то есть формировать познавательные универсальные учебные действия. 
3. 
     
     
1.3. Виды нестандартных задач и методы их решения
Виды задач:
* задачи на доказательство, основанное на принципе Дирихле;
* задания на заполнение магических квадратов;
* задачи с магическими геометрическими фигурами;
* логические задачи, задачи на сообразительность; 
* задачи-смекалки, задачи-шутки, ребусы, шарады;
* задачи со спичками;
* решение задач методом отбора; 
* отгадывание задуманных чисел;
* занимательные задачи с геометрическим содержанием; 
* примеры, уравнения, для решения которых используются интересные приемы.

     Рассмотрим примеры некоторых из них:
     1. Задачи на доказательство, основанное на принципе Дирихле.
     Принцип Дирихле (нем. Schubfachprinzip, «принцип ящиков») — утверждение, сформулированное немецким математиком Дирихле в 1834 году, устанавливающее связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий. 
     Наиболее распространенная формулировка этого принципа:
     Если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика. [30]
     Пример 1.
     В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся как минимум 2 ученика, дни рождения которых в один месяц.
     Решение. Пусть 15 учеников будут «зайцы». Тогда «клетками» будут месяцы года, их 12. Так как 15 > 12, то, по принципу Дирихле, найдется, как минимум, одна клетка, в которой будет сидеть, по крайней мере, 2 «зайца». То есть, найдется месяц, в котором будут отмечать дни рождения не менее 2 учеников класса. [30] 
     Пример 2.
     Докажите,  что  в  любой компании из 7 человек есть двое, имеющих  одинаковое  число  знакомых  в этой компании.
     Доказательство. Вариантов  числа знакомых всего 7: от 0 до 6. При этом если у кого-то 6 знакомых, то ни у кого не  может  быть  0  знакомых.  Так  что есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.[19]
     2.Задания на заполнение магических квадратов.
     В давние времена, когда люди научились считать, они обнаружили, что с числами можно выполнять различные действия. Складывая числа, располагая их друг за другом или одно под другим, иногда получали одинаковую сумму. Наконец, разделив числа линиями так, чтобы каждое оказалось в отдельной клетке, увидели квадрат, любое из чисел которого принимало участие в двух суммах и в трех (по диагонали), равны между собой. Недаром древние китайцы, индусы, арабы приписывали таким конструкциям таинственные и магические свойства. 
  
     Магические квадраты появились на Древнем Востоке еще до нашей эры. Одна из сохранившихся легенд повествует о том, что когда император Ю из династии Шан (2000 г до н.э.) стоял на берегу Ло, притоке Желтой реки, вдруг появилась большая, у которой на спине был рисунок из двух мистических символов – черных и белых кружочков, который был осознан затем как изображение магического квадрата порядка 3. 
4
9
2
3
5
7
8
1
6
     
     Упоминание о магических квадратах встречается в китайских книгах еще за 4000 – 5000 лет до нашей эры. В Европе магические квадраты появились лишь в начале XV века. Им приписывались волшебные свойства, они служили талисманами, защищавшими от несчастий.
     Итак, под «магическими квадратами» будем понимать квадраты, в которых суммы чисел, стоящих в любом столбце или в любой строке, а также по диагоналям, одинаковы. [26]
     Пример 1.
     Даны числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Часть из них расставлена по клеткам. Требуется расставить остальные числа, чтобы в сумме получалось 15. 

1


5

4


     Решение. Находим необходимое число, вычитая из 15 сумму двух известных чисел, стоящих в одной строке, диагонали или столбце. Получаем следующий квадрат. 
8
1
6
3
5
7
4
9
2
     
     Оказывается, все другие магические квадраты, составленные из этих же чисел, можно получить из данного симметрией относительно строки, столбца или диагонали, поэтому во всех квадратах числа расставлены по одним и тем же правилам. 
     Можно заметить ряд закономерностей, облегчающих заполнение клеток квадрата или дающих возможность решить задачу при меньшем числе данных в условии. 
     Например, в условиях задач, подобных предыдущей, не обязательно указывать, какая сумма должна получиться в любом направлении. [7]
     
     Пример 2. [17]
     Даны числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Требуется вписать их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении в сумме получилось одно и то же число. Часть чисел уже вписана в квадрат.


9

6



5
     Решение: Найдем вначале сумму чисел, которая будет получаться в строках и столбцах. Самый простой способ – умножить число 6 на 3, получим, что сумма равна 18. Получаем следующий квадрат: 
7
2
9
8
6
4
3
10
5

3. Задачи с магическими геометрическими фигурами.
      Пример 1.  [17]
     Числовой треугольник.
     В кружках этого треугольника расставьте все девять чисел так, чтобы сумма их на каждой стороне составляла 20.


     Решение. Нахождение чисел путем перебора. Средние числа каждого ряда можно переставлять и получить еще ряд решений.


Пример 2. [14]
     Числовое колесо.
     Числа от 1 до 9 надо разместить в фигуре так, чтобы одно число было в центре круга, прочие – у концов каждого диаметра и чтобы сумма трех чисел каждого составляла 15.
     


     Решение. Путем подбора чисел и их сложения.



     4.Логические задачи, задачи на сообразительность.
     Логическая задача – это такая задача, для решения которой, как правило, требуется логическое мышление, сообразительность, иногда применение нестандартного мышления, а не специальные знания высокого уровня.
     Решение задач состоит в том, чтобы досконально разобрать условие задачи, распутать клубок противоречивых связей между персонажами или объектами. Логические задачи для детей – это, как правило, истории с действующими лицами, в которых нужно почувствовать ситуацию, наглядно ее представить и уловить связи.
     В ходе решения используются рассуждения, последовательно учитывающие все условия задачи, которые постепенно приводят к выводу и правильному ответу.[12]
     Пример 1.
     Пара лошадей.
     Пара лошадей пробежала 10 км. По сколько километров пробежала каждая лошадь? 
     Ответ: Каждая лошадь пробежала по 10 км. 
     
     Пример 2.
     Цапля.
     Когда цапля стоит на одной ноге, то ее масса 5 кг. Какой будет масса цапли, если встанет на две ноги? 
     Ответ: Масса цапли – 5 кг.
     
     Пример 3.
     Воробушки.
     На ветке сидят 4 воробья. Пришла кошка и поймала одного воробушка. Сколько воробьев осталось сидеть на ветке? 
     Ответ: Ни одного. Все остальные улетели. [17]
     
     Пример 4.
     Два племени.
     На острове живут два племени: молодцы. Которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил островитянина, спросил его, кто он такой, и когда услышал, что он из племени молодцов, нанял его в проводники. Они пошли и увидели вдали другого островитянина, и путешественник послал своего проводника спросить его, к какому племени он принадлежит. Проводник вернулся и сказал, что тот утверждает, что он из племени молодцов. Спрашивается: был проводник молодцом или лгуном?
     Решение: На острове на данный вопрос никто не мог ответить ничего, кроме того, что он молодец. Так как проводник воспроизвел правильно этот единственно возможный ответ, то ясно, что он молодец. [12]
     
     5.Задачи – смекалки, задачи-шутки, ребусы, шарады.
     Задания очень короткие по формулировке. Чтобы их отгадать, у младшего школьника должен быть развит кругозор, знания об окружающем мире. 
     Пример 1.
     Назовите два числа, у которых количество цифр равно количеству букв, составляющих название каждого из этих чисел. 
     Ответ: Сто (100) и миллион (1.000.000).
     
     Пример 2.
     Сколько месяцев в году имеют 28 дней? 
     Ответ: Все месяцы.
     
     Пример 3.
      Собака была привязана к десятиметровой веревке, а прошла двести метров. Как ей это удалось?
      Ответ: Её веревка не была ни к чему привязана. [5]
     
     Ребус — это вид загадки, в которой разгадываемые слова даны в виде рисунков в сочетании с буквами или цифрами. 
     В отличие от простой загадки, где основа идет на словесное описание, ребус развивает еще и логическое образное мышление, учит нестандартно воспринимать графическое изображение, а также тренирует зрительную память и правописание. 
     Правила разгадывания - запятые перед картинкой обозначают, сколько букв нужно убрать вначале загаданного слова, запятые в конце рисунка обозначают, сколько букв нужно убрать с конца слова. Если буква перечеркнута, ее нужно убрать из слова, если стоит знак равенства, значит одну букву нужно заменить на  другую. [15]
     
  Пример 1. [4]
  100л (стол); 100лб (столб); 100лица (столица); 100рож (сторож);
  
  в     100     к (восток);

  100    р (столяр).

  Пример 2.
   Ответ: Узор
  
  Ответ: Минус
  
     Шарада - это загадка, составленная в стихах, в ней задуманное слово распадается на несколько отдельных частей, причем каждая из них представляет собой самостоятельное слово - односложное.
     Разгадав каждую часть шарады и сложив эти части вместе, легко узнать задуманное слово. 
     
     Пример 1.
  Он грызун не очень мелкий,
  Ибо чуть побольше белки.
  А заменишь «У» на «О» -
  Будет круглое число.
  Ответ: Сурок – сорок
  
  	Пример 2.
  Я с «Л» смягчённым - под землёй,
  Бываю каменный и бурый.
  А с твёрдым - в комнате твоей
  И в геометрии фигура.
  Ответ: Уголь - угол
  
     6.Игры со спичками.
     Задачи со спичками -  развивают логическое мышление, внимание, воображение. Для их решения нужны только смекалка, способность предвидеть результат и хорошее воображение. При решении задач можно использовать спички, счетные палочки или просто рисунок на бумаге. [5]
     Пример 1.
     Нужно переложить одну спичку так, чтобы получилось верное равенство.
  
  
  Решение:
  
  
  
  
  
     Пример 2.
     Переложить в фигуре, показанной на рисунке, пять спичек так, чтобы получилось три квадрата:
     
     
     Решение: 
     
     
     Пример 3.
     Как сделать из двух спичек десять, не ломая их?
     Ответ: спички надо сложить в виде римской цифры десять (X). [5]
     
     7. Решение задач методом отбора.
      Нередко при решении задач приходится выделять из данного множества некоторое подмножество или отбирать отдельные элементы, обладающие теми или иными свойствами. Используя постепенно условие задачи, выделяют сначала избыточное подмножество элементов, затем из него по заданным признакам отбирают требуемые компоненты, т.е. получают решение задачи или доказывают, что его нет. Метод, о котором идет речь, часто называют методом перебора, однако, более подходящий термин – метод отбора.
     
     Пример 1.
     Один ежик собрал 9 сыроежек и 5 маслят и поделился с другом. Он дал ему 7 грибов, среди которых были грибы разных видов. Сколько он мог дать ему сыроежек и сколько маслят?
  Решение: Число 7 можно представить в виде суммы двух слагаемых так:
1) 7=7+0=0+7
2) 7=6+1=1+6
3) 7=3+4=4+3
4) 7=2+5=5+2
  Так как среди 7 грибов были сыроежки и маслята, то из имеющихся восьми вариантов состава числа 7 отберем те, которые удовлетворяют условию задачи. Получаем:
1) Сыроежек 6 и маслят 1;
2) Сыроежек 5 и маслят 2 или наоборот;
3) Сыроежек 4 и маслят 3 или наоборот, т.е. 5 возможных вариантов. [9]

     8.Отгадывание задуманных чисел.
     А еще математика-это мир фокусов. Фокус называется «Как отгадать число?»
     Раздаем каждому лист бумаги и карандаш. Младшие школьники проделывают ряд арифметиче.......................