Процесс обучения старшеклассников применению производной к исследованию функций на основе модульного подхода

     ВВЕДЕНИЕ
     В связи с современными тенденциями развития российской общеобразовательной системы, направленными на формирование у школьников универсальных знаний и умений, опыта самостоятельного добывания знаний, приобретение ключевых компетенций, позволяющих усвоенные знания, умения и способы действий применить в реальной жизни и практической деятельности, повышаются требования к общеобразовательной подготовке школьника. А именно: он должен уметь самостоятельно анализировать материал, творчески мыслить, обладать самообразовательными умениями. 
     Увеличение объёма самостоятельной работы школьника предъявляет новые требования к методикам и технологиям его обучения. Особенно это относится к дисциплинам, в большей степени отвечающим за интеллектуальное развитие учащихся, например, математике. 
     Модульное обучение – одна из достаточно популярных технологий обучения, комплексно решающая ряд актуальных задач приобретения знаний, и хорошо сочетающаяся с другими педагогическими технологиями (дифференцированный подход, принцип укрупнённых дидактических единиц, программированное обучение и др.). Она учитывает индивидуальный темп развития каждого ученика, его склонности, возможности и потребности, создаёт благоприятные условия для усвоения материала учениками разного уровня подготовки, помогает им на уроках математики самостоятельно приобретать опыт получения ключевых умений и навыков, повышать собственную математическую культуру. 
     Одной из актуальных проблем школьной математики является обучение учащихся началам математического анализа – самого сложного раздела высшей математики, отдельные элементы которого входят в школьную математику.
     «Производная и её применение к исследованию функций» является одной из базовых тем курса математического анализа. В связи с этим понимание и усвоение этой темы вызывает большие трудности у старшеклассников, обусловленные как сложностью материала, так и отсутствием адаптивных методик его преподавания. Между тем, материалы ЕГЭ содержат несколько заданий данной темы. Так, навыки работы с производной и её приложениями к различным исследованиям применяется в седьмом и двенадцатом блоке задач ЕГЭ. При этом виды заданий в этих блоках весьма разнообразны и охватывают большой диапазон умений учащихся. Причём успешная сдача ЕГЭ весьма актуальна для современных школьников.
     Кроме того, если на этапе школьной подготовки учащиеся не поймут базовые понятия математического анализа «предел», «непрерывность», «производная» и их простейшие применения, то при дальнейшем обучение в ВУЗе они столкнутся с большими трудностями.
     Таким образом, из вышесказанного следует, что выбранная нами тема исследования «Модульный подход в обучение учащихся старших классов применению производной к исследованию функций» очень актуальна. Предлагаемая тема позволяет сформулировать следующую
     Цель исследования: разработать методику обучения старшеклассников применению производной к исследованию функций в рамках модульного подхода. 
     Объект исследования: процесс обучения старшеклассников применению производной к исследованию функций.
     Предмет исследования: процесс обучения старшеклассников применению производной к исследованию функций на основе модульного подхода.
     Гипотеза исследования: обучение старшеклассников применению производной к исследованию функций будет более продуктивным, если: 
1. На начальном этапе изучения темы дифференцировать обучающихся в соответствии с уровнем их готовности к её изучению.
2. Выделить взаимосвязанные модули изучения темы и соответствующий им теоретический материал.
3. Обучить учащихся по каждому из модулей темы с учётом дифференцированного подхода с элементами программированного обучения.
     Исходя из цели, объекта и предмета исследования, были поставлены следующие задачи исследования: 
 Проанализировать психолого-педагогическую и учебно-методическую литературу по теме исследования.
 На основе уровневой дифференциации разработать модули обучения учащихся данной теме и дидактические материалы к ним
 Разработать методику обучения учащихся по работе с каждым модулем темы.
    Для достижения цели и выполнения поставленных задач были привлечены следующие методы исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы, учебных пособий и периодических изданий, наблюдение, моделирование.
     
     Выпускная квалификационная работа «Модульный подход в обучение учащихся старших классов применению производной к исследованию функций» состоит из введения, двух разделов основной части, заключения, списка использованных источников.
     -
     Глава I
Теоретические основы обучения старшеклассников применению производной к исследованию функций 
      
      §1. Психолого-педагогические аспекты изучения темы 
     Планируя обучение учащихся, учитель должен обязательно учитывать как возрастные и индивидуальные особенности обучаемых, так и а особенности изучаемого материала. На основе анализа всех этих особенностей он может выбрать эффективную методику или технологию обучения, которая позволит добиться наилучшего усвоения изучаемого материала, а также создать комфортный темп работы для каждого ученика. 
     Изучение темы «Исследование функций с помощью производной» приходится на 10-й  или 11-й класс общеобразовательной школы в зависимости от учебника математики, что соответствует возрастному диапазону 15-18 лет, то есть старшему школьному возрасту. В этом возрасте у учащихся довольно высокий уровень концентрации внимания, самоконтроля и мотивации к получению знаний. 
     Следует так же отметить, что в данном возрасте умственные способности учащихся значительно выше по сравнению со средним школьным возрастом. Учащиеся могут хорошо анализировать информацию, отделять главное от второстепенного, самостоятельно отсеивать ненужный материал, творчески мыслить, логически отделять операции от объектов, над которыми они производятся, критично мыслить; математические задачи они решают проще, быстрее, проявляют смекалку и находчивость, могут предлагать разные пути решения одной и той же задачи.
     Ведущей для них является учебно-профессиональная деятельность, поскольку учёба начинает оцениваться с позиции полезности в ближайшем и отдалённом будущем, поэтому появляется избирательное отношение к различным учебным предметам. При этом увеличивается заинтересованность учащихся в получении знаний, они начинают всерьёз задумываться о своей будущей профессии и конкурентоспособности при поступлении в ВУЗ. 
     Стремление к самоопределению в своей будующей жизни помогает им настойчиво вникать в суть получаемых знаний. Они стараются не просто зазубрить материал, многократно повторяя его, а понять его сущность и причинно-следственные связи. Развивается абстрактное мышление, аналитические способности, исследовательские навыки. Абстрактно-логическое мышление побуждает учащихся докапываться до сути происходящих процессов и явлений. Им важен не столько факт события или явления, а причина его возникновения. Если в данном возрасте привить учащемуся интерес к своему предмету, то мы получим личность, которая будет проявлять инициативу в получение новых знаний.
     Учащиеся данного возраста способны иметь высокий уровень самоконтроля, хорошую культуру поведения и общения, достаточно хорошо развитое понимание нравственно-моральных ценностей, что в свою очередь позволяет учителю привить им культуру самостоятельного обучения и перейти к субъект-субъектной форме отношений в ходе ведения занятий. На данном этапе педагог должен перейти от роли «поводыря» к роли наставника.
     Кроме того, учащиеся данного возраста начинают рефлексировать, пытаются осознавать причины тех или иных своих поступков, проследить за ходом своих собственных мыслей, эмоциональным состоянием, способны ставить для себя реальные цели и добиваться их осуществления. Это весьма благоприятное время для занятия самообразовательной деятельностью.
     Тема «Исследование функций с помощью производной» является достаточно сложной для учащихся, поскольку её основу составляют такие важные понятия и утверждения математического анализа как «производная», «экстремумы», «признаки монотонности функции» и др., которые основательно изучаются в вузах. Между тем задания ЕГЭ профильного уровня предполагают владение учащимися данными категориями, поскольку первая часть ЕГЭ содержит два задания на эту тему, а в некоторых вариантах ЕГЭ производная встречается и во второй части, например, в заданиях с параметрами. Всё это говорит о значимости данной темы в подготовки учащихся. 
     При этом особенности темы таковы, что некоторые её вопросы можно изучать укрупнённо, поскольку они логически взаимосвязаны и решаются либо совместно, либо подобным образом. Поэтому тема предполагает активное применение аналитических способностей учащихся, их исследовательских умений и навыков, а также дальнейшее развитие указанных компетенций.
     Исследовав психолого-педагогические особенности учащихся данного возраста, можно сделать вывод, что возрастные особенности старшеклассников способствуют успешному освоению данной темы в рамках школьного курса математики, однако предполагают применение адаптивных технологий её преподавания, которые бы учитывали разные уровни направленности учащихся по отношению к применению математики в будущем, а также максимально способствовали развитию самостоятельности и исследовательским способностей у учащихся. Поэтому педагогу очень важно привить учащимся данного возраста культуру самообучения (создать условия, в которых учащийся сможет самостоятельно усваивать знания), заинтересовать учащихся своим предметом и направлять их в правильном русле получения новых знаний.
     §2. Анализ учебников и учебно-методической литературы по вопросам обучения исследованию функций с помощью производной
     
     Если следовать требованиям ФГОС, то выпускник школы на базовом уровне должен обладать такими навыками как нахождение наибольших и наименьших значений функции, выяснять монотонность в простейших случаях, строить графики многочленов и простейших рациональных функций используя навыки математического анализа доступные для школьника. Для учеников с углублённым изучением математики возрастают требования к умению пользоваться производной для построения графика и исследования функции.
     Для полноценной картины изложения вопросов обучения данной теме проведём анализ современных школьных учебников, в которых излагается тема «Исследование функции с помощью производной». 
     
     Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. «Алгебра и начала математического анализа: 10-11 классы» (2008 г.)
     
     Тема «Производная и её применение к исследованию функций» в данном учебнике рассматривается в 10 классе во второй главе и для её освоения выделяется отдельный параграф.
     Стоит заметить, что понятие исследования функции вводится еще до изучения производной и её свойств, в первой главе в параграфе «Основные свойства функции». В данном параграфе происходит изучение таких понятий, как периодичность, четность и нечетность функции, возрастание и убывание функции, вводятся понятия окрестности точки, экстремума. Приводится подробная схема исследования функции.
     После изучения производной рассмотрение данной темы начинается с изучения признаков убывания и возрастания функции. Описание применения производной к исследованию функций раскрывает основное содержание темы. Наглядно-графическое представление играет существенную роль при данном описании. Опираясь на геометрический и механический смысл производной, ученик с помощью интуитивно ясных критериев понимает смысл признаков возрастания и убывания функции. Отметим, что не предусматриваются строгие доказательства соответствующих теорем при их изучении.
     Исследование функции служит инструментом построения графиков этих функций. Авторы данного учебника выделяют следующие этапы исследования:
     •	нахождение область определения функции;
     •	выяснение, является ли функция чётной, нечётной, общего вида или периодической;
     •	нахождение точек пересечения графика функции с осями координат;
     •	нахождение промежутков знакопостоянства;
     •	нахождение промежутков убывания и возрастания;
     •	нахождение точек экстремума и значения функции в этих точках;
     •	исследование поведения функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю x.
     При проведение исследования предлагается составить таблицу, в первой строке которой указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечаются знаки производной на этих промежутках. В третьей строке записываются выводы о ходе изменения данной функции: возрастает, убывает, а в четвертой – о виде критических точек. В учебнике представлен детальное исследование конкретной функции, но рассмотрены лишь некоторые отдельные этапы исследования и, к большому упущению, обобщенного приема полного исследования функции и построения её графика не приводится. Также нужно отметить, что в данном учебнике нет заданий, процесс решения которых приводил бы к необходимости изучения данной темы, т. е. отсутствует мотивация к изучению этого учебного материала.
     В системе упражнений на полное исследование функций и построение их графиков представлены иррациональные, рациональные, степенные и тригонометрические функции. Примеры тривиальны и проблемных ситуаций повышенной трудности не вводится.
     Вопросы применения производной к поиску наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке рассматриваются лишь применительно к ситуации, когда функция задана на отрезке. При этом приложение производной к решению геометрических и физических задач на оптимизацию предполагает, опираясь на свойство непрерывности функции, переход от интервала к отрезку.
     
     Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. И др. «Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений» (2007 г.)
     
     В данном учебнике, в отличие от рассмотренного нами ранее, исследование функций изучается учениками в 11 классе. Для темы «Применение производной к исследованию функций» выделена отдельная глава, в которой представлены следующие параграфы:
     •	Возрастание и убывание функции.
     •	Экстремумы функции.
     •	Применение производной к построению функций.
     •	Наименьшее и наибольшее значения функции.
     •	Точки перегиба. Выпуклость графика функции.
     Данной главе предшествуют такие темы как: показательные, логарифмические и тригонометрические функций, тригонометрические уравнения и неравенства, производная. Только после изучения данных тем ученики приступают к теме исследования функций.
     Опять же, стоит отметить, что мотивация к изучению темы в данном учебнике отсутствует.
     Вывод о убывании или возрастании функции на промежутке в соответствии со знаком её производной делается с опорой на геометрический смысл производной.
     В отличие от предыдущего учебника, рассматриваются вопросы поиска наибольшего и наименьшего значений элементарной функции не только на отрезке, но и на интервале числовой оси. Приводятся примеры решения задач геометрического и физического характера на оптимизацию, предусматривающие при исследовании рассмотрение функции на интервале.
     Стоит отметить, что понятие второй производной, а также использование её для построения графиков и исследования свойств функции в учебнике рассматривается, но обязательным для изучения не является.
     В учебнике представлена следующая схема исследования свойств функции: 
     •	 нахождение области определения функции;
     •	 нахождение производной;
     •	 нахождение стационарных точек;
     •	 нахождение промежутков убывания и возрастания;
     •	 нахождение точек экстремума и значения функции в этих точках.
     Как и в учебнике Колмогорова А. Н. и др. результаты исследования предложено вести с помощью опоры на таблицу, в которой отражены отдельные этапы исследовании. Показан ряд примеров исследования элементарных функций. Составлены задачи для закрепления навыков нахождения промежутков убывания и возрастания, экстремумов и стационарных точек, на построение графиков функций. 
     В учебнике предлагаются упражнения на исследование целых рациональных, иррациональных, дробно-рациональных и показательных функции. Обобщенного приема исследования функции и построения графика нет, рассмотрены лишь некоторые этапы исследования функции. 
     
     Башмаков М. И. «Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов»( год)
     
     В данном учебнике тема исследования функции предусмотрена для прохождения учениками в 10 классе. До изучения производной в главе «Функции и их графики» рассматривается исследование функции по её графику, при этом выделены следующие свойства функции:
     •	область определения;
     •	корни функции;
     •	промежутки знакопостоянства;
     •	точки экстремума;
     •	промежутки монотонности;
     •	наибольшее и наименьшее значения функции;
     •	область значений функции.
     После изучения понятия производной исследование функции рассматривается в главе «Производная и её применение», основной целью которой является ознакомление учащихся с понятием производной, её механическим и геометрическим смыслом, обучение применению производной к исследованию функций. Задачам, связанным с исследованием функций, уделяется основное внимание.
     Связь между свойствами функции и свойствами её производной устанавливается с помощью механического истолкования производной как скорости движения материальной точки.
       Приводятся четыре теоремы с доказательствами:
     •	признак постоянства функции;
     •	признак монотонности функции;
     •	необходимое условие экстремума функции;
     •	достаточное условие экстремума функции.
     При построении графика функции этапы исследования совпадают с теми, что были изучены ранее. При этом даны указания для построения особых точек на координатной плоскости и указания поведения функции в этих точках. Обобщенного приема исследования функции и построения её графика нет, приводится лишь схема исследования функций. Отсутствует мотивация к изучению темы.
     Система упражнений содержит задачи на отработку отдельных этапов исследования и всей схемы исследования. При решении задач рассматриваются целые рациональные, дробно-рациональные и иррациональные функции.
     В учебнике уделяется внимание вопросам поиска наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, а также рассматриваются задачи на оптимизацию геометрического характера применительно к отрезку.
     Виленкин М. Я.  и др. «Алгебра и математический анализ, 10 класс» (год)
     
     Данный учебник предназначен для учащихся  школ и классов с углубленным изучением математики, а также будет полезен всем желающим для самостоятельной более глубокой проработки курса математики 10 класса средней школы.
     Исследование функций и построение их графиков рассматривается в параграфе «Приложения производной». В данном учебнике подробно описаны этапы нахождения экстремумов, наибольших и наименьших значений функции, промежутков возрастания и убывания, промежутков выпуклости (вогнутости) функции, точек перегиба графика.
     Приводится примерный план исследования свойств функции для построения графика функции:
     •	найти область определения;
     •	исследовать на четность или нечетность;
     •	найти точки пересечения графика с осями координат;
     •	найти точки разрыва функции;
     •	найти промежутки знакопостоянства;
     •	исследовать поведение функции около точек разрыва и на бесконечности и найти её асимптоты;
     •	найти промежутки монотонности;
     •	найти точки максимума и минимума функции;
     •	исследовать график на выпуклость, найти точки перегиба;
     •	составить таблицу значений функции и её производных;
     •	построить эскиз графика.
     Присутствует система задач на нахождение экстремумов, наибольших и наименьших значений функции на отрезке, промежутков монотонности, промежутков выпуклости (вогнутости), точек перегиба.
     Результаты исследования записываются в таблицу, в которой указываются промежутки знакопостоянства функции, значения первой производной и второй производной.
     В отличие от других учебников представлена более подробная схема исследования, но при этом представлено мало упражнений на отработку плана исследования. С другими учебниками сходство в том, что нет обобщенного приема исследования функции и построение её графика, отсутствует мотивация исследования функций и построения их графиков.
     
     Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа, 10 -11 классы» (год)
     
     В данном учебнике-задачнике исследование функций изучается в 10 классе в главе под названием «Производная», после изучения тригонометрических функций, тригонометрических уравнений и преобразований тригонометрических выражений.
     Исследование функций на монотонность основывается на теоремах о возрастании и убывании функций, дается физическое толкование сформулированных теорем. В данном учебнике, в отличие от выше указанных, стационарные точки функции не являются критическими, что противоречит классическому толкованию понятия «критическая точка».
     Алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы выглядит следующим образом:
     •	найти производную;
     •	найти стационарные и критические точки;
     •	отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках;
     •	сделать выводы о монотонности функции и о её точках экстремума.
     Графики функций строятся по точкам. К особо важным точкам графика функции относят: точки пересечения графика с осями координат, точки экстремума, точки разрыва функции.
     При построении графика функции предлагают придерживаться следующей схемы исследования функции:
     •	найти область определения;
     •	исследовать функцию на четность или нечетность;
     •	найти асимптоты графика функции;
     •	найти стационарные и критические точки;
     •	найти промежутки монотонности функции.
     После всех этапов составляется таблица значений функции. Затем эти точки отмечаются на координатной плоскости и соединяются плавной линией.
     Разобраны примеры на построение графиков функции. В учебнике нет задач, показывающих необходимость изучения этой темы. Нет и обобщенного приема исследования функций и построения их графиков.
     Для закрепления навыков по исследованию функций в задачнике предложено множество упражнений на выяснение свойств функции по графику её производной. Также в задачнике присутствуют упражнения на определение монотонности, нахождение производной, отыскание точек экстремума, а также задания на исследование функций и построение их графиков.
     В данном учебнике также рассматриваются вопросы поиска наибольшего и наименьшего значений функции, а также задачи геометрического и физического содержания на оптимизацию.
     
     Никольский С.М., Потапов М.К. «Алгебра и начала анализа, 11 класс» (год) 
     В данном учебнике исследование функций и построение графиков функций рассматривается в параграфе «Применение производной» после изучения таких тем как «Функции и их графики», «Предел функции и непрерывность», «Обратные функции», «Производная». В учебнике представлен материал как для общеобразовательных классов, так и для классов с углубленным изучением математики.
     До изучения производной предлагается следующая схема исследования элементарных функций:
     •	найти область определения;
     •	найти область значений;
     •	исследовать функцию на ограниченность;
     •	найти наибольшее и наименьшее значения;
     •	исследовать на четность и периодичность;
     •	найти промежутки монотонности;
     •	найти промежутки знакопостоянства.
     Однако, следуя данной схеме можно построить лишь схематический график функции. Поэтому данный метод относится к элементарным.
     Исследование функции с применением производной дополняет приведенную схему нахождением экстремумов, промежутков выпуклости графика, точек перегиба и асимптот графика. Однако общая схема после изучения производной не представлена.
     Приведены примеры осуществления таких этапов исследования как нахождение промежутков монотонности, выпуклости и вогнутости графика функции, экстремумов функции, асимптот. По результатам осуществления этапов исследования составляется таблица с указанием промежутков монотонности, значений в точках максимума и минимума.
     В учебнике рассмотрены задачи на нахождение экстремумов, промежутков монотонности, критических точек, производных высших порядков, на определение промежутков выпуклости (вогнутости), наибольшего и наименьшего значений функции, асимптот графика функции, а также на построение графиков функции.
     Для исследования предложены следующие функции: целые рациональные, дробно-рациональные. Для выполнения отдельных этапов исследования рассматриваются: целые рациональные, дробно-рациональные, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические функции.
     Уделяется внимание вопросам поиска наибольшего и наименьшего значений функции, как на отрезке, так и на интервале, содержатся оптимизационные задачи геометрического характера.
     Таким образом, в данном учебнике довольно подробно излагаются этапы исследования, однако обобщенного приема, согласно которому проводилось бы полное исследование - нет.
     
     Рассмотрим учебно-методическую литературу по данной теме.
     В учебном пособии Байдака В. А. «Методика преподавания функций в средней школе» разъяснение идеи исследования функции начинается с рассмотрения всех ранее изученных видов функции. Рассматриваются функции, заданные графически, таблично, а также простейшие функции, заданные аналитически.
     Выделены следующие этапы исследования функции:
     •	найти область определения и область значений;
     •	найти нули функции;
     •	найти промежутки знакопостоянства функции;
     •	найти промежутки монотонности.
     Исследование функций и построение графиков простейших элементарных функций рассматривается на примере. При этом о формировании приёмов исследования функции речи не идёт.
     
     В «Пособии для учителя» автора Денищевой Л. О. при изучении применения производной к исследованию функций сформулированы следующие требования:
     1) учащиеся должны знать достаточный признак возрастания (убывания) функции, признак максимума (минимума) функции;
     2) учащиеся должны уметь исследовать функцию с помощью производной, находя её промежутки возрастания (убывания) и экстремумы, строить графики функций, находить её наибольшее и наименьшее значения.
     Предлагается схема изложения учебного материала с рекомендациями, системой задач. При изучении признаков монотонности полезно рассмотреть с учащимися геометрические иллюстрации, на которых показаны графики функций, имеющих разный характер изменения.
     Дана следующая схема исследования функции:
     •	найти область определения;
     •	исследовать на четность (нечетность);
     •	найти точки пересечения с осями координат;
     •	найти производную;
     •	найти критические точки;
     •	найти промежутки монотонности.
     Результаты исследования записываются в таблицу, в которой указано поведение функции в критических точках и на промежутках области определения. В примерах рассмотрены целые рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, тригонометрические функции.
     Учебное пособие отличается тем, что многие определения, признаки и выводы формулируются учащимися. Таким образом, в данной книге присутствуют некоторые приемы формирования умений по исследованию функций и построению их графиков.
     
     В журналах «Математика в школе» приводится множество различных статей, в которых рассматриваются отдельные этапы исследования функции. Приводятся различные методы нахождения промежутков монотонности, точек экстремума, исследование функции на периодичность, четность (нечетность) и др. Однако не приводится общего приема исследования функции, не выделяется общая схема исследования. При изучении отдельных этапов исследования рассматриваются различные функции: целые рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, тригонометрические и др.
     «Математика» - приложение к газете «Первое сентября» - содержит в некоторых статьях описание отдельных этапов исследования функции, не приводя при этом полной схемы исследования функций, соответственно не приводится и общего приема, описывающего полное исследование функций. Однако, при рассмотрении отдельных этапов описываются примеры функций различных классов. В одном из номеров подробно описано исследование функции на периодичность. В журнале нет заданий, решение которых приводило бы к необходимости исследования функций и построению их графиков.
     Анализ статей журнала «Квант» за последние 30 лет показал, что он не содержит статей, в которых бы частично или полностью рассматривалось исследование функций.
     Итак, анализ учебной и учебно-методической литературы показал, что в учебниках и популярной литературе по математике, как правило, отсутствуют задания, показывающие необходимость осуществления полного исследования функции и построения на его основе графика функции. При этом важно отметить, что ни в образовательном стандарте, ни в программе по математике, ни в рассмотренных учебниках и учебно-методических пособиях по математике не говорится о формировании у обучаемых приемов осуществления как отдельных этапов исследования функции, так и полного исследования функции и построения на его основе графика функции. И это является большим упущением, поскольку вооружение учащихся приемами учебной деятельности позволило бы им самостоятельно осваивать любой учебный материал. Кроме этого, в большинстве учебников уделяется внимание поиску наибольшего и наименьшего значений функции лишь на отрезке, а также в основном рассматриваются задачи на оптимизацию лишь геометрического характера.
     
     §3. Модульный подход в обучении математике
     Исходя из анализа учебной и учебно-методической литературы по теме исследования и учёта психолого-педагогических аспектов изучения темы «Применение производной к исследованию функций», приходим к выводу, что для успешного обучения учащихся данной теме, необходимо применить такую технологию обучения, которая бы максимально способствовала развитию самообразовательных умений учащихся, а также позволила бы дифференцированно подходить к их обучению с учётом индивидуальных особенностей учащихся и значимости математики в их будущей профессиональной деятельности.
     На наш взгляд, данным требованиям удовлетворяет технология модульного подхода в обучении.
     Модульный подход получил широкое распространение в западном мире в середине шестидесятых годов и привлекал тем, что позволял в короткий срок приобрести обучающимся качественные профессиональные умения. Изначально модульный подход разрабатывался для индивидуального обучения, но зона его применения со временем значительно расширилась. В Советском Союзе  в конце 80-х годов вопросом изучения и систематизации модульного подхода занималась П. А. Юцявичене и её ученики. Они внёсли большой вклад в создании методологии модульного образования и его внедрения в учебный процесс. 
     С точки зрения П. А. Юцявичене, модуль – это законченный блок информации, включающий в себя целевую программу действий, а также методическое руководство, обеспечивающее достижение поставленных дидактических целей. Поэтому модульное обучение создаёт наиболее благоприятные условия развития личности, обеспечивая гибкость содержания обучения, учитывая индивидуальные потребности личности, уровень её базовой подготовки, организуя учебно-познавательную деятельности по индивидуальной учебной программе.
     По мнению Т.И. Шамовой, модуль представляет собой целевой функциональный узел, объединяющий в себе учебное содержание и способы овладения им. Он включает в себя целевой план действий, банк информации и методическое руководства по достижению поставленных целей. С.И. Самыгин говорит о модуле как о логически завершенной части учебного материала.
     Исходя из всего этого можно считать, что модуль - логически завершенная часть учебного материала, включающая в себя целевой план действий, банк информации и методическое руководства по достижению поставленных целей.
     Необходимо отметить, что модульный подход к обучению стимулирует учебно-познавательную активность школьника, улучшает организацию познавательной деятельности по овладению необходимыми знаниями, умениями и навыками, поскольку ученик больше работает самостоятельно, учится правильно планировать своё рабочее время, ставить перед собой цели и успешно их достигать. При этом, ученик и учитель переходят к субъект-субъектным отношениям, а функции педагога становятся консультативно-координирующими, при этом для учеников со слабой подготовкой учитель может выступать с традиционной информационно-контролирующей функцией.
     Данный подход позволяет не только систематизировать процесс обучения и контроль получаемых знаний, но и дифференцировать учащихся по степени освоения ими программы курса. Учащийся в большей мере самостоятельно достигает поставленных перед ним целей, опираясь на методические рекомендации, сопровождающие каждый модуль. Стоит ещё раз обратить внимание, что каждый модуль может изучаться как самостоятельная учебная единица. И при изучение довольно большой темы мы получаем увеличение количества контрольных точек, что позволяет нам лучше отслеживать усвоение материала учащимися.
     Учащийся прочно и осознано усваивает только то из учебного материала, что является предметом его активной деятельности. Поэтому модульный подход нередко удачно сочетается с деятельным. При этом учитель должен помнить, что активность должна быть не эпизодичной, а системной. Продумывая модули, учитель должен чётко осознавать цель обучения, организовывать мотивацию учащихся к достижению этой цели, включать в блоки самоконтроль и самооценку – что в свою очередь обеспечивает организацию обучения как самоуправляемую деятельность.
     Также нередко модульное обучение сочетается с теорией развивающего обучения Л.С. Выгодского, где выделяют зоны ближайшего и актуального развития. И в данной системе теория развивающего обучения осуществляется с помощью дозированной помощи учителя и дифференциации содержания.
     Чёткие действия ученика по определённой логике или алгоритму, активные и самостоятельные действия, индивидуальный темп, постоянное подкрепление, которое осуществляется путем сверки хода и результатов деятельности, самоконтроля и взаимоконтроля всё это нам говорит о том, что данная технология также берёт элементы программного обучения.
     Таким образом, модульное обучение гармонично взаимодействует с другими педагогическими технологиями. Вбирая в себя прогрессивные идеи и наработки, модульная технология может выступать, как основная технология для учебного предмета, но целесообразнее включать модульное обучение в традиционную про.......................