Программный комплекс для математического моделирования эрозионного воздействия на лопатки паровой турбины

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное 
учреждение высшего образования
«Ижевский государственный технический университет
имени М.Т. Калашникова»
Факультет «Математика и естественные науки»
Кафедра «Прикладная математики и информатика»


Программный комплекс для математического моделирования эрозионного воздействия на лопатки паровой турбины

     ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
     Лист утверждения
     Листов 1
     
     
Заведующий кафедрой:
к.ф.-м.н., доцент

Айзикович А.А.
Руководитель:
к.т.н., доцент

Бендер С.А.
Нормоконтролер:
к.ф.-м.н., доцент
Быкова Т.С.



Выполнил: 
студент гр. Б08-182-1
Срещикова Е.С.


     Ижевск 2018

УТВЕРЖДЕНО








ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭРОЗИОННОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ЛОПАТКИ ПАРОВОЙ ТУРБИНЫ

     ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
     Пояснительная записка
     Листов






Ижевск 2018
Аннотация
      Работа реализации взаимодействия между программным обеспечением COMSOL Multiphysics и пакетом прикладных программ MATLAB, на основе данной математической модели паровой турбины.
      Модель эрозионного воздействия на лопатки паровой турбины создана с помощью интерактивной среды COMSOL Multiphysics. Она позволяет моделировать практически все физические процессы, решает поставленные задачи с помощью метода конечных элементов и визуализирует конечный результат в виде различных графических иллюстраций. 
      MATLAB необходим для написания скрипта, который будет непосредственно работать с математической моделью, для упрощения действий со стороны пользователя.    Система MATLAB создана для решения довольно сложных инженерных расчетов и позволяет визуализировать решение задачи в виде 2D, 3D графика. 	
Оглавление
Введение	5
Постановка задачи	6
1.	Теоретические сведения	7
1.1.	COMSOL Multiphysics	7
Визуализация результатов	8
1.2.	MATLAB	10
1.3.	GNU Octave	11
1.4.	Связь Comsol с MATLAB	11
2.	Моделирование задач в MATLAB. Объектная модель COMSOL	12
Распределение вероятностей радиусов капель	15
Заключение	20
Список литературы	21

Введение
      В настоящее время проблема эрозии лопаток паровой турбины широко распространена. 
      данной выпускной квалифицированной работе
       описан математический пакет COMSOL Multiphysics, пакет прикладных программ MATLAB и математическое программное обеспечение GNU Octave. 

Постановка задачи 
      Дана готовая модель гидрогазодинамики, разработанная в пакете COMSOL Multiphysics, содержащая расчет потока пара через паровую турбину. Заданы радиусы капель воды и их вероятность появления в паровой турбине. Необходимо организовать взаимодействие пакетов COMSOL Multiphysics и MATLAB с целью расчета эрозионного воздействие на лопасти турбины для капель с разными массами. 
 Теоретические сведения
      Объектом моделирования в выпускной квалификационной работе  является паровая турбина  —  тепловой двигатель, в котором энергия пара преобразуется в механическую работу.
      В лопаточном аппарате паровой турбины потенциальная энергия сжатого и нагретого водяного пара преобразуется в кинетическую, которая в свою очередь преобразуется в механическую работу — вращение вала турбины. 
      Отработавший пар с пониженным давлением и температурой попадает из турбины в конденсатор. Там он встречает на пути систему различных трубок, по которым непрерывно прокачивается охлаждающая вода. Соприкасаясь с холодной поверхностью трубкой конденсатора, пар конденсируется, превращаясь тем самым, в воду (конденсат). 
      Так как кинетическая энергия тела пропорциональна квадрату скорости его движения, то даже тела с очень малой массой, но движущиеся с большими скоростями могут обладать большой кинетической энергией. Из-за этого происходит эрозия лопаток паровой турбины. 
      Сечение паровой турбины будем рассматривать в COMSOL Multiphysics.
 COMSOL Multiphysics
      Программа COMSOL Multiphysics 3.5a — универсальная программная среда, предназначенная для численного решения задач различных физических процессов. COMSOL  основан на методе конечных элементов (МКЭ), с помощью которого проводятся вычисления. 
Общие принципы работы и основные прикладные режимы
      Система COMSOL Multiphysics позволяет решать задачи из разных областей физики и инженерной техники. Каждый класс задач в системе имеет свой прикладной режим. В каждом прикладном режиме задана соответствующая система уравнений, а формы для постановки граничных и начальных условий соответствуют потребностям задачи. 
      Основные прикладные режимы:
 Fluid Dynamics — решает задачи движения сплошных сред. Режим основан на уравнениях гидрогазодинамики (уравнения непрерывности и Навье – Стокса).
 Heat Transfer — задачи переноса тепла.
 Structural Mechanics — строительная механика. Решаются задачи теории упругости.
Рабочая среда программы
      После того, как задан прикладной режим, появляется область, где будут прорисовываться геометрические задачи. Для удобства процесса моделирования, в системе существует несколько режимов, в которых программная среда может находиться. 
 Режим рисования.
 Задания системы уравнения.
 Задания граничных условий.
 Задания точечных условий для 2D и 3D.
 Режим генерации сетки.
 Режим визуализации результатов.
   Каждая замкнутая и незамкнутая область, добавленная на поле, считается  геометрическим объектом. 
   Режим визуализации результатов работает только после того, как задача решена. 
Визуализация результатов
      Математические модели можно рисовать в 2D и 3D пространстве. В случае двумерной геометрии, график рисуется на координатной оси OXY. После того как задача решена, COMSOL выводит на экран модель с картой цветов — значения располагаются по возрастанию от синего к красному. 
      При выборе 3D пространства график рисуется на координатной оси ОХYZ, и его можно рассмотреть с разных сторон. При решении задачи COMSOL так же выводит на экран модель с картой цветов. 
      Полученный график можно посмотреть в разных видах, выбирая различные типы графиков. Для того чтобы перейти в окно с опциями графика нужно выбрать Postprocessing ? Plot parameters. 
      Главная вкладка General содержит типы графиков, которые могут быть выведены на экран. В остальных вкладках можно настроить параметры для каждого конкретного типа графика. 
      Рассмотрим основные типы графиков:
	 Surface — система строит график, представляющий собой поверхность, на которой разным значениям будут соответствовать разные цвета. Можно получить график в виде объемной фигуры. 

Рис. 1. Визуализация результатов по типу графика Surface
      Arrow — выводит векторное поле (потока тепла или скоростей) в виде стрелочек. С помощью длины стрелок и их направления можно сделать вывод о верном или неверном построении модели. 
      
Рис. 2. Визуализация результатов по типу графика Arrow

Модуль Particle Tracing
      Модуль Particle Tracing (Трассировка частиц) необходим для расчета траектории частиц в жидкости или в электромагнитном поле, включая взаимодействие частиц между собой, взаимодействие частиц с текущей средой и взаимодействие частиц с полем. Модуль Particle Tracing легко интегрируется с любым специализированным модулем для расчета полей, управляющих движением частиц. Частицы могут иметь конечную массу или нулевую массу. Движение управляется законами классической механики (описываемой законами Ньютона, лагранжианом или гамильтонианом). Граничные условия могут налагаться на движения частиц на стенках системы, они позволяют частицам «заморживаться» на стенке, прилипать, отскакивать, исчезать или диффузно отражаться от нее. Имеется широкий выбор заранее заданных сил для конкретного описания взаимодействия частиц и полей. Кроме того, можно добавлять произвольные силы, определяемые подходящим выражением. 
Основные возможности COMSOL Multiphysics:
 Общие формулировки для быстрого моделирования произвольных систем частичных дифференциальных уравнений.
 Расширенные библиотеки моделей (более 100 готовых примеров).
 Параметрический решатель для работы с нелинейными моделями.
 Интеграция с MATLAB.
 MATLAB
      MATLAB (сокращение от англ. «Matrix Laboratory») — пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноимённый язык программирования, используемый в этом пакете. Пакет работает на большинстве современных операционных систем, включая Linux, Mac OS и Windows.
      MATLAB — это коммерческая и достаточно дорогая программа, которую не каждый может себе позволить. MATLAB — это язык программирования высокого уровня с поддержкой 2D / 3D графики, разнообразными математическими функциями, численных расчетов и решения задач. Внешние интерфейсы позволяют ему интегрироваться со сторонними приложениями и языками программирования. 
      В профессиональном сообществе программистов, инженеров и математиков появилась потребность создать свободно — распространяемую замену MATLAB. В 1990-х появляется математический пакет GNU Octave и вступает в конкуренцию с лидером вычислительного программирования.
 GNU Octave 
      GNU Octave — свободная система для математических вычислений, использующая совместимый с MATLAB язык высокого уровня.
      Octave представляет интерактивный командный интерфейс для решения линейных и нелинейных математических задач, а также проведения других численных экспериментов. Язык Octave оперирует арифметикой вещественных и комплексных скаляров и матриц, имеет расширения для решения линейных алгебраических задач, нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений, работы с полиномами, решения различных дифференциальных уравнений и др. Этот список можно легко расширить, используя язык Octave (или используя динамически загружаемые модули, созданные на языках C, C++, Фортран и др.).
 Связь Comsol с MATLAB
      Одной из наиболее сильных сторон системы COMSOL является возможность использовать ее совместно с пакетом MATLAB. При совместной работе этих двух пакетов возможно экспортировать данные из одного пакета в другой, а также управлять постановкой и решением задачи в COMSOL из MATLAB. Интеграция с MATLAB существенно расширяет возможности пакета. 
Запуск совместной работы с MATLAB
      Для установки соединения с MATLAB нужно выбрать пункт меню File ? Client/Server/MATLAB ? Connect to MATLAB, или загрузить изначально COMSOL with MATLAB. При этом сразу загружается MATLAB и обе системы доступны для совместной работы.
 Моделирование задач в MATLAB. Объектная модель COMSOL
      Любую задачу, решаемую и поставленную в COMSOL можно решить написанием и выполнением скрипта в MATLAB. Скрипт работает с теми же объектами и функциями, что и графическая среда, и выполняет те же самые действия. 
      Основной объект, с которым работает система, это объект модели, чаще всего он обозначается как fem. У объекта модели есть следующие свойства:
 dim — размерность модели;
 geom — геометрия модели;
 equ — вид уравнения (коэффициенты);
 bnd — граничные условия;
 edg — рёберные условия (для трехмерных моделей);
 pnt — точечные условия;
 sshape — конечные элементы;
 form — форма задания уравнения (строгая в явном виде, или слабая в интегральном);
 const — константы;
 expr — регулярные выражения;
 ode — дополнительные ОДУ и скалярные уравнения, входящие в модель;
 mesh — сетка.
      Обращение к свойству объекта происходит через точку. Так например, задать геометрию модели в виде окружности в точке (0,0) с радиусом 1, можно инструкцией: 
» fem.geom = circ2 (0,0,1).
      Свойства модели также являются объектами и могут иметь свои свойства. Например, для свойства вида уравнения equ есть свойства, задающие соответствующие коэффициенты в уравнении. 
» fem.equ.f = 1.
      Инициализировать сетку на области, определенной в поле fem.geom, можно функцией meshinit.
» fem.mesh = meshinit (fem).
      Сделать сетку более плотной можно с помощью функции meshextend.
» fem.xmesh = meshextend (fem).
      Запустить решение и вывести его на экран:
» fem.sol = femlin (fem);
» postplot (fem, ‘tridata’,’u’,’triz’,’u’);
Импорт и экспорт модели
      Когда модель в MATLAB создана, ее можно импортировать в главную программу и работать с ней там. Так же, наоборот, любую созданную в графическом интерфейсе COMSOL Multiphysics модель можно экспортировать в MATLAB для детального рассмотрения. 
Выбор решателя
      В Matlab используются следующие решатели:
 femlin — линейный решатель;
 femnlin — нелинейный решатель;
 femtime — нестационарный решатель;
 femig — решает задачу на собственные значения.
      Выбор решателя производиться при запуске решения задачи:
» fem.sol = femlin (fem);
	Структура sol содержит решение задачи. Она состоит из нескольких матриц, содержащих значение для определенных в модели искомых величин и их  производных. Если одна из искомых величин в задаче обозначается, как u, то ее значения хранятся в матрице fem.sol.u. В матрицах fem.sol.ux, fem.sol.uy хранятся производные величины u по координатам, а в случае нестационарной задачи, fem.sol.ut содержит производную по времени. 
	Если решатели femlin и femnlin используются, как параметрические решатели, то структура будет содержать поле fem.sol.plist, где будут храниться соответствующие значения параметра, а разные колонки матрицы fem.sol.u будут решениями задачи при различных значениях параметра.  

Визуализация и обработка данных
      В MATLAB полученные данные можно использовать не только для вывода на экран, но и для расширения следующих задач:
 posteval, postinterp — возврат значения выражений в выбранных точках;
      Синтаксис:
[v1, v2, ..., vn] = posteval (fem, e1, e2, ..., en, ключевые_параметры)
      [uu, ux, uy] = posteval (fem, 'u', 'ux', 'uy');
uu = uu{1};
ux = ux{1};
uy = uy{1};
      Описание:
Функция posteval возвращает элементные распределения v1, v2, ..., vn выражений e1, e2, ..., en, вычисляемых в зонах, границах, рёбрах или вершинах, где e1, e2, ..., en —  строки символов, определяющие выражения, которые нужно вычислить в заданных точках конечных элементов. 
      Синтаксис:
[v1, v2, ..., vn, pe] = postinterp (fem, e1, e2, ..., en, xx, ключевые_параметры)
[is, pe] = postinterp (fem, xx, ключевые_параметры)
[v1, v2, ..., vn] = postinterp (fem, e1, e2, ..., en, is, ключевые_параметры)
      Описание:
      Оператор [v1, v2, ..., vn, pe] = postinterp (fem, e1 e2, ..., en, xx, ключевые_параметры) возвращает значения v1,v2,...,vn выражений e1,e2,...,en в точках xx.
      Оператор [is, pe] = postinterp (fem, xx, ключевые_параметры) вычисляет структурную переменную интерполяции is, которая содержит информацию о том, где (в каких зонах) расположены точки xx.
      postint — интегрирование выражения;
      Синтаксис:
v = postint (fem, e, ключевые_параметры)
      Описание.
Функция postint возвращает интеграл от выражения e по области, описанной ключевыми параметрами. Ключевые параметры записываются парами 'PropertyName', PropertyValue, где PropertyName — имя ключевого параметра, PropertyValue — его значение.
      posplot, postcrossplot — визуализация переменных и сложных выражений;
      postrrow, postarrowbnd, postcont, postflot, postiso, postlin, postslice, postsurf, posttet – различные типы графиков, аналоги функции posplot;
      postmovie — анимация (для нестационарных задач).
Распределение вероятностей радиусов капель
      В рассмотренном источнике рассмотрены четыре случая при различных степенях сухости пара. 
      При этом сделан вывод о том что распределение вероятностей радиусов капель корректно описываются законом гамма - распределения. При заданных параметрах ? и ? плотность распределения вероятности радиусов имеет общий вид:
f(r)=(?^??r^(?-1))/Г(?)  e^(-?r).
      Для  каждого из рассмотренных случаев была найдена конкретная форма распределение частиц задается как функция вероятности ее появления в зависимости от радиуса. На следующих рисунках представлены распределения вероятности появления капли при рассмотренных степенях сухости пара.

Рис. 3. Распределение при степени сухости пара 0,966

Рис. 4. Распределение при степени сухости пара 0,946

Рис. 5. Распределение степени сухости пара при 0,95

Рис.6. Распределение степени сухости пара при0,905

Таблица 1
Степень сухости пара
Радиус капли
Плотность распределения
0,966
0,0952
2,8809

0,1904
2,3095

0,2951
1,7619

0,3808
1,2857

0,4665
0,8571

0,5712
0,5238

0,6664
0,3095

0,7521
0,1428

0,8473
0,0714

0,9425
0,0476

1,0377
0,0238

0,9467
0,0952
1,3751

0,2381
1,0938

0,3524
0,8125

0,4762
0,6251

0,6
0,5

0,7143
0,4688

0,8381
0,4688

0,9523
0,5

1,0762
0,4688

1,1905
0,4219

1,3143
0,3594

1,4286
0,2813

1,5143
0,2188

1,5905
0,1719

1,6286
0,1563

1,7143
0,1406

1,8857
0,0938

1,9524
0,0625

0,95
0,1523
1,3223

0,2951
0,9032

0,4379
0,5967

0,5093
0,4677

0,7711
0,4999

0,8663
0,6129

1,0091
0,6452

1,2091
0,5484

1,3899
0,3709

1,5232
0,2097

1,6184
0,0807

1,7993
0,0323

0,905
0,4662
0,1167

0,6105
0,4334

0,7548
0,8333

0,9102
1,2

1,0434
1,3167

1,1988
1,1333

1,3653
0,7667

1,4652
0,4

1,6095
0,1667

1,7871
0,0667

1,9536
0,0667

Заключение
      В ходе преддипломной практике были изучены математический пакет COMSOL Multiphisics, пакет прикладных программ MATLAB. Было изучено взаимодействие (основные команды) между средой COMSOL Multiphisics 3.5.а и программой MATLAB R2010a. А так же был проведен расчет радиуса капель и вероятность их появления в паровой турбине при определенной сухости пара. 
Список литературы

 Красников Г.Е., Нагорнов О.В., Старостин Н.В. Моделирование физических процессов с использованием пакета Comsol Multiphysics: Учебное пособие.  —  М.:НИЯУ МИФИ, 2012.  — 184 с.
 MATLAB [Электронный ресурс]: Свободная энциклопедия Википедия — Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/MATLAB (дата обращения 08.05.18).
 GNU Octave [Электронный ресурс]: Свободная энциклопедия Википедия — Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave (дата обращения 08.05.18).
 MATLAB Programming [Электронный ресурс]: Open books for an open world.Wikibooks — Режим доступа: https://en.wikibooks.org/wiki/MATLAB_Programming/Differences_between_Octave_and_MATLAB  (дата обращения 16.05.18).
 Alexandre Liberson, Stephen H. Helser, «Water droplet size measurements in operating steam turbines», 1998.  — 16 с.
 Описание функций системы FEMLAB [Электронный ресурс]: Материалы по продуктам MATLAB & Toolboxes — Режим доступа: http://matlab.exponenta.ru/femlab/book4/default.php (дата обращения 20.05.2018).
 Трассировка частиц [Электронный ресурс]: — COMSOL Режим доступа: https://www.comsol.ru (дата обращения 20.05.2018).








	






Программный комплекс для математического моделирования эрозионного воздействия на лопатки паровой турбины  


7


16


.......................