Основная теорема о симметрических многочленах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «ТУВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ



КУРСОВАЯ РАБОТА
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНАХ


                                                         Студента (ки) 3 курса 1 группы 
                                                         физико-математического факультета
                                                         специальности «Математика, информатика»
                                                         Иргит Эреге Шолбановна
                                                                  (фамилия, имя, отчество)
                   _____________________
         подпись студента

                                                                  Научный руководитель: 
                                                         Троякова Г.А. к.ф-м.н., доцент
                                                                        (фамилия, и. о., должность, уч. степень и звание)
                                                                        ______________________________
                                                                        подпись


Работа защищена с оценкой «_______»
Подпись руководителя
«___»___________2017 г.

Кызыл 2017
Оглавление

Введение	3
Глава 1. Симметрические многочлены и их виды	5
1.1. Многочлены. Теорема Виета	5
1.2. Симметрические многочлены и теоремы	12
Заключение	20
Список используемой литературы	21


Введение

     Актуальность исследования. Теория многочленов - важный раздел алгебры. Большое значение в теории многочленов от нескольких переменных имеют симметрические многочлены - частный случай симметрических функций. С их помощью можно составлять уравнения по их корням, освобождаться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби, решать некоторые системы нелинейных уравнений от нескольких переменных, решать уравнения высших степеней.
     Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности.
     Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел.
     Если рассматривать корни многочленов: f(x)=xn+a1xn-1+…+an с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами.
     Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел.
     Целью курсовой работы является изучение основных теорий симметрических многочленов.
     Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд следующих задач:
     дать определение термина многочлен
     определить основные теоремы симметрических многочленов
     самостоятельно подобрать и решить задачи по исследованной теме.
     Объектом данной курсовой работы является симметрия в алгебре.
     Предметом работы является симметрические многочлены.
     Новизна работы. Задачи на симметричные многочлены часто встречаются на олимпиадах и различных экзаменах. Решение многих задач элементарной алгебры значительно облегчается, если использовать симметричность условия задачи. В этой работе показано, как использовать симметрию при решении систем уравнений, иррациональных уравнений, неравенств и т. д. Все эти задачи решаются единообразным методом, основанным на теоремах симметрических многочленов.
     Не всем известно, какие замены нужно делать, чтобы свести эти задачи к более простым. Работа посвящена исследованию этого вопроса, мы не только указываем эти замены, но и доказываем теорему о том, что они всегда приводит к результату.
     Гипотеза работы Нужно изучить научную и методическую литературу, подобрать и решить задачи по данной теме, включая олимпиадные.
     Структура работы: в первой главе своей работы я рассматриваю основное понятие многочлена, операции над ними, ввожу определение и основные понятия схемы Горнера, рассматриваю кратные и рациональные корни многочлена. Во второй главе решаю задачи.
     

Глава 1. Симметрические многочлены и их виды

1.1. Многочлены. Теорема Виета

     Многочлен f(x,y)называют симметрическим, если он не изменяется при замене x на  y,а y на x.
     Например, многочлен x^2 y +xy^2  – симметрический, а многочлен x^3-3y^2  таковым не является, т.к. при замене x на y, а y на x получается многочлен y^3-3x^2, не совпадающий с первоначальным.[1.C.52]
     Симметрическими являются также многочлены x+y и xy, называющиеся элементарными симметрическими многочленами от x и y, для которых используют специальные обозначения:
     ?_1=x+y, ? ??_2=xy
     Кроме обозначения ?_1 и ? ??_2, часто встречаются степенные суммы, т.е. многочлены x^2+y^2, x^3+y^3,…, x^n+y^n,… (многочлен x^n+y^n обозначают через s_n). Степенные суммы имеют обозначения:
s_1=x+y,
s_2=x^2+y^2,
s_3=x^3+y^3,
s_4=x^4+y^4,
s_5=x^5+y^5,
……….
s_n=x^n+y^n.
     Существует простой приём, который позволяет получать симметрические многочлены. Возьмём любой многочлен от ?_1  и ?_2 их выражения через x и y. Ясно, что при этом мы получим симметрический многочлен от x и y. Рассмотрим пример, из многочлена ?_1^3-?_1 ?_2, получаем симметрический многочлен 
(x+y)^3-(x+y)xy=x^3+2x^2 y+2xy^2+y^3.
     То есть можно сделать вывод, что если взять любой многочлен от ?_1  и ?_2 и подставить в него вместо ?_1  и ?_2 их выражения ?_1=x+y, ? ??_2=xy, то получится симметрический многочлен от x и y.
Степенные суммы с двумя неизвестными можно выразить через ?_1  и ?_2:
s_1=x+y=?_1,
s_2=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=?_1^2-2?_2,
s_3=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2 )=
=(x+y)((x+y)^2-3xy)=?_1 (?_1^2-3?_2),
s_4=x^4+y^4=(x^2+y^2 )^2-2x^2 y^2=(?_1^2-2?_2 )^2-2?_2^2,
s_5=x^5+y^5=?_1^5-5?_1^3 ?_2+5??_1 ??_2^2
     Теорема. Любой симметрический многочлен от x и y можно представить в виде многочлена от ?_1=x+y, ? ??_2=xy.
     Доказательство: Сначала докажем теорему не для любых симметрических многочленов, а лишь для степенных сумм. Иными словами, мы установим, что каждую степенную сумму s_n=x^n+y^n можно представить  в  виде многочлена от ?_1 и ?_2. 
С этой целью умножим обе части равенства s_(k-1)=x^(k-1)+y^(k-1) на ?_1=x+y. 
Получим: 
??_1 s?_(k-1)=(x+y)?(x?^(k-1)+y^(k-1))=x^k+xy^(k-1)+x^(k-1) y+y^k= 
?=x?^k+y^k+xy(x^(k-2)+y^(k-2) )=s_k+?_k+?_2 s_(k-2)
Таким образом, 
s_k=??_1 s?_(k-1)-?_2 s_(k-2) (1)
Докажем равенство (1) методом математической индукции.
 При k=1, s_1=x+y=?_1 формула верна. 
 Предположим, что она верна при k=n-1 т.е. s_n выражается через  ?_1 и  ?_2, проверим выполнимость формулы при k=n, s_n=?_1 s_(n-1)-?_2 s_(n-2), по предположению s_(n-1),s_(n-2) выражаются через ?_1 и  ?_2, следовательно и s_n  выражаются через ?_1 и  ?_2. 
Условия теоремы математической  индукции выполняются, значит
      s_k=??_1 s?_(k-1)-?_2 s_(k-2) верна для любого k.
Любой симметрический многочлен от х и y содержит (после приведения подобных членов) слагаемые двух видов.
Во-первых, могут встречаться одночлены, в которые х и у входят в одинаковых степенях, т.е. одночлены вида ахkуk. Ясно, что
ax^k y^k=a(xy)^k=a?_2^k
     т. е. одночлены этого вида непосредственно выражаются через ?_2.
     Во-вторых, могут встретиться одночлены, имеющие  разные степени относительно х и у, т. е, одночлены вида bхkуl, где kl. Ясно, что вместе с одночленом bхkуl  симметрический многочлен содержит также и одночлен bхlуk получаемый из bхkуl  перестановкой букв х и у. Другими словами, в симметрический многочлен входит двучлен вида b(хkуl + хlуk)
Предполагая для определенности l?k, можно переписать этот двучлен следующим образом:
b(x^k ? y?^l+x^l y^k )=bx^k y^k (y^(l-k)+x^(l-k) )=b?_2^k s_(l-k)
     А т. к. по доказанному степенная сумма sl-k  представляется в виде многочлена от ?_1 и  ?_2,, то и рассматриваемый двучлен выражается через  ?_1 и  ?_2.
     Итак, каждый симметрический многочлен представляется в виде суммы одночлена вида ахkуk и двучлена вида  , каждый из которых выражается через ?_1 и  ?_2, Следовательно, любой симметрический многочлен представляется в виде многочлена от ?_1 и  ?_2,. Теорема полностью доказана.[2.C,78]
     Вообще, любую степенную сумму s_k для двух неизвестных  можно выразить через ?1 и ?2 по формуле:
s_k=?_1 s_(k-1)-?_2 s_(k-2)
     С ее помощью можно последовательно вычислять значения степенных сумм. 
     Понятие корня является центральным понятием в теории многочленов. Исторически теория многочленов и была создана для решения разнообразных вопросов, связанных с решением алгебраических уравнений произвольной степени, т.е. с нахождением корней многочленов. Более того, именно в результате попыток отыскания общей формулы для решения кубических уравнений математиками были открыты комплексные числа.
     Основная теорема алгебры многочленов и её следствия. Теория многочленов с комплексными коэффициентами оказывается более стройной и более простой, чем теория многочленов с действительными коэффициентами, и объясняется это именно основной теоремой, справедливой для многочленов с комплексными коэффициентами. Всякий многочлен степени n 1 с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один комплексный корень.[3.C.149]
     Эта теорема впервые строго была доказана немецким математиком К.Ф. Гауссом и часто называется, поэтому теоремой Гаусса. Для доказательства этой теоремы требуются утверждения, далеко выходящие за рамки наших возможностей, и я поэтому приводить его не буду.
     1. Всякий многочлен степени n 1 с комплексными коэффициентами раскладывается в произведение n линейных множителей.
     Это утверждение легко доказывается по индукции. При n = 1 сам многочлен является линейным. Предположим, что утверждение уже доказано для многочленов степени n, и пусть f(х) - многочлен степени n + 1. тогда f(x) имеет некоторый корень а1 С, и по теореме Безу f(x) представляется в виде f(x) = (x - a1) f1(x).[4. C.34]
     Но многочлен f1(x) имеет степень n, и по предположению индукции раскладывается в произведение n линейных множителей. Но тогда f(x) является произведением n + 1 линейного множителя, что и требовалось доказать.
     2. Всякий многочлен степени n 1 с комплексными коэффициентами имеет n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.
     Действительно, так как многочлен степени n 1 раскладывается в произведение n линейных множителей:
     f(x) = a0(х - а1)(x - a2) … (x - an).
     Ясно при этом, что а0, аn - это корни многочлена f(x). Объединяя в последнем равенстве равные сомножители в степени, f(x) можно представить в виде
     f(x) = a0(x - 1)k1(x -2)k2 … (x - s)ks,
     где корни 1,s уже все различны, а показатели k1, …, ks - это кратности соответствующих корней.
     Поскольку степени многочленов в левой и правой частях этого равенства, естественно, одинаковы, то
     n = k1 + k2 + … + ks,
     что и требовалось доказать.
     3. Многочлен f(x) делится на многочлен g(x) тогда и только тогда, когда всякий корень f(x) является корнем g(x) и кратность его в g(x) не больше кратности в f(x).
     Докажем это утверждение, используя разложение многочленов f(x) и g(x) на линейные множители.
     Отметим, что для многочленов с действительными коэффициентами соответствующее утверждение неверно; например, многочлен х + 1 не делится на многочлен х3 + х2 + х +1 = (х +1)(х2 + 1), хотя оба они имеют ровно один корень - 1. Основная теорема алгебры многочленов позволяет для многочленов любой степени сформулировать утверждение, которое при n = 2 доказывается в школьном курсе под названием теорема Виета. Это утверждение и в общем случае называется теоремой Виета.
     4. Пусть
     f(x) = a0xn + … + an-1x + an (а0?0) -
     многочлен с комплексными коэффициентами. Тогда для любого k = 1,...,n сумма всевозможных произведений корней многочлена f(x), состоящих из k сомножителей, равна (-1)kak/a0.
     В частности, сумма всех корней многочлена f(x) равна -(а1/а0), сумма попарных произведений равна а2/а0, произведение всех корней равно (-1)nan/a0.
     Доказательство теоремы Виета для произвольного k довольно громоздко, и мы ограничимся только крайними случаями: k = 1 и k = n. Представим f(x) в виде:
     f(x) = a0(х - а1)(x - a2) … (x - an)
     и тогда после раскрытия скобок в правой части будем иметь:
     a0xn + … + an-1x + an =
     =а0хn - a0(a1 + ... +an)xn-1+ ... + (-1)na0a1a2 ... an.
     Но, как видно выше, если два многочлена равны, то равны и коэффициенты при одинаковых степенях х. Поэтому
     a0(a1 + ... +an)=а1,
     (-1)na0a1a2 ... an = аn ,
     откуда и следует требуемое равенство.
     Следующее утверждение является одним из показательных примеров применения комплексных чисел к задачам «чисто действительными», не имеющим в своей постановке к комплексным числам никакого отношения.
     5. Всякий многочлен степени n 1 c действительными коэффициентами раскладывается в произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов с отрицательными дискриминантами, имеющими действительные коэффициенты.
     Это утверждение докажу индукцией по степени n. Для многочленов степени 1 и 2 утверждение верно; предположим, что оно справедливо для любых многочленов степени  n, и пусть f(x) имеет степень n + 1.
     Многочлен f(х) имеет комплексный корень а. По теореме Безу
     f(x) = (x - a) g(x), [5.C.36]
     И если число, а действительное, то g(x) - многочлен с действительными коэффициентами. Тогда по предположению индукции g(x) раскладывается в произведение требуемого вида. Но тогда в силу (1.3) такое разложение существует и для многочлена f(x).
     Пусть теперь а - число комплексное, т.е. а ? . Вспомним следствие из теоремы о свойствах сопряженных чисел; согласно этому число также является корнем многочлена f(x). Тогда из (1.3) при х = получаем, что
     = (1.4)
     Поскольку и - числа действительные, то трехчлен имеет действительные коэффициенты (и, очевидно, отрицательный дискриминант), так что и многочлен h(x) имеет действительные коэффициенты как частное двух многочленов с действительными коэффициентами.
     Но многочлен h(x) имеет степень меньше n, так что к нему применимо предположение индукции. После этого требуемое утверждение для многочлена f(x) вытекает из равенства [6.C.198].
     Теорема доказана. Если старший коэффициент а0 многочлена f(х) отличен от 1, то для применения формул Виета необходимо сначала разделить все коэффициенты на а0, что не влияет на корни многочлена.
     Таким образом, в этом случае формулы Виета дают выражения для отношений всех коэффициентов к старшему.


1.2. Симметрические многочлены и теоремы

     Среди многочленов от нескольких неизвестных выделяются те, которые не меняются ни при какой перестановке неизвестных. В такие многочлены все неизвестные входят, следовательно, вполне симметричным образом, и поэтому эти многочлены называются симметрическими многочленами (или симметрическими функциями). Простейшими примерами будут: сумма всех неизвестных x1+ х2 + ... + хn ,сумма квадратов неизвестных х12 + х22 + ... + хn2, произведение неизвестных х1х2...хn и т.д. Сумма, разность и произведение двух симметрических многочленов сами будут симметрическими. Следующие n симметрических многочленов от n неизвестных называются элементарными симметрическими многочленами.
     Эти многочлены, симметричность которых очевидна, играют в теории симметрических многочленов очень большую роль. Они подсказаны формулами Виета, и поэтому можно сказать, что коэффициенты многочлена от одного неизвестного, имеющего старшим коэффициентом единицу, будут, с точностью до знака, элементарными симметрическими многочленами от его корней.
     Симметрическим многочленом будет всякая целая положительная степень любого из элементарных симметрических многочленов, а также произведение таких степеней и всякая сумма указанных произведений. Иными словами, всякий многочлен от элементарных симметрических многочленов 1,2, n , рассматриваемый как многочлен от неизвестных х1,х2,хn, будет симметрическим. [7.C.168]Так, положим n = 3 и возьмем многочлен 12 + 23. Заменяя 1, 2 и 3 их выражениями, мы получим:
     12 + 23 = x12x2 + x12x3 + x1x22 + x22x3 + x1x32 + x2x32 + 5x1x2x3;
     справа стоит симметрический многочлен от х1, х2, х3.
     Обращением этого результата является следующая основная теорема о симметрических многочленах:
     Всякий симметрический многочлен от неизвестных х1, х2, хn, является многочленом от элементарных симметрических многочленов 1,2, … , n[8.C. 38]]
     Доказательство
     Упорядочим данный симметрический многочлен f(x1, x2, xn) лексикографически (как в словаре), т.е. таким образом, чтобы слагаемое х1 ... хnn предшествовало слагаемому х1'... хnn в том случае, если первая ненулевая разность i – iполож ительна. Пусть в его лексикографической записи будет член
     а0х1к1х2к2 … хnkn. (2.2)
     Показатели при неизвестных в этом члене должны удовлетворять неравенствам
     k1 k2 … kn (2.3)
     Действительно, пусть при некотором i будет ki ki+1. Многочлен f(x1, x2, … , xn), будучи симметрическим, должен содержать член
     a0x1k1x2k2 … xiKi+1xi+1ki … xnkn, (2.4)
     получающийся из члена (2.2) транспозицией неизвестных хi и хi+1.Это приводит нас к противоречию, так как член (2.4) в смысле лексикографического расположения выше члена (2.2): показатели при х1, х2, хi-1 в обоих членах совпадают, но показатель при хi в члене (2.4) больше, чем в члене (2.2).
     Возьмем теперь следующее произведение элементарных симметрических многочленов (ввиду неравенств (2.3) все показатели будут неотрицательными):
     1 = a01k1-k22k2-k3 … n-1Kn-1-KnnKn. (2.9)
     Это будет симметрический многочлен от неизвестных х1, х2, ... , хn , причем его высший член равен члену (2.2). Действительно, высшие члены многочленов 1,2, 3, … , n равны соответственно x1, x1x2 , x1x2x3, x1x2 … xn , а так как высший член произведения равен произведению высших членов сомножителей, то высшим членом многочлена 1 будет
     a0x1k1-k2(x1x2)k1-k3(x1x2x3)k3-k4…(x1x2…xn-1)Kn-1-Kn(x1x2…xn)Kn = aox1k1x2k2…xnKn .
     Отсюда следует, что при вычитании 1 из f высшие члены этих многочленов взаимно уничтожатся, т.е. высший член симметрического многочлена f-1 = f1будет ниже члена (2.2), высшего в многочлене f. Повторяя для многочлена fi этот же прием, мы придем к равенству
     f1 = 2+f2
     где 2 есть произведение степеней элементарных симметрических многочленов, а f2 - симметрический многочлен , высший член которого ниже, чем высший член в f1. Отсюда вытекает равенство
     f = 1+2+f2
     Продолжая этот процесс, мы для некоторого s получим fs = 0 и поэтому придем к выражению для f в виде многочлена от 1,2? n:
     s
     f(x1,x2, xn) = I = (1,2 ,n ) .
     I=1
     В самом деле, если бы этот процесс был бесконечным, то мы получили бы бесконечную последовательность симметрических многочленов
     f1,f2,fs , (2.10) причем высший член каждого из них был бы ниже, чем высшие члены предшествующих многочленов, и тем более ниже, чем (2.2). Однако, если bx1l1x2l2…xnln (2.11) есть высший член многочлена fs то из симметричности этого многочлена следуют неравенства l1 l2 … ln , (2.12) подобные неравенствам (2.3). С другой стороны, так как член (2.2) выше члена (2.11), то k1 l1 (2.13)
     Легко заметить, что системы целых неотрицательных чисел l1,l2, … ,ln удовлетворяющих неравенствам (2.12) и (2.13), можно выбрать лишь конечным числом способов.
     Действительно, если даже отказаться от требования (2.12) и лишь предполагать, что все li будет возможен лишь (k1 + 1)n способами. Отсюда следует, что последовательность многочленов (2.10) со строго понижающимися высшими членами не может быть бесконечной . Теорема доказана.
     Рассмотрим некоторые возможные применения этой теоремы.
     Метод решения симметрических систем состоит в представлении симметрических многочленов через многочлены от основных симметрических многочленов.
     x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy ,
     x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy (x + y),
     x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2 (xy + yz +zx).
     Возьмем кольцо многочленов над бесконечным целостным кольцом коэффициентов А. Поставим в соответствие каждой перестановке автоморфизм (Объекты, между которыми существует изоморфизм, являются в определённом смысле «одинаково устроенными») переводящий произвольный многочлен в многочлен:
     Многочлен называется симметрическим, если для всех
     Как и для функций вводятся элементарные симметрические многочлены:
     Следовало бы рассмотреть многочлен над от новой переменной Y и заметить что - симметричный многочлен, поскольку левая часть тождества не меняется при любых перестановках линейных множителей[9.C.49]
     Так как - автоморфизм кольца то любые линейные комбинации симметрических многочленов и их произведения будут снова симметрическими многочленами. Это означает, что множество всех симметрических многочленов образует кольцо, являющиеся под кольцом кольца.
     Основная теорема о симметрических многочленах. Наиболее общим способом получения симметрических многочленов является следующий: нужно взять произвольный многочлен и подставить вместо соответственно получившийся в результате многочлен будет так же симметрическим.
     Рассмотрим в кольце многочлен, который можно представить в виде определителя Вундермана.
     Так как определитель является кососимметричной функцией своих столбцов, то - знак перестановки. Но в таком случае - симметрический многочлен и по основной теореме его можно выразить в виде многочлена от элементарных симметрических функций Многочлен dis от называется дискриминантом семейства. Его коэффициенты, очевидно, лежат в Z.
     Мы можем представить в виде. Действуя по правилу умножения матриц находим где - степенные суммы. Вычислив по формулам (I) и (II) выразим . В частности, так что определение. Дискриминант семейства корней многочлена f, или, что равносильно, значение дискриминанта, получающееся при подстановке вместо, называется дискриминантом многочлена f и обозначается D(f). Также он называется дискриминантом алгебраического уравнения
     Предложение. D(f)=0 тогда и только тогда, когда уравнение (7) имеет кратные корни (хотя бы один кратный корень кратности k>1).
     Симметрические многочлены от трёх переменных.
     Определение. Многочлен f (х, у, z) называется  симметрическим, если при любой перестановке переменных он остается неизменным.
     Условие симметричности многочлена f (х, у, z) записывается следующим образом: f (х, у, z)=f(у, х, z)=f(z, y, х)=f(х, z, у).
     Например, из коммутативности сложения вытекает, что симметричным является многочлен x+y+z , а из коммутативности умножения следует симметричность многочлена xyz.
     Также симметричны и степенные суммы, т. е. многочлены, вида
     Наиболее простыми являются симметрические многочлены 
, , .
     Их называют элементарными симметрическими многочленами от трех переменных x,y,z и обозначают через :
     
     
     .
     Причём многочлен ?_1- многочлен первой степени, ?_2- второй степени  ?_3-  многочлен третьей степени.
     Теорема. Любой симметрический многочлен от х, у, z  можно представить в виде многочлена от ,,.
     Покажем, что любая степенная сумма sk может быть выражена через элементарные симметрические многочлены .Рассмотрим более сложные симметрические многочлены, каждый из которых получается из некоторого одночлена всевозможными перестановками переменных и суммированием получившихся результатов. Такие симметрические многочлены будем называть орбитами соответствующих одночленов. Мы покажем, что каждая орбита выражается через степенные суммы, а значит, в конечном итоге, через. Наконец, будет установлено, что всякий симметрический многочлен представляется в виде суммы орбит.
     Из этого и вытекает справедливость сформулированной теоремы. 
     Докажем, каждую степенную сумму s_k=x^k+y^k+z^k можно представить в виде многочлена от ?_1, ?_2,?_3.
     s_k=?_1 s_(k-1)-?_2 s_(k-2)+?_3 s_(k-3) (2)
     Эту формулу  не будем «выводить», а прямо проверим. Подставляя в правую часть соотношения (2) вместо величин s_(k-1),s_(k-2),s_(k-3), а также ?_1, ?_2,?_3 их выражения через х, у, z и производя очевидные преобразования, получаем:
     ?_1 s_(k-1)-?_2 s_(k-2)+?_3 s_(k-3)=(x+y+z)(x^(k-1)+y^(k-1)+z^(k-1) )-
     -(xy+xz+yz)(x^(k-2)+y^(k-2)+z^(k-2) )+xyz(x^(k-3)+y^(k-3)+z^(k-3) )=
     =(x^k+y^k+z^k+xy^(k-1)+x^(k-1) y+xz^(k-1)+x^(k-1) z+yz^(k-1)+y^(k-1) z)-
     -(x^(k-1) y+xy^(k-1)+x^(k-1) z+xz^(k-1)-y^(k-1) z+yz^(k-1)+xyz^(k-2)+xy^(k-2) z+
     +x^(k-2) yz)+(x^(k-2) yz+xy^(k-2) z+xyz^(k-2) )=x^k+y^k+z^k=s_k.
     Таким образом, правильность формулы (2) проверена. 
     Из этой формулы и вытекает справедливость  утверждения.
      В самом деле, легко видеть, что степенные суммы s0, s1, s2  выражаются через , , .
     s0=х0+у 0+z0=1+1 +1=3;
     s1=x+y+z=;
     s2=x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=
     После этого формула (2) позволяет последовательно находить выражения следующих степенных сумм через 1, 2, : сначала s3, затем s4, s5 и т. д. Таким о6разом,  утверждение доказано.
     В отличие от симметрических многочленов от двух переменных, степенные суммы от трех переменных начинаются не с s1, а с s0, для более удобных  вычислений. Но и формула для трех переменных, конечно, несколько отличается:
     s_k=?_1 s_(k-1)-?_2 s_(k-2)+?_3 s_(k-3).
     Следовательно, степенные суммы соответственно равны:
     s0=x0+y0+z0= 1+1+1= 3,
     s1=x1+y1+z1= x+y+z = ?1,
     s3= x3+y3+z3=?13-3?1?2+3?3;
     s4= x4+y4+z4=?14 – 4?12?2 +2?22 +4?1?3;
     Симметрические многочлены от нескольких переменных
     Определение. Многочлен f(x_1,x_2,…, x_n ) от n переменных x_1,x_2,…, x_n, называется симметрическим, если он не меняется при перестановке любых двух переменных.
     Теорема. Пусть  f(x_1,x_2,…, x_n )- симметрический многочлен от n переменных. Тогда существует такой многочлен ?(?_1,?_2,…,?_n ), что если подставить в него вместо ?_1,?_2,…,?_n их выражения через? x?_1,x_2,…, x_n, т.е.
     ?_1=x_1+x_2+…+x_n,
     ………
     ?_n=x_1 x_2…x_n,
     то получится многочлен, тождественно равный f(x_1,x_2,…, x_n ).  Многочлен ?(?_1,?_2,…,?_n ), обладающий указанным свойством существует только один.
     
     

Заключение

     Симметрические многочлены имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделов математики. Они позволяют раскрыть вариантности алгебры для практических приложений. Это имеет большое значение в подготовке учителя для средней школы.
      Изучила теорию о многочленах. В ней специально был подобран интересный материал, который не встречается в школьном курсе, а если и встречается, то менее ярко преподносится. В эту курсовую работу было внесено много примеров и задач, которые помогают лучше понять данный материал.
     Важно не научить, а увлечь предметом школьника. Если это удастся, то ребенок сам будет изучать те аспекты предмета, которые не предусмотрены школьным курсом.
     Думаю, данная работа может послужить методическим пособием для проведения краткого факультатива, но нужно учитывать, что единой системы преподавания этой темы на сегодняшний день нет.
     

Список используемой литературы

     1. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре, МЦНМО, 2002
     2. Гальперин Г.А., Толпыго А.К., «Московские математические олимпиады», М., Просвещение, 1986
     3. Готман Э.Г., Скопець З.А., «Задача одна - решения разные», К., Родник 1938
     4. Горнштейн П.И., «Задачи с параметрами», К., 2000
     5. Под ред. Фирсова В.В., «Избранные вопросы математики», М., Просвещение, 1990
     6. Лекции по алгебре 1 курс 1 семестр Сецинской Е.В.
     7. Черкасов О.Ю. и др. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. - М.: АСТ-Пресс, 2001.
     8. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М. Наука, 1984
     9. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/methods/ode/Kudryashov1998.pdf
     10. http://orel3.rsl.ru/mccme/djvu/encikl/enc-el-2.htm


2


.......................